量子信息导论第二章作业
量子信息导论作业1
量子信息导论第一章作业（*标记者为选做题）1：计算二元对称信道的信道容量。
2：{}{}变换。
，试构造出该＝，使得，则存在幺正变换、态中存在两组正交归一化空间U ~U U ~ii i i ψψψψH 3：{}{变换。
，并构造出该＝，使得请证明，则存在＝，有，它们满足：、中存在两组归一化态空间U ~U U ~~j i, ~ii j i j i i i ψψψψψψψψ∀H 4：对两比特态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B A B B A 121023121123021021φ i)求约化密度矩阵B A ρρ,；ii)求φ的Schmidt 分解形式。
5：对三粒子系统纯态ABC φ，在空间C B A H H H ⊗⊗中是否存在C B A H H H ,,中的正交基{}{}{}C B A i i i ,,，使得C B A ii ABC i i i p ⊗⊗=∑φ一定成立?给出理由。
6：设ψ为量子比特态，在Bloch 球面上均匀随机分布。
i) 随机地猜想一个态φ，求猜测态相对于ψ的平均保真度>=<2ψφF 。
ii) 对此量子态做正交测量{}I P P P P =+↓↑↓↑,,。
测量后系统被制备到：ψψψψρ↓↓↑↑+=P P P P ，求ρ与原来的态ψ的平均保真度。
（>=<ψρψF ）7：123021,123021,0321--=+-==ψψψ。
现令i i i F ψψ32=，则{}3,2,1=a a F 构成二维空间中的POVM 。
现引入一个辅助的qubit ，试在扩展空间中实施一个正交测量，从而实现此POVM 。
8*：证明超算符仅在幺正条件下才是可逆的。
9：证明()011021-=-ψ在()()n U n U ,,ϑϑ⊗下是不变的。
10*：证明 ()()()()BC AC B A S S S S ρρρρ+≤+。
11：考虑2－qubit 系统--+⊗=ψψρ2181I I AB ，分别沿m n ,方向测A,B 粒子的自旋。
量子力学导论作业答案-第02章
[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ， （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ）
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
−i
（3）
4
似水骄阳
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
对全空间积分：
−i
2 ∂ * ( ψ 1ψ 2 ) = − ( ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ) ∂t 2m
−i
2 d 3 * ( ) ( ) d r ψ r t ψ r t = − d 3 r ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 , , 1 2 ∫ ∫ dt 2m
T=
2m ∫
2
d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2
（3）
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
ω=
2m
∇ψ * ⋅∇ψ + ψ *Vψ ,
（4）
且能量平均值
E = ∫ d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
⎤ 2 ⎡ ∂ω ⎢∇ ∂ψ ∗⋅∇ψ + ∇ψ * ⋅∇ ∂ψ ⎥ + ∂ψ ∗ Vψ + ψ *V ∂ψ = ∂t 2m ⎢ ∂t ∂t ⎥ ∂t ∂t ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 ⎡ ∂ψ ∗ ∂ψ ∂ψ 2 * ⎟ ⎥ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ ⎜ ∂ψ ∗ 2 ⎢ ⎜ Vψ + ψ *V = ∇⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∇ψ + ∇ψ + ⎟ ⎜ ∂t ⎟⎥ 2m ⎢ ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
量子信息导论作业
量子信息导论第二章作业1：Alice 和Bob 选择B92方案来建立量子密钥序列。
Alice 选择两种态：01=ψ，=2ψ )10(2/1+，分别以1/2的概率发送给Bob ，Bob 分别以1/2的几率选择基{}10和基)}10(2/110(2/1{-+对收到的态进行正交测量。
(1) 请论述Alice 和Bob 将遵从怎样的经典通信协议来建立密钥；(2)假定存在一个窃听者，该窃听者试图以概率克隆的方式对该密钥建立过程进行攻击。
则下列的几组克隆概率中，哪几组在理论上是可能的（括号中第一个数表示成功地克隆出1ψ的概率，第二个数表示成功地克隆出2ψ的概率）。
并给出证明。
,222,222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1，0.1），(0.5，0.5)，（0.7，0.7），（0.9，0.9）。
（3）窃听者如果克隆失败，他会随机发送1ψ或2ψ给Bob （分别以1/2的几率）。
