2015年内蒙古包头市中考数学压轴题预测
2015年内蒙古包头市中考数学试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页） 数学试卷 第2页（共36页）绝密★启用前内蒙古包头市2015年初中升学考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在13,0,1-,最大的是( ) A .13B .0C .1- D2.2014年中国吸引外国投资达1280亿美元,成为全球外国投资第一大目的地国.将1280亿美元用科学记数法表示为( )A .1012.810⨯美元B .111.2810⨯美元C .101.2810⨯美元D .120.12810⨯美元 3.下列计算结果正确的是( ) A .2242=3a a a +B .224() a a a -=-C .21()42--=D .0(2)1-=-4.在Rt ABC △中,90C ∠=,若斜边AB 是直角边BC 的3倍,则tan B 的值是 ( )A .13B .3 CD.5.一组数据5,2,x ,6,4的平均数是4,这组数据的方差是( ) A .2BC .10D6.不等式组3(2)25,123x x x x ++⎧⎪-⎨⎪⎩＞≤的最小整数解是( ) A .1-B .0C .1D .2 7.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( ) A.B.C. D.8.下列说法中正确的是( )A .掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为12B .“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C .“同位角相等”这一事件是不可能事件D .“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 9.如图,在ABC △中,5AB =,3AC =,4BC =,将ABC △绕点A 逆时针旋转30后得到ADE △,点B 经过的路径为BD ,则图中阴影部分的面积为 ( )A .25π12B .4π3C .3π4D .5π1210.观察下列各数：1,43,97,1615,….按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A .2531B .3635 C .47D .626311.已知下列命题：①在Rt ABC △中,90C =∠,若A B ∠∠＞,则sin sin A B ＞；②四条线段a ,b ,c ,d 中,若a cb d=,则ad bc =； ③若a b ＞,则22(1)(1)a m b m ++＞；④若||x x -=-,则0x ≥.其中原命题与逆命题均为真命题的是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共36页） 数学试卷 第4页（共36页）( ) A .①②③B ①②④C .①③④D .②③④12.如图,已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(1,0)A -,对称轴为直线1x =,与y 轴的交点B 在(02),和(03),之间(包括这两点),下列结论： ①当3x ＞时,0y ＜； ②30a b +＜；③213a --≤≤；④248ac b a -＞. 其中正确的结论是( ) A .①③④ B .①②③ C .①②④D .①②③④第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填写在题中的横线上)13.计算： .14.化简：2211()a a a a a---÷= . 15.已知关于x的一元二次方程210x -=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .16.一个不透明的布袋里装有5个球,其中4个红球和1个白球,它们除颜色外其余都相同,现再将n 个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是红球的概率为23,则n = .17.已知点1(2,)A y -,2(1,)B y -和3(3,)C y 都在反比例函数3y x=的图象上,则1y ,2y ,3y 的大小关系为 (用“＜”连接).18.如图,O 是ABC △的外接圆,AD 是O 的直径,若O 的半径是4,1sin 4B =,则线段AC 的长为 .19.如图,在边长为1的菱形ABCD 中,60A =∠,点E ,F 分别在AB ,AD 上,沿EF 折叠菱形,使点A 落在BC 边上的点G 处,且EG BD ⊥于点M ,则EG 的长为 .20.如图,在矩形ABCD 中, BAD ∠的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F ,取EF 的中点G ,连接CG ,BG ,BD ,DG ,下列结论：①BE CD =； ②135DGF ∠=；③180ABG ADG ∠+∠=；④若23AB AD =,则313BDG DGF S S =△△.其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分8分)某学校为了解七年级男生体质健康状况,随机抽取若干名男生进行测试,测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,统计整理数据并绘制两幅尚不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的男生人数为 人,扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 ；(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；(3)若该校七年级共有男生480人,请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数.数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）22.(本小题满分8分)为了弘扬“社会主义核心价值观”,市政府在广场竖立公益广告牌,如图所示,为固定广告牌,在两侧加固钢缆,已知钢缆底端D 距广告牌立柱距离CD 为3米,从D 点测得广告牌顶端A 点和底端B 点的仰角分别是60和45. (1)求公益广告牌的高度AB ； (2)求加固钢缆AD 和BD 的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)23.(本小题满分10分)我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾,甲种鱼苗每尾3元,乙种鱼苗每尾5元,相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%. (1)若购买这两种鱼苗共用去2500元,则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？ (2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾？ (3)在(2)的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用.24.(本小题满分10分)如图,AB 是O 的直径,点D 是AE 上的一点,且BDE CBE ∠=∠,BD 与AE 交于点F .(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若BD 平分ABE ∠,求证：2DE DF DB =；(3)在(2)的条件下,延长ED ,BA 交于点P ,若PA AO =,2DE =,求PD 的长和O 的半径.25.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,90A =∠,1AD =厘米,3AB =厘米,5BC =厘米,动点P 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿BC 方向运动,动点Q 从点C 出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动,P ,Q 两点同时出发,当点Q 到达点D 时停止运动,点P 也随之停止.设运动时间为t 秒(0)t ＞. (1)求线段CD 的长；(2)t 为何值时,线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为12：两部分？(3)伴随P ,Q 两点的运动,线段PQ 的垂直平分线为l .①t 为何值时,l 经过点C ？②求当l 经过点D 时t 的值,并求出此时刻线段PQ 的长.26.(本小题满分12分)已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A -，,(30)B ，两点,与y 轴相交于点C ,该抛物线的顶点为点D .(1)求该抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)连接AC ,CD ,BD ,BC ,设AOC △,BOC △,BCD △的面积分别为1S ,2S 和3S ,用等式表示1S ,2S ,3S 之间的数量关系,并说明理由；(3)点M 是线段AB 上一动点(不包括点A 和点B ),过点M 作MN BC ∥交AC 于点N ,连接MC ,是否存在点M 使AMN ACM ∠=∠？若存在,求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在,请说明理由.___ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答---------------------------数学试卷 第7页（共36页）数学试卷 第8页（共36页）内蒙古包头市2015年初中升学考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】∵正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，0113＜＜，12∴1301-＜＜【考点】实数大小比较。
2015年内蒙古包头市中考数学试卷附答案
精心整理2015年内蒙古包头市中考数学试卷附答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015?包头）在，0，﹣1，这四个实数中，最大的是（）A．B．0 C．﹣1 D．2．（3分）（2015?包头）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（）A．12.8×1010美元B．1.28×1011美元C．1.28×1012美元D．0.128×1013美元3．（3分）（2015?包头）下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6B．（﹣a）2?a3=﹣a6C．（﹣）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣14．（3分）（2015?包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A ．B．3 C ．D．25．（3分）（2015?包头）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（）A．2 B ．C．10 D ．6．（3分）（2015?包头）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2015?包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．68．（3分）（2015?包头）下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件9．（3分）（2015?包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π10．（3分）（2015?包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A． B． C．D．11．（3分）（2015?包头）已知下列命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④12．（3分）（2015?包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2015?包头）计算：（﹣）×= ．14．（3分）（2015?包头）化简：（a﹣）÷= ．15．（3分）（2015?包头）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（3分）（2015?包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，则n= ．17．（3分）（2015?包头）已知点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）和C （3，y 3）都在反比例函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ．（用“＜”连接）18．（3分）（2015?包头）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sinB=，则线段AC 的长为 ．19．（3分）（2015?包头）如图，在边长为+1的菱形ABCD 中，∠A=60°，点E ，F 分别在AB ，AD 上，沿EF 折叠菱形，使点A 落在BC 边上的点G 处，且EG⊥BD 于点M ，则EG 的长为 ．20．（3分）（2015?包头）如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，取EF 的中点G ，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BE=CD；②∠DGF=135°；③∠ABG+∠ADG=180°；④若=，则3S △BDG =13S △DGF ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）21．（8分）（2015?包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．22．（8分）（2015?包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23．（10分）（2015?包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%．（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．24．（10分）（2015?包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF?DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．25．（12分）（2015?包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B 出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．①t为何值时，l经过点C？②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．26．（12分）（2015?包头）已知抛物线y=x 2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．2015年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015?包头）在，0，﹣1，这四个实数中，最大的是（）A．B．0 C．﹣1 D．【考点】实数大小比较．【分析】利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．【解答】解：∵正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，0＜＜1，1＜＜2，∴﹣1＜0＜＜，故选D．【点评】本题主要考查了比较实数的大小，掌握任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，是解答此题的关键．2．（3分）（2015?包头）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（）A．12.8×1010美元B．1.28×1011美元C．1.28×1012美元D．0.128×1013美元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】11，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2015?包头）下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6B．（﹣a）2?a3=﹣a6C．（﹣）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣1【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、2a3+a3=3a3，故错误；B、（﹣a）2?a3=a5，故错误；C、正确；D、（﹣2）0=1，故错误；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清指数的变化是解题的关键．4．（3分）（2015?包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A．B．3 C．D．2【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理求出AC ，根据三角函数的概念求出tanB ．【解答】解：设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC=2x ， tanB===2，故选：D ．【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．5．（3分）（2015?包头）一组数据5，2，x ，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（ ）A ．2B ．C ．10D ． 【考点】方差；算术平均数．【分析】根据平均数的公式求出x 的值，根据方差公式求出方差．【解答】解：由题意得，（5+2+x+6+4）=4，解得，x=3，s 2=[（5﹣4）2+（2﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2] =2，故选：A ．【点评】本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．方差S 2=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．6．（3分）（2015?包头）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．【解答】解：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，不等式组的解集为﹣1＜x≤3，不等式组的最小整数解为0，故选B．【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．（3分）（2015?包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．6【考点】正多边形和圆．【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC 的面积=BC?AD，即可得出结果．【解答】解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=，∴BC=2，∴△ABC的面积=BC?AD=×2×3=3；故选：B．【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（3分）（2015?包头）下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件【考点】随机事件；列表法与树状图法．【分析】根据概率的意义，可判断A；根据必然事件，可判断B、D；根据随机事件，可判断C．