A用参数方程表示的空间曲线
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。
例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
空间曲线的参数方程
x 2 y 2 z 0 解： （1）从方程组 z x 1
分别消去变量 x, y, z ，得： ( z 1) y z 0
2 2
亦即：
z 2 y 2 3z 1 0
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
z x 1 0
x2 y 2 x 1 0
M ( x, y, z ) C
2 2 2
x2 y2 z 2 m z
2 2
将上述方程经同解化简为： x y (1 m ) z 2cz c 0 （*）即为所要求的轨迹方程。 2、 求下列各球面的方程： （1）中心 (2,1,3) ，半径为； R 6 （2）中心在原点，且经过点 (6,2,3) ； （3）一条直径的两端点是 (2 3,5)与(4,1,3) （4）通过原点与 (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) 解： （1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：
M ( x, y, z ) C
2 2 2
( x a) 2 y 2 z 2 m ( x a) 2 y 2 z 2
2 2 2 2
亦即 ( x a) y z m [( x a) y z ] 经同解变形得： (1 m )( x y z ) 2a(1 m ) x (1 m )a 0
2 2 2
（2） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（3） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（4） x 9 y 16 z
2 2
解： （1）曲面与 xoy 面的交线为：
x 2 y 2 16 z 2 64 x 2 y 2 64 z 0 z 0
参数方程与空间曲线的方程
参数方程与空间曲线的方程参数方程是一种描述曲线或平面的方法，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
与之对应的是一般方程，使用变量来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程常被用于描述三维空间曲线的方程。
一、参数方程的定义与例子参数方程是由一组关于参数的函数组成，这些函数可以表示曲线或平面上的点的坐标。
一般而言，参数方程使用参数t来表示点的位置，而坐标则使用函数表示。
例如，对于一个二维平面上的曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y为点的坐标，f(t)和g(t)为关于参数t的函数。
这样，当参数t取不同的值时，就可以得到曲线上不同点的坐标。
同样地，在三维空间中，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z为点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)为关于参数t的函数。
例如，对于一个球体的曲线轨迹，其球心位于原点，半径为r，可以使用参数方程描述为：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)其中，θ和φ为球坐标系下的参数，范围分别为[0,π]和[0,2π]。
二、参数方程与空间曲线的关系参数方程可以将曲线上的每一个点与参数进行对应。
当参数发生变化时，曲线上的点也会相应地发生变化。
通过选择不同的参数值，可以得到曲线上的任意点的坐标。
在空间曲线的描述中，参数方程可以提供更灵活的方式。
通过构造适当的参数方程，可以描述出各种形状的曲线，如直线、圆、椭圆、螺旋线等。
在三维空间中，参数方程可以描述复杂的曲线，例如螺旋线。
螺旋线的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t其中，a和b为常数，t为参数。
当a=b时，螺旋线为等螺线；当a>b时，螺旋线为紧密螺旋线；当a<b时，螺旋线为稀疏螺旋线。
三、从参数方程到一般方程的转换在实际问题中，有时需要将参数方程转换为一般方程，以便更好地分析曲线的性质和特点。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
探索数学中的空间曲线与曲面
探索数学中的空间曲线与曲面数学中的空间曲线与曲面是一门精彩纷呈的学科，通过对曲线与曲面的探索，我们可以深入了解空间的几何特征和数学规律。
本文将通过数学模型和实例来探讨数学中的空间曲线与曲面，分析它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是在三维空间中的曲线，是由一系列点组成的集合。
它可以用参数方程或者隐函数来表示。
常见的空间曲线有直线、曲线和螺旋线等。
下面以参数方程为例，介绍几个常见的空间曲线：1. 直线：直线是最简单的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct```其中 `(x_0, y_0, z_0)` 是直线上的一个点，`(a, b, c)` 是直线的方向向量，`t` 是参数。
2. 曲线：曲线是具有一定弯曲的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x(t)y = y(t)z = z(t)```其中 `x(t)`、`y(t)`、`z(t)` 分别是曲线在参数 `t` 下的坐标函数。
3. 螺旋线：螺旋线是一种具有环绕性质的空间曲线，它可以用参数方程表示为：```mathx = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t```其中 `a` 和 `b` 分别是螺旋线的参数，`t` 是参数。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，是由一系列点组成的集合。
它可以用隐函数或者参数方程来表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆柱面等。
下面以隐函数为例，介绍几个常见的空间曲面：1. 平面：平面是最简单的空间曲面，可以用隐函数表示为：```mathAx+ By + Cz + D = 0```其中 `A`, `B`, `C` 和 `D` 是常数，且 `A`、`B`、`C` 不同时为零。
2. 球面：球面是由圆周绕着某个直径旋转而形成的曲面，可以用隐函数表示为：```math(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2```其中 `(a, b, c)` 是球心的坐标，`r` 是球的半径。
平面曲线的切线与法线
由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
一、平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F( x, y) 0; 条件：P0( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y(x) ( 或 x x( y) ) ;
L 在 P0 处的切线： y y0 Fx (P0 ) Fy (P0 ) ( x x0 )
论( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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的条件. 容易算出 ( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为 15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
若 P0( x0, y0 ) ( x(t0 ), y(t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为
y y0
y(t0 ) x(t0 )
(
x
x0
),
或
x x0 y y0 . x(t0 ) y(t0 )
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
平面曲线的切线与法线
法向量 : n ( Fx (P0 ), Fy (P0 ) ); 切线方程 : Fx (P0 )( x x0 ) Fy (P0 )( y
y0 ) 0;
(1)
法线方程 : Fy (P0 )( x x0 ) Fx (P0 )( y y0 ) 0 .
例1 求笛卡儿叶形线
2(x3 y3) 9xy 0 在点 P0 (处2的,1切)线与法线. 解 设 F ( x, y) 2( x由3 §1y例3 )2的讨9 x y . 论 ( 这里 a 3 2 )近,旁F满足在隐点函数P定0理
令 F ( x, y) x2 容y易求s出in: x y ,
Fx (P0 ) (2x
y cos xy ) P0
23
3
2
,
Fy (P0 ) (1 x cos xy ) P0 1 3 .
由此得到 L 在点 处的切线P与0 法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
的条件. 容易算出
( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0;
12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
例2 用数学软件画出曲线
L : x2 y sin x y 0
的图象；并求该曲线在点 切线与法线.
P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[8,1]);
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则有 G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
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2 2
由此得到所求切线为
F ( x, y) 0; 曲线 L ：
P0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 条件：
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
L 在 P0 处的切线：
( x x0 ) y y0 F ( P ) F ( P ) x 0 y 0
例1 求笛卡儿叶形线
2 ( x3 y3 ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y . 由§1 例 2 的讨
论 ( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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或 x x
0
( y y0 ) . F ( P ) F ( P ) y 0 x 0
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总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
切线方程 : Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程 : F y ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0 . 法向量 : n ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) );
的条件. 容易算出
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 )) (15, 12),
于是所求的切线与法线分别为
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
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由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 )( x ) (1 )( y 2 ) 0, (1 )( x ) ( 2 )( y ) 0 .
3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3
P0
图 18－6 前页 后页 返回
例3 设一般二次曲线为
L : Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,
2 2
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象.
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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L
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
F ( Ax02 2 Bx0 y0 Cy0 2 2 Dx0 2 Ey0 ),
整理后便得到
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
§3 几 何 应 用
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法.
一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 *四、用参数方程表示的曲面
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一、平面曲线的切线与法线
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x( t ), y y( t ), t ,
若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线 在点 P0 处的切线为 y ( t 0 ) x x0 y y0 y y0 ( x x0 ), 或 . x ( t 0 ) x ( t 0 ) y( t0 ) 下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t .
若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6).
令 F ( x , y ) x 2 y sin x y , 容易求出:
F ( P ) (2 x y cos xy ) 2 3 3 2 , P0 x 0 Fy ( P0 ) (1 x cos xy ) P 1 3 . 0
2 L : x y sin x y 0 例2 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点 P0 (
切线与法线.
3
, 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);