空间曲线的参数方程
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空间曲线的方程和图形
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
三,空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方C方程 C 为 H(x, y) = 0 z =0 O y 消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程 C′ R( y, z) = 0 x x =0 T(x, z) = 0 消去y 得C 在zOx 面上的投影曲线方程 y =0
又如, 又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
C
二,空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线的参数方程为
M
O
v
令θ = ω t , b =
x
θ
y
ω
上升高度 h = 2πb, 称为螺距 . 螺距
z
在 xOy 面上的投影曲线 所围圆域: x2 + y2 ≤1, z = 0.
C O
1
y
x
例2. 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x + y + z =1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解: 旋转曲面方程为 z = x + y ,它与所给平面的 Q z = x2 + y2 交线为 x + y + z =1 此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
2 2
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为 x + y + x2 + y2 =1 z = 0
�
例如, 例如,
空间曲线的参数化
一、 空间曲线的参数化若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为⎰⎰'=++βα)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ}d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+],[d )()()())()()((d )(222βαβα∈'+'+'=⎰⎰t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ，曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。
下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。
1. 设积分曲线⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。
例1将曲线⎩⎨⎧==++yx a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。
解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2222a z x =+,这是椭圆，它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2π∈==t t a z t ax ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分t a y cos 2=,所以Γ的参数方程为]2,0[,sin cos 2cos 2π∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t t a z t a y t a x Γ：。
2. 若Γ的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用园、椭圆或球的 所熟知的参数方程先将其参数化，再代入Γ的另一方程，求出另一变量的参数表达式。
空间曲线的参数方程
x 2 y 2 z 0 解： （1）从方程组 z x 1
分别消去变量 x, y, z ，得： ( z 1) y z 0
2 2
亦即：
z 2 y 2 3z 1 0
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
z x 1 0
x2 y 2 x 1 0
M ( x, y, z ) C
2 2 2
x2 y2 z 2 m z
2 2
将上述方程经同解化简为： x y (1 m ) z 2cz c 0 （*）即为所要求的轨迹方程。 2、 求下列各球面的方程： （1）中心 (2,1,3) ，半径为； R 6 （2）中心在原点，且经过点 (6,2,3) ； （3）一条直径的两端点是 (2 3,5)与(4,1,3) （4）通过原点与 (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) 解： （1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：
M ( x, y, z ) C
2 2 2
( x a) 2 y 2 z 2 m ( x a) 2 y 2 z 2
2 2 2 2
亦即 ( x a) y z m [( x a) y z ] 经同解变形得： (1 m )( x y z ) 2a(1 m ) x (1 m )a 0
2 2 2
（2） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（3） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（4） x 9 y 16 z
2 2
解： （1）曲面与 xoy 面的交线为：
x 2 y 2 16 z 2 64 x 2 y 2 64 z 0 z 0
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。
本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。
1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。
连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。
切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。
切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。
切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。
所以切线方向向量T即为切线向量。
（3）确定切线点坐标。
将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。
（4）写出切线方程。
以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。
2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
切向量T已在求解切线方程时计算过。
（2）确定法平面的法向量。
法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。
可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
上页
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
高等数学 -空间曲线及其方程
高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
7_7空间曲线
且有 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t点可导， r ( t ) ( x( t ), y( t ), z( t )).
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
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2 2 2 2 2 2 2 2
即： b x a y a z a b
2 2 2 2 2 2 2
2
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
( x c) 2 y 2 z 2 ( x c) 2 y 2 z 2 2a
2 2
原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： x 2 y 2 y 0
2 2
1．球面 例 1 求球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，半径为 R 的球面方程． 解 设 M ( x, y, z ) 为球面上任意一点，则
类似于（2） ，上式经同解变形为：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
（*）
其中
b2 c2 a2
