空间曲线方程不同形式间的转化技巧
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
【化归与转化】
浅谈化归与转化的数学思想众所周知，在复杂的数学问题，都是由以下简单的命题复合而成或通过适当的演化而成的，如果我们学会了将复杂的数学问题化解为简单的基本问题，我们就能解决任何困难的、复杂的以及能够化解为初等数学题的“杂题”，因此我们总的解题策略是化归，即设法将我们待解决的或未解决的问题，通过某种转化，归结到一类已经解决或容易解决的问题中去，最终将问题给予圆满解答的一种手段和方法叫化归法。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。
应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。
常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。
而数学科的考试，是按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。
所以，历年高考均十分重视考查数学思想方法，把对数学思想方法的考查融合在对“三基”的检测和能力的考核之中。
化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。
应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关数学问题，是提高思维能力的有效保证，那么，我们应该如何在平时解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步提高解题能力呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。
空间曲线的切线方程
空间曲线的切线方程空间曲线的切线方程，是指在三维空间中描述曲线切线的数学式子。
一般情况下，我们可以利用导数求解曲线的切线方程。
首先，我们需要明确空间曲线的定义。
空间曲线是一组随时间变化的点的集合，它们遵循一定的几何规律。
在三维空间中，这些点的坐标可以表示为参数方程的形式，例如：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，t 是参数，描述时间的变化。
f(t), g(t), h(t) 则分别是点在 x、y、z 轴上的坐标随时间的变化。
接着，我们来看如何求解曲线的切线方程。
一个曲线的切线，是在该点处与曲线相切的直线。
我们可以利用导数这个数学工具，求解曲线在该点处的斜率，从而得到切线方程。
以 f(t) 为例，它在 t0 点处的导数可以用极限的形式表示为：f'(t0) = lim_Δt→0 (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt这个式子的含义是，当Δt 趨近於 0 時，点f(t0+Δt) 與点f(t0) 之間的斜率就趨近於 f'(t0)。
因此，当我们知道了 f'(t0) 的值，我们就可以利用点斜式的形式，求解曲线在 t0 点处的切线方程了：y - g(t0) = f'(t0) * (x - f(t0))z - h(t0) = f'(t0) * (x - f(t0))这两个式子可以简化为：(y - g(t0)) / (x - f(t0)) = f'(t0)(z - h(t0)) / (x - f(t0)) = f'(t0)这就是曲线在 t0 点处的切线方程了。
同样的，我们也可以求解出曲线在其他点的切线方程，只需要将 t0 换成不同的值即可。
总结来说，空间曲线的切线方程是利用导数求解曲线在某个点处的斜率，并以点斜式的形式表示出来的数学表达式。
对于几何图形的绘制和计算来说，这个方程具有重要的指导意义。
三维空间曲线切线方程的方法
三维空间曲线切线方程的方法
数学中，我们经常遇到处理曲线切线方程的问题。
三维空间中的曲线切线方程，也是数学中的重要概念。
然而，其计算方法并不是很简单，需要一定的数学基础和技巧来求解。
在本文中，我们将会介绍三种三维空间曲线切线方程的计算方法。
方法一：向量法
向量是三维物理学和几何学中常用的工具。
在计算三维空间曲线切线方程时，我们可以使用向量法。
首先，确定曲线上一点的坐标，然后求出该点的切向量，并将切向量的各坐标值分别除以该向量的模长，求得单位切向量。
最后，利用单位切向量和曲线上一点的坐标，构造出曲线的切线方程。
方法二：参数化法
我们可以将三维空间中的曲线表示为形如${\bf r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$的参数方程。
根据曲线在某一点的导数值，我们可以得出曲线在该点处的切向量。
进一步地，我们可以利用切向量来求解曲线的切线方程。
方法三：隐函数法
最后，我们还可以使用隐函数法来求解三维空间曲线的切线方程。
这种方法的基本思想是，将曲线表示为一个隐函数$F(x,y,z)=0$，并利用偏导数来求出曲线在某点处的斜率，从而得到曲线的切线方程。
综上，我们介绍了三种求解三维空间曲线切线方程的方法，包括向量
法、参数化法和隐函数法。
这三种方法各具特点，适用于不同的计算场景。
通过学习和掌握这些方法，可以帮助我们在数学中更加深入地理解三维空间曲线及其相关概念。
空间曲线方程不同形式间的转化技巧
空间曲线方程不同形式间的转化技巧晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性Transformation Techniques for Different Forms ofInter-space Curve EquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics& Statistics)Abstract:Space curve parameter equation and general equation aretwo very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2] 当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0F x y =或()y f x =与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)x y 必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)x y 满足这个方程，那么这个方程(,)0F x y =就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形．1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2] 若取()t a t b ≤≤的一切可能取的值，满足：由12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤表示的向径()r t →的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t 的某一值0t ()0a t b ≤≤通过12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t 为参数．参数方程为(),(),x t y t φϕ=⎧⎨=⎩ ()a t b ≤≤.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1 化物体的运动方程 020cos ,sin ,2x v t a gt y v t a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （0t T ≤≤）为一般方程．解 由方程组的第一个式子得0/(cos )t x v a =,代入方程组第二式子得2220/(2cos ),y xtga gx v a =-即222200sin 22cos 0gx v a x v a y -⋅+⋅=． 这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2 化下列参数方程为一般方程:（１）sec ,,x a y btg θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数） （２）1cos ,sin ,x y tg θθθ=+⎧⎨=+⎩（0/2θπ<<）解（1）原方程即sec ,,x a y tg bθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 22-①②，得22221x y a b -= ．