如窃听者选择以上几组中最优的克隆方案进行攻击，则作为Alice 和Bob ，他们至少要公开对照多少组数据，均检验无误，才能确保该密钥的安全性达到99%以上？2：给出高维空间量子teleportation 的数学证明。
3：混合纠缠态()()14I I λρλλψψ--=-+⊗a) 求标准teleportation 的保真度，并且，当λ达到多少时，保真度将优于经典极限？ （所谓经典极限是指：A 方随机选择一组测量基进行测量，并将测量结果通过经典 信道通知B ，B 根据A 的测量结果进行态制备。
）b) 计算()()()()()()Pr ()A A ob n m Tr E n E m ρλ↑↑=r r r r()E n r 是Alice 的比特投影到()n ↑r 上的投影子。
量子信息技术-第二章
1
12
1 00 11 2
23
1 00 2
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
123
1 00 2
12
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
紧接着送信者A 将自己拥有的2个qubit用2 qubit态矢空间 的基底 00 , 01 , 10 , 11 进行测量。
第二章 量子通信
一、量子态的不可克隆定理(Non-Cloning theorem)
1.量子态的不可克隆定理
由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任意未知量 子态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被 克隆到另一量子体系上。 证明1 假定存在理想克隆机，它的幺正变换为U。克隆机
的初态为 A S
3
0 1
3
利用Hadamard操作和Cnot操作重写teleportation 过程。第二题作业！
说明:
1) 此过程不违背不可克隆定理。A 处粒子1在测量后已不 处于原来状态。过程只是待传态转移(从1到3)，不是待传 态的复制。 2) 不存在信息的瞬间传递。B必须等候收听A测量的结果， 所以没有违背狭义相对论原理。 3) 也可以通过这样的方式来完成隐形传态：即送信者A 先对 自己的两个qubit进行Cnot操作，随后对载有待传态的qubit进 行Hadamard门操作。
如果此时在A与备制中心C之间，及B与备制中心C之间 已分别共同拥有相同的Bell状态。这种情况下使得A与B之间 间接地共同拥有Bell状态，称之为纠缠状态交换。
量子力学习题解答-第2章
第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
量子力学导论Chap2-2
在抽象线性矢量空间中矢量无长度，矢量间无角度。
描述
这是关于量子态的原理的基本内容，
是“粒子有波动性”这一事实的数学表
§2.3 Schrö dinger方程
1、Schrö dinger 方程的引进 经典力学认为质点同时具有精确位置和精确动量， 两种描述质点运动的方程： 1）牛顿力学框架下描述质点的动力学方程为 F＝m a 2）分析力学框架下描述质点的运动方程是拉格朗日 方程（从能量角度出发的方程，动能和势能）
有一集合S，满足如下条件： 设 a 1 和 a 2 均属于S， 则 b 1 a 1 2 a 2 也属于 S， 即：如果集合 S 中两元素的线性叠加仍然属于 S， 则 S 为一个 线性矢量空间。
如果 1 和 2 都是一个微观系统可能存在的状态，则
= 1 1 +2 2 也是这一系统的一个可能的状态。
( r , 0 )e
d r
3
(r , t )
1 ( 2 )
3
d r ' d pe
3
3
i [ p ( r r ' ) / Et / ]
( r ' ,0 )
可见， 初始时刻的 (r，0) 完全决定了以后任何时刻 的(r，t)。
j
j dS
s
定义为几率流密度矢量
定域几率守恒或粒子数守恒
平方可积，则当 r , ～ r -(3/2+s)，s > 0。
于是
i
t
*
{2 r
2
( ) d S
第二章习题解答
第 二 章 基 本 信 息 论
习题解答
2.3 试求： 试求： (1) 在一付标准扑克牌中抽出一张牌的平均信息量； 在一付标准扑克牌中抽出一张牌的平均信息量； (2) 若扑克仅按它的等级鉴定而不问花色，重复上述计算。 若扑克仅按它的等级鉴定而不问花色，重复上述计算。 解 (1) 每张牌不同，共有 54 种状态且等概， p = 1 / 54, 每张牌不同， 种状态且等概， 平均信息量为： 平均信息量为： I = log 54 = 5.7549 ( bit ); (2) 只按等级，共有 14 种状态，其状态空间为： 只按等级， 种状态，其状态空间为： X p(x) A 2 3 …… J Q K 王 2 54 4 4 4 4 4 4 …… 54 54 54 54 54 54
首先求联合概率： 首先求联合概率： p ( i j ) = p( i ) p( j / i ) p( i j ) A B C A 0 16 / 54 2 / 54 j B 36 / 135 16 / 54 4 / 135 C 9 / 135 0 2 / 270 7
i
第 二 章 基 本 信 息 论
习题解答
所提供的信息量分别为： 消息 xB和 xC 所提供的信息量分别为：
I ( x B ) = − log p( x B ) = − log 0.2 = 2.3219 (bit ); I ( xC ) = − log p( xC ) = − log 0.3 = 1.737 (bit ).
