第七章 三角恒等式的证明
三角恒等式证明
三角恒等式证明三角恒等式是指由三角函数之间的关系衍生出的等式。
在解决三角函数问题时，常常会使用到这些恒等式来化简和推导表达式。
本文将介绍三角恒等式的定义及相关证明。
一、基本的三角恒等式1. 正弦函数的恒等式对于任意角度 x，有以下恒等式成立：1) 正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这一恒等式是三角恒等式中最基本的一个，称为正弦-余弦恒等式。
其证明如下：根据单位圆的定义，我们知道在单位圆上，点 (cos(x), sin(x)) 的横坐标为 cos(x)，纵坐标为 sin(x)。
那么，这个点到原点的距离即为：r = sqrt((cos(x))^2 + (sin(x))^2)同时，根据勾股定理，我们知道单位圆的半径为1，即 r = 1。
将这两个等式联立起来，得到：1 = sqrt((cos(x))^2 + (sin(x))^2)两边同时平方，即可得到正弦-余弦恒等式。
2) 正弦函数的倒数是余弦函数：sin(x) / cos(x) = tan(x)这一恒等式称为正切函数的定义。
其证明可以通过正弦函数和余弦函数的定义相除得到。
2. 余弦函数的恒等式与正弦函数类似，对于任意角度 x，以下恒等式成立：1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方之差等于1：cos^2(x) - sin^2(x) = 1这一恒等式称为余弦-正弦恒等式。
其证明可以通过正弦-余弦恒等式变形而来：1 = sin^2(x) + cos^2(x)= cos^2(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + cos^2(x)= (cos^2(x) - sin^2(x)) + 2cos^2(x)= cos^2(x) - sin^2(x) + cos^2(x)= cos^2(x) - sin^2(x)二、加减角公式在三角恒等式中，加减角公式是十分重要的一类恒等式。
它们将一个角的正弦、余弦、正切函数表达为另一个角度的三角函数的表达式。
三角恒等式的运用与证明详细解析
三角恒等式的运用与证明详细解析三角函数在数学中扮演着重要的角色，它与几何图形和实际问题密切相关。
在三角函数中，恒等式是指对于所有的角度成立的等式。
这些恒等式在解决三角函数的问题时非常有用，能够简化计算和推导过程。
本文将详细解析三角恒等式的运用和证明。
一、三角恒等式的定义三角恒等式即对于所有角度x成立的等式，通常以三角函数的形式表示。
最常见的三角恒等式有正弦、余弦和正切的相关恒等式，如下所示：1. 正弦恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 余弦恒等式：1 + tan^2(x) = sec^2(x)3. 正切恒等式：cos^2(x) + 1 = csc^2(x)这些恒等式是基本的三角恒等式，其他更复杂的恒等式可以通过它们推导得到。
二、三角恒等式的运用三角恒等式在解决三角函数的问题时非常有用，可以用于化简计算、推导其他重要恒等式以及解决实际问题。
以下将介绍三角恒等式的具体运用。
1. 化简计算通过使用三角恒等式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而简化计算过程。
例如，对于一个三角函数表达式sin(x) * cos(x)，可以利用正弦恒等式将其转化为sin^2(x) 或 cos^2(x)的形式，从而更容易计算。
2. 推导其他恒等式基于基本的三角恒等式，可以推导出许多其他重要的三角恒等式。
例如，利用正弦恒等式可以推导出余弦恒等式，再进一步推导出正切恒等式。
这些相关恒等式之间的推导关系可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
3. 解决实际问题三角函数在物理、工程和几何等领域中广泛应用，并且三角恒等式在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量不便的情况下，通过已知的角度和三角恒等式，可以利用三角函数求解其它未知边长或角度。
三角恒等式的运用可以简化计算，提高解决实际问题的效率。
三、三角恒等式的证明三角恒等式的证明是数学中的重要内容之一，通过证明恒等式可以加深对三角函数的理解，并拓展数学思维。
三角恒等式的推导与证明
三角恒等式的推导与证明三角函数是数学中重要的概念之一，它们在许多应用领域具有广泛的用途。
在三角函数中，恒等式是一类重要的等式，它们可以被用来简化复杂的三角函数表达式。
本文将推导和证明一些常见的三角恒等式。
1. 正弦和余弦的平方和恒等式我们先考虑正弦和余弦的平方和恒等式。
