苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题
2019-2020年苏教版高中数学(选修2-1)3.2《空间向量的应用》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）3.2《空间向量的应用》word 教案2篇对于空间两个非零向量a ，b 来说，如果它们的夹角，那么我们定义它们的数量积为．特别地，当两向量垂直时，．利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题．1．证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零．反之亦成立．例1 如图1，已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，求证：AC ⊥BD ．证明：设以空间一点O 为起点，A 、B 、C 、D 为终点的向量分别记为a 、b 、c 、d ，由已知，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，所以()()0()()0--=+=+⎧⎧⇒⎨⎨--=+=+⎩⎩，，．b a d c a c b d a d b c d a c b a c b d a b c d ． ∴，即．因此，AC ⊥BD评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直．它的传统证法是过A 点作平面BCD 的垂线，通过三垂线定理及其逆定理来证明．以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决2．证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零．例2 直线l 与平面相交于点O ，求证：若直线l 与平面内的过O 点的三条射线所成的角相等，则直线l ⊥平面证明：如图2，在直线l 上任取一点P （Ｐ点不与Ｏ点重合），在平面内过O 点的三条射线上分别取点A 、B 、C ，使OA =OB =OC ≠０，设∠POA =∠POB =∠POC =，则易得，所以，所以，由于BA 、BC 是平面内的两条相交直线，因此，直线l ⊥平面．3．证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零．例3 如图3，在正方体中，E 、F 分别是、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面．证明：设，且则．设是平面AED 的一个法向量，则，即．1111111()022AE x y z x z ⎛⎫=+++=+= ⎪⎝⎭m a b c a c ， 即．因此，可以取．于是，．同理，设是平面的一个法向量，则，即．，所以，不防取，从而，所以平面AED ⊥平面．应用求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决．事实上公式在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明．例1 如图1，三棱锥中，PA =PB ，CB ⊥面PAB ，M 、N 分别在PC 、AB 上，且PM =MC ，AN =3NB ，（1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90°，BC =2，AB =4时，求MN 的长．简解：（1）设，则，且，，，，，113()444PN PB BN =+=+-=+b a b a b ， ∴，∴∴AB ⊥MN ；（2）∵∠APB =90°，BC =2，AB =4，则且，，∴21111(2)4424MN =+-=+-a b c a b c即MN 的长为．例2 如图2，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4cm ，宽AD ＝3cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．简解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E 、F 为垂足，则5cm ， cm ，cm ， cm ．折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，且222222BF FE ED BF FE BF ED FE ED =+++++22221271212148125555225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴cm ．运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件．例1 如图1，棱长为１的正方体，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点（非C 、D 两点），设二面角的大小为．试确定F 点的位置，使得．解析：以A 为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则．设，易知．设是平面的一个法向量，则令，则．又是平面的一个法向量，∴．结合条件知可取，故，解得或（舍）．故当是CD 的中点时，．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．例2 已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线上是否存在一点Ｎ，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线上存在一点Ｎ，使得．如图2，建立空间直角坐标系，有1313331(000)00(01)2224422A B M N z B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，， ∴．∵，∴1313131220224488AB MN z z ⎛⎫⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，， 解得，，即时，． 用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点．令向量，则． 分析：，．，．．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点） 例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2．求异面直线和间的距离．解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．分析：， cos AB AB AC AB AB AB AB ∴===，nnn n n ．例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点到平面的距离为， 则111()0cos602422AC A BAC A A AB a a d a A B a a ++⨯⨯====． 三、求直线到平面的距离 例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行．求与平面间的距离．解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底． 易知，，，，1231()2622PF PA AE EC =++=-++e e e ．设是平面的一个法向量，则，．即解得．直线与平面间的距离113221322223322AP d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+e e en n e e ．四、求两平行平面间的距离例4 如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行． 设平面的一个法向量，则即．平面与平面间的距离．。
苏教版高中数学选修2-1 空间向量的运算及应用 教案
空间向量的运算及应用基础知识整合1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使□01a ＝λb . (2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使□02p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得□03p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个□04基底． 推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝□05xOA →＋yOB →＋zOC →.2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②a ⊥b ⇔□06a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)． ③|a |2＝□07a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a 21＋a 22＋a 23；②a ＋b ＝□08(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； ③a －b ＝□09(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； ④λa ＝□10(λa 1，λa 2，λa 3)； ⑤a ·b ＝□11a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3； ⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 AB →＝□12(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； ⑦cos 〈a ，b 〉＝□13a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A ，B ，C 三个点共线，即证明AB →与AC →共线(或A B →与B C →共线；或A C →与B C →共线)．