高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44
高中数学第二章参数方程2.3.1椭圆曲线的参数方程学案新人教B版选修4_4
2．3.1 椭圆的参数方程[对应学生用书P31][读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t ,0≤t ≤2π.中心在M 0(x 0，y 0)的椭圆x －x 02a 2＋y －y 02b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos ty ＝y 0＋b sin t 0≤t ≤2π.[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的参数方程是什么？提示：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a2＝sin 2φ，x2b 2＝cos 2φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.即参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ(0≤φ≤2π)．2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．[对应学生用书P32]利用椭圆的参数方程求最值[例1] 已知椭圆x 2100＋y 264＝1有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B ，C ，D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析] ∵椭圆方程为x 2100＋y 264＝1， ∴可设A 点的坐标为(10cos α，8sin α)， 则|AD |＝20|cos α|，|AB |＝16|sin α|.∴S 矩形＝|AB |·|AD |＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，∴矩形ABCD 的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2φ的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ，0≤φ≤2π.代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ0＝85. 所以z min ＝－89，z max ＝89.[例2] 由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M 点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P 的坐标即可求得轨迹．[精解详析] 椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin 2θ＋cos 2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得(x ＋12)2＋4y23＝1.[例3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B 1，B 2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M 点的坐标，然后用参数表示出|OP |·|OQ |即可．[精解详析] 设M (2cos φ，sin φ)(0≤φ≤2π)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)， 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x .令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．3．求证：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0,0≤θ≤2π)上一点M 与其左焦点F 的距离的最大值为a ＋c (其中c 2＝a 2－b 2)．证明：M ，F 的坐标分别为(a cos θ，b sin θ)，(－c,0)． |MF |2＝(a cos θ＋c )2＋(b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋2ac cos θ＋c 2＋b 2－b 2cos 2θ ＝c 2cos 2θ＋2ac cos θ＋a 2＝(a ＋c cos θ)2.∴当cos θ＝1时，|MF |2最大，|MF |最大，最大值为a ＋c .[对应学生用书P33]一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)的离心率为( )A.25B.425 C.215 D.2125解析：选C 由椭圆的参数方程可知a ＝5，b ＝2. 所以c ＝52－22＝21， 故椭圆的离心率e ＝ca ＝215，故选C. 2．曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(0≤θ≤2π)中两焦点间的距离是()A.6B. 3 C ．26D ．2 3解析：选C 曲线化为普通方程为x 212＋y 218＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．26B ．4 C.2＋6D ．2 2解析：选D 椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2. 4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ0≤θ≤π上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是()A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125解析：选D 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.二、填空题5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，则m ＝________. 解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1546．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)的左焦点的坐标是________．解析：题中曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1，左焦点为(－4,0)．答案：(－4,0)7．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ0≤θ≤2π，恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f (θ)＝4sin θ－2cos θ ＝25sin (θ＋φ)(tan φ＝12)．∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，25] 8．直线x ＋y ＝23被椭圆⎩⎨⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ0≤φ≤2π截得的弦长为________．解析：把⎩⎨⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ代入x ＋y ＝23得3cos φ＋sin φ＝ 3.即sin(φ＋π3)＝32，于是φ＝0或φ＝π3，得两交点M (23，0)，N (3，3)，|MN |＝3＋3＝ 6.答案： 6 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y的最大值．解：椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ，0≤φ≤2π.故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ≤2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(32cos φ＋12sin φ)＝2sin(φ＋π3)． 所以当φ＝π6时，S 取最大值2.10．P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，求P 到直线l ：3x －4y －24＝0的距离的取值范围．解：设P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，则P 到l 的距离为 d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5＝|122cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－24|5＝24－122cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d 取最大值24＋1225； 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值24－1225. 综上，所求的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫24－1225，24＋1225. 11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为坐标原点)，求离心率e 的取值范围．解：由题意，知A (a,0)，若存在点P ，使OP ⊥AP ，则点P 必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P (a cos φ，b sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 因为OP ⊥AP ， 所以k OP ·k AP ＝－1，即b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1.所以b 2sin 2φ＋a 2cos 2φ－a 2cos φ＝0， 即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0. 解得cos φ＝b 2a 2－b 2或cos φ＝1(舍去)．由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，得0<cos φ<1， 所以0<b 2a 2－b2<1，把b 2＝a 2－c 2代入，得0<a 2－c 2c 2<1，即0<1e2－1<1，解得22<e <1.。
人教高中数学( B版)选修4-4-2.4一些常见曲线的参数方程 参数方程普通方程的互化 课件(共15
(2)xy=s1insinc2os(为参数).
解 ： (1)因 为 x t11
所 以 普 通 方 程 是 y2x（ 3x1)
这 是 以 （ 1， 1） 为 端 点 的 一 条 射 线 （ 包 括 端 点 ）
(2)因为：xsin cos 2sin( )
4
所以x 2, 2
所以普通方程是x2 y, x 2, 2.