这是双曲线的标准方程． 当2222n n πππθπ-<<+，（n 是整数）时，sec 0x a θ=>,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222n n πππθπ+<<+ 时，表示双曲线的左面一支． （2）原方程即1cos ,sin ,x y tg θθθ-=⎧⎨-=⎩③④÷④③，得1y tg tg x θθ-=-．由此，y tg x θ=．代入④得sin y y xθ-=．⑤ 22+③⑤，得22(1)()1y x y x -+-=，即2222()(1)x y x x +-=，(12,0)x y <<>． 1.2.2 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0F x y =改写为参数方程(),().x t y t φϕ=⎧⎨=⎩一般地，根据实际情况选取参数t ，找出x 与参数t 的关系式()x t φ=，然后代入原方程求出()y t ϕ=，那么，()x t φ=，()y t ϕ=就是曲线的参数方程．也可以先求出()y t ϕ=，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3 化普通方程222220x xy y x y +++-=为参数方程，其条件是2x t t =-．解 把条件2x t t =-代入原方程，得22222()2()2()20t t t t y y t t y -+-++--= 解得2y t t =+或232y t t =-+，所以曲线的参数方程为22,,x t t y t t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数）或22,3 2.x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (其中t 为参数)． 第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系．例1.4 化平面曲线的普通方程222360x y --=为参数方程．解 由原方程可得22236x y -=，即221-=，根据三角公式22sec 1tg θθ-=sec θ=，tg θ=，所以参数方程为,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3] 空间曲线可以看做是两个曲面的交线． 设两个曲面的方程分别为(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =，它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ （2.1）反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C 可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C 的一般方程. 例2.1 方程组22216,2,x y z z ⎧++=⎨=⎩表示什么曲线？ 解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z =所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.x y z ⎧+=⎨=⎩ 也可以理解为中心轴是z 轴的圆柱面2212x y +=被平面2z =所截后得到的截口曲线．2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3] 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动点的坐标,,x y z 表示为参数t 的函数(),(),().x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2.2） 当1t t =时，就得到C 上的一个点111(,,)x y z ；随着t 的变动便可得曲线C 上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解 设动点M 在半径为R 的圆柱面222x y R +=上以角速度ω做圆周运动．同时又以线速度μ沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M 的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M 出发经时间t 运动到点(,,)M x y z ．记M 在xOy 面上的投影为'M ，它的坐标为(,,0)x y ，由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过了时间t 后，0'M OM t ω∠=，从而，0'cos 'cos ,x OM M OM R t ω=∠=0'sin 'sin y OM M OM R t ω=∠=．又由于动点同时沿平行与z 轴的正方向匀速上升，线速度为μ，所以'.z M M t μ==因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos ,sin ,,x R t y R t z t ωωμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0t ≤≤+∞．令t θω=，而t θω=，则圆柱螺旋线可用θ作参数方程表示，即 cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞． 这里 b μω=． 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解 由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数θ，由z b θ=得出z b θ=，然后代入cos x R θ=或sin y R θ=，可得cos z x R b =或sin z y R b=． 又由cos x R θ=和sin y R θ=得到222x y R +=．因此，动点运动轨迹的一般方程 为222,sin ,x y R z y R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或222,cos .x y R z x R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩例3.2 化空间曲线的参数方程()()()261,1(1),22,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩为一般方程．解 由()3可知2z t =，将2z t =代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为 231,1.2x z z y =+⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2 三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） ()()()3sin ,5sin ,4cos ;x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅰⅱⅲ (02)θπ≤≤（2） ()()()sec ,,2sec .x y tg z ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅳⅴⅵ (02)απ≤≤为一般方程．解由()()(),,ⅰⅱⅲ可知：sin 35x y θ==，cos 4z θ=，又因为22cos sin 1θθ+=, 因此曲线的一般方程为22,35 1.2516x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ （2）由()()(),,ⅳⅴⅵ得：sec 2z x α==，tg y α=，因为22sec 1tg αα-=，所以曲线 的一般方程为22,21.z x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩化为参数方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t 的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.[5]3.