(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →，或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →，或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．1．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与 μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋，2μ－1＝0，2λ＝2k .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.故选A.2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145D ．2答案 D解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，又a 2＝14，a ·b ＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BA →＋BC →＋DD 1→＝( )A.D 1B 1→B.D 1B →C.DB 1→D.BD 1→答案 D解析 BA →＋BC →＋DD 1→＝CD →＋BC →＋DD 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→，故选D.4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交 答案 B解析 ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ，即a ∥n ，∴l ⊥α.故选B. 5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －2515解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.6．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ＝________.答案 3解析 因为a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，且a ，b ，c 共面，所以存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，所以(13,6，λ)＝(2x －y ，－x ＋3y,2x －3y )，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝13，－x ＋3y ＝6，2x －3y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝5，λ＝3.核心考向突破考向一 空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．即时训练 1.在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →.解 OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AN →＝OA →＋23(ON →－OA →)＝OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.MG →＝OG →－OM →＝OG →－12OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →－12OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.考向二 共线向量与共面向量定理的应用例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG →，并证明A ，G ，C 1三点共线．解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G →＝AA 1→＋13(A 1D →＋A 1B →)＝AA 1→＋13(AD →－AA 1→)＋13(AB →－AA 1→)＝13AA 1→＋13AD →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c . 因为AC 1→＝3AG →，所以A ，G ，C 1三点共线． 触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较即时训练 2.如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内． 当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1. 考向三 空间向量的数量积角度1 坐标法例3 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求c ； (2)求a 和b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 (1)∵c ∥BC →，∴c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )． ∴|c |＝－2m2＋－m2＋m2＝3|m |＝3.∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.∴a 和b 夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.∴k ＝2或k ＝－52.即当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，k ＝2或k ＝－52.角度2 基向量法例4 已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .解 (1) 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1.∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7， ∴|A 1D →|＝7. ∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D→|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147. ∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD . 触类旁通空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.②坐标法：设a ＝x 1，y 1，z 1，b ＝x 2，y 2，z 2，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.即时训练 3.已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 由于a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，即a ·c ＝－7.又|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 为PC 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求AC 与PD 所成角的余弦值．解 (1)证明：结合图形知，PB →＝AB →－AP →，DM →＝12(DP →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AP →－AD →＋AB →－12AD →＝12AP →＋12AB →－34AD →，则PB →·DM →＝(AB →－AP →)·( 12AP →＋12AB →－34AD → )＝12|AB →|2－12|AP →|2＝0，故PB ⊥DM . (2)设PA ＝AD ＝AB ＝2BC ＝2，由于PD →＝AD →－AP →，AC →＝AB →＋12AD →，则|PD →|2＝|AD →－AP →|2＝AD→2－2AD →·AP →＋AP →2＝8，故|PD →|＝22，|AC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →＋12AD →2＝|AB →|2＋2AB →·12AD →＋14|AD →|2＝5，故|AC →|＝5，PD →·AC →＝(AD →－AP →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＝2， 故cos 〈PD →，AC →〉＝222×5＝1010.。
高中数学(苏教版 选修2-1)课件第3章 空间向量与立体几何3.2.2精选ppt课件
【答案】 垂直
4 ． 已 知 不 重 合 的 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 n1 ＝ 12，3，－1 ， n2 ＝
－16，－1，13，则平面 α 与 β 的位置关系是________. 【导学号：09390083】
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
1．证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
【解析】 ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故 α∥β.