已知正弦和余弦的平方和公式为：sin²θ + cos²θ = 1(1)要证明这个恒等式，我们可以从勾股定理出发。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理，我们可以得到：a² + b² = c²(2)然后，我们将a和b分别表示为三角函数的值。
根据定义，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值。
所以，我们可以将a和b分别表示为sinθ和cosθ，斜边c表示为1。
将这些值代入公式(2)，我们可以得到：sin²θ + cos²θ = 1(3)公式(3)与公式(1)是等价的，因此，我们证明了正弦和余弦的平方和恒等式。
2. 正弦的倒数恒等式接下来，我们来证明正弦的倒数恒等式。
已知正弦的倒数公式为：1/sinθ = cscθ(4)要证明这个恒等式，我们可以从正弦的定义出发。
正弦是对边与斜边的比值，根据定义，可以得到：sinθ = 1/cscθ (5)我们可以对等式(5)的两边同时取倒数，得到：1/sinθ = cscθ(6)公式(6)与公式(4)是等价的，因此，我们证明了正弦的倒数恒等式。
3. 余弦的倒数恒等式接下来，我们来证明余弦的倒数恒等式。
已知余弦的倒数公式为：1/cosθ = secθ(7)要证明这个恒等式，我们可以从余弦的定义出发。
余弦是邻边与斜边的比值，根据定义，可以得到：cosθ = 1/secθ (8)我们可以对等式(8)的两边同时取倒数，得到：1/cosθ = secθ(9)公式(9)与公式(7)是等价的，因此，我们证明了余弦的倒数恒等式。
高中数学三角恒等式的证明方法
高中数学三角恒等式的证明方法一、引言三角恒等式是高中数学中的重要内容，它们在解题过程中起到了至关重要的作用。
本文将介绍一些常见的三角恒等式的证明方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这些知识点。
二、基本三角恒等式的证明方法1. 三角函数的基本关系三角函数的基本关系是指正弦、余弦、正切、余切之间的关系。
通过定义和几何解释，可以证明如下恒等式：（1）sin^2x + cos^2x = 1（2）1 + tan^2x = sec^2x（3）1 + cot^2x = cosec^2x这些恒等式是三角函数的基本性质，掌握它们对于解题非常重要。
2. 三角函数的周期性三角函数的周期性是指正弦、余弦、正切、余切函数在一定范围内呈现出周期性变化的特点。
通过周期性的性质，可以证明如下恒等式：（1）sin(x + 2π) = sinx（2）cos(x + 2π) = cosx（3）tan(x + π) = tanx（4）cot(x + π) = cotx这些恒等式可以帮助我们简化计算，减少解题的复杂度。
3. 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性是指正弦、余弦、正切、余切函数在变量取相反数时的性质。
通过奇偶性的性质，可以证明如下恒等式：（1）sin(-x) = -sinx（2）cos(-x) = cosx（3）tan(-x) = -tanx（4）cot(-x) = -cotx这些恒等式可以帮助我们在计算中简化表达式，提高解题效率。
三、常见三角恒等式的证明方法1. 和差角公式和差角公式是指正弦、余弦、正切、余切函数在两角和、两角差情况下的关系。
通过和差角公式，可以证明如下恒等式：（1）sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny（2）cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny（3）tan(x + y) = (tanx + tany) / (1 - tanxtany)这些恒等式在解决涉及角度和的问题时非常有用。
三角恒等式的证明方法
三角恒等式的证明方法本篇文章主要介绍了三角恒等式的证明方法，包括余弦定理和正弦定理两种方法。
三角恒等式是数学中一个非常重要的公式，它表示了三角形中三条边和三个角的关系。
在数学中，证明三角恒等式是非常重要的，下面将介绍两种证明方法：余弦定理和正弦定理。
余弦定理证明方法:余弦定理表示为:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A 为夹在 b、c 两边之间的角。
根据余弦定理，可以求出三角形中任意一个角的余弦值，从而证明三角恒等式。