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现22sin cos 1a a +=，22sec 1a tg a -=，1tga ctga ⋅=，则可用三角公式法．例3.4已知半径为R 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式．解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为x 轴，通过球心的圆柱面的一条母线为z 轴，建立直角坐标系．得到的球面的方程为2222x y z R ++=，圆柱面的方程为220x y Rx +-=．因此，维维安尼曲线的一般方程为222222,0.x y z R x y Rx ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程220x y Rx +-=的参数方程为2cos ,cos sin .x R y R θθθ⎧=⎨=⎩我们再将其代入球面方程2222x y z R ++=得到sin z R θ=±．因此，我们得出曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 0θπ≤< 与2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩0θπ≤<．如果我们令t θπ=+，即t θπ=-，代入公式后，上式就变成了2cos ,cos ,sin ,x R t y R t z R t θ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2t ππ≤≤．因此，维维安尼曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩02θπ≤≤．例3.5 把 ()()2222216,140,2x y z x y x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ 化为参数方程． 解 由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=．令22cos ,2sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩可得222cos 2(1cos )4cos 2x θθθ=+=+=， 22sin cos 4sin cos 2222y θθθθ==．设2t θ=， 则24cos x t =，4sin cos y t t =，代入1（）得422216cos 16sin cos 16t t t z ++=． 所以，2216sin z t =，4sin z t =±．曲线的参数方程为24cos ,4sin cos ,4sin ,x t y t t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩t ππ-≤≤．3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如y x =,z a = (a 为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．例3.6 化下列一般方程为参数方程．（1）2229,;x y z y x ⎧++=⎨=⎩ （2）222(1)(1)4,0.x y z z ⎧-+++=⎨=⎩ 解（1）将y x =代入2229x y z ++=，得222213x z +=，令x t =，则3sin z t =，因此，所求的参数方程为,,3sin ,x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02t π≤≤． （2）将0z =代入222(1)(1)4x y z -+++=，得22(1)3x y -+=，令1x t -=，则y t =，则所求的参数方程为1,,0,x t y t z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩02t π≤≤．3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的． 例3.7 将曲线L 的一般式方程222340,2210,x y z x y z x y z ⎧++-+--=⎨--+=⎩化为参数方程.[6]解 在方程中消去z ，得到曲线L 在xoy 平面上的投影曲线为22'58540,:0.x xy y x y L z ⎧-+++-=⎨=⎩ 配方后，得22'(1)9()9,:0.x y x y L z ⎧+++-=⎨=⎩ 在xoy 平面上作坐标变换111,,x x y y x y =++⎧⎨=-⎩得到'L 的标准方程2211'1,:910,x y L z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩此为椭圆方程，其参数方程为'11:3cos ,sin ,0L x t y t z ===，代回原变量，得 '3cos sin 13cos sin 1:,,022t t t t L x y z +---===．将,x y 代入L 的方程，得2sin 1z t =+从而得L 的参数方程3cos sin 1,23cos sin 1,22sin 1.t t x t t y z t +-⎧=⎪⎪--⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了．例3.8 求直线1,24,x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的参数方程．解 令1x =，则0,2,y z y z -+=⎧⎨+=⎩，得1,1.y z =⎧⎨=⎩从而得直线上的一点(1,1,1)．我们取直线的方向向量为1211123211ij k s n n i j k =⨯=-=-++，于是对称式方程为111213x y z ---==-，令111213x y z t ---===-，则参数方程为12,1,13.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数．4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法．此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线．在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值围在互化前后要保持一致．将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程(),(),(),x x ty y tz z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩消去参数t得到12(,,)0,(,,)0,F x y zF x y z=⎧⎨=⎩并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点．将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值围．把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏．有时参数方程中的参数取值有围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体．这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.[1]总之，在空间曲线的参数方程和一般方程相互转化时要保持方程的等价性和同解性，使结果完整准确．参考文献[1]荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．师学院学报，2010-2．[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．：高等教育，2006:96-99．[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学，2013：236-237．[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．[5]宋研．曲线参数方程和直角坐标方程的互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:595．[6]冷劲松．建立空间曲线的参数方程的方法及应用[D]．：电子科技大学，1998-6．。