【答案】 平行
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2
§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：的法向量分别为μ，v，则设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量． 设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简， 得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2， 使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________.答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z. ∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行，∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________.答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5.二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)，所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ， 则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；(2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。
苏教版数学选修2-1：3.2 空间向量的应用3.2.2
1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a ， ∴u ∥a ，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α2.平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．答案：垂直3.设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线， ∴21＝λ－2＝42，∴λ＝－4. 答案：－4[A 级 基础达标]1.已知直线l 的方向向量为u ＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2，1，－4)，则l 与α的位置关系为__________．解析：∵u ·v ＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2.已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n ＝(2，4，1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是__________．解析：因为v ·n ＝2－4＋2＝0，所以v ⊥n ，又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α3.已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1，3)，且过点A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝__________．解析：由已知得BA →＝(1，y －2，3－z )，依题意BA →∥v ，所以12＝y －2－1＝3－z 3.所以y ＝32，z ＝32，得y －z ＝0. 答案：04.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝__________．解析：若DE ∥平面ABC ，则存在实数对λ、μ，使得DE →＝λAB →＋μBC →. 即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝x 5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2x ＝5. 答案：55.若直线l 的方向向量为v ＝(2，2，2)，向量m ＝(1，－1，0)及n ＝(0，1，－1)都与平面α平行，则l 与α的位置关系为__________．解析：因为v ·m ＝2－2＋0＝0，v ·n ＝0＋2－2＝0，所以v ⊥m ，且v ⊥n ，又m 、n 不平行，所以v ⊥α，即l ⊥α.答案：l ⊥α6.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在DB ，D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长，求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，则E (a 3，a 3，0)，F (0，a 3，2a 3)，故EF →＝(－a 3，0，2a 3)，又AB →＝(0，a ，0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF →＝(0，a ，0)·(－a 3，0，2a 3)＝0，∴AB →⊥EF →.又EF ⊄平面BB 1C 1C ，因此EF ∥平面BB 1C 1C . 7.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0，0，0)，E (1，1，12)，A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，G (1，12，0)，F (0，12，0)．∴AE →＝(0，1，12)，A 1G →＝(0，12，－1)，GF →＝(－1，0，0)．∴AE →·A 1G →＝0＋12－12＝0，AE →·GF →＝0＋0＋0＝0. ∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面A 1GF .[B 级 能力提升]8.若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为v 1＝(1，1，－1)和v 2＝(2，－3，2)，又a 与b 的公垂线的方向向量为v ＝(x ，y ，5)，则x ＋y ＝__________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧v ·v 1＝x ＋y －5＝0v ·v 2＝2x －3y ＋10＝0，所以x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 答案：59.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 1与平面AD 1C 的位置关系是__________；A 1B 与平面DD 1C 1C 的位置关系是__________．解析：A 1B 1与平面AD 1C 相交．由A 1B ∥CD 1，又A 1B ⊄平面DD 1C 1C ，CD 1⊂平面DD 1C 1C ，∴A 1B ∥平面DD 1C 1C .答案：相交 平行 10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F .证明：(1)直线P A ∥平面EDB ； (2)直线PB ⊥平面EFD .证明：以D 为原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)∵E 是PC 的中点， ∴E (0，1，1)， ∵AP →＝(－2，0，2)，DE →＝(0，1，1)， BE →＝(－2，－1，1)，∴AP →＝DE →＋BE →. 又PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)∵BP →＝(－2，－2，2)，又BP →·DE →＝(－2，－2，2)·(0，1，1)＝0， ∴BP →⊥DE →，∴BP ⊥DE .又BP ⊥EF ，且EF ∩DE ＝E ，∴直线PB ⊥平面EFD .11.(创新题)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点， (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定点E 的位置．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，(1)证明：A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )． 设E (0，a ，m )， 则A 1E →＝(－a ，a ，m －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，所以A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋0＝0，所以A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)法一：设BD 的中点为O ，连结OE ，OA 1，则O (a 2，a2，0)，所以OE →＝(－a 2，a 2，m )，BD →＝(－a ，－a ，0)，因为△BCE ≌△DCE ，所以ED ＝EB ，所以OE ⊥BD ，又OA 1→＝(a 2，－a 2，a )，所以OA 1→·BD →＝0，所以OA 1⊥BD ，所以∠A 1OE 是二面角A 1－BD －E 的平面角，因为平面A 1BD ⊥平面EBD ，所以∠A 1OE ＝π2，所以OA 1→·OE →＝0，即－a 24－a 24＋am ＝0，∴m ＝a 2.故当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD . 法二：E 为CC 1的中点．证明如下：由E 为CC 1的中点得E (0，a ，a2)，设BD 的中点为O ，连结OE ，OA 1，则O (a 2，a2，0)，所以OE →＝(－a 2，a 2，a 2)，BD →＝(－a ，－a ，0)，则OE →·BD →＝0，OE →⊥BD →，即OE ⊥BD .又OA 1→＝(a 2，－a 2，a )，所以 OA 1→·BD →＝0，所以OA 1⊥BD ，所以∠A 1OE 是二面角A 1－BD －E 的平面角．所以OA 1→·OE →＝－a 24－a 24＋a 22＝0，所以OA 1→⊥OE →，故OA 1⊥OE ，即∠A 1OE ＝π2，所以平面A 1BD ⊥平面EBD .所以当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD .。
苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题：空间向量在空间平行垂直中的应用 (1)
空间向量在空间平行垂直中的应用题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N分别是C 1C 、B 1C 1的中点。
求证：MN ∥平面A 1BD 。
思维启迪：证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行；也可以寻找平面的法向量。
证明 方法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)， 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )。
则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)。
又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →⊥n ，又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD 。
方法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→，又∵MN 与DA 1不共线，∴MN ∥DA 1， 又∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD 。
探究提高 用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。
本题易错点：只证明MN ∥A 1D ，而忽视MN ⊄平面A 1BD 。
练习： 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案 第三章 空间向量与立体几何 总结
第11课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】如图,在▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离.(见学生用书P71)(例1)[规范板书]解因为∠ACD=90°,所以·=0.同理·=0.因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.因为=++,所以2=+2++2·+2·+2·=+++2·=3+2×1×cos<,>,所以||=2或,即B,D间的距离为2或.[题后反思]用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos<m,n>=.(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.变式如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(变式)(1)求证:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?(见学生用书P71)[处理建议]用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.[规范板书]解(1)设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,∴C1C⊥BD.(2)=++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.∵A1C⊥平面C1BD,∴即∴即得r2-rt-t2=0,解得r=t.因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.[题后反思]当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.【例2】如图(1),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(例2(1))(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)[规范板书]解(1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,(例2(2))所以=(a,0,-a),=,所以=2,则PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).又=,故·=0+-=0,所以PB⊥DE.又EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,所以==.由EF⊥PB知,·=0,即-λa2+a2-a2=0,解得λ=,所以点F的坐标为,且=,=-,-,-,所以·=--+=0,即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.因为·=-+=,且||==a,||==a,所以cos∠EFD===,所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.[题后反思](1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.变式如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(变式(1))(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.(见学生用书P72)[规范板书]解(1)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.(变式(2))∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).由n⊥,n⊥,得令x=1,则n=.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.又DP⊄平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.(3)连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面A1B1E的一个法向量.设与n所成的角为θ,则cosθ==.又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°,即=,解得a=2,即AB的长为2.【例3】如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的余弦值.(见学生用书P72)(例3(1))[规范板书]解(1)以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,(例3(2))则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),所以cos<,>==-.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥,n1⊥,得令x=1,则n=(1,2,2).易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>===.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.[题后反思](1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.变式如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.(变式(1))(1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.(见学生用书P72)[规范板书](1)证法一连结AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二取A'B'的中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.(2)解以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).(变式(2))设AA'=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.所以=,=,=.设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,由得令x1=1,则m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,由得令x=-3,则n=(-3,-1,λ).因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).二、补充练习1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.(第2题)2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.3.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(第3题)(1)求证:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.提示以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.三、课堂小结1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.2.用空间向量解立体几何问题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.。
苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.2 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含解析
