一道课本例题
一道课本例题探究和思考
我们 只 探讨 沿砖由 向 的 伸 缩 变 换 ： 方
＝ ｍ∞， ｔ ． ｙ ＝ｙ
在 变换 作 用 下 点Ｐ ｘ，ｏ变 为ｔ （ ， （ｏ ） ｙ ｒ ，。 ：
后点与线 、 与线之间的接合性不变（ 线 即
出示 问囊
倒 将 圆 上 的 点 的横 坐 标 保 持
０
）直 线 ２ ， ＋ 变换 后 仍 为直 线Ｚ： ＝ ； ： ６ ） ：
，
若直线 与直线 平行或 相交 ， 变换 后仍平
行或相交 ； 若直线 与曲线相切 ， 变换后仍
相切 ） ．
设点 Ａ（ｌ １， ｘ，２， （３ ３在 直 ， ）Ｂ（２ ）Ｃ ｘ， ） Ｙ ｙ ｙ 线ｌｙ ｋ＋ ， 变 换 后 的 点Ａ （ ， ， ：＝ ｘ ｂ 则 １ １ Ｙ）
然 后 再 将 得 到 的 结 论 沿 着 “ 梁 ” 原 到 桥 还 椭 圆 中 去．根 据 这 一思 路 ， 学 中及 时 引 教 导 学生 继续 探 究 ， 新解 题 思 路 、 创 方法 ．
ｍ ‘
些 例 题 可 以进 行 适 当 变 形 转 化 ， 申 引
代 到 圆，方 錾 中得 ． 人 椭 ｃ 程 ， 的
Ｂ （ ，＇ ， ， ３在 直线 ｙ ２ ２ Ｃ （ ｙ ） ｙ ） ３ ＝ ＋ ６
旦 ＋ ； 点 Ｐ 直 线 ｌ 即有 ｙ ０ ｂ ６若 在 上 ０ ＋ ，
ｍ
不 变 。 坐 标 变 为 原 来 的 一 半 ， 所得 曲 纵 求 线 的 方程 ， 说 明它 是 什 么 曲线． 并 分 析 设 所 求 曲 线 上 任 一 点 坐 标 为
： ＋
ｍ
＋ ６ －￣ － （ ： ｒ） ０， 所 ＋ ２（ ￣ ２
探 究 拓 展 架 构 椭 圆 和 圆 之
一道课本例题的探究与应用
ｙ
二 、 向 探 究 逆
由 上述 几种 解 法 不 难 知 道 ， △ Ｏ 面 积 最 小 时 ， Ｐ 线 当 Ｂ 点 是 段 Ａ 中点 ． 么 ， 之 成 立 吗 ？ 口 那 反 问题 ： 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ 在 Ｏ
修五Ｐ ０ ９ 中的例 ３第 三章《 ， 不等式》 中的一道例题．
本 题 自然 质朴 ， 法 较 多 ， 合 了解 析 几 何 、 解 综 函数 、 等式 等 不 重 要 内容 ， 留给 考 生 后 继 的 探 究 空 间 很 大 ， 探 究 的 结论 具有 一 且
ｔｎ 一 ） 只是 刻 画直 线 倾 斜 度 的 不 同表 现 形 式 而 已． ａ（ ０ ，
４、
０则 Ｏ １ — ， Ｂ ２ ｔ ０ ， ＝ ＋ 兰 Ｏ ＝ ＋ａ ． ｎ
ｔ ｎ０ ａ
１
２
．
０ １
图 １
Ａ＼
贝 ＡＡ０ 的 而 积ｓ Ａ ＝ １Ｏ Ｏ ４ 曰 △（ Ａ・Ｂ
ｒ １ ＼・ Ｊ ２ ｌ
图２
高 版 ？ ７ ≮ 巾 中・擞，誓繁０
用 基 本 不 等 式 求 最值 ． 实 上 ． ＋２： 事 因为 １
．
￣ 的 积 Ｏｏ 一） ｊ ｒ Ｄ 面５ ＡＢ （ ） Ａ ‘＝ ２ 一
．
本 质 上 也 只 是 一
Ⅱ
ｂ
个 变 量．
＝
２ ［ ）一１＋× ） ＋ （ ＋ ，２ ２ × ， ｛一 ｃ ≥｛ 、 ｃ ／ 一
思 路 ｌ 一 元 函数 模 型 ） ｆ
“
由 Ｉ ＋ ２≥２ ＿
＝
一道课本例题教学的探索
ＡＯ Ｃ Ｆ （ Ｅ ｍ ＡＯ Ｄ 证明此两个三角形全等与例题证明方法相
同）
得 Ｓ Ｅ ＝ ＡＯ Ｄ 而 Ｓ Ｄ ＝ ＡＯ Ｄ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ ＋ ＡＯ Ｃ
含 ４￣ ５ 角的三角板 ， Ｄ ＡＯ Ｅ是另一块含 ３ 。 ０ 的三角板 ， 且点 Ｏ是
Ｂ Ｃ的中点 ， △Ｏ Ｅ绕着点 Ｏ旋转 ， 把 Ｄ 上述结论 成立 吗？
Ｃ
一
Ｎ Ａ ／
图２
ＢＭ Ｄ
￡
图３
