算术平均值的性质一
算术平均值标准偏差
三、随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小 和符号以不可预知形式的形式出现。
2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
3、与测量次数有关系：增加测量次数可 以减小随机误差对测量结果的影响。
四、随机误差的处理原则
随机误差性质上属随机变量，其处理方法 的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可 用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差 （标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。
测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式
s
1 kn
i
max
在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法
估算 时的相对误差
(s) rn
s
kn
标准差的其他估计方法
3、最大残差法
在一般情况下，被测量的真值难以知 道，无法应用最大误差法估计标准差
最大残余误差i max 估计标准差
s
1 kn
s(x)2 s 2 n
s(x) s n
n
vi2
i 1
n(n 1)
最佳测量次数确定
329
当n＞10以后， 已减少得非常缓慢。 s(x)
由于测量次数愈大，也愈难保证测 量条件的恒定，从而带来新的误差，
因此一般情况下取n＝10以内较为适
宜。总之，要提高测量精度，应采 用适当精度的仪器，选取适当的测 量次数。
这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在 误差。
标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即
ss
s 2(n 1)
三、算术平均值标准偏差
328
如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列 测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术 平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分 散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表 征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作 为算术平均值不可靠性的评定标准。
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
算术平均数与几何平均数(一)
教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。
算术几何平均值和theta函数
［ １ ］ 四川大学数学系高等数学教研室． 高等数学 ： 第三版 ［ Ｍ］ ．
北京 ： 高等教育 出版社 ， １ ９ ９ ５ ．
［ ２ ］ 刘证 ． 算术几何 平均值 和几何 条何平 均值 的注记 ［ Ｊ ］ ． 鞍
继续推广到其他类别的 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 ， 将 在以后探
讨．
那 么有
ａ ：ａ （ ｑ ” ） ， ｂ ＝ ｂ （ ｑ ）
参
考
文
献
当１ １ ， 趋 向于无穷 时 ， ｇ 趋 向于零 ， 有 Ａ ＧＭ（ ａ （ ｇ ） ， ｂ （ ｑ ） ） 由Ａ Ｇ Ｍ 的性 质 ， 得 到 Ａ Ｇ Ｍ（ １ ， ｂ （ ｑ ） ／ ａ （ ｑ ） ）＝１ ／ ａ （ ｑ ） （ １ ９ ） 令． ｊ ｝ （ ｑ ）＝０ （ ｑ ） ／ （ ｑ ） ＝ｃ （ ｑ ） ／ ａ （ ｑ ） ， 由文 献 ＝ Ａ Ｇ Ｍ（ ａ （ ｑ ） ， （ １ ８ ） ｂ （ ｑ “ ） ）＝ＡＧ Ｍ（ １ ， １ ）＝ １
。 （ ｑ ２ ）：
（ １ ２ ）
由文 献 ［ ４ ］ ，
口 （ ｑ ） ＝ｂ （ ｑ ）＋ｃ （ ｑ ）
所 以
广开来 ， Ａ Ｇ Ｍ是两个元素的叠代式 ， 是否也能找
到参 数化 的递 推 关 系 呢？ 这 可 以从 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 的
一
（ １ ３ ）
些性质 中找到 联 系． 定义 三个 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 为
（ １ ）