_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]直线的方向向量a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线． 2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63]利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系[例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合． 答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.平面的法向量的求解及应用[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB u u u r＝0，且n ·AC u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC u u u r 、AB u u u r.(2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC u u u r ＝0，n ·AB u u u r＝0.并解答． (4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB u u u r＝(1，－2，－4)，AC u u u r ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB u u u r＝0且n ·AC u u u r ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS u u u r＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD u u u r ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC u u u r ＝12x ＋y ＝0，n ·DS u u u r ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB u u u r 、BA u u ur 、CD u u u r 、DC u u u r 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD u u u r 、DB u u u r两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM u u u u r·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM u u u u r ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1， 故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC u u u r是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC u u u r＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM u u u u r＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC u u u r ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC u u u r ⊥AM u u u u r .∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u ur ，1AA u u u u r 所在直线为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量． (2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D u u u u r＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a1B D uu u u r ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量，∵AM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，1AD u u u u r＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C u u u u r ＝(0,4，－2)，1CD u u u r＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C u u u u r ，a ⊥1CD u u u r ，从而a ·1B C u u u u r ＝0，a ·1CD u u u r ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M u u u u r＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M u u u u r ，从而a ·1B M u u u u r＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24， 所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。
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3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题
一．证明线线平行
证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或
3
12123
//a a a a b b b b ⇔
==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED .
证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1
(0,1,)2
F ，1
(1,0,)2
E ，'(0,0,1)D .
11
(0,1,)(1,1,0)(1,0,)22
BF =-=-，
11
'(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22
ED =-=-.
∵'1ED BF =⋅， ∴'//ED BF 即//'BF ED .
例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ，
k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.
∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，
(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==，
∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA .
二．证明线面平行
例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC .
D
B O A
α
证明：在正方形ABCD 和ABEF 中， ∵FM AN =，FB AC =，
∴存在实数λ使FM FB λ=，AN AC λ=， ∴MN MF FA AN =++BF EB AC λλ=++
()BE BA AB AD EB λ=++++
()()(1)BE AD EB BE BC BE BE BC λλλλ=++=+-=-+，
∴MN 、BE 、BC 共面 ∵M ∉平面EBC ，∴//MN 平面EBC .
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y 使p xa yb =+.利用共面向量定理可以证明线面平行问题.本题用的就是向量法.
注意:直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则
//a α.
例4：棱长都等于2的正三棱柱'''ABC A B C -，点D 是AC 的中点.求证：'//AB 平面
'DBC .
证明：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为
(1,0,0)A -
，2)B
，B ，(0,0,0)D ，'(1,0,2)C .
设平面'DBC 法向量为(,,)n x y z =
，DB =，'(1,0,2)DC =，
30
''20n DB n DB y n DC n DC x z ⎧⎧⊥
⋅==⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩
⎩， 令1z =取平面的一个法向量为(2,0,1)n =-.
∵'2)AB =，(2,0,1)n =-.
∴'2020n AB ⋅=-++=， ∴'//AB 平面'DBC .
三．证明面面平行
平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.
A
B
D
C
E
F
M N
x
y
例5：已知正方体''''ABCD A B C D -.求证：平面''//AB D 平面
'BDC .
证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为
(1,0,0)A ，'(1,1,1)B ，'(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，(0,0,0)D ，'(0,1,1)C .
设平面''AB D 法向量为1111(,,)n x y z =，
'(0,1,1)AB =，''(1,1,0)D B =，
11111111''0
''''0
n AB n AB y z n D B n D B x y ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令11y =取平面''AB D 的一个法向量为1(1,1,1)n =--.
平面'BDC 法向量为2222(,,)n x y z =，(1,1,0)DB =，'(0,1,1)DC =，
222222220
''0
n DB n DB x y n DC n DC y z ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令21y =取平面'BDC 的一个法向量为2(1,1,1)n =--. ∵121n n =⋅， ∴平面''//AB D 平面'BDC .。