由参数方程得：
scionsyx3,sin2cos2(x3)2y21
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
知识点分析
1.参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
如：①参数方程
x arcos, y brsin.
消去参数
可得圆的普通方程(x - a)2+(y - b)2=r2.
{x 3 1 t 2 (t为参数 )和{x 3 1 t 2
y 2t
y 2t
练习2:曲线y=x2的一种参数方程是（ ）
.
A 、 x y tt2 4
B 、 x y s s iin n 2 tt
C 、 xt y t
D 、 x y tt2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
y
cot .
（为参数）
示例分析
例3 求 椭 圆 x2y21的 参 数 方 程 。 94
( 1 ) 设 x = 3 c o s ， 为 参 数 ；
(2)设 y=2t， t为 参 数 .
解：（ 1）把 x 3 cos 代入椭圆方程，得到
9 cos 2 y 2 1,
9
4
所以 y 2 4(1 cos 2 ) 4 sin 2 即 y 2 sin
新人教B版高中数学选修4-4第2章参数方程2.1曲线的参数方程讲义
学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点)1．参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，a ≤t ≤b .(*)如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．简单地说，若t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程．2．参数方程与普通方程互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？[提示] 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？[提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)[解析] 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.[答案] C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t[答案] D3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)[解析] 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． [答案] C4．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线x ＋y ＝0的交点坐标是( )A ．(5，－5)B ．(7，－7)C ．(－5,5)D ．(－7,7)[解析] 将x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 代入x ＋y ＝0得t ＝－3，代入参数方程得x ＝7，y ＝－7. [答案]B⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B (－3，32)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[思路探究] 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解． [解] 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B (－3，32)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝56π.对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t有解，否则无解，即参数t 不存在．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4(t 为参数)判断点A (3,0)，B (－2,2)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解] 将点A (3,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝3t 2－4＝0，解之得t ＝2.所以点A (3,0)在曲线C 上，对应参数t ＝2.将点B (－2,2)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝－2t 2－4＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3t 2＝6，此方程组无解．所以点B (－2,2)不在曲线C 上．【例2】 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h ＝490 m ，水平飞行的速度v ＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程．(不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2)[思路探究] 这是物理学中的平抛运动，选择时间t 作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程．[解] 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O ，以垂线为y 轴，以O 为原点，建立平面直角坐标系．设P (x ，y )为炸弹在t s 后的坐标，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝vt ，y ＝h －12gt 2.因为h ＝490 m ，v ＝100 m/s ，g ＝10 m/s 2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝490－5t 2(0≤t ≤72)．1．本例选择时间t 为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键．2．求轨迹的参数方程的一般步骤是(1)建立适当的坐标系，设动点P (x ，y )为轨迹上任意一点．(2)根据题意选择与动点P 有直接联系的参数t .(3)根据轨迹条件求出x 和y 与参数t 之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的．2．设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)． [解] 取炮口为原点，水平方向为x 轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M (x ，y )，又设炮弹发射后的时间t 为参数．由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x ＝OQ ＝|OP |cos α＝v 0t cos α.y ＝QM ＝QP －MP ＝v 0t sin α－12gt 2.即得弹道曲线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t cos α，y ＝v 0t sin α－12gt 2.【例3】 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？[思路探究] (1)运用加减消元法，消t ；(2)利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状．[解] 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得(x －a )2t 2＋(y －b )2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．3．若将题目中的条件，改为“以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程”．[解] 设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A (0,4)的任意一点． 则y －4x＝k (x ≠0)， ∴y ＝kx ＋4(k ≠0)．将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0，k 为参数)．因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.(教材P34习题2－1T4)设曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2t y ＝－1－4t ，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线．化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝3－4t(t 是参数)．[命题意图] 本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力． [解] ∵x ＝1－2t ，∴t ＝1－x2，① ∴x ≤1，将①代入y ＝3－4t 得2x －y ＋1＝0(x ≤1)，表示一条射线．。
高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高中选修4-
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
高中数学第二章参数方程参数方程的概念课件北师大选修
注意： (1)参数的意义：参数 t 是联系变数 x，y 的桥梁，它可以 有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数． (2)参数的取值范围：在参数方程中，应明确参数 t 的取 值范围，对于参数方程 x＝f(t)，y＝g(t)来说，如果 t 的取值 范围不同，它们表示的曲线可能是不同的，如果不明确写出 其取值范围，那么参数的取值范围就理解为 x＝f(t)和 y＝g(t) 这两个函数的自然定义域的交集．
答案：xy＝＝11＋＋192t，t
三、解答题
9．已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝23tt2，＋1 (t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系；
(2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值．
解 ： (1) 把 点
M1
的
坐
标
(0,1)
代
入
x＝3t， y＝2t2＋1，
有
0＝3t， 1＝2t2＋1，
解得 t＝0，所以点 M1 在曲线 C 上．
把点 M2 的坐标(5,4)代入xy＝＝23tt2，＋1， 有54＝ ＝32tt2，＋1 这个方程组无解，所以点 M2 不在曲线 C 上．
(2)因为点 M3(6，a)在曲线 C 上， 所以6a＝＝32tt， 2＋1， 解得 t＝2，a＝9，所以 a 的值为 9.
取∠QBP＝θ，θ 为参数(0＜θ＜π2)， 则∠ABO＝π2－θ.
在 Rt△OAB 中，
|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ. 在 Rt△QBP 中，
|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ
高中数学 2 双曲线的参数方程课件 新人教A选修44
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就会 影 响 到 对 他 的 教 育 和对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/182022/1/18
这 是 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。
双曲线的参数方程
y
x2-y2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ： a a2 b2
定 stae nc [(o ,为 2 参 )且 数 )， 3 。 b
oB
A' x
22
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
⑵se双c2曲线的1 参t数an方2程相可比以较由而方得程到，ax 22所 以by 22双曲1 与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
例2、如 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a x2 2b y2 2 1 (a0 ,b0 )任 意 一 点 ， O 为 原 点 ，
2020学年高中数学第2章参数方程章末复习课讲义新人教B版选修4-4(2021-2022学年)
第2章参数方程圆锥曲线的参数方程及应用t和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中,要注意参数的取值范围,且它们的参数方程都有多种形式.【例1】在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设Ｐ(x,y)是椭圆错误!未定义书签。
＋y２＝１上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．[思路探究]选择恰当参数，设出点P坐标,代入S式，化简求最值．［解]∵椭圆错误!未定义书签。
＋y2＝1的参数方程为错误!(ｔ为参数）.故设动点P(错误!未定义书签。
cos t,sin ｔ），其中t∈［0,2π).因此S=x+y＝错误!cos ｔ＋ｓin t＝2（sin错误!未定义书签。
ｃoｓt+cｏs＼ｆ(π,3）ｓin t）＝2siｎ（ｔ＋错误!).∴当ｔ＝＼f(π,6）时，S取得最大值２.直线的参数方程及应用时，应用直线的参数方程,利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义,可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算,使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．【例2】直线l过点P0（－4，０），它的参数方程为错误!与圆x２＋y2＝7相交于Ａ,Ｂ两点，（１）求弦长|AB｜；（２)过P0作圆的切线,求切线长．[思路探究]错误!―→错误!未定义书签。
错误!错误
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题型一 题型二 题型三
题型三
易错题型
【例 3】
将参数方程
������ ������
= =
2 + sin2������, sin2������
取值范围是[11-2 3, 11 + 2 3].
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反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题, 从而使整个运算过程得到简化.
第二章 参数方程
-1-
2.1 曲线的参数方程
-2-
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1.了解抛射体的运动及学习参数方程的必要性. 2.理解参数方程、普通方程的概念,通过比较参数方程和普通方 程,体会两者的联系与区别.
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高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人
教B 版选修44
学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点)
1．摆线 (1)定义
一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )
(t 是参数)．
2．圆的渐开线 (1)定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．
(2)参数方程
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)．
思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？
[提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角
t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐
标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线
B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C ．正方形也可以有渐开线
D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
[答案] C
2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π
[解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3t －3sin t
y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代
入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C.
[答案] C
3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可．
[答案] ⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4(cos t ＋t sin t )
y ＝4(sin t －t cos t )
4．给出某渐开线的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos t ＋3t sin t
y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看
出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π
2
时，对应的曲线上的点的坐标是________．
[解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π
2代入，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3π2，y ＝3.
[答案] (3π
2
，3)
求圆的摆线的参数方程
【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方
程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )(t 为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出a 的表达式，根据表达
式求出a 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
[解] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0，由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．
代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝
1
k π
(k ∈Z )． 又由实际可知a >0，所以a ＝
1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π
. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝1
π
(t －sin t )
y ＝1
π(1－cos t )
(t 为参数)；
圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
π
(cos t ＋t sin t )y ＝1
π(sin t －t cos t )(t 为参数)．
求圆的渐开线的参数方程
渐开线的参数方程．
[思路探究] 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．
[解] 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的
参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝11(cos t ＋t sin t )
y ＝11(sin t －t cos t ).
圆的渐开线的参数方程的应用
【例3】 当t ＝π4，π
2
时，求出渐开线
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos t ＋t sin t
y ＝sin t －t cos t 上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．
[思路探究] 把t ＝π4，π
2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而进一步求出
两点间的距离．
[解] 把t ＝π4，π
2分别代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝22(1＋π
4)y ＝22(1－π
4)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝π2，
y ＝1，
即A 、B 两点坐标分别为(
22(1＋π4)，22(1－π4))，(π
2
，1)， ∴|AB |＝ [
22(1＋π4)－π2]2＋[22(1－π4
)－1]2
＝14 (5－22)π2
－42π＋32－16 2.。