空间曲线及其方程笔记
空间曲线(4-5)(2012)
空间曲线在坐标面上的投影． 空间曲线在坐标面上的投影．
H( x, y) = 0 R( y, z) = 0 z = 0 x = 0 T( x, z) = 0 y = 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y + x = z 与抛物柱面 2 2 − x = z 的交线关于 xoy 面的投影柱面和 面上的投影曲线方程. 在 xoy 面上的投影曲线方程
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
ωt
o
x A
M
•
x = a cos ω t y = a sin ω t z = vt
y
M′
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x = a cosθ y = a sinθ v z = bθ (θ = ω t , b = )
ω
螺旋线的重要性质： 螺旋线的重要性质： 性质 上升的高度与转过的角度成正比． 上升的高度与转过的角度成正比． 即 z : bθ 0 → bθ 0 + bα , θ : θ0 → θ0 + α ,
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结在数学的广袤领域中，空间曲面与曲线方程是一个充满魅力且具有重要意义的部分。
它不仅在理论研究中占据关键地位，也在实际应用中发挥着巨大作用，如工程设计、计算机图形学等。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解空间曲面与曲线方程的相关知识。
一、空间曲面方程的类型空间曲面方程主要有以下几种常见类型：1、球面方程以点$（a,b,c)＄为球心，＄r$为半径的球面方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＋（z c)＾2 ＝ r^2$。
2、柱面方程母线平行于＄z$ 轴，准线为＄xOy$ 平面上的曲线＄f(x,y) ＝0$ 的柱面方程为＄f(x,y) ＝ 0$ 。
3、旋转曲面方程曲线＄y ＝ f(z)＄绕＄z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ f^2(z)＄。
二、空间曲线方程的表示空间曲线可以用一般式方程和参数方程来表示。
1、一般式方程由两个曲面方程联立而成，例如＄＼begin{cases}F(x,y,z) ＝ 0 ＼＼G(x,y,z) ＝ 0\end{cases}＄。
2、参数方程设空间曲线的参数方程为＄＼begin{cases}x ＝ x(t) ＼＼ y ＝ y(t) ＼＼ z ＝ z(t)＼end{cases}＄，其中＄t$ 为参数。
三、例题解析例 1：求以点$（1,2,3)＄为球心，半径为 4 的球面方程。
解：根据球面方程的公式，可得$（x 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＋（z 3)＾2 ＝ 16$ 。
例 2：已知圆柱面的母线平行于＄z$ 轴，准线是＄xOy$ 平面上以原点为圆心，半径为 2 的圆，求该圆柱面的方程。
解：准线方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$，因为母线平行于＄z$ 轴，所以圆柱面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$ 。
例 3：曲线＄y ＝＼sqrt{x}＄绕＄x$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是什么？解：将＄y ＝＼sqrt{x}＄改写为＄y^2 ＝ x$ ，绕＄x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为＄y^2 ＋ z^2 ＝ x$ 。
25--第四节--空间曲线及其方程
第四节 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程曲面(), , 0F x y z =和(), , 0G x y z =的交线C 可表示为它称为空间曲线C 的一般方程.例1 方程组221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示何曲线?解 221x y +=表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xy 面上的圆221x y +=. 236x z +=表示一个母线平行于y 的柱面, 其准线是xz 面上的直线236x z +=, 因而236x z +=在空间表示一个平面. 221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩是上述圆柱面和平面的交线.例2方程组22222z a a x y ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩表示何曲线? 解二 空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程，t 称为参数.例3 若空间一点M 在圆柱面222x y a +=上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿着平行于z 轴的正方向上升 (ω和v 均为常数) , 则点M 的轨迹叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 设t 为时间. 当0t =时, 设M 位于x 轴上的(), 0, 0A a 处. 经过时间t , M 由A 运动到(), , M x y z . 记M 在xy 面上的投影为(), , 0M x y ', 则于是, 螺旋线的参数方程为注 若设t ωθ=, 则该方程变为这里, vb ω=为常数, 而θ是参数. 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一.曲面的参数方程 (删)三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C 为准线且母线垂直于平面α的柱面S 称为曲线C 关于平面α的投影柱面. S 和α的交线C '称为C 在α上的投影曲线或投影.设有空间曲线.由此消去z , 得C 关于xy 面的投影柱面(): , 0S P x y =.于是, C 在xy 面上的投影曲线为同理, 若由()(), , 0,: , , 0F x y z C G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去x , 则得C 关于yz 面的投影柱面 和C 在yz 面上的投影若由()(), , 0,: , , 0F x y z CG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去y , 则得C 关于xz 面的投影柱面 和C 在xz 面上的投影例4 求曲线()()2222221,: 111x y z C x y z ⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩在xy 面上的投影曲线. 解 用第一式减去第二式, 得1y z +=.于是, 1z y =-. 代入2221x y z ++=, 得 22220+-=x y y ,从而所求的投影方程为注1 ()()2222221,: 111⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩x y z C x y z 是球面2221++=x y z 和()()222111+-+-=x y z 的交线, 因而C 是一个圆.注2 1+=y z 是曲线C 向yz 面的投影柱面 (平面) , 它是C 所在的平面.注3 22220+-=x y y 是C 向xy 面的投影柱面, 即221211124⎛⎫- ⎪⎝⎭+=y x (椭圆柱面) . 于是, 投影曲线为22121,11240⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎨⎪⎪=⎩y x z (椭圆) . 例5设一个立体由上半球面z =和锥面z = 求它在xy 面上的投影.解 z =和z =: z C z ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去z , 得221x y +=, 它是从C 向xy 面所作的投影柱面 (圆柱面) .C 在xy 面上的投影曲线为221,: 0.⎧+='⎨=⎩x y C z (xy 面上的单位圆). 所求立体在xy 面上的投影即该圆的内部.作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8提示2 (2) 作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去x 和y 即可.4 由已知方程消去z .7 参照例2. 0z ≤≤表上半球面z =0z =所围的半球体的内部, 22x y ax +≤表圆柱体220x y ax +-=的内部.。
第04章空间曲线及其方程
y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
大一解析几何知识点笔记
大一解析几何知识点笔记解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何问题，并运用代数方法进行分析。
作为一门基础课程，大一解析几何为后续学习高级数学和工程数学打下了坚实的基础。
以下是大一解析几何的几个重要知识点的笔记：1. 直线的方程：- 点斜式：给定一点P(x₁, y₁)和斜率k，直线的方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
- 两点式：给定两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的方程可以表示为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
2. 圆的方程：- 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 平面和空间中的直线：- 参数方程：直线上的点可表示为P(x, y, z) = P₀ + tV，其中P₀为直线上一点的坐标，V为方向向量，t为参数。
- 向量方程：直线上的点可表示为r = r₀ + tv，其中r₀为直线上一点的位置向量，v为方向向量，t为参数。
- 两平面交线：两个平面的方程联立，解得交线的参数方程。
4. 平面和空间中的圆：- 参数方程：圆上的点可表示为P(x, y, z) = C + r(cosθu +sinθv)，其中C为圆心坐标，r为半径，θ为参数，u和v为单位向量。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k, l)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²。
5. 平面与空间中的曲线：- 抛物线：方程可表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
7_7空间曲线
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .