微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
{
}
所以
v′ v ′ v b面
例.证明正螺面
v r = {u cos v, u sin v, av + b} 不是可展曲面。
v 证明：因为 r = {u cos v, u sin v, av + b} v 可以改写成 r = {0, 0, av + b} + u {cos v,sin v, 0} v v = a ( v ) + ub ( v ) .
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
v 2 1 2 r = u + v, 2u 3 + uv, u 4 + u 2 v 例:证明曲面 3 3 是可展曲面。 v 1 2 2 2 3 4 证明：因为 r = u + 3 v, 2u + uv, u + 3 u v v 可以改写成 r = u 2 , 2u 3 , u 4 + v 1 , u, 2 u 2 3 3 v v = a ( u ) + vb ( u ) . v′ v′ 2 3 4 a ( u ) = {2u, 6u , 4u } , b ( u ) = 0,1, u ,
§4
直纹面与可展曲面
1、直纹面--由直线产生的曲面 生成轨迹的每条直线叫直母线 直纹面上与每条直母线相交的曲线-导线 曲线曲线 2、直纹面的方程 设导线 a = a(u) ，b(u ) 直母线单位方向向量 直纹面 r = ( u, v ) = a (u ) + vb(u ) 3、常见直纹面有柱面、或是锥面、 柱面、或是锥面、 柱面 是一条曲线的切线曲面、正螺面 是一条曲线的切线曲面、正螺面等
微分几何曲面论的概念讲义与教案
若 [B(u,v)]2 A(u,v)C(u,v) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
设 A 0 , 则 A( du)2 2B( du)dudv C 0
dv
dv
得
du B dv
B2 A
AC
F1(u, v)或F2 (u, v)
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面
上的曲线网。 特别有
点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题）
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数
有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 ck 类曲面。
表示曲面上的一簇曲线——曲线簇，设 A 0 则有
du B(u, v) F(u, v) dv A(u, v) 解之得 u (v, c)
特别 当 A = 0 或 B = 0 时，有 d u = 0 或 d v = 0 此时为坐标曲线 u = c 或 v = c 。
2、二阶微分方程 A(u,v)du2 2B(u,v)dudv C(u,v)dv2 0
其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)∈G
称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作
x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G
设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) ,
或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 或方向，它平行于
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面分解
(1) F [ x, y, z , ( x, y, z )] 0 对于S上的点, 上式为恒等式. 其次在包络S上任取一条曲线 (C )：r r (t ), r x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3 , 即
曲线(C )上点的坐标也应满足 (1)式, 必有恒等式： F [ x(t ), y(t ), z(t ), (t )] 0
消去参数而得 ( x, y, z ) 0. 证： 若曲面族{ S }存在包络S， 由包络的定义， , P S , 对P( x, y, z ) S， 即对包络S上每一个点对应于 的一个确定值， 因而为S上点的坐标( x, y, z )的函数 ( x, y, z ), 代入S的方程F ( x, y, z, ) 0得：
换言之, 对包络S上每一点 ( x, y, z ), 可以找到这样的值，
使得四个数x, y, z, 满足方程组(3). 从方程组(3) 消去 , 得方程 ( x , y, z ) 0.
{ S }的判别曲面 . 这个方程表示一个曲面 S , 叫做曲面族
(3)高斯曲率. 直纹面的参数方程为r a ( u) vb ( u) ru a(u) vb(u), rv b(u), ruu a vb, ruv b, rvv 0,
ru rv a b v(b b ) n ru rv EG F 2 a b v (b b ) L ruu n (a vb ) , 2 EG F a b v (b b ) ( b , a , b ) M ruv n b 2 EG F EG F 2 N rvv n 0 2 2 2 LN M ( b , a , b ) ( a , b , b ) K 0. , 即K 2 2 2 2 2 EG F ( EG F ) ( EG F )
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面讲课讲稿
(3)高 斯 曲 率.