(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则1(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则1(,)2(,)LL f y f x y ds f x y ds f y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则()()=⎰⎰LLf x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则[(,)(),()()βααβ=<⎰⎰Lf x y ds f x t y t若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则[(,)()cos ,()sin βαθθθθθ=⎰⎰Lf x y ds f r r若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则[(,,)(),(),()()βααβΓ=<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t（5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则[(,,),,(,)xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则[(,,)(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则[(,,),(,),zxD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”） 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. （8）d d +⎰LP x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰cP x Q y （c 为D 内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Qy x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或(cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z PQRΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dyI x y x x x x 由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此220,011==++⎰⎰L L dxdyx x故 20+==++⎰Ldx dyI x y x『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS 故 2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS b y dS c z dS n dS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS n dS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c xy z dS R n22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰x y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dS axdS a x a dS a dS 222402248ππ∑=+==⎰⎰a dS a a a『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰x a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰Lxy dy x ydxx y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向.解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰Lxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d a d324332013118(sin sin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ad a a解法2 利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰LLDxy dy x ydxxy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故222232200112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰a Lxy dy x ydxd d a a x y『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰n n n n n n d n n n nn 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰L x y dx x y dyx y，其中L 为沿cos π=y x 由点 (,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难.由于 2222,+-+==++x y x yP Q x y x y，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：cos 5:(:)44sin θππθθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得 222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰LL x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑1=的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解 由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy面的区域{}(,)1=≤xy D x y ，故233(1∑∑∑++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy21(1223(13(1==⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy 1401(12=⎰dx411(1)30--=⎰t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y zdzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰h h h h d d h『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰Lz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰Ldydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2） 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰L L LLx x y ds y x y ds x y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y LLI y x y ds I x x y ds空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y LLI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds曲面形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰z I x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3） 散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：ij k（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功.（其中=r k解 积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为(,)(,)=+⎰AB W P x y dx Q x y dy 22=-⎰AB y x k dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如AO OB ，但不可以选取此路径，因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线(12)0⎧⎪=≤≤⎨=⎪⎩y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy 122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.。