具体证明过程如下:设三角形 ABC 的三个角分别为 A、B、C，则有:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC将上述三个式子相加，得到:a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab cosC + ac cosB + bc cosA)化简后得到:ab cosC + ac cosB + bc cosA = a^2 + b^2 + c^2根据余弦定理，cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc,cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac,cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab，代入上式得到:(b^2 + c^2 - a^2) / 2bc * b + (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac * c + (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab * a = a^2 + b^2 + c^2整理得到:a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2因此，三角恒等式得证。
正弦定理证明方法:正弦定理表示为:a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A、B、C 为三角形的三个角。
初中数学 如何证明三角恒等式
初中数学如何证明三角恒等式证明三角恒等式是初中数学中的一个重要内容，它可以帮助我们更深入地理解三角函数的性质和关系。
在本文中，我们将介绍几种常见的证明三角恒等式的方法，并以具体的例子加以说明。
方法1：代数证明法代数证明法是证明三角恒等式的一种常见方法。
这种方法通常涉及将三角函数用代数式表示，然后进行变换和简化，以达到等式两边相等的目的。
下面以证明正弦函数的一个三角恒等式为例，即sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
证明：首先，将左边的正弦函数展开，得到sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
然后，根据正弦函数和余弦函数的定义，展开右边的式子，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
接下来，将右边的式子进行变换，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
最后，由于等式两边的表达式完全相同，所以这个三角恒等式成立。
方法2：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质和关系，来证明三角恒等式的一种方法。
这种方法通常涉及构造和利用几何图形，以展示等式两边的几何关系。
下面以证明余弦函数的一个三角恒等式为例，即cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
证明：首先，构造一个单位圆。
设点A为圆上的一点，角AOB为x，角BOC为y，角AOC为x+y。
然后，根据单位圆上的性质，可以得到线段OA的长度为cos(x)，线段OB的长度为sin(x)，线段OC的长度为cos(y)，线段AC的长度为cos(x+y)。
接下来，根据三角形的余弦定理，可以得到线段AC的长度为cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
最后，由于线段AC的长度与cos(x+y)的长度相等，所以这个三角恒等式成立。
方法3：变量替换法变量替换法是通过将三角函数中的变量进行替换，来证明三角恒等式的一种方法。
数学三角恒等式证明
数学三角恒等式证明数学中的三角恒等式是一种非常重要的数学工具，它们在解决三角函数相关问题时起着至关重要的作用。
本文将探讨一些常见的三角恒等式，并给出它们的证明过程。
一、基本恒等式1. 正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1对于任意角度θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等式也被称为三角恒等式的基本恒等式之一。
要证明这个恒等式，可以利用三角函数的定义和勾股定理。
根据正弦函数和余弦函数的定义，sinθ = opposite/hypotenuse，cosθ = adjacent/hypotenuse。
假设一个直角三角形，其中一条边的长度为1，那么根据勾股定理，另外两条边的长度分别为sinθ和cosθ。
根据三角形的定义，sin^2θ + cos^2θ = (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = (opposite)^2 + (adjacent)^2 = (opposite)^2 + (opposite)^2 = 1^2 + 1^2 = 1。
2. 正切函数等于正弦函数除以余弦函数对于任意角度θ，有tanθ = sinθ/cosθ。
