空间曲线直线及方程资料
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
解析几何的直线与曲线详细解析与归纳
解析几何的直线与曲线详细解析与归纳解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形的性质和变换。
其中直线和曲线是解析几何中的核心概念之一，本文将详细解析和归纳直线与曲线的性质与特点。
1. 直线的性质直线是最简单的几何图形之一，具有以下性质：- 由两个不同的点确定；- 无始无终，延伸无限；- 在平面上任意两点可以确定一条直线；- 直线的方程可以用一般式、斜截式或点斜式来表示；- 直线可以平行、相交或重合。
2. 直线的方程表示直线的方程可以用以下几种形式表示：- 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数；- 斜截式：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距；- 点斜式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的已知点，k为斜率。
3. 曲线的性质曲线是不同于直线的一种几何图形，具有以下性质：- 曲线不是直线，其上的每个点都有明确定义的切线；- 曲线可以是开放的、闭合的、连续的或不连续的；- 曲线可以是平面曲线或空间曲线；- 曲线的形状可以是圆形、椭圆形、双曲线形等。
4. 常见曲线的特点常见的曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线，它们具有以下特点：- 圆是由平面上距离一个固定点距离相等的点组成；- 椭圆是由平面上距离两个固定点距离之和为常数的点组成；- 双曲线是由平面上距离两个固定点距离之差为常数的点组成；- 抛物线是由平面上距离一个固定点距离与该点到直线的距离相等的点组成。
5. 直线与曲线的关系直线和曲线之间存在着多种关系：- 直线可以与曲线相交或切于一点；- 直线可以与曲线相离或不相交；- 直线可以与曲线相切于多个点。
在解析几何的研究中，直线和曲线是密不可分的，通过对两者的性质和特点进行详细解析与归纳，可以更好地理解几何图形的本质和变换规律。
无论是直线的方程表示还是曲线的形状特点，它们都构成了解析几何的基础，为进一步研究和应用提供了基础和工具。
总结起来，本文主要对解析几何中直线与曲线的性质进行了详细的解析与归纳。
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
7.6空间直线方程
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 锐角
x − x1 y − y1 z − z1 直线 L1 : , = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 直线 L2 : , = = m2 n2 p2
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
(1)
( A : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 不成立) 1
(不唯一) 不唯一)
z
Π1
L
y
x
o
Π2
过直线 L 的平面有无穷多张 , 交面式方程只是其中 的两张 , 其余的平面是 : ( 称为过直线 的 称为过直线L 平面束 )
( A x + B1 y + C1z + D ) + µ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0 1 1
第六节 空间直线及其方程
空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线的一般方程、参数方程．
F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0
(t x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
2 13 3 因此 N ( , ,− ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN = { − 2, − 1,− − 3} = {− , ,− }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
空间曲面与空间曲线资料
S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。
参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。
本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。
一、什么是参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。
在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。
因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。
通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。
二、参数方程的应用参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。
下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。
1. 直线的参数方程考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。
可以使用参数方程来表示直线上的点。
假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。
则直线L 的参数方程可以表示为：x = x₁ + t(x₂ - x₁)y = y₁ + t(y₂ - y₁)z = z₁ + t(z₂ - z₁)其中，t 是参数，可以取任意实数。
当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。
2. 圆柱面的参数方程圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。
假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθz = c + t*h其中，θ 是参数，表示圆柱面上的点绕着圆心的角度，t 是参数，表示圆柱面上的点在高度方向上的位置。
3. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种特殊的曲线，其可以通过参数方程来描述。
空间曲线的性质与方程
空间曲线的性质与方程在数学中，空间曲线是描述在三维空间中具有一定规律的曲线。
对于空间曲线的研究，我们既关注其性质，也关注能够准确描述曲线的方程。
本文将介绍空间曲线的性质以及常见的方程形式。
一、空间曲线的性质1. 弧长和曲率空间曲线的弧长指的是在曲线上一小段弧的长度。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，表示曲线在某一点的弯曲程度。
弧长和曲率是空间曲线的重要性质，能够帮助我们了解曲线的形状特征。