分析 ： 变形 １２的结论都成立 ， 、 其解题 思路和例题类 似 ， 证 明方法完全相同（ 请读 者 自己证 明） 通过改变 图形 ， 变形 ， 操作等 创造 出系列新题 ， 关键是抓住题 目的本质属性 ， 解决 实际问题 ，
２０ ０ ８年 １ ０月
（ 总第 ９ 期 ） ２
搴Ｈ 论 ’Ｉ 坛 Ｓ Ｕ 磁 Ｚ
Ｊ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ ＬＵ Ｎ Ｉ ＴＡ Ｎ
一
ＮＯ．０， ０ １ ２ ０８
（ ｕ ｌｔ ｅｙ Ｏ９ ） Ｃ ｍｕａｉ ｔＮ ． ｖ ２
道课 本例题 教学 的探索
沈桂斌
江 苏省兴 化 市林 潭 学校 ， 苏 兴化 ２ ５４ 江 ２ ７５
点， 如果 点 Ｍ、 Ｎ分别在线段 Ａ 、 Ｃ上移动 中保 持 Ｍ Ｎ ９ 。 ＢＡ Ｏ ＝ ０，
请判断 Ａ ＝ Ｍ ， Ｍ＝ Ｎ， Ｎ Ｂ Ｏ Ｏ 并证 明你 的结论 。
Ｃ
硼
？ 邀 Ａ Ｃ ｉ ・ Ｂ Ｄ、～ ＣＤ 是 ＡＢ 一 Ｅ
一道课本例题的延伸与拓展
关键 在于条件 的把 握 、应 用 。
２ 知识 的拓 展
在 原例题 图中， ｐ ｏ 是线面成角 ， ｚ Ａ， ￣ 并且可以得 出如下
关式 ｓＡ ｃ Ｐ箐，／Ｆ 系… ￣Ｏ ｏ Ａ ｃ Ｏ 。 Ｐ ， Ｆ ｏ Ａ ＝ ｓ ＝ ｓ ＝ Ｚ
于 是Ｃ Ｓ Ａ Ｏ Ｆ＝Ｃ Ｓ ＬＰ Ｏ Ｄ・Ｃ Ｓ Ａ ，这 个关 系式 不仅 Ｏ Ｆ ＺＯ
由 已 知 可 知 平
中点 ，试 求 Ｂ
与Ａ Ｅ Ｆ 面 成 角 的 正 切 ４ Ｃ 平
面Ｐ Ｂ上 平 面 ∞ ， Ａ
ＡＥ Ｆ是 菱形 。２）ＺＢ ＡＦ Ｃ ＝ ＺＢＡ】 １ Ｅ。于 是 由习题 结 ． 论知 Ｂ 在 平 面 Ｅ Ｆ 的 Ｃ上 射 影 为 Ｆ Ａ Ｅ的 角 平 分
直 线 上 。如 图 １ 所
图１
合 客观题 目）。 如 图 ３ 所
图３
示 ， 已知 ＺＢ Ｃ 平 Ａ在
Ｆ ，Ｐ ＝Ｐ 。 求 证 ： ＺＢ Ｏ ￣Ｃ Ｏ ，０ Ｅ Ｆ Ａ＝ Ａ。
示 ，正 方￣Ａ Ｃ 沿对 角线肋 折 成直 二面 角 ，Ｙ 与∞ 成 ＢＤ ， ｐ ￣Ｂ
显 然平 ＩＡ Ｄ上平面 ，交线 为Ｂ ￣Ｂ Ｄ，Ａ 与肋 成４ 。 Ｂ ５ 角， 与Ｂ Ｄ成４ 。角 ， ． 异 面 直 线Ａ ５ ’ ． Ｂ与Ｃ 角 目满 足 Ｏ成
仅 很好 地诠 释 了线 面成 角 中 的最 小角 问题 ，而且 可 以用 来计 算异 面直线 成角 问题 。观察 图中平 面 ０ 平面 ａ显 与 然垂 直 ，而 ＬＰ Ｏ ￣Ｆ Ｏ 别 是 与 与交鳓 Ｄ 角 ， Ａ和 Ａ分 成
于是 可得 二 异面 直线 成 角求 法 ：分 别把 二 异面 直线 放 在
内 的射 影是这个 角 的平分线 所在 的直线 。
一道课本例题的探究性教学
并且 面积比原来的矩形面积大 （ 图２ 如 的
引 导 １ 许 多 同 学 都 在 计 算 罔 １ 况 情
（ 即课 本情 况 ） 的矩 形 面 积 的最 大 值 ， 生 下 你
多
学
虚 线 部 分 ） 对 于 这 种 情 况 ， 可 以 找 ．即 总
到 一 个 面 积 比它 大 的矩 形 ， 并且 此 矩 形 至 少 有 两个 顶 点 在 扇 形边 界上．
（ ） 矩 形 绕４点逆 时针 方 向旋 转 直 １将
到边ＡＢ存 半径 ０ Ｐ上 ：
（ ） 得 到 的 矩 形 平 移 ， 持 点 ， ２将 保 Ｂ 在半径０ 上． Ｐ 直到 点 在扇 形 的 另一 条半
径 上为止 ．
很 快 同学 们发 现 ． 不论 如 何 变化 矩形 ＡＢＣ Ｄ的 位 置 ． 于 图 １ 和 图 ｌ 的情 形 中 对 ２ ３
更大的“ 内接 矩 形 ” 是不 是 这 种面 积 更大 ， 的内 接矩 形 不存 在 呢？
就在 学 生作 图 遇到 困难 时 ， 一部 分 学
生 开 始 怀 疑 这种 “ 积 更 大 的 内接 矩 形 ” 面
的存 在 性 ， 但是 更 多 的人 坚信 ， 种 “ 积 这 面
更 大 的 内接 矩 形 ” 仅 存 在 ， 小 而且 就 是 图 １