(c a )
（*）即为所求的轨迹的方程。 （4）取定平面为 xoy 面，并让定点在 z 轴上，从而定点的坐标为 (0,0, c) ，再令距离之比为
m。
设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ，则
§2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程 1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1） 4 x 9 y 36
2 2
解：各题的图形如下： （1） 4 x 9 y 36
2 2
z
y
O
x
§2.3 空间曲线的方程 1、平面 x c 与 x y 2 x 0 的公共点组成怎样的轨迹。
2 2
M ( x, y, z ) C
2 2 2
( x a) 2 y 2 z 2 m ( x a) 2 y 2 z 2
2 2 2 2
亦即 ( x a) y z m [( x a) y z ] 经同解变形得： (1 m )( x y z ) 2a(1 m ) x (1 m )a 0
（3）曲面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 4 y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 亦即 , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。
2 2 2
亦即 ( x c) y z 2a ( x c) y z
2 2 2 2 2 2
两边平方且整理后，得： (a c ) x a y a z a (a c )
2 2 2 2
（1 ）
a c 令b 2 a 2 c 2
从而（1）为 b x a y a z a b
（2）由面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
分别为：
x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 y 2 4 z 2 16 x 2 16 z 2 64 亦即： , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在 xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在 y 轴，且处 在 yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 zox 面上的双曲线。
（* ）
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（2）由已知，球面半径 R 所以类似上题，得球面方程为
6 2 (2) 2 32 7
x 2 y 2 z 2 49
（ 3 ）由已知，球面的球心坐标 a
24 3 1 53 3, b 1, c 1 ，球的半径 2 2 2
R
1 (4 2) 2 (1 3) 2 (5 3) 2 21 ，所以球面方程为： 2
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 21
（4）设所求的球面方程为： x 2 y 2 z 2 2 gx 2hy 2kz l 0 因该球面经过点 (0,0,0), (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) ，所以
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 ( x 4) y 0
2 2
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解： （1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 (a,0,0), (a,0,0) ，设动点 M ( x, y, z ) ， 所求的轨迹为 C ，则
2 2
（Ⅲ）对 xoy 平面的射影柱面方程。 x 2 2 y 2 2 x 2 y 1 0 。 （3） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： 2 y 7 z 2 0 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： x z 3 0 原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： 7 x 2 y 23 0 （4） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： y z 1 0 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： x 2 z 2 z 0
x 2 y 2 z 0 解： （1）从方程组 z x 1
分别消去变量 x, y, z ，得： ( z 1) y z 0
2 2
亦即：
z 2 y 2 3z 1 0
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
z x 1 0
x2 y 2 x 1 0
及
y c(2 c) x c
y 0 x 0
（Ⅲ）当 c 2 时，公共点的轨迹为：
即为 z 轴；
y 0 x 2
即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；
（Ⅳ）当 c 2 或 c 0 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1） x y 16 z 64 ；
（Ⅰ）是原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对 zox 平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线 （Ⅰ）对 yoz 平面的射影柱面方程； y z 1 0 ； （Ⅱ）对 zox 平面的射影柱面方程； x 2 z 2 x 6 z 3 0 ；
此曲线是圆心在原点，半径 R 8 且处在 xoy 面上的圆。 同理可求出曲面 x y 16 z 64 与 yoz 面 ( x 0) 及 zox 面 ( y 0) 的交线分别为：
2 2 2
y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 ， x 0 y 0 它们分别是中心在原点，长轴在 y 轴上，且处在 yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的椭圆；
M ( x, y, z ) C
2 2 2
x2 y2 z 2 m z
2 2
将上述方程经同解化简为： x y (1 m ) z 2cz c 0 （*）即为所要求的轨迹方程。 2、 求下列各球面的方程： （1）中心 (2,1,3) ，半径为； R 6 （2）中心在原点，且经过点 (6,2,3) ； （3）一条直径的两端点是 (2 3,5)与(4,1,3) （4）通过原点与 (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) 解： （1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：
（4）曲面 x 9 y 16 z 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线分别
2 2
为：
x 2 9 y 2 16 z x 2 9 y 2 16 z x 2 9 y 2 16 z , , z 0 x 0 y 0 x 2 9 y 2 0 9 y 2 16 z x 2 16 z 亦即 , , x 0 z 0 y 0 即为坐标原点，顶点在原点以 z 轴为对称轴，且处在 yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点， 以 z 轴为对称轴，且处在 zox 面上的抛物线。
3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 （1 ）
x 2 z 2 3 yz 2 x 3z 3 0 0 x 2 y 2 z 0 ; （2 ） y z 1 0 z x 1
2 2 2 x 2 y 6z 5 x y z 1 （3 ） （4 ） 2 2 2 3x 2 y 10 z 7 x ( y 1) ( z 1) 1
2 2 2
（2） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（3） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（4） x 9 y 16 z
2 2
解： （1）曲面与 xoy 面的交线为：
x 2 y 2 16 z 2 64 x 2 y 2 64 z 0 z 0
l 0 16 8 g 0 10 2 g 6h 0 16 8k 0
即： b x a y a z a b
2 2 2 2 2 2 2
2
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
( x c) 2 y 2 z 2 ( x c) 2 y 2 z 2 2a
2 2
原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： x 2 y 2 y 0
