高一数学第二章基本初等函数知识点总结归纳

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(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结

(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结

下列函数中不是幂函数的是( )
A. y 3x
B. y x
C. y 3 x
D. y x0
幂函数的图像过点

2,
1 4

,则它的单调递增区间是(

A. (0, )
B.[0, )
C. (, 0)
D. (, )
B
在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , 这三个函数中,
方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 n a 表示.
(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反
数,这时,正数的正的n次方根用符号 n a 表示,负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a
(a>0)
(3) n a n a (4)当n为奇数时,n a n a ;当n为偶数时,
1
y=x3 y x 2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠Leabharlann }奇 非奇非偶 奇增
(0,+∞)减

(-∞,0)减
(1,1)
图 2.3-1 是幂函数 y x 在第一象限的图像,
已知 取 2, 1 四个值, 则相应于曲线 2
C1, C2 , C3, C4 的 的值依次是_______________.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
R
4ac b2
[
, )

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

第二章基本初等函数知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n表示;当n 是偶数时,正数a 的正的nn次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当na =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.(2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数,N叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1aa =,logb a a b =.(3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN += ②减法:log log log a a aMM N N-=③数乘:log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则qpy x=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则qpy x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q py x=是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a-=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba-+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. (5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=- ③若2bq a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②0x ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()mf p =.xxxxx x(q)0x xfxfx xx。

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y>1(x > 0), y=1(x=0), 0 < y<1(x < 0)
y> 1(x < 0), y=1(x=0), 0 < y< 1(x > 0)
在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ;
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ,并注明反函数的定义域.
( 8)反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称.
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域. ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上.
③根式的性质: (n a )n a ;当 n 为奇数时, n an
a ;当 n 为偶数时, n an | a |
a (a 0)

a (a 0)
( 2)分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是: a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) . 0 的正分数指数幂等于 0.②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ,且 x1 x2 .令 f ( x) ax 2 bx c ,从以下四个方
面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x

高一数学第二章基本初等函数知识点整理

高一数学第二章基本初等函数知识点整理

高一数学第二章基本初等函数知识点整理高中学习数学重要的是基础的掌握,以下是第二章基本初等函数知识点,请大家仔细阅读。

一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(n th root),其中 1,且 *. 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radical exponent),叫做被开方数(radicand).当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成?( 0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

注意:当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1)(2) ; (3) .(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a1 0图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+ 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是或 ;(2)若,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数,总有 ; (4)当时,若,则 ;二、对数函数 (一)对数1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作: ( 底数,真数,对数式)说明:○1 注意底数的限制,且; ○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数 ;○2 自然对数:以无理数为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 (二)对数的运算性质如果,且,,,那么:○1 ○2 - ; ○3 .注意:换底公式( ,且 ; ,且 ; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) . (二)对数函数1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

高一数学常用公式及知识点总结

高一数学常用公式及知识点总结

三角函数值在各象限的符号
sin a
cos a
tan a
(2)、同三角函数的基本关系
平方关系: sin2 a cos2 a =
商数关系: tan a =
(3)、特殊角的三角函数值表
a 的角度 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
a 的弧度
函数。(即 f (x1) f (x2 ) 0 ) x1 x2
3、周期性
对于定义域内任意的 x,都有 f (x T ) f (x) ,则 f (x) 的周期为

四、三角函数、三角恒等变换和解三角形
1、三角函数
(1)、三角函数的定义:______________________________________________
=
=
T2 : tan 2 =
(9)、辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 (sin x cos cos x sin)
a2 b2 sin(x )(tan b ) a
cos(a) = cos( a) = cos( a) =
2
cos( a) =
2
tan( a) = tan(a) =
tan( a) =
(记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限。奇偶指 的奇偶数倍,变与不变指三
2 角函数名称的变化,若变则是正弦变余弦,正切变余切;符号是根据角的范围 以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号(无论 a 是多大的角, 都将 a 看成锐角))
2、对数运算法则及换底公式( a 0且a,M1>0, N>0 )

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

〖2.1〗指数函数根式的性质:n a =;当na =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈(4)指数函数〖2.2〗对数函数负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1aa =,logb a a b =.常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN += ②减法:log log log a a aMM N N-=③数乘:log log ()na a n M Mn R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且换底公式的推论: (5)对数函数〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且(1,1). 图象都通过点0α>,③单调性:如果则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x=是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x=是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x=下方.。

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。

当n是奇数时,anna,当n是偶数时,ann(a0)a|a|a(a0)2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:maanmnna(a0,m,nN,n1)1mnm*,*1na0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质am(a0,m,nN,n1)(1)a〃aa(a0,r,sR);(2)(3)(a)arrsrsrrrs(a0,r,sR);(ab)aars(a0,r,sR).(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10(2)若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;(3)对于指数函数f(x)ax(a0且a1),总有f(1)a;二、对数函数(一)对数1.对数的概念:一般地,如果axN(a0,a1),那么数x叫做以.a为底..N的对数,记作:xlog数,logxaN(a底数,N真aN对数式)说明:○1注意底数的限制a0,且a1;2aNlogNx;○3注意对数的书写格式.○alogaN两个重要对数:1常用对数:以10为底的对数lgN;○2自然对数:以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN○指数式与对数式的互化幂值真数a=NlogaN=bb.底数指数对数(二)对数的运算性质如果a0,且a1,M0,N0,那么:1loga(M〃N)logaM+logaN;○2log○3log○MaNMnlogaM-logaaN;anlogM(nR).注意:换底公式logcblogab(a0,且a1;c0,且c1;b0).logca利用换底公式推导下面的结论(1)logambnnmloga(2)logb;ab1logba.(二)对数函数1、对数函数的概念:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:○1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

高一数学知识点第二章

高一数学知识点第二章

高一数学知识点第二章第二章高一数学知识点一、函数与图像在高一数学中,函数与图像是重要的知识点之一。

函数是指一个变量与另一个变量之间存在的关系。

图像是用来表示函数关系的一种可视化形式。

1. 函数的定义与性质函数的定义:如果一个集合A中的每一个元素x都有唯一的元素y与之对应,那么我们就称这个对应关系为函数,记作y = f(x)。

函数的性质:- 定义域:函数的定义域是指变量x的取值范围。

- 值域:函数的值域是指变量y的取值范围。

- 单调性:函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势,可以是递增或递减或恒定。

- 奇偶性:函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性,可以是奇函数或偶函数。

2. 基本函数及其图像在高一数学中,我们将学习到一些基本的函数及其图像形态。

- 常函数:y = k,图像是一条水平直线。

- 一次函数:y = kx + b,图像是一条直线,斜率为k。

- 平方函数:y = x^2,图像是一个开口朝上的抛物线。

- 绝对值函数:y = |x|,图像是一条折线,它在原点处折点。

二、集合与命题逻辑集合与命题逻辑是高一数学中的另一个重要知识点,它们提供了一种描述事物和推理的工具。

1. 集合与集合运算在数学中,集合是由不同元素构成的整体。

我们可以用大括号{}来表示集合,集合的元素之间用逗号分隔。

常见的集合运算有:- 交集:A ∩ B,表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。

- 并集:A ∪ B,表示属于集合A或者集合B的元素组成的集合。

- 差集:A - B,表示属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。

- 互斥:如果两个集合的交集为空集,那么我们称这两个集合互斥。

2. 命题与命题逻辑命题是指具有确定真值(真或假)的陈述句。

在命题逻辑中,我们可以对命题进行一些逻辑运算。

常见的逻辑运算有:- 否定:对一个命题取反,表示为¬P。

- 合取:两个命题同时成立,表示为P ∧ Q。

- 析取:两个命题至少有一个成立,表示为P ∨ Q。

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必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n表示;当n 是偶数时,正数a 的正的nn次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当na =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数,N叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1aa =,logb a a b =.(3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN += ②减法:log log log a a aMM N N-=③数乘:log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则qpy x=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则qpy x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q py x=是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2ba-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a-=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba-+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2bm f a=- ③若2b q a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②0x ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2bM f a=- ③若2b q a ->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m fp =.xxxxx x(q)0x xfxfxfx xxx。

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