的课 本 情形 ！ 于 是笔 者 给 出下 面 的提 示．
引导９ 我 们 能 否 像 图 ９ 样 ， 用旋 那 采
转 变换 来 寻求 问题 的解 决 呢？
此 言一 出 ， 几乎 所 有 的学 生都 想 到利 用 计 算 机 来 演 示 探 求．于 是 有 学 生 要 求
利用 教 室多 媒 体进 行 实验．
一道课本例题探究性学习的实践与思考
一
二 册 （ ） １ 页 的 例 ３ “ 率 为 １ 直 线 经 过 抛 物 线 上 １８ ：斜 的
Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 求 线 段 Ａ Ｂ， Ｂ的 长 ”的 教 学 为 例 ， 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 谈 展探 究性 学 习 ， 大家 参考 ， 供
使 用 这 一 模 型 进 行 各 种 变 量 的 测 算 ， 一 模 型 尽 管 这
来 源 于 房 地 产 市 场 ， 它 的 应 用 远 远 不 仅 于 此 ， 实 但 事
上 ， 诸 如 保 险 、 赁 、 券 等 行 业 也 有 十 分 广 泛 的 在 租 证
应 用． 然 它在 不 同领 域 的应 用 各有 其 特点 ， 兴趣 当 有
＞０ ）的 焦 点 ， 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 两 点 ， 线 段 与 Ｂ 且 ｌ Ｂ ｌ ＝ ８ 求 Ｐ的 值 ． Ａ ，
Ｊ ’ ｌ
思 路 １ 先 求 交 点 坐 标 ， 后 直 接 运 用 两 点 间 然 的 距 离 公 式 求 线 段
ＩＡＢ ｌ的 长 ．
学 科 的核 心知 识 为 内 容 ， 探 究 发 现 为 主 的学 习方 以
式 ， 中学数 学教 学 中 ， 导 学 生 开 展 探 究性 学 习 ， 在 引 对 每 一个数 学教 师 来说 ， 一 个 不 可 回避 的新 课题 ． 是 本 文 以 现 行 高 中 新 教 材 （ 验 修 订 本 ・ 修 ） 学 第 试 必 数
③ 如 何 求 线 段 ｌ Ｂ ｌ的 长 ？ Ａ 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ， 于 问题 ③ ， 生 对 学
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。
笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。
该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。
笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。
一道课本例题的引伸与探究
方形 Ｂ ｃＤ ． 接下来 ， 们可 以从 点 的对 称 角度对 此 我
国标苏科版教材九年级上册 ２ ４页例 ６ １ ： ［ ］ 已知 ： 如图 １ Ｅ、 Ｇ、 ， Ｆ、 Ｈ分 别是 正 方 形 Ａ Ｃ 各 边 的 中 ＢＤ
点 ，Ｆ、 Ｇ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 、Ｈ、 Ｅ分别相交于
点 Ａ 、 、 Ｄ ． Ｂ Ｃ 、
问题进行 引伸 ， 到一 些有价值的结论． 得 引伸 １ 若点 Ｅ在线 段 Ａ Ｂ上运 动 ， Ｆ Ｇ 日作 相 点 、、 应 的变化 ， 使得 Ａ Ｂ Ｅ＝ Ｆ＝Ｃ Ｄ ． Ｇ＝ Ｈ 特殊地 ， 当点 Ｅ与点