ｅ ）＝ （ ｅ ， ｏ ） ． 以上 三个 函数另 写为 ：
６ ｔ （ ｇ ）＝ （ ０ ， ０ ）＋（ ｅ ， ｅ ）＋（ ｅ ， ０ ）＋（ ０ ， ｅ ）
（ ７ ）
测量误差分析
定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：
x
1 n
x n
xi
i 1
1
n(n 1)
n i 1
(xi
x)2
第三十七页
由于 (x ) / x 服从自由度v = n－1的t分布，所以 可用上式做以下的概率描述
x
或
P( t tp ) P(tp tp ) P x
P(x tpx x tpx ) P 测量结果可表示为：
第四页
对称性：绝对值相等而符号相反的随机误 差出现的概率相同，其分布呈对称性。
抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不 断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平 均值趋于零。
第五页
正态分布的分布密度函数为
f
1
e
2 2 2
2
式中， —— 标准误差（均方根误差）；
e —— 自然对数的底。
间 x , x 内的置信概率。 危险率：P(x x ) 1
第二十三页
置信区间与置信概率共同表明了测量结果 的置信度，即测量结果的可信程度。
对于同一测量结果，置信区间不同，其置 信概率是不同的。
置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。
第二十四页
一列等精度测量的结果可以表达为在一定 的置信概率之下，以测定值子样平均值为 中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果＝子样平均值±置信区间半长（置 信概率P＝？）
得
Y y2 f X1, X2 ,
Xm
f ……x1
12
f x 2
22
f x m
m2
Y yn f X1, X2 ,
Xmf x11nf x 22n
f x m
mn
第四十六页
中学物理中的平均值问题
中学物理中的平均值问题当我们研究的物理量是变量时，经常用一个与其等效的常量来替代，这就是该物理的平均值。
使用物理量的平均值，可以使我们有一个大致的数量概念；同时引入平均值可以消除或减小误差，简化数学运算，方便使用。
明确平均值的物理意义，弄清平均物理量的特点，掌握求平均值的数学方法，这是对学习运用平均值的三项基本要求。
9.1中学物理中几种常见的平均值使用物理量的平均值，除本身的物理意义外，还包含获得这个平均值的数学过程和方法。
9.1.1算术平均例如：做匀变速直线运动的物体，初速度为V 1、末速度为V 2。
则物体在这段时间内的平均速度122V V V +=，这一速度实际上也是物体在这段时间中点的瞬时速度。
算术平均值是物理量平均平均值中最简单常见的一种，物理实验中各种数据的处理，基本上都 是算术平均值。
9.1.2几何平均例如：质量为m 的物体由战地心r 1远处缓慢提升至距地心r 2处，若物体在前后两位置所受的万有引力分别为F 1和F2，则物体所受的万有引力的平均值可由下述方法给出：由引力势能公式p GmME r=-可知，在提升过程中物体引力势能增量()212112p GmM GmMGmME r r r r r r ⎛⎫∆=---=- ⎪⎝⎭，由于万有引力做功与路径无关，其数值等于引力势能的增量，因此，()()212112GmMF r r r r r r -=-，即12GmM F r r ==。
9.1.3调和平均 调和平均的定义12111nnX X X X +++ 调＝。
若被 平均的量只有两个，上式变成了12122X X X X X =+调。
例如汽车发动机的功率一定，当阻力不变时，汽车沿一略倾斜的斜坡向上匀速行驶的速率为V 1，向下匀速行驶的速率为V 2，求汽车在水平路面上行驶的速率。
因为汽车发动机的功率一定，因此有：()()12sin cos cos sin mg mg V mgV mg mg V θμθμμθθ+==-。
算术平均值的性质一
四分位数的位置确定方法：
方法1：定义算法
Q
位
L
置
n 4
Q
位
U
置
3n 4
方法2：以中位数为中心，从两端再计算中位数，公式：
Q位置
n 1 2
2
1
其中[ ]表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数 的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上
方法3 Excel给出的四分位数位置的确定方法
3.调和平均值
▪ 调和平均值是观察值倒数之平均数的倒数，也称倒 数平均数。用 M H 表示：
1
M H N 1
X i 1
i
N
N 1
X i 1
i
N
▪ （1）具有倒数性质
例如某人前10公里以时速50公里行驶，后10公里
以30公里时速行驶。这20公里花了0.533小时，所以
平均时速
H105 10 0+ 1 10 030150 213037.5
600075 80
i1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大的顺序排列，处于数列中点位置的数值就是中位 数（Me）。
中位数的确定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置的 标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1的两 个标志值的平均数为中位数。
（1）将资料按大小顺序排列；
（2）求出分位数所在位置i；
（3）若i为整数，则所求分位数为该位置上的数值；若i为非整 数，则取第i与第i+1位置的两个数值的平均数为所求分位数。
（4）若资料为分组数据，则各分位数可按下式计算：
Ki Li iN/KfiFi1di
统计学习题第四章集中趋势的量度：平均指标
统计学习题第四章集中趋势的量度：平均指标第四章浓度趋势的测量:平均指数第一节算术平均值简单算术平均值、加权算术平均值、算术平均值的性质第二节中值对于未分组的数据，四分位数和其他分位数和中间数的性质第三节模式对于未分组的数据，模式的性质第四节几何平均值和调和平均值以及其他几何平均值、调和平均值的关系一个班级中男生的比例是66.7%，那么男生对女生的比例是()2.在频率分布图中，()被标记为对应于曲线最高点的变量值3.当频率偏斜时，()必须在x和M0之间4。
算术平均值、调和平均值和几何平均值也称为(数值)平均值，模式和中值也称为(位置)平均值，其中()平均值不受极端变量值影响5。
谐波平均值是根据()计算的，因此也称为(倒数)平均值6.加权算术平均值由()加权，加权谐波平均值由(每组中的总分数)加权7。
对于未分组的数据，如果总单位数为偶数，中间位置两个标志值的算术平均值为()2，单选项1。
分析统计数据，可能不存在的平均指数是()A模式b算术平均值c中位数d几何平均值2。
对于相同的数据，算术平均、调和平均和几何平均通常具有以下数量级的关系(d)a mg≥MH≥xb MH≥x≥mgc MH≥mg≥xd x≥mg≥m3。
在以下四个平均值中，只有()是位置平均值A算术平均值b中值c调和平均值d几何平均值4。
从计算方法来看，？P1Q1？P1Q1/KP为()A算术平均值b调和平均值c中值d几何平均值5。
从右边的变量序列可以看出:()ama0 > MDM0；M0>30 D Md>30 完成生产配额的年龄10-XXXX如下:81，56，76，67，79，62，72，61，77，62 60，73，65，58，70，60，59，69，58，6880，59，62，59，83，68，63群体距离为4)；(2)尝试找出该社区退休年龄的算术平均值和中位数；(3)尝试找出本社区退休年龄的标准差和标准差系数3。
一个未分组的数据被称为2、3、5、8、9和12。
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4.1 集中趋势的计量 4.2 离中趋势的计量 4.3 数据的分布形状
4.1 集中趋势的计算
集中趋势反映一组数据中各数据所具有的共同 趋势，即资料中各数据聚集的位置。
一、算术平均（也叫均值 ）
▪ 1.简单算术平均数
计算公式:
N
X
X1 X 2 ...... X N
Xi
＊ ＊ ＊＊
＊
算术平均值的性质一:数据观察值与均值的离差值 之和为零.
▪ 此性质表明均值是各数值的重心
N
(Xi X) 0
i 1
算术平均值的性质二：观察值与均值的离差平方
和最小。 N
N
2
▪ X 0为任意数 ( Xi X 0 )2 ( Xi X )
i 1
i 1
故用算术平均值来预测作为估计值，误差平方和
M0
Li
(
fi
fi fi1 fi1 ) ( fi
fi1 ) di
70
25 21
10 74
(25 21) (25 19)
M0
Ui
(
fi
fi fi1 fi1 ) ( fi
fi1 ) di
80
25 19
10 74
(25 21) (25 19)
在Excel中
▪ AVERAGE（）—计算算术平均数 ▪ 利用SUM（）函数和SUMPRODUCT（）函数求加权算
三、众 数
▪ 众数是一组资料中出现次数最多的那个数值，也反 映数据集中的程度（ M0 ）。
▪ ①未分组资料，M0就是出现次数最多的变量值。 ▪ 20，15， 18，20，20，22，20，23
▪ 20，20，15，19， 19， 20，19，25
▪ 10，11，13，16，15，25 ，8，12
②分组资料：在等距分组的情况下，频数最多的组是 众数组，在该组内确定众数。
设众数在第i组，则
M0
Li
(
fi
fi fi1 fi1 ) ( fi
fi1 ) di
M0
Ui
( fi