空间曲线化为参数方程
空间曲线化为参数方程在空间几何中，曲线是指空间中的一条弯曲的路径。
曲线在数学领域有着重要的地位，在几何形变、函数与图像的表达以及计算机图形学中都有广泛的应用。
而要将空间中的曲线转化为参数方程，则是数学中的一项重要工作。
首先，我们需要明确什么是参数方程。
在几何中，我们通常用x、y、z三个坐标系来确定平面或空间中的点，但这种方式有时不够灵活，不能够精确地表达我们所需要的曲线形状，则可以使用参数方程来表达。
参数方程使用一个称作参数的变量t来确定曲线中的每一个点的坐标，这使得我们可以更加精确的控制曲线的形状。
举一个简单的例子，考虑一个二次曲线，其标准方程为y=ax^2+bx+c。
我们可以将其改写为参数方程为x=t，y=at^2+bt+c。
这个例子简单明了地说明了参数方程所代表的意义。
在空间中，空间曲线是由点和直线组成的。
一条曲线的参数方程通常是定义了一条参数为t的曲线，其在三维坐标系中的每个点都可以用x(t)，y(t)，z(t)三个参数描述。
要将空间曲线化为参数方程，则需要找到一组合适的参数，使曲线上每一个点的坐标都能够被确定。
一种简单常用的方法是将空间曲线投影到平面上，然后再将其转化为平面曲线的参数方程。
例如，我们可以通过建立一个坐标系，并选取一个参考面，将空间曲线投影至该参考面上。
然后，我们可以将投影后的曲线化为平面曲线的参数方程，再将其转化回到空间曲线的参数方程。
另外一种方法是使用向量函数。
向量函数是将参数与矢量一一对应的函数。
通过向量函数，我们可以以向量的形式表达空间曲线，使其更加直观和易于理解。
这种方法需要先找到曲线的切向量和法向量，然后使用向量计算的方式将空间曲线转化为参数方程。
综上所述，将空间曲线化为参数方程是一项非常重要的任务。
它使我们可以更加灵活地控制曲线的形状，并且可以更加直观地理解曲线的性质。
空间第一类曲线积分
空间第一类曲线积分空间第一类曲线积分是高等数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间第一类曲线积分的概念、计算方法以及实际应用，希望能为读者提供一定的指导意义。
首先，让我们来了解一下什么是曲线积分。
在二维空间中，曲线积分是沿着一条曲线对场、向量值函数等进行积分的方法，表示沿着曲线的路径上的积分值。
而在三维空间中，我们引入了针对向量场的曲线积分。
空间第一类曲线积分是针对向量函数在曲线上的积分，具体计算方法有两种常用形式：参数方程形式和向量形式。
参数方程形式是将曲线上的点用参数的形式表示，然后将参数代入向量函数进行积分。
向量形式则是通过对向量函数进行分解，然后利用向量的特性进行简化处理，最后进行积分。
不同的曲线以及函数形式可能会决定使用不同的积分方法。
空间第一类曲线积分对于解决许多实际问题非常有用。
例如，在物理学中，我们常常需要计算曲线上的力对物体的作用量，这时就可以利用空间第一类曲线积分来解决。
在工程学中，空间第一类曲线积分可以用来计算沿着一条曲线的质量、电流、液流等的总量。
它的实际应用涵盖了多个领域，如流体力学、电磁学、热力学等。
为了更好地理解和应用空间第一类曲线积分，我们需要熟悉一些基本的数学工具和方法。
首先是向量的运算，包括向量的加减、数量积、向量积等。
此外，我们还需要掌握对曲线的参数化方法以及对向量函数进行分解的技巧。
在实际应用中，我们常常需要将曲线积分转化为不同形式进行计算，例如直角坐标系、极坐标系以及球坐标系等。
对于不同形式的积分计算，我们需要依据具体的问题进行选择并运用相关的数学公式和技巧。
总结起来，空间第一类曲线积分是解决许多实际问题的一种重要方法，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
熟练掌握空间第一类曲线积分的概念、计算方法以及相关的数学工具和技巧，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用空间第一类曲线积分。
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空间曲线方程不同形式间的转化技巧李晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space CurveEquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they canbe transformed into each other．There are many methods for the conversion between thesetwo kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence;the same solution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2]当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0F x y =或()y f x =与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)x y 必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)x y 满足这个方程，那么这个方程(,)0F x y =就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形． 1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2] 若取()t a t b ≤≤的一切可能取的值，满足：由12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤表示的向径()r t →的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t 的某一值0t ()0a t b ≤≤通过12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t 为参数．参数方程为(),(),x t y t φϕ=⎧⎨=⎩ ()a t b ≤≤.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1 化物体的运动方程 020cos ,sin ,2x v t a gt y v t a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （0t T ≤≤）为一般方程． 解 由方程组的第一个式子得0/(cos )t x v a =,代入方程组第二式子得2220/(2cos ),y xtga gx v a =-即222200sin 22cos 0gx v a x v a y -⋅+⋅=．这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2 化下列参数方程为一般方程:（１）sec ,,x a y btg θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数） （２）1cos ,sin ,x y tg θθθ=+⎧⎨=+⎩ （0/2θπ<<）解（1）原方程即sec ,,x a y tg bθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 22-①②，得22221x y a b -= ．