要证明这个恒等式，可以利用正弦函数和余弦函数的定义。
根据定义，sinθ = opposite/hypotenuse，cosθ =adjacent/hypotenuse。
所以，sinθ/cosθ = (opposite/hypotenuse)/(adjacent/hypotenuse) = opposite/adjacent = tanθ。
二、和差恒等式1. 正弦函数的和差恒等式对于任意角度θ和φ，有sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ。
要证明这个恒等式，可以利用三角函数的定义和向量的性质。
根据定义，s inθ = opposite/hypotenuse，cosθ = adjacent/hypotenuse。
假设一个长度为r的向量，与x轴正方向的夹角为θ，那么该向量的坐标为(rcosθ, rsinθ)。
三角恒等变换的证明
三角恒等变换的证明三角恒等变换是指通过对三角函数的基本关系进行代数运算，得到新的等价形式。
它在解决三角函数问题中起到了非常重要的作用。
本文将通过推导和证明，展示三角恒等变换的原理和应用。
下面将介绍一些常见的三角恒等变换。
一、正弦和余弦的平方和恒等式在三角恒等变换中，正弦和余弦的平方和恒等式是最基本的恒等式之一。
它的表达式如下所示：(sinθ)² + (cosθ)² = 1该恒等式可以通过勾股定理来证明。
假设一个直角三角形，其中一条直角边对应的角度为θ，斜边的长度为1。
根据三角函数的定义，正弦和余弦的值可以通过对应的边长比斜边长来表示。
由此可得sinθ = 对边/斜边 = a/1 = a，cosθ = 邻边/斜边 = b/1 = b。
代入三角函数的平方和恒等式中可以得到：(sinθ)² + (cosθ)² = a² + b² = 1由此可见，三角恒等变换的基本原理是建立在几何图形和三角函数的关系之上的。
二、正弦和余弦的和差恒等式正弦和余弦的和差恒等式在三角恒等变换中也是非常常见的。
它用来处理三角函数的相加或相减问题。
下面是正弦和余弦的和差恒等式的表达式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这些恒等式可以通过将θ替换成α ± β，然后利用三角函数的和差公式进行证明。
三、正切和余切的和差恒等式正切和余切的和差恒等式和正弦和余弦的和差恒等式非常相似，只是公式中的三角函数变为正切和余切。
下面是正切和余切的和差恒等式的表达式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)cot(α ± β) = (cotαcotβ ∓ 1)/(cotβ ± cotα)这些恒等式的证明方法与正弦和余弦的和差恒等式类似，通过将θ替换成α ± β，利用三角函数的和差公式来推导得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 三角恒等式的证明要证明三角恒等式就必须了解证明三角恒等式的方法，为此我们将在下面一一介绍。
第一节 一般恒等式（一）基本思想、方法和技巧 三角恒等变形的基本思想是：首先考察函数式能不能直接应用三角公式（或者三角公式的变形）进行变形；若不能则用代数法对三角函数中的角进行适当的变换，使之变形为可以应用三角公式的形式。
1、熟悉公式的变形，做到“三会”（会正用，会逆用，会变形用） 例题1：在非直角三角形中，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：由题有A+B+C=π则左=()()C B A B A tan tan tan 1tan +-+ =-()C B A C tan tan tan 1tan +-=右例题2：求证：340tan 20tan 340tan 20tan =︒︒+︒+︒. 分析： 在正切恒等式中常常出现3，应于33tan =π相联系，这样问题就好解决了。
证明： 仿例题1即可。
例题3：求证：81804020=︒︒︒Cos Cos Cos 。
分析：角度成倍数增长，就应该和二倍角联系在一起，构造适合条件形式，从而解决问题。
证明：左=︒︒︒︒︒202804020202Sin Cos Cos Cos Sin =︒︒2016081Sin Sin =右。
例题4：求证：xxx Sin x Cos SinxCosx tan 1tan 12122-+=-+. 分析：弦化切（先降次）或者切化弦。
证明：左=()xxSinx Cosx Cosx Sinx xSin x Cos Cosx Sinx tan 1tan 1222-+=-+=-+=右。
2、注意角间的关系，正确应用三角公式进行变换必须领会和掌握公式的实质，决不能停留在表面上。
若：SinxCosx x Sin 22=， 也可以改写为232323222xCos x Sin x Sin x Cos x SinSinx ==或者，因此，对三角公式要善于变换其中角的表现形式以及发现恒等式变形问题中角之间的相互关系：⑴改变角的表现形式； 如()()βαβαββαααα-+=-+-=⨯=，，22。