2 2
1．球面 例 1 求球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，半径为 R 的球面方程． 解 设 M ( x, y, z ) 为球面上任意一点，则
类似于（2） ，上式经同解变形为：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
（*）
其中
b2 c2 a2
(c a )
（*）即为所求的轨迹的方程。 （4）取定平面为 xoy 面，并让定点在 z 轴上，从而定点的坐标为 (0,0, c) ，再令距离之比为
m。
设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ，则
§2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程 1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1） 4 x 9 y 36
2 2
解：各题的图形如下： （1） 4 x 9 y 36
2 2
z
y
O
x
§2.3 空间曲线的方程 1、平面 x c 与 x y 2 x 0 的公共点组成怎样的轨迹。
2 2
M ( x, y, z ) C
2 2 2
( x a) 2 y 2 z 2 m ( x a) 2 y 2 z 2
2 2 2 2
亦即 ( x a) y z m [( x a) y z ] 经同解变形得： (1 m )( x y z ) 2a(1 m ) x (1 m )a 0
（3）曲面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 4 y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 亦即 , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。
2 2 2
亦即 ( x c) y z 2a ( x c) y z
2 2 2 2 2 2
两边平方且整理后，得： (a c ) x a y a z a (a c )
2 2 2 2
（1 ）
a c 令b 2 a 2 c 2
从而（1）为 b x a y a z a b
（2）由面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
分别为：
x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 y 2 4 z 2 16 x 2 16 z 2 64 亦即： , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在 xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在 y 轴，且处 在 yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 zox 面上的双曲线。
（* ）
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（2）由已知，球面半径 R 所以类似上题，得球面方程为
6 2 (2) 2 32 7
x 2 y 2 z 2 49
（ 3 ）由已知，球面的球心坐标 a
24 3 1 53 3, b 1, c 1 ，球的半径 2 2 2
R
1 (4 2) 2 (1 3) 2 (5 3) 2 21 ，所以球面方程为： 2
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 21
（4）设所求的球面方程为： x 2 y 2 z 2 2 gx 2hy 2kz l 0 因该球面经过点 (0,0,0), (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) ，所以
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 ( x 4) y 0
2 2
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解： （1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 (a,0,0), (a,0,0) ，设动点 M ( x, y, z ) ， 所求的轨迹为 C ，则
2 2
（Ⅲ）对 xoy 平面的射影柱面方程。 x 2 2 y 2 2 x 2 y 1 0 。 （3） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： 2 y 7 z 2 0 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： x z 3 0 原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： 7 x 2 y 23 0 （4） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： y z 1 0 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： x 2 z 2 z 0
x 2 y 2 z 0 解： （1）从方程组 z x 1
分别消去变量 x, y, z ，得： ( z 1) y z 0
2 2
亦即：
z 2 y 2 3z 1 0
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
z x 1 0
x2 y 2 x 1 0
及
y c(2 c) x c
y 0 x 0
（Ⅲ）当 c 2 时，公共点的轨迹为：
即为 z 轴；
y 0 x 2
即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；
（Ⅳ）当 c 2 或 c 0 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1） x y 16 z 64 ；
（Ⅰ）是原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对 zox 平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线 （Ⅰ）对 yoz 平面的射影柱面方程； y z 1 0 ； （Ⅱ）对 zox 平面的射影柱面方程； x 2 z 2 x 6 z 3 0 ；
此曲线是圆心在原点，半径 R 8 且处在 xoy 面上的圆。 同理可求出曲面 x y 16 z 64 与 yoz 面 ( x 0) 及 zox 面 ( y 0) 的交线分别为：
2 2 2
y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 ， x 0 y 0 它们分别是中心在原点，长轴在 y 轴上，且处在 yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的椭圆；
M ( x, y, z ) C
2 2 2
x2 y2 z 2 m z
2 2
将上述方程经同解化简为： x y (1 m ) z 2cz c 0 （*）即为所要求的轨迹方程。 2、 求下列各球面的方程： （1）中心 (2,1,3) ，半径为； R 6 （2）中心在原点，且经过点 (6,2,3) ； （3）一条直径的两端点是 (2 3,5)与(4,1,3) （4）通过原点与 (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) 解： （1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：
（4）曲面 x 9 y 16 z 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线分别
2 2
为：
x 2 9 y 2 16 z x 2 9 y 2 16 z x 2 9 y 2 16 z , , z 0 x 0 y 0 x 2 9 y 2 0 9 y 2 16 z x 2 16 z 亦即 , , x 0 z 0 y 0 即为坐标原点，顶点在原点以 z 轴为对称轴，且处在 yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点， 以 z 轴为对称轴，且处在 zox 面上的抛物线。
3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 （1 ）
x 2 z 2 3 yz 2 x 3z 3 0 0 x 2 y 2 z 0 ; （2 ） y z 1 0 z x 1
2 2 2 x 2 y 6z 5 x y z 1 （3 ） （4 ） 2 2 2 3x 2 y 10 z 7 x ( y 1) ( z 1) 1
2 2 2
（2） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（3） x 4 y 16 z 64 ；
2 2 2
（4） x 9 y 16 z
2 2
解： （1）曲面与 xoy 面的交线为：
x 2 y 2 16 z 2 64 x 2 y 2 64 z 0 z 0
l 0 16 8 g 0 10 2 g 6h 0 16 8k 0