这是双曲线的标准方程． 当2222n n πππθπ-<<+，（n 是整数）时，sec 0x a θ=>,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222n n πππθπ+<<+ 时，表示双曲线的左面一支． （2）原方程即1cos ,sin ,x y tg θθθ-=⎧⎨-=⎩③④÷④③，得1y tg tg x θθ-=-．由此，y tg x θ=．代入④得sin y y xθ-=．⑤ 22+③⑤，得22(1)()1y x y x -+-=，即2222()(1)x y x x +-=，(12,0)x y <<>． 1.2.2 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0F x y =改写为参数方程(),().x t y t φϕ=⎧⎨=⎩一般地，根据实际情况选取参数t ，找出x 与参数t 的关系式()x t φ=，然后代入原方程求出()y t ϕ=，那么，()x t φ=，()y t ϕ=就是曲线的参数方程．也可以先求出()y t ϕ=，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3 化普通方程222220x xy y x y +++-=为参数方程，其条件是2x t t =-． 解 把条件2x t t =-代入原方程，得22222()2()2()20t t t t y y t t y -+-++--= 解得2y t t =+或232y t t =-+，所以曲线的参数方程为22,,x t t y t t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数）或22,3 2.x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (其中t 为参数)．第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系． 例1.4 化平面曲线的普通方程222360x y --=为参数方程．解 由原方程可得22236x y -=，即221-=，根据三角公式22sec 1tg θθ-=sec θ=，tg θ=，所以参数方程为,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. 2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3] 空间曲线可以看做是两个曲面的交线． 设两个曲面的方程分别为(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =，它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩（2.1）反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C 可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C 的一般方程.例2.1 方程组22216,2,x y z z ⎧++=⎨=⎩表示什么曲线？解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z =所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.x y z ⎧+=⎨=⎩也可以理解为中心轴是z 轴的圆柱面2212x y +=被平面2z =所截后得到的截口曲线．2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3] 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动点的坐标,,x y z 表示为参数t 的函数(),(),().x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2.2）当1t t =时，就得到C 上的一个点111(,,)x y z ；随着t 的变动便可得曲线C 上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解 设动点M 在半径为R 的圆柱面222x y R +=上以角速度ω做圆周运动．同时又以线速度μ沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M 的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M 出发经时间t 运动到点(,,)M x y z ．记M 在xOy 面上的投影为'M ，它的坐标为(,,0)x y ，由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过了时间t 后，0'M OM t ω∠=，从而，0'cos 'cos ,x OM M OM R t ω=∠=0'sin 'sin y OM M OM R t ω=∠=．又由于动点同时沿平行与z 轴的正方向匀速上升，线速度为μ，所以'.z M M t μ==因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos ,sin ,,x R t y R t z t ωωμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 0t ≤≤+∞．令t θω=，而t θω=，则圆柱螺旋线可用θ作参数方程表示，即 c o s s i n ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞． 这里 b μω=． 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解 由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数θ，由z b θ=得出z b θ=，然后代入cos x R θ=或sin y R θ=，可得cos z x R b =或sin z y R b=． 又由cos x R θ=和sin y R θ=得到222x y R +=．因此，动点运动轨迹的一般方程 为222,sin ,x y R z y R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或222,cos .x y R z x R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩例3.2 化空间曲线的参数方程()()()261,1(1),22,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩为一般方程．解 由()3可知2z t =，将2z t =代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为 231,1.2x z z y =+⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2 三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） ()()()3sin ,5sin ,4cos ;x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅰⅱⅲ (02)θπ≤≤（2） ()()()sec ,,2sec .x y tg z ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅳⅴⅵ (02)απ≤≤为一般方程．解由()()(),,ⅰⅱⅲ可知：sin 35x y θ==，cos 4z θ=，又因为22cos sin 1θθ+=, 因此曲线的一般方程为22,35 1.2516x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ （2）由()()(),,ⅳⅴⅵ得：sec 2z x α==，tg y α=，因为22sec 1tg αα-=，所以曲线 的一般方程为22,21.z x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ 综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩化为参数方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t 的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.