⑵角α±︒45可以表示为2290α±︒。
⑶利用角间的数值关系，整合时应从产生特殊角或整合后再变形能够抵消或相约为 前提。
⑷利用题设中的角间的关系，对于特殊条件下的恒等变形，应注意掌握条件本身所 具有的规律。
例题1：求证：()()ASinA n Sin CoanA ACosA n Cos 11-=--. 分析与证明：将CosnA 变形为()[]A n Cos 11+-或者变形为CosnA =()()ASinA n Sin ACosA n Cos 11---就能够简单的证明了。
例题2：已知()βαβ+=23Sin Sin ；求证：()αβαtan 2tan =+。
分析与证明：变形()[]()[]αβααβα++=-+Sin Sin 3，展开合并得()()βαααβα+=+Cos Sin Cos Sin 42， 即有()αβαtan 2tan =+。
3、采用“一致代换”的方法所谓“一致代换”即在恒等变形中变异名、异角、异次为同一个三角式中的同名、同角、同次的方法，它主要有：⑴在三角函数式中，如果只含有同角的三角函数，则一般是从变化函 数入手，尽量化为同名函数，其常用“化弦”“化切”的方法。
⑵在三角函数式中，如果只含有异角的三角函数，则一般是从变化角 入手，尽量化为不同角为同角，变复角为单角，减少不同角，便于 使用公式 。
⑶在三角函数式中，如果只含有三角函数的异次幂，则一般利用升幂 或者降幂公式，化异次为同次，使运算简洁。
例题1：化简：()()βαβαβα2222Cos Cos Cos Cos --++分析与解：()()βαβαβα2222Cos Cos Cos Cos --++=()[]()[]βαβα-++++21212121Cos Cos —βα22Cos Cos =1+()()[]βαβα-222221Cos Cos —βα22Cos Cos=1+βα22Cos Cos -βα22Cos Cos =1. 例题2：求证：()()y Sin x Sin y x Sin y x Sin 22-=-+。
分析与证明：左=x Sin 2y Cos 2-x Cos 2y Sin 2=x Sin 2（1-y Sin 2）-y Sin 2（1-x Sin 2） =x Sin 2-y Sin 2=右。
例题3：求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+6tan 36tan 31ππx x =x tan 分析与证明：x tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-66tan ππx =6tan 6tan 16tan6tan ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+6tan 36tan 31ππx x 。
或者⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+6tan 36tan 31ππx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+6tan 3316tan 33ππx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-66tan ππx =x tan 。
4、将原三角函数式同加减或者同乘除一个函数式，再进行变换 例题1：求证：()()SinxCosxCosx Sinx Cosx Sinx x Sin +=-+++1112. 分析与证明：左=()2212Cosx x Sin xSin --=Cosx x Cos x Sin SinxCosx 21222+-- =()Cosx Cosx SinxCosx -122=Sinx Cosx CosxSinx +=-11=右。
例题2：求证：()()βαβαβαβα+-=+-Sin Sin tan tan tan tan 。
分析与证明：切化弦为顺其自然，而弦化切则涉及到分子、分母同乘以一个式子。
所以一般 采用切化弦。
左=βααββαβααββαCos Cos Cos Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Cos S +-in =右。
5、重视等量代换、特别是数值“1”的代换例题1：求证：()()()()x Cot x Sinx Secx Cotx Cosx Cscx 5tan 11=-+-+ 分析与证明：左=()()CosxCosx Sinx Cosx Cosx Sinx Sinx Cosx Sinx Sinx 1111-+-+=11223--x Cos x Sin x Cot =右（二）基本方法 1、综合法即从左⇒右，右⇒左或者从已知结论⇒。
例题：求证222os 12=++x Sin x C 。
分析与证明：左=2x C 2os +2x Sin 2=2（x C 2os +x Sin 2）=2=右。
2、分析法即执果索因，指出在三角证明中极少使用。
例题：若()()Sinzz x Sin Siny y x Sin +=-，求证()()y x Cot z x Cot Cotz Coty -++=-。
分析与证明：假设求证式子成立则：()()()()y x Sin y x Cos Sinz Cosz z x Sin z x Cos Siny Cosy ---=++-， 即()()()()y x SinzSin z y x Sin Siny z x Sin z y x Sin ++-=++-，故()()Sinzz x Sin Siny y x Sin +=-； 恰为已知，且以上过程可逆，所以命题成立。
3、转化命题法俗称变更证明，即转化为其等价命题来证明。
例题1：求证：SinxCosxCosx S -=+11inx 。
分析与证明：即证明x Cos x Sin 221-=成立，显然上式成立，所以命题成立。
例题2：求证：()()αββααβαSin Sin Cos Sin Sin =+-+22.分析与证明：即证明()ββαSin Sin -+2=2()αβαSin Cos +，而()ββαSin Sin -+2=()[]()[]ααβααβ-+-++Sin Sin =2()αβαSin Cos +；故命题成立。
4、左右归一即两边等于同一个式子。
例题：求证：()()x x -︒+︒30tan 30tan =12212os 2+-x Cos x C 。
分析与证明：()()x x -︒+︒30tan 30tan =x x xx x 22tan 3tan 31tan 331tan 33tan 331tanx 33--=+--+ =xCos x Sin x Cos x Sin 2222331--=x Sin x Cos x Sin x Cos 222233--；12212os 2+-x Cos x C =()()()()x Cos x Sin x Sin x Cos x Cos x Sin x Sin x Cos 2222222222++-+--=xSin x Cos xSin x Cos 222233--； 知左=右，所以命题成立。
第二节 条件三角恒等式证明条件三角恒等式的基本方法1、从已知条件出发进行变换，逐步推出求证的等式。
2、从要证明的等式的一边出发进行变换，在变换过程中利用已知条件逐步推出另一边；或 者把条件作为参数带入所证的式子的一边或两边，再加以推证。
注意带入前应先化简。
3、对三角形中边角等式的证明，一般用正、余弦定理或者射影定理()cCosB bCosC a +=, 化边为角可用三角公式证明；化角为边可用代数方法证明；边角统一可用射影定理证明。
例题1：若x tan +Sinx =m,x tan -Sinx =n;求证：()mn n m 16222=-.分析与证明：左=()()[]()x xSin xSinx Sinx x Sinx x 222222tan 16tan 4tan tan ==--+（在此可以用左右归一证明16mn=x xSin 22tan 16） =()()x Sin x x Cos x 2222tan 161tan 16-=- =16（x tan +Sinx ）（x tan -Sinx ）=16mn=右。
例题2：已知y Cot x Cot 2221+=；求证：x Cos y Sin 212-=。
分析与证明：由已知()y Csc x Csc y Cot x Cot 22222121=+=+即， 则x Cos x Sin y Sin 21222-==。
例题3：在三角形ABC 中证明()abCosC acCosB bcCosA c b a ++=++2222.分析与证明：直接用三个余弦定理就可以得到证明。
例题4：设βαtan ,tan 是方程02=++q px x 的两个解，则()()()()q qCos Cos pSin Sin =++++++βαβαβαβα22.分析与证明：由已知q ian p =-=+βαβαtan ,tan tan ，则()1tan -=+q pβα()()()()2222211tan 11-+-=++=+⇒q p q Cos βαβα， 左=()()()[]q p Cos +++++βαβαβαtan tan 22=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--+q q p q p q p 1111-q 222222=q ； 另外简便方法由()()()()q qCos Cos pSin Sin =++++++βαβαβαβα22()()()()βαβαβα+-=++⇒21p Sin q Cos Sin ，所以()1tan -=+q pβα满足已知，所以命题成立。