【解答】解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，故A错误；B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故B正确；C、同位角相等是随机事件，故C错误；D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（3分）（2015?包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．10．（3分）（2015?包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A． B． C．D．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．【解答】解：观察该组数发现：1，，，，…，第n个数为，当n=6时，==．故选C．【点评】本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．11．（3分）（2015?包头）已知下列命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题与定理．【分析】先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假即可．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A ＞sinB，原命题为真命题，逆命题是：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin∠A＞sinB，则∠A ＞∠B，逆命题为真命题；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc，原命题为真命题，逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad=bc，则=，逆命题为真命题；③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1），原命题为真命题，逆命题是：若a（m2+1）＞b（m2+1），则a＞b，逆命题为真命题；④若|﹣x|=﹣x，则x≥0，原命题为假命题，逆命题是：若x≥0，则|﹣x|=﹣x，逆命题为假命题．故选A．【点评】主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（3分）（2015?包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4a c﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x=﹣=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a＜0；③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b2＞8a得c﹣2＜0与题意不符．【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a＜0，∵x=﹣=1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤﹣3a≤3．解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，∵a＜0，∴c﹣2＜∴c﹣2＜0∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2015?包头）计算：（﹣）×= 8 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣=9﹣1=8，故答案为：8【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）（2015?包头）化简：（a﹣）÷= ．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=?=?=，故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）（2015?包头）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k≥1．【考点】根的判别式．【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为：k≥1．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．16．（3分）（2015?包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，则n= 1 ．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，即可得方程：=，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：=，解得：n=1，经检验：n=1是原分式方程的解．故答案为：1．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（2015?包头）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．（用“＜”连接）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中k=3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x 的增大而减小．∵﹣2＜﹣1＜0，∴点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，且0＞y1＞y2．∵3＞0，∴点C（3，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．（3分）（2015?包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 2 ．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．19．（3分）（2015?包头）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A 落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．【分析】首先连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度是多少；然后根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥A C，所以，据此求出EG的长为多少即可．【解答】解：如图1，连接AC，交BD于点O，，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC=2AO，∵∠A=60°，∴∠BAO=30°，∴AO=AB?cos30°=（+1）×=，∴AC=×2=3，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵EG⊥BD，AC⊥BD，∴EG∥AC，∴，又∵EG=AE，∴，解得EG=，∴EG的长为．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．20．（3分）（2015?包头）如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，取EF 的中点G ，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论： ①BE=CD；②∠DGF=135°；③∠ABG+∠ADG=180°；④若=，则3S △BDG =13S △DGF ．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出∠BAE=45°，判断出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE ，∠AEB=45°，从而得到BE=CD ，故①正确；再求出△CEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG ，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②错误； 由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；由△BGD是等腰直角三角形得到BD==a，求得S，△BDG，进而得出答案．过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∠AEB=45°，∵AB=C D，∴BE=CD，故①正确；∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∵点G为EF的中点，∴CG=EG，∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴∠BGE=∠DGC，∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC=∠BGE＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF＜135°，故②错误；∵∠BGE=∠DGC，∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确； ∵=，∴设AB=2a ，AD=3a ，∵△DCG≌△BEG，∵∠BGE=∠DGC，BG=DG ，∵∠EGC=90°，∴∠BGD=90°， ∵BD==a ， ∴BG=DG=a ， ∴S △BDG =×a×a=a 2 ∴3S △BDG =a 2， 过G 作GM⊥CF 于M ，∵CE=CF=BC﹣BE=BC ﹣AB=a ， ∴GM=CF=a ，∴S △DGF =?DF?GM=×3a×a=a 2，∴13S △DGF =a 2，∴3S △BDG =13S △DGF ，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）21．（8分）（2015?包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为40 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为162°；（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数；（2）用40﹣2﹣8﹣18即可；（3）用480乘以良好所占的百分比即可．【解答】解：（1）8÷20%=40（人），18÷40×360°=162°；（2）“优秀”的人数=40﹣2﹣8﹣18=12，如图，（3）“良好”的男生人数：×480=216（人），答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22．（8分）（2015?包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB；（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=，∴AC=3?tan60°=3，在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，∴AD===6米，在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，∴BD===3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（10分）（2015?包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%．（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意列一元一次方程组求解即可；（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，根据题意列不等式求出解集即可；（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，列出w与x 之间的函数关系式，运用一次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：，解得：．答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾．（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，列不等式得：85%z+90%（700﹣z）≥700×88%，解得：z≤280．答：甲种鱼苗至多购买280尾．（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则w=3m+5（700﹣m）=﹣2m+3500，∵﹣2＜0，∴w随m的增大而减小，∵0＜m≤280，∴当m=280时，w有最小值，w的最小值=3500﹣2×280=2940（元），∴700﹣m=420．答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元．【点评】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数应用问题，审清题意，找到等量或不等关系是解决问题的关键．24．（10分）（2015?包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF?DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O 的切线；（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出=，然后根据已知条件得出===，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出=，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出=，解得OA=2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴=，∴DE2=DF?DB；（3）解：连接DA、DO，。
内蒙古包头市中考数学试卷
2015年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•包头）在，0，﹣1，这四个实数中，最大的是（）A．B．0 C．﹣1 D．2．（3分）（2015•包头）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（）A．12.8×1010美元B．1.28×1011美元C．1.28×1012美元D．0.128×1013美元3．（3分）（2015•包头）下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6B．（﹣a）2•a3=﹣a6C．（﹣）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣14．（3分）（2015•包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A．B．3 C．D．25．（3分）（2015•包头）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（）A．2 B．C．10 D．6．（3分）（2015•包头）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2015•包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3C．4D．68．（3分）（2015•包头）下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件9．（3分）（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π10．（3分）（2015•包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．B．C．D．11．（3分）（2015•包头）已知下列命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④12．（3分）（2015•包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2015•包头）计算：（﹣）×=．14．（3分）（2015•包头）化简：（a﹣）÷=．15．（3分）（2015•包头）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（3分）（2015•包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，则n=．17．（3分）（2015•包头）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”连接）18．（3分）（2015•包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．19．（3分）（2015•包头）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为．20．（3分）（2015•包头）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF 的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BE=CD；②∠DGF=135°；③∠ABG+∠ADG=180°；④若=，则3S△BDG=13S△DGF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）21．（8分）（2015•包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．22．（8分）（2015•包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23．（10分）（2015•包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%．（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．24．（10分）（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．25．（12分）（2015•包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．①t为何值时，l经过点C？②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．26．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．。
2015学年内蒙古包头中考数学年试题答案
（）
A．{x | 1 x 3} B．{x| 1 x 1} C．{x|1 x 2} D．{x | 2 x 3}
2．设向量 a (2, 4) 与向量 b (x,6) 共线，则实数 x
题
A．2
Байду номын сангаас
B．3
（）
C．4
D．5
3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著 无
（）
为常数）.若该食品在 0℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22℃ 的保
鲜时间是 48 小时，则该食品在 33℃ 的保鲜时间是
（）
A．16 小时
B．20 小时
C．24 小时
D．28 小时
2x y≤10，
9．设实数 x ， y 满足 x 2 y≤14，则 xy 的最大值为
x
（ p R ）的两个实根.
（Ⅰ）求 C 的大小. （Ⅱ）若 AB 3 ， AC 6 ，求 p 的值.
20．（本小题满分 13 分）
x2 y2
2
如图，椭圆 E : + 1(a b 0) 的离心率是 ，点 P (0,1) 在短轴 CD 上，且
a2 b2
2
PC PD 1.
差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
（）
A．抽签法
效 C．分层抽样法
B．系统抽样法 D．随机数法
数学试卷 第 1 页（共 6 页）
4．设 a,b 为正实数，则“ a b 1 ”是“ log2 a log2 b 0 ”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
2015年内蒙古包头市中考真题数学
2015年内蒙古包头市中考真题数学一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项)1. 在13，0，-1这四个实数中，最大的是( ) A.13B.0C.-1解析：考查实数大小比较.利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较：0＜13＜1，1＜2，∴-1＜0＜13答案：D.2. 2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为( )A.12.8×1010美元B.1.28×1011美元C.1.28×1012美元D.0.128×1013美元解析：考查用科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数：1280亿=128000000000=1.28×1011. 答案：B.3. 下列计算结果正确的是( )A.2a 3+a 3=3a 6B.(-a)2·a 3=-a 6C.(12-)-2=4 D.(-2)0=-1解析：对各选项分析判断：A.2a 3+a 3=3a 3，考查合并同类项的法则，错误；B.(-a)2·a 3=a 5，考查同底数幂的乘法的性质，错误；C.(12-)-2=4，考查负整数指数幂，正确； D.(-2)0=1，考查零指数幂，错误. 答案：C.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是( ) A.13B.3C.4解析：考查锐角三角函数的定义，勾股定理.设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，x ，tanB=AC BC，答案：D.5. 一组数据5，2，x ，6，4的平均数是4，这组数据的方差是( ) A.2C.10解析：考查算术平均数，方差.由平均数的公式求出x 的值，由方差公式求出方差：由题意得：15(5+2+x+6+4)=4，解得x=3，s 2=15[(5-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(4-4)2]=2， 答案：A.6. 不等式组 ()3225123x x x x ++⎧⎪⎨-≤⎪⎩＞的最小整数解是( )A.-1B.0C.1D.2解析：考查一元一次不等式组的整数解.先求不等式组的解集，再找出最小的整数解即可：()3225123x x x x++⎧⎪⎨-≤⎪⎩＞①②，解①得x ＞-1，解②得x ≤3，不等式组的解集为-1＜x ≤3，不等式组的最小整数解为0，答案：B.7. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为( )解析：考查等边三角形和圆的性质.作AD ⊥BC 与D ，连接OB ，则AD 经过圆心O ，∠ODB=90°，OD=1，根据等边三角形的性质得出BD=CD ，∠OBD=12∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD ，求出AD 、BC ，△ABC 的面积=12BC ·AD ，即可得出结果： 如图所示：作AD ⊥BC 与D ，连接OB ，则AD 经过圆心O ，∠ODB=90°，OD=1， ∵△ABC 是等边三角形，∴BD=CD ，∠OBD=12∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，，∴∴S △ABC =12BC ·AD=12×× 答案：B.8. 下列说法中正确的是( )A.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为12； B.“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件； C.“同位角相等”这一事件是不可能事件；D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件. 解析：考查随机事件和概率，对各个选项进行分析判断：A.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为13，考查概率的意义，错误；B.“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，考查必然事件，正确；C.同位角相等是随机事件，考查随机事件，错误；D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，考查必然事件，错误.答案：B.9. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为( )A.25 12πB.4 3πC.3 4πD.5 12π解析：考查扇形面积的计算，勾股定理的逆定理，旋转的性质.根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可.∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积-△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积=53053625012ππ⨯=，答案：A.10. 观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A.25 31B.36 35C.4 7D.62 63解析：观察数据发现：1，43，97，1615，…,发现第n 个数为221n n -，再将n=6代入得：2266212714n n ==-- 答案：C.11. 已知下列命题：①在Rt △ABC 中，∠C=90°，若∠A ＞∠B ，则sin ∠A ＞sinB ； ②四条线段a ，b ，c ，d 中，若a cb d=，则ad=bc ； ③若a ＞b ，则a(m 2+1)＞b(m 2+1)； ④若|-x|=-x ，则x ≥0.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④解析：先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后对逆命题进行判断： ①在Rt △ABC 中，∠C=90°，若∠A ＞∠B ，则sin ∠A ＞sinB ，原命题为真命题，逆命题是：在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sin ∠A ＞sinB ，则∠A ＞∠B ，逆命题为真命题；②四条线段a ，b ，c ，d 中，若a cb d=，则ad=bc ，原命题为真命题， 逆命题是：四条线段a ，b ，c ，d 中，若ad=bc ，则a cb d=，逆命题为真命题；③若a ＞b ，则a(m 2+1)＞b(m 2+1)，原命题为真命题，逆命题是：若a(m 2+1)＞b(m 2+1)，则a ＞b ，逆命题为真命题； ④若|-x|=-x ，则x ≥0，原命题为假命题，逆命题是：若x ≥0，则|-x|=-x ，逆命题为假命题. 答案：A.12. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与x 轴交于点A(-1，0)，对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③-1≤a ≤23-；④4ac-b 2＞8a ； 其中正确的结论是( )A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④解析： 对各个结论分析判断：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为(3，0)，当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵x=2ba-=1，∴2a+b=0.∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确； ③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，则y=ax 2-2ax-3a ，令x=0得：y=-3a. ∵抛物线与y 轴的交点B 在(0，2)和(0，3)之间，∴2≤-3a ≤3.解得：-1≤a ≤23-，故③正确；④∵抛物线y 轴的交点B 在(0，2)和(0，3)之间，∴2≤c ≤3，由4ac-b 2＞8a 得：4ac-8a ＞b 2，∵a ＜0，∴c-2＜24b a，∴c-2＜0∴c ＜2，与2≤c ≤3矛盾，故④错误. 综上所述，正确的结论有①②③. 答案：B.二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)13. 计算：= . 解析：考查二次根式的混合运算，原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果：原式918=-=， 答案：814. 化简：2211a a a a a---÷=（） . 解析：考查分式的混合运算，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果：原式= 22221(1)11(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -+--•=•=-+-+. 答案：(1)(1)a a -+.15. 已知关于x的一元二次方程x2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .解析：考查二次函数根的判别式，二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件和△的意义得到10140kk-≥+⎩-⎧⎨＞，然后解不等式组即可得到k的取值范围.∵关于x的一元二次方程x2有两个不相等的实数根，∴10140kk-≥+⎩-⎧⎨＞，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1.答案：k≥1.16. 一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为23，则n= .解析：考查概率的计算.由一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为23，即可得方程：4523n=+，解得：n=1，经检验：n=1是原分式方程的解.答案：1.17. 已知点A(-2，y1)，B(-1，y2)和C(3，y3)都在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 .(用“＜”连接)解析：考查反比例函数图象上点的坐标特征.先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论：∵反比例函数y=3x中k=3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小. ∵-2＜-1＜0，∴点A(-2，y1)，B(-1，y2)位于第三象限，且0＞y1＞y2.∵3＞0，∴点C(3，y3)位于第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3.答案：y2＜y1＜y3.18. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=14，则线段AC的长为 .解析：考查圆周角定理，三角函数解直角三角形.连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=14，在Rt△ACD中，根据∠D的正弦可计算出AC的长：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=14，在Rt△ACD中，∵sinD=ACAD=14，∴AC=14AD=14×8=2.答案：2.19. +1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 .解析：考查翻折变换(折叠问题)，菱形的性质.作辅助线：连接AC，根据余弦定理，求得AC的长度；根据菱形的性质，判断出AC⊥BD，根据EG⊥BD，可得EG∥AC，所以EG BE AC AE=，据此求出EG的长：如图1，连接AC，∵菱形ABCD+1，∠A=60°，∴3 AC==∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG ⊥BD ，∴EG ∥AC ，∴EG BEAC AE=， 又∵EG=AEEG20. 如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，取EF 的中点G ，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论： ①BE=CD ；②∠DGF=135°；③∠ABG+∠ADG=180°； ④若23AB AD =，则3S △BDG =13S △DGF . 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)解析：对各个结论分析判断：①∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∠AEB=45°，∵AB=CD ，∴BE=CD ，故①正确；②∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF 是等腰直角三角形， ∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中，BE CD BEG DCG CG EG ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DCG ≌△BEG(SAS).∴∠BGE=∠DGC ，∵∠BGE ＜∠AEB ，∴∠DGC=∠BGE ＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF ＜135°，故②错误； ③∵∠BGE=∠DGC ，∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确； ④∵23AB AD =，∴设AB=2a ，AD=3a ， ∵△DCG ≌△BEG ，∵∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，∵∠EGC=90°，∴∠BGD=90°，∵BD =，∴BG=DG=2a ，∴21322142BDG S a a =⨯⨯=△∴231334BDG S a ⨯=△， 过G 作GM ⊥CF 于M ，∵CE=CF=BC-BE=BC-AB=a ，∴GM=12CF=12a ，∴S △DGF =12·DF ·GM=12×3a ×12a=34a 2， ∴2133134DGF S a ⨯=△，∴3S △BDG =13S △DGF ，故④正确. 答案：①③④.三、解答题(本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出)21. 某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)本次接收随机抽样调查的男生人数为 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 . 解析：(1)考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体.合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数.答案：(1)根据条形统计图可知，合格人数是8人，根据扇形统计图可知，合格人数占男生总人数的20%，则男生总人数为：8÷20%=40(人).根据条形统计图可知，良好人数是18人，那么扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为：18÷40×360°=162°.(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分.解析：(2)用总人数减去不合格、合格、良好的人数即可. 答案：(2)“优秀”的人数：40-2-8-18=12(人)，如图，(3)若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数. 解析：(3)考查频率与概率.用七年级男生总人数乘以良好所占的百分比即可.答案：(3)“良好”的男生人数：1840×480=216(人)，答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人.22.为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.(1)求公益广告牌的高度AB.解析：(1)考查解三角形的应用的仰角俯角问题，锐角三角函数的应用.根据已知和tan∠ADC=ACDC，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC-BC求出AB.答案：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=AC DC，∴AC=3·tan60°在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴米.(2)求加固钢缆AD和BD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)解析：(2)考查解三角形的应用的仰角俯角问题，锐角三角函数的应用.根据cos ∠ADC=CDAD，求出AD ，根据cos ∠BDC=CDBD，求出BD. 答案：(2)在Rt △ADC 中，∵cos ∠ADC=CDAD， ∴AD=3361602cos ==︒米，在Rt △BDC 中，∵cos ∠BDC=CDBD， ∴BD=3452cos ==︒米.23. 我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？解析：(1)考查二元一次方程组的应用.设购买甲种鱼苗x 尾，乙种鱼苗y 尾，根据题意列一元一次方程组求解即可.答案：(1)设购买甲种鱼苗x 尾，乙种鱼苗y 尾，根据题意可得：700352500x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解得：500200x y ⎧⎨⎩＝＝.答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾.(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？解析：(2)考查一元一次不等式的应用.设购买甲种鱼苗z 尾，乙种鱼苗(700-z)尾，根据题意列不等式求出解集即可.答案：(2)设购买甲种鱼苗z 尾，乙种鱼苗(700-z)尾，列不等式得：85%z+90%(700-z)≥700×88%，解得：z ≤280.答：甲种鱼苗至多购买280尾.(3)在(2)的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用.解析：(3)考查一次函数的性质和应用.设甲种鱼苗购买m 尾，购买鱼苗的费用为w 元，列出w 与x 之间的函数关系式，运用一次函数的性质解决问题.答案：(3)设甲种鱼苗购买m 尾，购买鱼苗的费用为w 元，则w=3m+5(700-m)=-2m+3500， ∵-2＜0，∴w 随m 的增大而减小，∵0＜m ≤280，∴当m=280时，w 有最小值，w 的最小值=3500-2×280=2940(元)，∴700-m=420.答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元.24.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线.解析：(1)考查切线的判定和圆周角定理.根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再根据已知条件得出∠ABE+∠CBE=90°，即CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线.答案：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线.(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB.解析：(2)考查相似三角形的判定和性质.通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例，进而证得结论.答案：(2)证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，AD DE=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴DE DF DB DE=，∴DE2=DF·DB.(3)在(2)的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径.解析：(3)连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出PD POPE PB=，然后根据已知条件得出23PO PD PD PB PE PD DE ===+，求得PD=4，通过证得△PDA ∽△POD ，得出PD PAPO PD=，设OA=x ，则PA=x ，PO=2x ，得出424xx =，解得OA 的长度. 答案：(3)解：连接DA 、DO ，∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD ， ∵∠EBD=∠OBD ， ∴∠EBD=∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴PD POPE PB=， ∵PA=AO ， ∴PA=AO=OB ， ∴23PO PB = ∴23PD PE =， ∴23PD PD DE =+，∵DE=2， ∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°， ∴∠PDA=∠ABE ， ∵OD ∥BE ，∴∠AOD=∠ABE ， ∴∠PDA=∠AOD ， ∵∠P=∠P ，∴△PDA∽△POD，∴PD PA PO PD=，设OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴424xx=，∴2x2=16，，∴.25.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P 从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒(t＞0).(1)求线段CD的长.解析：(1)作辅助线DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解.答案：(1)如图1，作DE⊥BC于E，∵AD∥BC，∠A=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=1，DE=AB=3，∴EC=BC-BE=4，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，∴DC5厘米.(2)t 为何值时，线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2两部分？解析：(2)线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解. 答案：(2)∵点P 的速度为1厘米/秒，点Q 的速度为2厘米/秒，运动时间为t 秒， ∴BP=t 厘米，PC=(5-t)厘米，CQ=2t 厘米，QD=(5-2t)厘米， 且0＜t ≤2.5， 作QH ⊥BC 于点H ， ∴DE ∥QH ，∴∠DEC=∠QHC ， ∵∠C=∠C ，∴△DEC ∽△QHC ， ∴DE DCQH QC ＝， ∴352QH t＝， ∴QH ＝65t ， ∴S △PQC ＝211635()2255PC QH t t t •••••-＝＝， S 四边形ABCD ＝()()11153922AD BC AB •+•⨯+⨯＝＝， 分两种情况讨论：① S △PQC ：S 四边形ABCD =1：3时，35-t 2+3t ＝13×9， 即t 2-5t+5=0，解得：t 1＝52，t 2＝52+(舍去)； ②S △PQC ：S 四边形ABCD =2：3时，35-t 2+3t ＝23×9， 即t 2-5t+10=0，∵△＜0， ∴方程无解，∴当t 秒时，线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2两部分.(3)伴随P ，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l.①t为何值时，l经过点C？②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长. 解析：(3)①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答；②当PQ的垂直平分线l经过点D时进行分析解答.答案：(3)如图2，①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC，∴5-t=2t，∴3t=5，∴t=53，∴当t=53秒时，直线l经过点C；②如图3，当PQ的垂直平分线l经过点D时，可知DQ=DP，连接DP，则在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2，∴DQ2=DE2+EP2，∴(5-2t)2=32+(t-1)2，∴t1=1，t2=5(舍去)，∴BP=1厘米，∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；如图4，连接FQ，∵直线l是△DPQ的对称轴，∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=(4-x)厘米，在Rt△FQC中，FQ2+QC2=FC2，x2+22=(4-x)2，∴x=32，∴EF=32厘米，在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2，∴32+(32)2＝DF2，∴在Rt△DEF中，EG⊥DF，∴S△DEF＝1122DF EG DE EF••＝，∴EG=DE EF DF•，∴EG=5厘米，∴PQ=2EG=5厘米.26.已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D.(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标.解析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式，进而求出点D的坐标.答案：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，∴10 930b cb c-+⎧⎨++⎩＝＝，解得23 bc-⎧⎨-⎩＝＝.∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3，y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴点D的坐标为：(1，-4).(2)连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由.解析：(2)根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，进而计算得到答案.答案：(2)S1+S3=S2，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，由题意得，，CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形，S1=12×OA×OC=32，S2=12×OB×OC=92，S 3=12×CD ×BC=3， ∴S 1+S 3=S 2.(3)点M 是线段AB 上一动点(不包括点A 和点B)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，连接MC ，是否存在点M 使∠AMN=∠ACM ？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由.解析：(3)假设存在，设点M 的坐标为(m ，0)，表示出MA 的长，根据MN ∥BC ，得到比例式求出AN ，根据△AMN ∽△ACM ，得到比例式求出m ，得到点M 的坐标，求出BC 的解析式，根据MN ∥BC ，设直线MN 的解析式，求解即可. 答案：(3)存在点M 使∠AMN=∠ACM ， 设点M 的坐标为(m ，0)， ∵-1＜m ＜3， ∴MA=m+1，∵MN ∥BC ， ∴AM ABAN AC =，即1m AN += 解得，AN=4(m+1)， ∵∠AMN=∠ACM ，∠MAN=∠CAM ， ∴△AMN ∽△ACM ， ∴AM AN AC AM=，即(m+1)24(m+1)，解得，m 1=32，m 2=-1(舍去)， ∴点M 的坐标为(32，0)， 设BC 的解析式为y=kx+b ，把B(3，0)，C(0，-3)代入得，303k b b +⎧⎨⎩＝＝-，解得13k b ⎧⎨⎩＝＝-， 则BC 的解析式为y=x-3，又MN ∥BC ，∴设直线MN 的解析式为y=x+b ，把点M 的坐标为(32，0)代入得， b=-32，3 2.∴直线MN的解析式为y=x-。
2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试题及解析
2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）（）3．（3分）（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）分）（2015•呼和浩特）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，4．（35．（3分）（2015•呼和浩特）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）n÷7．（3分）（2015•呼和浩特）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）8．（3分）（2015•呼和浩特）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（）9．（3分）（2015•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（）10．（3分）（2015•呼和浩特）函数y=的图象为（）二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）（2015•呼和浩特）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为元．12．（3分）（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= ．13．（3分）（2015•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是．14．（3分）（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．15．（3分）（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．16．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）（2015•呼和浩特）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=﹣．18．（6分）（2015•呼和浩特）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（6分）（2015•呼和浩特）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）20．（6分）（2015•呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．21．（7分）（2015•呼和浩特）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，x，并写出表中a、b的值；（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．22．（9分）（2015•呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉子听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的从他们的这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．（2015•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，（7分）23．反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．（2015•呼和浩特）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC （9分）24．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．25．（12分）（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y 随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）（）3．（3分）（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）题：分析：先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．解答：解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C．点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．4．（3分）（2015•呼和浩特）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，A ．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：=．故选A．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2015•呼和浩特）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）A ．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3考函数的图象．）n÷m+=2mn7．（3分）（2015•呼和浩特）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）×2×2=2．8．（3分）（2015•呼和浩特）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（）9．（3分）（2015•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（）10．（3分）（2015•呼和浩特）函数y=的图象为（）二.填空题（每小题3分，共18分）（2015•呼和浩特）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为 4.1×106 11．（3分）元．12．（3分）（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1）．13．（3分）（2015•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是．考点：几何概率；菱形的性质；中点四边形．分析：先求出阴影部分的面积与菱形的面积之比，再根据概率公式即可得出答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，∴四边形HGFE的面积是菱形ABCD面积的，∴米粒落到阴影区域内的概率是；故答案为：．点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．14．（3分）（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为12π．考点：圆锥的计算．分析：据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．解答：解：∵=8π，∴解得n=180则弧长==4π2πr=4π解得r=2，∴底面积为4π，∴全面积为12π．故答案是：12π．点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法．15．（3分）（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣或1 ．考点：换元法解一元二次方程．分析：设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x 即（a+b）的值．解答：解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行评：等量替换．16．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为②③④．考点：命题与定理．分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．解答：解：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，①错误；②边数相等的两个正多边形一定相似，②正确；③如图所示，∵∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠B+2∠EDC，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°，∴∠B+2∠EDC=∠B+60°，∴∠EDC=30°，故③正确；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，④正确．故答案为②③④．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）（2015•呼和浩特）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=﹣．考点：分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂．分析：（1）根据绝对值、负整数指数幂以及二次根式的化简进行计算即可；（2）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，最后把a，b的值代入计算即可．解答：解：（1）原式=3﹣﹣3+2=；（2）原式=（+）÷，=•，﹣﹣18．（6分）（2015•呼和浩特）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（6分）（2015•呼和浩特）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）点：分析：要求楼高BC，即求出BD、CD的长度，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD和CD 的长度，继而可求解．解答：解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=ADtan30°=120×=40（米），在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=，∴CD=ADtan65°=120tan65°，∴BC=BD+CD=40+120tan65°．答：这栋高楼的高度为（40+120tan65°）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．20．（6分）（2015•呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．考点：二元一次方程组的解；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．解答：解：，①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m＜，则满足条件m的正整数值为1，2，3．点评：此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（7分）（2015•呼和浩特）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，付款金额 a 7.510 12 b购买量（千克）1 1.5 2 2.53x，并写出表中a、b的值；（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．∴，解得：，22．（9分）（2015•呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉子听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的从他们的这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．===（2015•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，23．（7分）反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．y=（2）先将y=3x与y=联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．，∵点C在反比例函数y=的图象上，y=联立成方程组，得：解得：，，的图象上，）∴BD=，•8•|﹣S四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=•8•3+=15，．（2015•呼和浩特）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC （9分）24．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．根据相似三角形的性质得出==，得==．为=，=，==25．（12分）（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y 随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．＜a=，点坐标为（，﹣）周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）；时，﹣，a=，点坐标为（，﹣＜），∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）．21。
内蒙古呼和浩特市2015年中考数学试题(含详解)
2015年呼和浩特市中考数学详解一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是A.－3℃B.15℃C.－10℃D.－1℃考点分析：有理数生活常识数轴初级建模思想详解：选C首先，有理数考点是送分的，本次考点比较有意思，稍微有一点常识的同学都能答对。
这里“－”读“零下”。
为什么提到数轴呢？马上升初三的学生可能已经忘记数轴是如何定义方向的，教材中“一般规定水平向右或者竖直向上为数轴正方向。
”那么家中挂在墙上的温度计就可以看成是一个竖直向上的数轴。
为什么说到建模思想呢？首先来源于数轴0点的定义，数轴0点的另一个作用就是“基准”。
很多同学到了初三早就忘了这个基准，基准是很多数学思想及物理思想中的一个非常重要的概念，类似温度的还有海拔高度。
温度的基准是一个标准大气压下水恰好结冰的温度值，即0℃，高于这个温度取正数（一般省略正号），低于这个温度取负数。
海拔高度更容易理解，即将海平面定为0，单位是米，比海平面高的取正值，比海平面低的取负值。
只有将温度值具体数量化后，尤其是负值的运用，才便于建立与温度有关的数学模型，学过化学后同学知道还有个绝对零度值，但这个绝对零度值在初中阶段也是依靠摄氏温度方式定义的。
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B. C. D.考点分析：轴对称中心对称详解：选A轴对称是一个对折后能完全重合的实际意义上的概念，而中心对称是旋转180°后能重合的实际意义上的概念。
所以，我们通过大体上目测，基本可以上可以挑出我们想要的。
很明显，选项A，C，D是轴对称图形，其中C选项中的梅花图案只有一个对称轴，你能数数选项D中的图形对称轴有几个？选项A，B是中心对称图形。
3.如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°考点分析：平行与相交——角的关系详解：选C为了便于表述，将AB与CD的交点命名为F点，则∠1就是∠AFC。
2015年中考数学压轴题预测及答案详解-综合
2015年中考数学压轴题预测及答案详解综合5-A如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之问的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数图象．请结合图象信息．解答下列问题：(1)直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；(2)求快车从B 返回A站时，y与x之间的函数关系式：(3)出发几小时，两车相距200千米?请直接写出答案某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．（1）求A．B两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC 于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．5-F如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），动点A 以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点．将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转︒90，得到线段AB ．过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点C 作y 轴的垂线，交直线BE 于点D ．运动时间为t 秒． （1）当点B 与点D 重合时，求t 的值；（2）设△BCD 的面积为S ，当t 为何值时，425=S ?（3）连接MB ，当MB ∥OA 时，如果抛物线ax ax y 102-=的顶点在△ABM 内部（不包括边），求a 的取值范围．（第24题）答案5-A解：（1）证明：连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2=∠3； ∵OA =OD ， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴AD 平分∠BAC ；（2）解：∵BC 与圆相切于点D ． ∴BD 2=BE •BA ， ∵BE =2，BD =4， ∴BA =8， ∴AE =AB ﹣BE =6， ∴⊙O 的半径为3．5-B【答案】解：（1）快车的速度120千米/小时；慢车的速度80千米/小时；A 、B 两站间的距离1200千米。
2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷和解析答案