fi fi1 fi1 ) ( fi
fi1 ) di
Li是众数所在组的下限， Ui是众数所在组的上限； fi是众数所在组的次数。 di= Ui-Li是中位数所在组的组距 =上限-下限
某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：
n
Me
Li
2
Fi 1 fi
(U i
Li )
Me
Ui
n 2
Fi 1 fi
(U i
Li )
向上累积 向下累积
中位数是n/2位置上的数值，设落在第i组,
Li是中位数所在组的下限， fi是中位数所在组的次数。 Fi-1是中位数所在组的前一组的累积次数 Ui-Li是中位数所在组的组距 =上限-下限
某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：
工人数fi 7 21
组中值xi 55 65
xifi 385 1365
70-80
25
75
1875
80-90 90以上 合计
19
85
8
95
80
---
1615 760 6000
k
则加权算术平均为: X
x1 f1 x2 f2 L xk f1 f2 L fk
fk
xi fi
i 1 k
fi
6000 80
Me
Li
n 2
Fi1 fi
(Ui
Li )
70
40 28 10 25
74.8
Me
Ui
Hale Waihona Puke n 2Fi1 fi
(Ui
Li
)
80
40 27 25
10
74.8
中位数是位置平均数，不受极端值的影响。各个数值
相对其中位数的绝对离差之和为最小。
不足：中位数确定时只与中间位置的相关数据有关， 而不考虑其它数值的大小，缺乏敏感性；计算复杂。
最小。
▪ 均值的缺点：均值易受极端值的影响，某个极端大值 或极端小值都会影响均值的代表性。同时还影响其对 集中趋势测度的准确性。
数列:1,2,2,3 平均数为2 数列:1,2,2,5 平均数为2.5
数列:1,2,2,7 平均数为3
2.加权算术平均数
如果数据是分组资料，经过整理形成了次数分配， 由于各组次数不同，要用次数作权数计算加权算术平 均数。
工人一周生 工人数fi 产零件数
组中值xi
xifi
向上累计频 向下累计频
数
数
60以下
7
55
385
7
80
60-70
21
65
1365
28
73
70-80
25
75
1875
53
52
80-90
19
85
1615
72
27
90以上
8
95
760
80
8
合计
80
---
6000
---
---
fi 25, fi121 , fi1 19, Li 70,Ui 80, di 10,
i 1
N
N
它是反映数据集中的主要测度。
算术平均的统计含义：算术平均数是同质总体各 数据偶然性、随机性特征互相抵消后的稳定数值。反映 数据集中的特征。
例 某生产班组11个工人的日产零件数分别为：15，17，19， 20，22，…26，30。求该生产班组工人的平均日产零件数。
解： X 22
＊
…＊
22
术平均。 ▪ MEDIAN（）—计算中位数 ▪ MODE（）—计算众数
四、均值、中位数、众数三者之间的关系
f
f
f
Mo Me x
x Me Mo
(对称分布)
X
Mo Me x
X
x Me Mo 正偏态分布（右）
X
xMeMo
x Me Mo
负偏态分布(左）
均值是数据分布的平衡点或重心，中位数把这个分 布划分为两半，众数正好是分布的顶端。
75
i 1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大的顺序排列，处于数列中点位置的数值就是中位 数（Me）。
中位数的确定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置的 标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1的两 个标志值的平均数为中位数。
③如果是组距分组资料，公式为：
则均值的计算公式为： k
X
X1 f1 X2 f2 .... X K f1 f2 .... fk
fk
Xi fi
i 1 k
fi
k i 1
Xi
fi
k
fi
i 1
i 1
其中Xi 表示第i 组的组中值，fi表示第i组的次数。
例：某单位80工人一周生产零件数的分组统计资料如下表：
工人一周生产零件数 60以下 60-70
工人一周生 工人数fi 产零件数
组中值xi
xifi
向上累计频 向下累计频
数
数
60以下
7
55
385
7
80
60-70
21
65
1365
28
73
70-80
25
75
1875
53
52
80-90
19
85
1615
72
27
90以上
8
95
760
80
8
合计
80
---
6000
---
---
n 80
2
2
40, Fi1 28, Fi1 27, Li 70,Ui 80, fi 25