可见， 消息x 所提供的信息量大一些 大一些。 可见，消息 xB比消息 C 所提供的信息量大一些。 3
i
1 1 4 4 2 2 H ( x / y3 ) = − log − log − log = 1.3788 ; 7 7 7 7 7 7 H ( x / y4 ) = −(1 / 3) log(1 / 3) − ( 2 / 3) log( 2 / 3) = 0.9138 .
量子信息导论 量子计算部分详解
| α | 2 + | β | 2 = 1.
中国科学技术大学 陈凯
(Classical) Information
Information Technology
QuantumInfor mation
中国科学技术大学 陈凯
量子信息处理的概念和内涵
Shor算法
ã 计算步数 ã 利用经典THz计算机分解
300位的大数，需1024步， 150000年。 ã 利用Shor算法THz计算机， 只需1010步，1秒！ ã RSA将不再安全！
P. W. Shor
L. K. Grover
Grover搜寻算法
ã 如何在草堆中 找到一根针？
ã 经典搜寻：N 步 ã 量子搜寻：N1/2 步 ã 可破译DES密码：
The DARPA Quantum Network
中国科学技术大学 陈凯
NIST Quantum Communication Testbed
中国科学技术大学 陈凯
1 Mbit/s over 4km (2006年)
SECOQC QKD网络拓扑和分布
中国科学技术大学 陈凯
SECOQC QKD节点组成
新华社金融信息交易所
金融信息量子通信验证网(2012)
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合肥城域量子通信试验示范网 (46个节点, 2012年)
美国量子信息国家战略 －－以LANL为例
鼓励交叉研究 理论与实验相结合
中国科学技术大学 陈凯
量子信息处理的物理实现
• Liquid-state NMR • NMR spin lattices • Linear ion-trap
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量子信息导论第二章作业
1：Alice 和Bob 选择B92方案来建立量子密钥序列。
Alice 选择两种态：01=ψ，=2ψ )10(2/1+，分别以1/2的概率发送给Bob ，Bob 分别以1/2的几率选择基{}10和基)}10(2/1),10(2/1{-+对收到的态进行正交测量。
(1) 请论述Alice 和Bob 将遵从怎样的经典通信协议来建立密钥；
(2)假定存在一个窃听者，该窃听者试图以概率克隆的方式对该密钥建立过程进行攻击。
则下列的几组克隆概率中，哪几组在理论上是可能的（括号中第一个数表示成功地克隆出1ψ的概率，第二个数表示成功地克隆出2ψ的概率）。
并给出证明。
,222,222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--（1，0.1）
，(0.5，0.5)，（0.7，0.7），（0.9，0.9）。
（3）窃听者如果克隆失败，他会随机发送1ψ或2ψ给Bob （分别以1/2的几率）。
如窃听者选择以上几组中最优的克隆方案进行攻击，则作为Alice 和Bob ，他们至少要公开对照多少组数据，均检验无误，才能确保该密钥的安全性达到99%以上？
2：给出高维空间量子teleportation 的数学证明。
3：混合纠缠态()()14I I λ
ρλλψψ--=-+⊗
a) 求标准teleportation 的保真度，并且，当λ达到多少时，保真度将优于经典极限？ （所谓经典极限是指：A 方随机选择一组测量基进行测量，并将测量结果通过经典 信道通知B ，B 根据A 的测量结果进行态制备。
）
b) 计算()()()()()()Pr ()A A ob n m Tr E n E m ρλ↑↑=
()E n 是Alice 的比特投影到()n ↑上的投影子。