. 空间曲线及其方程()投影曲线.
微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影
方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解 因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统 称 为 二 次 柱 面 圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、 旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为 旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线 把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影
重要曲面与曲线的投影
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
2.证明广义积分
0
sin x
x
dx
不是绝对收敛的
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。
4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形 3
的面积为 4 ，求点 A 的坐标。
二、（满分 12）计算定积分 I
x sin x arctan ex dx 1 cos2 x
三 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x 在 x 0 处 存 在 二 阶 导 数 f 0 ， 且
lim f x x0 x
0 。证明 ：级数 f 1 收敛。
n1
n
四 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x
b
sin f x dx
2
a
m
,f x
0a x b，证 明
高等数学(1)-2习题册8章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点． 解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =，于是所求点为(2,0,0)．2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,．解：113D A c a −−→=-- ，2D A −−→23c a =-- ．3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -的模、方向角．解：1236M M -= ,2,,343πππαβγ===．4．求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量．解：0(aa→=5．已知||3a →=，其方向余弦31cos ,32cos ==βα，求向量a →的坐标表示式．解：设(,,)x y z a a a a →=，则2cos 3x aaα==，1cos 3y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=，2cos 3γ=±． 2cos 3z a aγ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-．7．设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-，求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2；(3) ),cos(→∧→b a ；（4）b prj a →．解：（1）3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ；（2）(2)318a b →→-⋅=-，210214a b i j k →→⨯=++ ；（3）cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==； （4）cos 14b prj a a ϕ→→===．8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量．解：设所求单位向量(,,)a x y z →=．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→=-．1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±． 9．已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--，求AOB ∠平分线上的单位向量．解：AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-．所以，所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= ． 10．若向量3a b + 垂直于75a b - ，4a b - 垂直于72a b - ，求a 和b之间的夹角．解：由题意知：(3)(75)0a b a b +⋅-= ，(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ，2273080a a b b -⋅+=整理得：24623a b b ⋅= ，22a b b ⋅= ，将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得，a b = ，又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==． 11．在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a =-，并与a 等长的向量b ．解：设b (,,0)x y =，则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ，可得 530x y -=．于是解方程组2250x y +=，530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--． 12．求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影．解：(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-．b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13．设向量4=α，3=β，6),(^πβα=，求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积．解：以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题：设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=，问z 为何值时^(,)a b 最小？并求出此最小值． 解：记^(,)a b ϕ=，则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以，ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时，dd zϕ<；当4z>-，dd zϕ<．所以，当4z=-时，^(,)a bϕ=有最小值，且min4πϕ==．第2次课平面及其方程空间直线及其方程1．求满足下列条件的平面方程：（1）过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П：1=-xy．解：所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+．所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=，即30x y+-=．（2）过点(2,3,0)A -，(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行．解：所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=，即14531430x y z --+=（3）过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -．解：所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++．所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=，即320x y z -++=．2．求平行于平面6650x y z +++=，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面．解：设所求平面方程为1x y za b c++=．由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===，将其代入116abc =，得16t =．所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=． 3．一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π，试求此平面方程． 解：因为所求平面过Oz ，所以可设平面方程为0Ax By += （1） 则其法向量为(,,)A B O ．平面27x y +=的法向量为(2,1,．因为所求平面与已知平面的夹角为3π，所以cos 3π=223830A AB B +-= （2） 联立（1）、（2）解得 13A B =再由A B 、不同时为零，代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=．4．求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程． 解：{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线，则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直，即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点，所以所求平面方程为 即 0x y z -+=．5．求满足下列条件的直线方程：（1）过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x ． 解：方向向量(2,1,3)s =- ，故所求直线方程为413213x y z -+-==-．（2）过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程．解：方向向量(2,3,1)s = ，故所求直线方程为523213x y z --+==-．（3）过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行．解：12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-．方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-．6．试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程．解：直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点（-2，0，3）在直线L 上，所求直线L 的对称式方程：13132--=-=+z y x7．求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角．解：12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-．方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---．则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6． 8．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程．解：包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=．(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ，得110λ=．故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩．提高题：1．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．第3次课 曲面及其方程 空间曲线及其方程1．建立以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程． 解：2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点，得214R =．所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=．2．一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离，求该动点的轨迹方程． 解：设该点坐标为(,,)x y z ，则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=．3．求下列旋转曲面的方程：（1）xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ 122222=++bz y a x ）．（2）zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是（ 222y z x += ）．（3）yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()z x y =+ ）． （4）xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()94x z y ++= ）． 4．方程222y z x +=表示的二次曲面是（ 圆锥面 ）．5．方程221x y +=在空间所表示的图形是（ 圆柱面 ）． 6．方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是（ 椭圆 ）．7．曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎩⎨⎧==+0422z y x ）． 8．曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ）． 9．下列曲面是否是旋转曲面？若是，它是如何产生的？（1）z y x 422=+ （2）14425222=--z y x 解：（1）是，由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成，或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成． （2）是，由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成，或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成．10．画出下列曲面（或立体）的图形：（1）)(222y x z += （2）Rz z y x 2222=++（3）22y x z +=与222y x z --=所围的立体11．求以直线113:234x y z L ---==为中心轴，底半径为2的圆柱面方程． 解：圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹，设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ，由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方，整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2．证明：直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上． 证明：曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面，要证明直线l 在该曲面上，只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上．直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程，满足曲面2222221x y z a b c+-=方程，故直线l 在曲面上．13．求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，在xOy 平面上的投影曲线的方程． 解：在曲线l 方程中消去z ，即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠，所以有2210x y +-=，故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题：1． 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成． (1) 求1S 及2S 的方程；(2) 求1S 及2S 之间的立体体积．第4次课 第八章 总复习题1．设3,4a b == ，且a b ⊥ ，求()()a b a b +⨯- ．解：因为a b ⊥ ，^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2．设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ，且(27)10c i j k ⋅+-= ，求 c ．解：设(,,)c x y z = ，由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，得65155,,12412x y z ===，所以65155(,,)12412c = ． 3．设()2a b c ⨯⋅= ，求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ ．解：[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4．直线过点(3,5,9)A --，且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程． 解：设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交，所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩，即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==．令1l =，则2,22n m ==．故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩．5．求过点(1,0,4)-，平行于平面340x y z -+=，且与直线132z x y +=-=相交的直线方程． 解：设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩． 平面的法向量(3,4,1)n =- ，由于直线与平面平行，所以n s ⊥ ，即340l m n -+= 因为两直线相交，故有432nt lt mt +=-+=． ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩，即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==． 令28n =，得16,19l m ==．故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩．6．求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线，且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程．解：设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏，所以它们的法向量一点互相垂直，于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=．取1,5λμ==，代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=，得 所求平面方程为1791130x y z --+=．7．求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程，其中的一个切点为(5,1,1)--．解：由两平行平面的距离公式4d ==所以，球半径为2．求出另一个切点，过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程，得47t =．从而得到球心坐标为471311(,,)777--．故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8．求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程． 解：方程组消z ，得22x y x y +=+，故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5