常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。

①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

二、双曲线的参数方程1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>的双曲线的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0,0)y x a b a b-=>>的双曲线的参数方程为tan (sec x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、双曲线参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 与x 轴交于点'A ，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 与直线OA 交于点'B 。

过点','A B 分别作y 轴，x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。

设Ox 为始边，OA 为始边的角为ϕ，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ϕϕ。

所以(cos ,sin )OA a a ϕϕ=u u u r ，'(cos ,sin )AA x a a ϕϕ=--u u u r，因为'OA AA ⊥u u u r u u u r ，所以'0OA AA ⋅=u u u r u u u r ，从而2cos (cos )(sin )0a x a a ϕϕϕ--=，解得cos a x ϕ=，记1sec cos ϕϕ= 则sec x a ϕ=。

因为点'B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有tan ybϕ=，即tan y b ϕ=⋅ 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。

3、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈，且2,23ππϕϕ≠≠4、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义因为2221sin 1cos cos ϕϕϕ-=，即22sec tan 1ϕϕ-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），易得sec ,tan x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去，得到普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程sec (tan x a y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）三、抛物线的参数方程1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22y px =(0)p >的参数方程为22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线22(0)x py p =>的参数方程是22(2x pt t y pt=⎧⎨=⎩为参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为22y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。

设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。

当α在(,)22ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 与之对应，故可取α为参数来探求抛物线的参数方程。

由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得tan yxα=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） 这就是抛物线22y px =(0)p >（不包括顶点）的参数方程。

如果令1,(,0)(0,)tan t t α=∈-∞+∞U ，则有22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)t ∈-∞+∞U 时，参数方程就表示整条抛物线。

3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

四、例题：例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），点M 在椭圆上，对应的参数3πϕ=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.解：当3πϕ=时，2cos 134sin 233x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩故点M 的坐标为(1,23)，所以直线OM 的斜率为23。

例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，R θ∈），则该椭圆的焦距为________.解：由参数方程得cos 4sin 5xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将两式平方相加得椭圆的标准方程为2211625x y +=所以焦距为6= 例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数）上离心角为6π-所对应的点，那么直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把ϕ=6π-代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数），可得P点坐标为(1)2-，所以直线OP的倾斜角的正切值是tan 9ϕ==- 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），28cos :(3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解：221:(4)(3)1C x y ++-=，2:C 221649x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

例5、设M 为抛物线22y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求点P 的轨迹方程。

解：设点(,)P x y ，令2y t =，则2222y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩，则动点2(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组21(12)21(02)2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即212x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。

消去参数化为普通方程是212y x =+，它是以x 轴为对称轴，顶点为1(,0)2-的抛物线。

例6、在椭圆22194x y+=上求一点M，使点M到直线2100x y+-=的距离最小，并求出最小距离。

解：因为椭圆的参数方程为3cos(2sinxyϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)ϕϕ由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：d==)10ϕϕ=--其中ϕ满足于0034cos,sin55ϕϕ==由三角函数的性质知，当ϕϕ-=时，d93cos3cos5ϕϕ==，82sin2sin5ϕϕ==，因此，当点M位于98(,)55时，点M与直线2100x y+-=例7、已知抛物线22(0)y px p=>，O为坐标原点，,M N是抛物线上两点且MN=若直线,OM ON的倾斜角分别为2,33ππ，求抛物线方程。

解：设(,)M x y，由抛物线参数方程可知22cot32cot3x py pππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即23x py p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故2()3pM p，同理知2(,)3N p p，因为MN=所以16p=，得抛物线方程为213y x=例8、已知两曲线的参数方程分别为sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ≤<和25()4x tt Ry t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.解：5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，表示椭圆221(5501)5x y x y +=-≤≤≤≤且 25()4x tt R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =，联立得2221(5501)545x y x y y x ⎧+=-≤≤≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且解得245015()x x x x +-=⇒==-或舍 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)5例9、如图所示，设M 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四边形MAOB 的面积。