直纹
面的
参
数 方 程
为
ra(u )vb(u )
ru a (u ) v b (u )r,v b(u),
ruu avb, ruvb, rvv 0,
nL M rrruruuuu vnrrn vv (a ba abv Eb G b)vE (ba FG v (2bF bb E ) 2bv G )(b F 2(b Eb),Ga ,bF,)2
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除之 了外 直， 母还 线可能直 有线 .其
如正螺面的轴 .
（2）直纹面可能不只直 一母 族线. 如以上两个曲面 .
本书只限于讨论一 母族 线直 中的直 . 线
2.参设 b(数u)是 表( 示过 C 导 ): 导a 线 (Ca )( 线 上 u )点a(u)
垂足M的极限位M置0
称为直母l上 线的腰.点a(uu)
腰点的轨迹称为腰曲线 .
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
M•0 M a(u)vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程 直设 则 纹M 导 面M 的线 (参C 数 )[ 的 a 方( 程u 方 为 程u ) 为 a r ( v a (a u ()v ， u ) )b ( u vb (u )u ) [ a ( ] u ) v b ( u )
上式 a 除 ( b u 以 )2得 ： b b v b v ( b b ) 0 ,
u u u u u u 当 假 ub 设 (u 0)时,0 上(对 式取b (极 于 u )限 0 得 的 a ： b 情 vb 20 ,以 况 ,v后 是 ab)2b ,再 柱 故腰点的向径表达式为 ： ra (u)a (u )b (u)b (u) 即腰曲线的方程 .
微分几何
微分几何几何学是数学的一个重要分支，它采用不同方法对几何图形及其数量关系进行研究。
微分几何是高师数学专业（本）的专业基础课之一，其出发点是微分几何。
本课程重点讲授微分几何中最基础的部分——二维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，在方法上给以更新，这样使学生能够从较浅的内容去学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一发面，对微分几何有兴趣的学生，在掌握新方法之后，可运用这些方法去学习微分几何的近代内容。
本课程教学时数为60小时。
第一章曲线论目的要求：在中学教材中，对于曲线的概念，平面曲线的参数方程中参数的个数问题，都只初步涉及，进一步理解有赖于对曲线的精确定义。
1）掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲面挠率和Frenet公式。
2）掌握特殊曲线：平面曲线、一般螺线3）理解Bertrand曲线4）了解曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。
计划课时数：24学时教学内容：第一节向量代数复习（2学时）向量的基本概念、运算及有关定理第二节向量函数（2学时）向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等第三节曲线的概念（4学时）曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进第四节空间曲线（10学时）曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理第五节特殊曲线（6学时）平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线第二章曲面论目的要求：1）曲面的局部概念是建立整体概念和过渡到微分流行研究的基础，简单曲面的向量参数表示要与中学所讲曲线、曲面的参数方程对照，从理论上理解中学教材内容中遗留的问题。
掌握：（1）曲面的概念及其参数表示（2）曲面的第一基本形式（3）曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率，主方向与曲率线网（4）主曲率、Gauss曲率和平均曲率2）直纹面和可展曲面是常见的特殊曲面，联系解析几何中的直纹面，理解直纹面的构成，掌握曲面可展的含义和可展的条件。
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
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b2 0. 即a
b.
4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面
一 条 曲 线 的 切 线 所 产 生的 直 纹 面 称 为 曲 线 的 切线 面.(如 图)
曲
线(C
)：a
a(u)
的切
线
面方程
为：
r a(u) va(u)
一 条 曲 线 的 主 法 线 所 产生 的 直 纹 面
(4)渐 近 曲 线.
直纹面上的直母线就是它的当u 0时，
a(u
u)
(v
v
)b(u
u)
M
l
垂 足M的 极 限 位 置M0
称 为 直 母 线l上 的 腰 点. a(u u)
腰点的轨迹称为腰曲线.
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
a(u)
vb(u)
若
满
足(a,
b,
b)
0，
则称为可展曲面或称曲面可展.