2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市地平均气温，其中平均气温最低地是（）A．﹣3℃B．15℃C．﹣10℃D．﹣1℃2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B地度数为（）A．70°B．100°C．110° D．120°4．（3分）在一个不透明地袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上地区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球地概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如果两个变量x、y之间地函数关系如图所示，则函数值y地取值范围是（）A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤36．（3分）下列运算，结果正确地是（）A．m2+m2=m4B．（m+）2=m2+C．（3mn2）2=6m2n4 D．2m2n÷=2mn27．（3分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC地交点为F，则△CEF地面积为（）A．B．C．2 D．48．（3分）以下是某手机店1～4月份地统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机地销售情况四个同学得出地以下四个结论，其中正确地为（）A．4月份三星手机销售额为65万元B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D．3月份与4月份地三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额9．（3分）如图是某几何体地三视图，根据图中所标地数据求得该几何体地体积为（）A．236πB．136πC．132πD．120π10．（3分）函数y=地图象为（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为元．12．（3分）分解因式：x3﹣x=．13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边地中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内地概率是．14．（3分）一个圆锥地侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥地全面积为．15．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．16．（3分）以下四个命题：①若一个角地两边和另一个角地两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等地两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上地一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形地外接圆地圆心一定是三角形三条边地垂直平分线地交点．其中正确命题地序号为．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=﹣．18．（6分）如图，▱ABCD地对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD地形状，无需说明理由．19．（6分）如图，热气球地探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B地仰角为30°，看这栋高楼底部C地俯角为65°，热气球与高楼地水平距离AD为120m．求这栋高楼地高度．（结果用含非特殊角地三角函数及根式表示即可）20．（6分）若关于x、y地二元一次方程组地解满足x+y＞﹣，求出满足条件地m地所有正整数值．21．（7分）某玉米种子地价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上地种子，超过2千克部分地种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量地对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制地图象和表格地不完整资料，已知点A地坐标为（2，10），请你结合表格和图象：（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数地自变量x，并写出表中a、b地值；（2）求出当x＞2时，y关于x地函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们地购买量和付款金额．22．（9分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区地汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自地成绩（百分制）如表：（1）由表中成绩已算得甲地平均成绩为80.25，请计算乙地平均成绩，从他们地这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4地权，请分别计算两名选手地平均成绩，从他们地这一成绩看，应选派谁． 23．（7分）如图，在平面直角坐标系中A 点地坐标为（8，y ），AB ⊥x 轴于点B ，sin ∠OAB=，反比例函数y=地图象地一支经过AO 地中点C ，且与AB 交于点D ．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x 与y=地图象地另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 地面积地比．24．（9分）如图，⊙O 是△ABC 地外接圆，P 是⊙O 外地一点，AM 是⊙O 地直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA 是⊙O 地切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上地一点，若M为地中点，且∠DCF=∠P，求证：==．25．（12分）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x地增大而减小．（1）求抛物线地解析式，并写出y＜0时，对应x地取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方地一个动点，过点A作x轴地平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD地周长；②设动点A地坐标为（a，b），将矩形ABCD地周长L表示为a地函数并写出自变量地取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A地坐标；如果不存在，请说明理由．2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市地平均气温，其中平均气温最低地是（）A．﹣3℃B．15℃C．﹣10℃D．﹣1℃【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大地负数反而小，可得答案．【解答】解：15℃＞﹣1℃＞﹣3℃＞﹣10℃，故选：C．2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．3．（3分）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B地度数为（）A．70°B．100°C．110° D．120°【分析】先求出∠1地对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．【解答】解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C．4．（3分）在一个不透明地袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上地区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球地概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能地结果与两球恰好是一个黄球和一个红球地情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能地结果，两球恰好是一个黄球和一个红球地有6种情况，∴两球恰好是一个黄球和一个红球地为：=．故选：A．5．（3分）如果两个变量x、y之间地函数关系如图所示，则函数值y地取值范围是（）A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3【分析】根据图象，找到y地最高点是（﹣2，3）及最低点是（1，0），确定函数值y地取值范围．【解答】解：∵图象地最高点是（﹣2，3），∴y地最大值是3，∵图象最低点是（1，0），∴y地最小值是0，∴函数值y地取值范围是0≤y≤3．故选：D．6．（3分）下列运算，结果正确地是（）A．m2+m2=m4B．（m+）2=m2+C．（3mn2）2=6m2n4 D．2m2n÷=2mn2【分析】A：根据整式地混合运算方法计算即可．B：根据完全平方公式地计算方法判断即可．C：根据积地乘方地运算方法计算即可．D：根据分式地混合运算方法计算即可．【解答】解：∵m2+m2=2m2，∴选项A错误；∵（m+）2=m2++2，∴选项B错误；∵（3mn2）2=9m2n4，∴选项C错误；∵2m2n÷=2mn2，∴选项D正确．故选：D．7．（3分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC地交点为F，则△CEF地面积为（）A．B．C．2 D．4【分析】根据折叠地性质，在图②中得到DB=8﹣6=2，∠EAD=45°；在图③中，得到AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形地性质和矩形地性质得到BF=AB=4，CF=BC﹣BF=6﹣4=2，EC=DB=2，最后根据三角形地面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上，∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC地交点为F，∴AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，∴BF=AB=4，∴CF=BC﹣BF=6﹣4=2，而EC=DB=2，×2×2=2．故选：C．8．（3分）以下是某手机店1～4月份地统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机地销售情况四个同学得出地以下四个结论，其中正确地为（）A．4月份三星手机销售额为65万元B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D．3月份与4月份地三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额【分析】根据销售总额乘以三星所占地百分比，可得三星地销售额，根据有理数地大小比较，可得答案．【解答】解：A、4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故A错误；B、3月份三星手机地销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故B正确；C、3月份三星手机地销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故C错误；D、3月份三星手机地销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故D错误；故选：B．9．（3分）如图是某几何体地三视图，根据图中所标地数据求得该几何体地体积为（）A．236πB．136πC．132πD．120π【分析】根据给出地几何体地三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图地特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，故该几何体地体积为：π×22×2+π×42×8=8π+128π=136π．故选：B．10．（3分）函数y=地图象为（）A．B．C．D．【分析】从x＜0和x＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即可．【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，函数图象为：B、D，当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A、C、D，故选：D．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为4.1×106元．【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数地绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将4100000用科学记数法表示为4.1×106．故答案为：4.1×106．12．（3分）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，=x（x2﹣1），=x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边地中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内地概率是．【分析】先求出阴影部分地面积与菱形地面积之比，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边地中点，∴四边形HGFE地面积是菱形ABCD面积地，∴米粒落到阴影区域内地概率是；故答案为：．14．（3分）一个圆锥地侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥地全面积为12π．【分析】据扇形地面积公式求出扇形地圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆地面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．【解答】解：∵=8π，∴解得n=180则弧长==4π2πr=4π解得r=2，∴底面积为4π，∴全面积为12π．故答案是：12π．15．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x地一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）地值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b地值是﹣或1．故答案是：﹣或1．16．（3分）以下四个命题：①若一个角地两边和另一个角地两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等地两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上地一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形地外接圆地圆心一定是三角形三条边地垂直平分线地交点．其中正确命题地序号为②③④．【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【解答】解：①若一个角地两边和另一个角地两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，①错误；②边数相等地两个正多边形一定相似，②正确；③如图所示，∵∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠B+2∠EDC，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°，∴∠B+2∠EDC=∠B+60°，∴∠EDC=30°，故③正确；④任意三角形地外接圆地圆心一定是三角形三条边地垂直平分线地交点，④正确．故答案为②③④．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=﹣．