2. 切线和法平面对于曲线上的每一点，都可以找到一个切线，切线的斜率是曲线在该点的导数。
切线能够切割曲线，并且与曲线相切于该点。
同时，通过曲线上的三个不共线点可以确定一个平面，称为法平面，它与曲线在该点相切。
3. 曲率半径曲率半径是曲线在某一点的曲率的倒数，用R表示。
曲率半径越大，曲线越接近直线；曲率半径越小，曲线越弯曲。
4. 对称性空间曲线可以具有各种对称性，如轴对称、中心对称等。
对称性能够帮助我们理解曲线的特殊性质。
5. 参数方程空间曲线可以使用参数方程进行描述，参数方程由参数t表示曲线上的点，通过给定参数的取值范围，我们可以获得曲线上的所有点。
二、空间曲线的方程形式1. 直线方程直线是最简单的空间曲线，可以用点和向量表示。
一般形式的直线方程为ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c是直线的方向向量的分量，d是常数。
通过确定直线上的两个点或一个点和一个方向向量，我们可以得到具体的直线方程。
2. 平面方程平面是由三个非共线点或一个点和一个法向量唯一确定的。
一般形式的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是常数。
通过给定平面上的三个点或一个点和一个法向量，我们可以得到具体的平面方程。
3. 曲线方程曲线方程是描述空间曲线的方程，常见的曲线方程包括圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。
这些曲线方程可以通过点和方程的特定形式来给出，例如圆的方程可以用圆心坐标和半径表示。
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z z(t)
x 例如： y
x0 y0
nt mt
z z0 pt
— 直线：S {n, m, p},过点(x0, y0, z0 )
二、参数方程
例：试把空间曲线：
x2
y2
z2
1
解参：数消化去。z得
xz
2x2 y2 1 xz
设*：x 1 cost, y sin t z x 1 cost
，则：
cos s1 • s2
|s1 | | s2 |
L1
L2
s1
•
s2
0
m1m2
n1n2
p1 p2
0
i L1 // L2 s1 s2 m1
m2
j n1 n2
k p1 p2
0
m1 m2
n1 n2
p1 p2
例8 求L1
:
1 x 1
y 4
z
1
3
与L2
:
x 2
y2 2
z的夹角
而解s：2 s1(2,(12,,41,)1)| s|2s1||
设直线
L
//
s，且过点
M
0
( x0
,
y0
,
z0
),
s
(m,
n,
p)
则 平面L的方程为：
x L： y
x0 y0
mt nt
其中s是L的方向向量
z z0 pt
3. 直线的对称方程 ——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
令
t
——可将对称式 转化为参数式
2
2
则：
x
y
1 cost 2 sin t
z
1 cost 2
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
L：
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
— Π1 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
2. 直线的参数方程
x x0
y
m y0
n
y y0
n z z0
p
注：
m 0 x x0 0 n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法1：令z
0
2x y 4 解得
x
y
1
(1,
2,
0)
L
L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1)
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
是一条空间曲线
F ( x, (7)G(x,
y, y,
z) z)
0 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线：
S1：F(x, y, z) 0, S2：G(x, y, z) 0
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
116 1 4 41 3
18 3
2
s1 • s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
cos L1, L2 3
9 23
2 2
故：
L1, L2
4
5. 直线的平面束方程
设L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 ，则称： 0
Π : A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
为直线 L的平面束方程。
5. 直线的平面束方程
例9
求L:Biblioteka x xy yz z
1 1
0在Π : 0
x
y
z
0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程,
设
Π0：(x y z 1) (x y z 1) 0
即： (1 )x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
z 6
x+y+z=6
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
0
.
2
4
x
6
6
y
30. 作图练习
平面x a ,
y
a,
z
a,
x
y
z
a
在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
3a a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
i jk 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1)
1 1 1 取s (0,1,1)
L : x 1 y 2 z
0
11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法2： 由原式消去z得：x 1 0
Π0 Π n0 n n0 • n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
故投影直线方程为：xy
y z
z 1
0 0
或 Π ：x 1 y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
.
3
a
a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
.
3
a
a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
消去x得：y z 2 0
原式
x y
1 0 2 z
L : x 1 y 2 z —对称式 0 11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
4. 两直线的夹角
设s1
//
L1, s2
//
L2 ,且s1
(m1, n1,
p1), s2
(m2 , n2 ,
p2 )
若
L1, L2
s1, s2