命题1 每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线
证：设 可的展切曲线面面. 为反r之 a，(u这) 三vb类(u曲)，则面有均(a为 可, b展, b曲) 面.0，
取
腰曲
线 为 导 线于，是
(b b), 0，
直母线
(C )
导线
5
当点P沿同一条直母线移动时，n ru rv 保持不变.
ru rv
沿 同 一 条 直 母 线 有 同 一个 切 平 面.
情形2：a
b //
b
b,
即(a,
b,
b)
0，
当点P沿同一条直母线移动时，n ru rv 发生转动，
b(u)
的 直 母 线 上 的 单 位 向 量，
a(u)
r
a(u)
vb(u)
直纹面的参数表示.
r
3.性质与分类
或参数方程.
(1)坐 标 曲 线
v 曲 线(u 常 数)：直母线；
u 曲 线(v 常 数)：导线的平行线.
(2)情单rur形位u1a法： rv(au向)(量abvn/b/和b(vub切)),b平r,vb即面.(baa(u,)bb,, bv)
b) ,
2
(b,
a,
b)
EG F 2
N K
rvv n 0 LN M 2 EG F 2
(b,
a,
b)2
(EG F 2 )2
,
即K
(a,
b,
b)2
(EG F 2 )2
0.
对 于 情 形1，K 0; 对于情形2，K 0.
上式除以(u)2 得：
a
b
b b v b
v (b b) 0,
u u u u u
u
假设b(u) 0 (对于b(u) 0的 当u 0时,上式取极限得：a
情况
b
是 柱 面,以 后 再
vb(
u)
6
n
ru rv
a
b
v(b
b)
ru rv
EG F 2
L ruu
M ruv
n (a
n
b
vb)
a
b
v(b
a
b
EG v(b b)
F
EG F 2
ru rv
满满沿足足同((aa一,,bb条,,bb直 )) 母00的的线直直切纹纹平面面面不叫叫唯做做一可斜. 展直曲纹面面. ；
(3)高 斯 曲 率.
直
ru ruu
纹 aa面( u的)vb参vb,数(ruu方v),程rbv 为,rbrv(vua)(,u0),
M• 0 M
a(u) vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程
设 导 线(C )的 方 直纹面的参数
程 方
为 程a为r
a(u)， a(u)
vb(u)
则MM
[a(u
u)
(v
v)b(u
u)]
[a(u)
vb(u)]
(C )
称 为 曲 线 的 主 法 线 曲 面.
一 条 曲 线 的 副 法 线 所 产生 的 直 纹 面
正 称圆螺 为柱面 曲螺r线线r的{u副c{oas法cvo,s线us,曲iansv面.i,nbv,}b(同}的学主自法证)线. 曲面为 10
4.2 可展曲面
一.可 展 曲 面 及 其 分 类 定义 (可展曲面)直 纹 面r
vb2 0, v
讨 a论)b b2
,
故腰点的向径表达式为：
r
a(u)
a(u)
b(u)
b(u)
b(u)2
即 腰 曲 线 的 方 程.
9
若取
腰
曲线为导线则，r
a(u)，
a
b
0,
于是有：腰
曲
线
是
导
线
a
b
第二章
曲面论
1
§4 直纹面和可展曲面
主要内容
1.直纹面； 2.可展曲面.
2
4.1 直纹面
1.定义 (直纹面)由一族直线生成的曲面叫做直纹面.
这 族 直 线 中 的 每 一 条 都叫 做 直 纹 面 的 直 母 线. 直 纹 面 上 和 所 有 直 母 线都 相 交 的 曲 线 叫 做 直 纹面 的 导 线. 例如：下列曲面都是直纹面.
[aa(uvbu)av(bu()u]
(v u)
v)ab(uvbu)vv(bb(u)b)
8
于即M是Ma[abbv,vMbbM bv((bbv(bbb))],bb)MM0b,0, b.
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
3
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除了直母线之外，还可能有其它的直线.
如正螺面的轴.
（2）直纹面可能不只一族直母线. 如以上两个曲面.
本 书 只 限 于 讨 论 一 族 直母 线 中 的 直 线.
4
2.参数表示
设b(u导)是线(过C )导: a线(Ca)(上u)点a(u)