Ａ重合 时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 与原正方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ重合 ； 当点 Ｅ与点 曰重合时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 退化为 一个点 ， 即原正 方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的中心． 不难发现 ： 当点 Ｅ从点 Ａ沿线 段Ａ Ｂ向 点 运动时 ，Ｅ逐 渐变大 ， 构造的正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 逐 Ａ 所
求证 ： 四边形 Ａ Ｂ ＣＤ 是
正 方 形．
２ 方法探究
图１
渐变小．
课本 给出的证 法经历 了三 次全等 证 明 ： ＡＡ Ｆ ① Ｂ ￣
ＡＢ Ｇ， ＡＡ ＡＢ ③ △Ａ ＡＢ ． 下 Ｃ ② ＢＢ Ｃ Ｃ， ＡＥ ＢＦ 接 来 ， 思考 的是 能否减少 证 明全等 的次数 ， 要 使得证 明更
引伸 ２ 如 图 ２ 若 点 Ｅ在线 段 Ａ ， Ｂ的延 长线 上运 动 ， Ｆ、 、 作 相 应 的变 化 ， 保 持 Ａ 点 ＧＨ 仍 Ｅ＝Ｂ Ｆ：Ｃ Ｇ＝
Ｄ ． Ｈ 可发现 ： 当点 Ｅ从 点 沿 Ａ Ｂ方 向运动 时 ，Ｅ逐渐 Ａ 变大 ， 构造 的正方形 Ａ Ｂ ＣＤ 也 随之逐渐变大． 所 引伸 ３ 如 图 ３ 若点 Ｅ在线段 Ａ ， Ｂ的反 向延 长线上
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一道课本例题的探索
探索是数学永恒的生命线，缺少了探索就缺失了我们数学的本味。
寡淡的数学会让学生枯燥乏味，而探索如同给数学的学习注射了兴奋剂，能让学生高亢地挺进数学的领地，乐此不彼，效果自然生来！探索，激发了学生的求知热情，学生会积极介入，与老师一起享受“多姿多彩”，美丽新奇，富有灵性，充满无穷活力的数学精神乐园。
现以义务教育教科书七年级数学上册p94页例2题，将本人教学时的探索过程呈现同仁们参考敬请大家指导。
要求学生读例2题目3遍，结合第二章学习过的整式2.1节例2的分析完成课本中内容，然后接书上的解答过程一律不变呈现给学生。
虽然学生掌握这道题的浅层面基础知识，但是本人认为该题还有值得挖掘的地方。
一、巧设问求未知数，多向发散思维
此题可以从一个方面设未知数，即设甲乙码头的距离为ⅹ，从而得出直接设之法，与间接设之法的思维训练。
初中很多学
生最怕做应用题，其根本原因是无法设出未知数。
因此教师利用教材例题探究其内容，不因讲题而讲题，更注重例题的深刻内含，提炼，生成。
使学生发散性思维得到训练素材。
二、变换思路另寻路径解方程
根据已知量，未知量之间的关系到方程更是难事，教材中提供了
这只船往返的甲乙码头的距离相等，而根据设问接未知数，甲乙码头的距离为ⅹ，则发现另有船在静水中的平均速度不变（相等），利用这个关系列出该方程：
x/2 – 3 = 2x/5 + 3
利用移项合并之得：ⅹ=60
则 60/3 -3 = 27（km/n）
三、承上启下，抓住时机诱导下节新课
仔细看到方程： x/2–3=2x/5+3
由同学们利用移项合并解答完成后，峰回路转提示：请同学们仔细观察与前面学过的方程有什么区别。
没有括号有分母、对了，前面有括号的方程，当然是利用去括号法则去掉括号，而这里有分母应该猜到把分母去掉。
那么怎样去分母解这一方程就是我们下节新的内容。
这样用类比的方法引导学生去听课、起到承上启下的作用。
总之，我觉得老师最重要的是“授之以渔”，而非彼“鱼”，老师讲的题目不在于多，而在于精辟与经典，一道例题，主要分析解题方法与思路，这样以后就有经验了。
因此，课堂教学的根本任务是调动学生的思维，通过教学过程，使学生的思维得到有效训练，产生思维共鸣。
教师要根据学习目标，精心设计问题，适时提出问题，激活学生的思维。
教学中，通过学习实践活动，引领学生把思维过程转化为智能的积淀和学习方法的运用。
（作者单位：贵州省遵义市花坪中学 563000）。