[5]3.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现22sin cos 1a a +=，22sec 1a tg a -=，1tga ctga ⋅=，则可用三角公式法．例3.4已知半径为R 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式．解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为x 轴，通过球心的圆柱面的一条母线为 z 轴，建立直角坐标系．得到的球面的方程为2222x y z R ++=，圆柱面的方程为220x y Rx +-=．因此，维维安尼曲线的一般方程为222222,0.x y z R x y Rx ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程220x y Rx +-=的参数方程为2cos ,cos sin .x R y R θθθ⎧=⎨=⎩我们再将其代入球面方程2222x y z R ++=得到sin z R θ=±．因此，我们得出曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 0θπ≤< 与2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩0θπ≤<．如果我们令t θπ=+，即t θπ=-，代入公式后，上式就变成了2cos ,cos ,sin ,x R t y R t z R t θ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2t ππ≤≤．因此，维维安尼曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩02θπ≤≤．例3.5 把 ()()2222216,140,2x y z x y x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ 化为参数方程． 解 由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=．令22cos ,2sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩可得222cos 2(1cos )4cos 2x θθθ=+=+=， 22sin cos 4sin cos 2222y θθθθ==．设2t θ=， 则24cos x t =，4sin cos y t t =，代入1（）得422216cos 16sin cos 16t t t z ++=．所以，2216sin z t =，4sin z t =±．曲线的参数方程为24cos ,4sin cos ,4sin ,x t y t t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩t ππ-≤≤．3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如y x =, z a = (a 为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．例3.6 化下列一般方程为参数方程．（1）2229,;x y z y x ⎧++=⎨=⎩（2）222(1)(1)4,0.x y z z ⎧-+++=⎨=⎩ 解（1）将y x =代入2229x y z ++=，得222213x z +=，令x t=，则3sin z t =，因此，所求的参数方程为,,3sin ,x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02t π≤≤． （2）将0z =代入222(1)(1)4x y z -+++=，得22(1)3x y -+=，令1c o s x t -=，则y t =，则所求的参数方程为1,,0,x t y t z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩02t π≤≤．3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的．例3.7 将曲线L 的一般式方程222340,2210,x y z x y z x y z ⎧++-+--=⎨--+=⎩化为参数方程.[6]解 在方程中消去z ，得到曲线L 在xoy 平面上的投影曲线为22'58540,:0.x xy y x y L z ⎧-+++-=⎨=⎩配方后，得22'(1)9()9,:0.x y x y L z ⎧+++-=⎨=⎩ 在xoy 平面上作坐标变换111,,x x y y x y =++⎧⎨=-⎩得到'L 的标准方程 2211'1,:910,x y L z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩此为椭圆方程，其参数方程为'11:3cos ,sin ,0L x t y t z ===， 代回原变量，得 '3cos sin 13cos sin 1:,,022t t t t L x y z +---===． 将,x y 代入L 的方程，得2sin 1z t =+从而得L 的参数方程3cos sin 1,23cos sin 1,22sin 1.t t x t t y z t +-⎧=⎪⎪--⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了．例3.8 求直线1,24,x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的参数方程．解 令1x =，则0,2,y z y z -+=⎧⎨+=⎩，得1,1.y z =⎧⎨=⎩从而得直线上的一点(1,1,1)． 我们取直线的方向向量为1211123211ij k s n n i j k =⨯=-=-++，于是对称式方程为111213x y z ---==-，令111213x y z t ---===-，则参数方程为12,1,13.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数．4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法．此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线．在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值范围在互化前后要保持一致．将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩消去参数t 得到12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点．将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值范围．把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏．有时参数方程中的参数取值有范围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体．这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.[1]总之，在空间曲线的参数方程和一般方程相互转化时要保持方程的等价性和同解性，使结果完整准确．参考文献[1]张荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．长春师范学院学报，2010-2．[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006:96-99．[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学出版社，2013：236-237．[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．[5]宋研．曲线参数方程和直角坐标方程的互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:595．[6]冷劲松．建立空间曲线的参数方程的方法及应用[D]．成都：电子科技大学，1998-6．。