【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂以及二次根式地化简进行计算即可；（2）根据运算顺序，先算括号里面地，再算除法，最后把a，b地值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=3﹣﹣3+2=；（2）原式=（+）÷，=•=，当a=，b=﹣时，原式=﹣．18．（6分）如图，▱ABCD地对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD地形状，无需说明理由．【分析】（1）先证出OE=OF，再由SAS即可证明△BOE≌△DOF；（2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．19．（6分）如图，热气球地探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B地仰角为30°，看这栋高楼底部C地俯角为65°，热气球与高楼地水平距离AD为120m．求这栋高楼地高度．（结果用含非特殊角地三角函数及根式表示即可）【分析】要求楼高BC，即求出BD、CD地长度，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD和CD地长度，继而可求解．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=ADtan30°=120×=40（米），在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=，∴CD=ADtan65°=120tan65°，∴BC=BD+CD=40+120tan65°．答：这栋高楼地高度为（40+120tan65°）米．20．（6分）若关于x、y地二元一次方程组地解满足x+y＞﹣，求出满足条件地m地所有正整数值．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m地范围，确定出正整数值即可．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m＜，则满足条件m地正整数值为1，2，3．21．（7分）某玉米种子地价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上地种子，超过2千克部分地种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量地对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制地图象和表格地不完整资料，已知点A地坐标为（2，10），请你结合表格和图象：（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数地自变量x，并写出表中a、b地值；（2）求出当x＞2时，y关于x地函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们地购买量和付款金额．【分析】（1）根据函数图象可得：购买量是函数地自变量x，也可看出2千克地金额为10元，从而可求1千克地价格，即a地值，由表格可得出：当购买量大于等于2千克时，购买量每增加0.5千克，价格增加2元，进而可求b地值；（2）先设关系式为y=kx+b，然后将（2，10），且x=3时，y=14，代入关系式即可求出k，b地值，从而确定关系式；（3）当y=8.8时，单价为5元，此时购买量为8.8÷5，然后将x=4.165代入关系式计算相应地y值．【解答】解：（1）根据函数图象可得：购买量是函数地自变量x，a=10÷2=5元，b=14；（2）当x＞2时，设y与x地函数关系式为：y=kx+b，∵y=kx+b经过点（2，10），且x=3时，y=14，∴，解得：，∴当x＞2时，设y与x地函数关系式为：y=4x+2；（3）当y=8.8时，x=，当x=4.165时，y=4×4.165+2=18.66，∴甲农户地购买量为1.76千克，乙农户地付款金额为18.66元．22．（9分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区地汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自地成绩（百分制）如表：（1）由表中成绩已算得甲地平均成绩为80.25，请计算乙地平均成绩，从他们地这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4地权，请分别计算两名选手地平均成绩，从他们地这一成绩看，应选派谁．【分析】（1）先用算术平均数公式，计算乙地平均数，然后根据计算结果与甲地平均成绩比较，结果大地胜出；（2）先用加权平均数公式，计算甲、乙地平均数，然后根据计算结果，结果大地胜出．【解答】解：（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5，∵80.25＞79.5，∴应选派甲；（2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，∵79.5＜80.4，∴应选派乙．23．（7分）如图，在平面直角坐标系中A点地坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=地图象地一支经过AO地中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x与y=地图象地另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB 地面积地比．【分析】（1）先根据锐角三角函数地定义，求出OA地值，然后根据勾股定理求出AB地值，然后由C点是OA地中点，求出C点地坐标，然后将C地坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；（2）先将y=3x与y=联立成方程组，求出点M地坐标，然后求出点D地坐标，然后连接BC，分别求出△OMB地面积，△OBC地面积，△BCD地面积，进而确定四边形OCDB地面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB地面积地比．【解答】解：（1）∵A点地坐标为（8，y），∴OB=8，∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，∴，∴OA=10，由勾股定理得：AB=，∵点C是OA地中点，且在第一象限内，∴C（4，3），∵点C在反比例函数y=地图象上，∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=；（2）将y=3x与y=联立成方程组，得：，解得：，，∵M是直线与双曲线另一支地交点，∴M（﹣2，﹣6），∵点D在AB上，∴点D地横坐标为8，∵点D在反比例函数y=地图象上，∴点D地纵坐标为，∴D（8，），∴BD=，连接BC，如图所示，=•8•|﹣6|=24，∵S△MOBS四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=•8•3+=15，∴．24．（9分）如图，⊙O是△ABC地外接圆，P是⊙O外地一点，AM是⊙O地直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA是⊙O地切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上地一点，若M为地中点，且∠DCF=∠P，求证：==．【分析】（1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论；（2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADP∽△CDB，根据相似三角形地性质得出=，然后证得△ADE∽△CDF，得出=，从而证得==．【解答】证明：（1）连接CM，∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，∴∠PAC=∠M，∵AM是直径，∴∠M+∠MAC=90°，∴∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，∴MA⊥AP，∴MA⊥AP，∴PA是⊙O地切线；（2）连接AE，∵M为中点，AM为⊙O地直径，∴AM⊥BC，∵AM⊥AP，∴AP∥BC，∴△ADP∽△CDB，∴=，∵AP∥BC，∴∠P=∠CBD，∵∠CBD=∠CAE，∴∠P=∠DCF，∴∠DCF=∠CAE，∵∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴=，∴==．25．（12分）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x地增大而减小．（1）求抛物线地解析式，并写出y＜0时，对应x地取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方地一个动点，过点A作x轴地平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD地周长；②设动点A地坐标为（a，b），将矩形ABCD地周长L表示为a地函数并写出自变量地取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A地坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数地增减性，可得符合条件地函数解析式，根据函数与不等式地关系，可得答案；（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点地纵坐标，根据矩形地周长公式，可得答案；②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC地长，AB地长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数地增减性，可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），∴m2﹣1=0，∴m=±1∴y=x2+x或y=x2﹣3x，∵当x＜0时，y随x地增大而减小，∴y=x2﹣3x，由函数与不等式地关系，得y＜0时，0＜x＜3；（2）①如图1，当BC=1时，由抛物线地对称性，得点A地纵坐标为﹣2，∴矩形地周长为6；②∵A地坐标为（a，b），∴当点A在对称轴左侧时，如图2，矩形ABCD地一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L=，A点坐标为（，﹣），最大当点A在对称轴右侧时如图3，矩形地一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）；综上所述：当0＜a＜时，L=﹣2（a﹣）2+，∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣），当＜a＜3时，L=﹣2（a﹣）2+，∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年包头市中考数学试卷
包头市2015年初中升学考试(满分:120分 时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题(本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项) 1.在13,0,-1,√2这四个实数中,最大的是( )A.13B.0C.-1D.√22.2014年中国吸引外国投资达1 280亿美元,成为全球外国投资第一大目的地国.将1 280亿美元用科学记数法表示为( ) A.12.8×1010美元B.1.28×1011美元C.1.28×1010美元D.0.128×1012美元3.下列计算结果正确的是( )A.2a 2+a 2=3a 4B.(-a)2·a 2=-a 4C.(-12)-2=4D.(-2)0=-14.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若斜边AB 是直角边BC 的3倍,则tan B 的值是( ) A.13 B.3 C.√24D.2√2 5.一组数据5,2,x,6,4的平均数是4,这组数据的方差是( ) A.2 B.√2 C.10 D.√106.不等式组{3(x +2)>2x +5,x -12≤x 3的最小整数解是( )A.-1B.0C.1D.27.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( ) A.2√3B.3√3C.4√3D.6√38.下列说法中正确的是( )A.掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为12B.“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C.“同位角相等”这一事件是不可能事件D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件9.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE,点B 经过的路径为BD ⏜,则图中阴影部分的面积为( )A.2512πB.43πC.34πD.512π10.观察下列各数:1,43,97,1615,….按你发现的规律计算这列数的第6个数为( ) A.2531B.3635C.47D.626311.已知下列命题:①在Rt△AB C 中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sin A>sin B;②四条线段a,b,c,d中,若ab =cd,则ad=bc;③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1);④若|-x|=-x,则x≥0.其中原命题与逆命题均为真命题的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④12.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-23;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是( )A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④第Ⅱ卷(非选择题,共84分)二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)13.计算:(√27-√13)×√3= .14.化简:(a-2a-1a )÷a2-1a= .15.已知关于x的一元二次方程x2+√k-1x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.16.一个不透明的布袋里装有5个球,其中4个红球和1个白球,它们除颜色外其余都相同,现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是红球的概率为23,则n= .17.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数y=3x的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为.(用“<”连接)18.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sin B=14,则线段AC的长为.19.如图,在边长为√3+1的菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在AB,AD上,沿EF折叠菱形,使点A落在BC 边上的点G处,且EG⊥BD于点M,则EG的长为.20.如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连结CG,BG,BD,DG,下列结论:①BE=CD;②∠DGF=135°;③∠ABG+∠ADG=180°;④若ABAD =23,则3S△BDG=13S△DGF.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共有6小题,共60分)21.(本小题满分8分)某学校为了解七年级男生体质健康状况,随机抽取若干名男生进行测试,测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,统计整理数据并绘制如下两幅尚不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:(1)本次接受随机抽样调查的男生人数为人,扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为;(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分;(3)若该校七年级共有男生480人,请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数.22.(本小题满分8分)为了弘扬“社会主义核心价值观”,市政府在广场树立公益广告牌,如图所示,为固定广告牌,在两侧加固钢缆.已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米,从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.(1)求公益广告牌的高度AB;(2)求加固钢缆AD和BD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)我市某养殖场计划购买甲,乙两种鱼苗共700尾,甲种鱼苗每尾3元,乙种鱼苗每尾5元,相关资料表明:甲,乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买这两种鱼苗共用去2 500元,则甲,乙两种鱼苗各购买多少尾?(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾?(3)在(2)的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低?并求出最低费用.24.(本小题满分10分)⏜上的一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.如图,AB是☉O的直径,点D是AE(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB;(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和☉O的半径.25.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止.设运动时间为t秒(t>0).(1)求线段CD的长;(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1∶2两部分?(3)伴随P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l,①t为何值时,l经过点C?②求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;(2)连结AC,CD,BD,BC,设△AOC,△BOC,△BCD的面积分别为S1,S2和S3,用等式表示S1,S2,S3之间的数量关系,并说明理由;(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连结MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.包头市2015年初中升学考试一、选择题1.D 将这四个实数从小到大排列为-1,0,13,√2,所以最大的实数为√2.故选D.2.B 1 280亿美元=128 000 000 000美元=1.28×1011美元.故选B.3.C 因为2a 2+a 2=3a 2;(-a)2·a 2=a 4;(-2)0=1,所以选项A 、B 、D 错误.故选C.4.D 在Rt△ABC 中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=√AB 2-BC 2=2√2x.则tan B=ACBC=2√2.故选D.5.A 由题意知5+2+x+6+4=4×5,所以x=3.则方差s 2=15×[(5-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(4-4)2]=2.故选A. 6.B 解不等式3(x+2)>2x+5得x>-1;解不等式x -12≤x3得x≤3.所以不等式组的解集为-1<x≤3.其整数解是0,1,2,3,所以最小整数解为0.故选B.7.B 因为圆内接正三角形的边心距为1,所以其外接圆的半径为2,所以正三角形的边长为2×√22-12=2√3,所以正三角形的面积为12×2√3×3=3√3,故选B.8.B 对角线互相垂直平分的四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形,故B 是必然事件.故选B. 9.A S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ABC , 由旋转的性质可知S △ADE =S △ABC , 所以S 阴影=S 扇形ADB =30×π×52360=2512π.故选A.10.C 由这列数的特点可知,第n(n>1,且n 为正整数)个数的分母是第(n-1)个数分母的2倍加1,分子为n 2,所以第5个数为5215×2+1=2531,第6个数为6231×2+1=3663=47.故选C.11.A 由|-x|=-x,可知-x≥0,所以x≤0,所以命题④错误.命题①②③及其逆命题均正确,故选A.12.B 由已知条件可知a<0,-b2a=1,抛物线与x 轴另一交点坐标为(3,0),2≤c≤3,∴当x>3时,y<0;2a+b=0,∴2a+b+a<0,即3a+b<0;∵当x=-1时,a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,即2≤-3a≤3,亦即-1≤a≤-23;由题意知抛物线顶点的纵坐标y=4ac -b 24a>2,∴4ac -b 2<8a.故④错,①②③正确.故选B.二、填空题 13.答案 8解析 原式=√81-√1=9-1=8. 14.答案a -1a+1解析 原式=a 2-2a+1a·a a 2-1=(a -1)2a ·a(a+1)(a -1)=a -1a+1.15.答案 k≥1解析 由题意知Δ=(√k -1)2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3>0,∴k>-3.又∵k -1≥0,即k≥1,∴k≥1. 16.答案 1 解析 由题意知4n+5=23,解得n=1,当n=1时,3(n+5)≠0,所以n=1.17.答案 y 2<y 1<y 3解析 因为y=3x的图象在第一、三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以y 2<y 1<0<y 3,即y 2<y 1<y 3.18.答案 2解析 连结CD,在☉O 中,因为AD 为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sin D=8×14=2.19.答案 √3解析 在菱形ABCD 中,EG⊥BD.易证△BME≌△BMG.所以EM=GM.由折叠的性质得EG=AE,设EM=x,则EG=EA=2x,BE=√3+1-2x,∵∠A=60°,AD=AB,∴△ABD 是等边三角形,∴∠ABD=60°,所以EM=EB·sin 60°,即x=√32(√3+1-2x),解得x=√32,所以EG=2x=√3.20.答案 ①③④解析 因为∠BAD=∠ADF=90°,AE 平分∠BAD,所以∠BAE=∠DAF=∠F=45°,所以AD=DF=BC,AB=BE=CD.在△DGF 中,∠F=45°,所以∠DGF≠135°.在等腰Rt△EFC 中,因为G 为EF 的中点,所以GF=GC,∠F=∠BCG=45°,又因为DF=BC,所以△BGC≌△DGF(SAS),所以∠GBC=∠GDF.又因为∠DBC+∠BDC=90°,所以∠GBD+∠GDB=∠GBC+∠CBD+∠GDB=∠CBD+∠GDB+∠CDG=90°,所以∠BGD=90°,在四边形ABGD 中,∠BAD=∠BGD=90°,所以∠ABG+∠ADG=180°.因为AB AD =23,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD=√AB 2+AD 2=√13k.所以S △BDG =14BD 2=134k 2.作GM⊥CF 于M,则GM=12CF=12k.所以S △DGF =12DF·GM=34k 2.所以3S △BDG =13S △DGF .故①③④正确.评析 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三角形的面积等知识.考查内容较多、较复杂.属难题. 三、解答题21.解析 (1)40;162°.(4分) (2)如图:(6分)(3)估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数:1840×480=216(人).(8分)22.解析 如图.(1)在Rt△ADC 中,∵∠ADC=60°,CD=3米,tan∠ADC=ACDC,∴AC=3·tan 60°=3√3 米,在Rt△BDC 中,∵∠BDC=45°,∴BC=CD=3米, ∴AB=AC -BC=(3√3-3)米.(4分) (2)在Rt△ADC 中,∵cos∠ADC=CD AD,∴AD=3cos60°=312=6米,(6分)在Rt△BDC 中,∵cos∠BDC=CD BD,∴BD=3cos45°=√22=3√2米.(8分)23.解析 (1)设购买甲种鱼苗x 尾,乙种鱼苗y 尾,根据题意可得{x +y =700,3x +5y =2 500.解得{x =500,y =200.答:购买甲种鱼苗500尾,乙种鱼苗200尾.(3分)(2)设购买甲种鱼苗z 尾,乙种鱼苗(700-z)尾,则列不等式: 85%z+90%(700-z)≥700×88%, 解得z≤280.答:甲种鱼苗至多购买280尾.(6分)(3)设甲种鱼苗购买m尾,购买鱼苗的费用为ω元,则可得ω=3m+5(700-m)=-2m+3 500,∵-2<0,∴ω随m的增大而减小,∵0<m≤280,∴当m=280时,ω有最小值,ω最小值=3 500-2×280=2 940,∴700-m=420.答:当选购甲种鱼苗280尾,乙种鱼苗420尾时,总费用最低,最低费用为2 940元.(10分) 24.解析(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°.∵∠EDB=∠EAB,∠BDE=∠CBE,∴∠EAB=∠CBE,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴CB⊥AB.∵AB是☉O的直径,∴CB是☉O的切线.(3分)(2)证明:∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE,∴AD⏜=DE⏜,∴∠DEA=∠DBE.∵∠EDB=∠BDE,∴△DEF∽△DBE,∴DEDB =DF DE,∴DE2=DF·DB.(6分) (3)连结DA,DO.∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠EBD=∠OBD,∴∠EBD=∠ODB,∴OD∥BE,∴PDPE =PO PB.∵PA=AO,∴PA=AO=OB,∴POPB =23 ,∴PDPE =2 3 ,∴PDPD+DE =2 3 ,∵DE=2,∴PD=4.∵∠PDA+∠ADE=180°,∠ABE+∠ADE=180°,∴∠PDA=∠ABE,∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,∴∠PDA=∠AOD,∵∠P=∠P,∴△PDA∽△POD,∴PDPO =PA PD.设OA=x(x>0),则PA=x,PO=2x,∴42x =x4,∴2x2=16,x=2√2,∴OA=2√2.(10分)25.解析(1)作DE⊥BC于点E.∵AD∥BC,∠A=90°,∴四边形ABED为矩形,∴BE=AD=1厘米,DE=AB=3厘米, ∴EC=BC-BE=4厘米.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴DC=√32+42=5厘米.(2分)(2)∵点P 的速度为1厘米/秒,点Q 的速度为2厘米/秒,运动时间为t 秒, ∴BP=t 厘米,PC=(5-t)厘米,CQ=2t 厘米,QD=(5-2t)厘米,且0<t≤2.5. 作QH⊥BC 于点H,∴DE∥QH,∴∠DEC=∠QHC, 又∵∠C=∠C, ∴△DEC∽△QHC, ∴DE QH =DC QC,∴3QH =52t,∴QH=65t 厘米.∴S △PQC =12·PC·QH=12·(5-t)·65t =(-35t 2+3t)平方厘米,S 四边形ABCD =12·(AD+BC)·AB=12×(1+5)×3=9平方厘米.分两种情况讨论:①当S △PQC ∶S 四边形ABCD =1∶3时, -35t 2+3t=13×9,t 2-5t+5=0,解得t 1=5-√52,t 2=5+√52(舍).②当S △PQC ∶S 四边形ABCD =2∶3时, -35t 2+3t=23×9,t 2-5t+10=0,∵Δ<0,∴方程无解. ∴当t=5-√52时,线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1∶2两部分.(6分)(3)①如图.当PQ 的垂直平分线l 经过点C 时,可知PC=QC,∴5-t=2t,∴3t=5,∴t=53.∴当t=53时,直线l 经过点C.(8分)②如图.连结DP.当PQ 的垂直平分线l 经过点D 时, 可知DQ=DP.则在Rt△DEP 中,DP 2=DE 2+EP 2,∴DQ 2=DE 2+EP 2,∴(5-2t)2=32+(t-1)2, ∴t 1=1,t 2=5(舍), ∴BP=1厘米.∴当t=1时,直线l 经过点D,此时点P 与点E 重合.(10分) 如图.连结FQ,∵直线l 是△DPQ 的对称轴.∴△DEF≌△DQF,∠DQF=90°,EF=QF.设EF=x 厘米,则QF=x 厘米,FC=(4-x)厘米,在Rt△FQC 中,FQ 2+QC 2=FC 2,即x 2+22=(4-x)2,∴x=32,∴EF=32厘米. 在Rt△DEF 中,DE 2+EF 2=DF 2, ∴32+(32)2=DF 2,∴DF=3√52厘米. 在Rt△DEF 中,EG⊥DF,∴S △DEF =12DF·EG=12DE·EF, ∴EG=DE ·EF DF,∴EG=3√55厘米, ∴PQ=2EG=6√55厘米.(12分)评析 本题是四边形中的动点问题,考查勾股定理,三角形的相似,四边形与三角形的面积表示,线段的垂直平分线等知识,解题关键是用含t 的代数式表示线段长和面积,题目计算量较大,对学生的计算能力有较高要求.属难题.26.解析 (1)∵抛物线y=x 2+bx+c 经过A(-1,0),B(3,0)两点, ∴{1-b +c =0,9+3b +c =0.解得{b =-2,c =-3.∴该抛物线的解析式为y=x 2-2x-3.(2分) ∵-b2a =1,4ac -b 24a=-4,∴点D 的坐标为(1,-4).(3分)(2)S 1,S 2,S 3的数量关系为S 2=S 1+S 3.过点D 作DE⊥x 轴于点E,作DF⊥y 轴于点F,则在Rt△CFD 中,CD 2=2,CD=√2.在Rt△EDB 中,BD 2=20. 在Rt△BOC 中,BC 2=18,BC=3√2. ∵CD 2+BC 2=BD 2,∴△BCD 为直角三角形.∵S 1=12·AO·OC=12×1×3=32,S 2=12·OB·OC=12×3×3=92,S 3=12·BC·CD=12×3√2×√2=3, S 1+S 3=32+3=92, ∴S 2=S 1+S 3.(7分)(3)存在点M,使得∠AMN=∠ACM.设点M 的坐标为(m,0),-1<m<3,则MA=m-(-1)=m+1.在Rt△AOC 中,AC=√10.∵MN∥BC,∴AM AN =AB AC ,∴m+1AN =√10,∴AN=√104(m+1). ∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,∴△AMN∽△ACM,∴AM AC =ANAM ,∴(m+1)2=√10·√104(m+1), ∴m 1=32,m 2=-1(舍),∴点M 的坐标为(32,0).(10分) 设直线BC 的解析式为y=kx+n 1(k≠0),把B(3,0),C(0,-3)代入,得:{3k +n 1=0,n 1=-3.解得{k =1,n 1=-3. ∴直线BC 的解析式为y=x-3.∵MN∥BC,∴设直线MN 的解析式为y=x+n 2,把M (32,0)代入,得 32+n 2=0,∴n 2=-32. ∴直线MN 的解析式为y=x-32. ∴存在点M (32,0),使得∠AMN=∠ACM,此时直线MN 的解析式为y=x-32.(12分) 注:各题的其他解法或证法可参照该评分标准给分.。