数制与进位记数法
数制及其转换
阶码的位数决定了表示数的范围； 尾数的位数决定了所表示数的精度；
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。 1）原码 规定符号位用数码0表示正号，用数码1表示负号， 数值部分按一般二进制形式表示数的绝对值。 ＋7: 00000111 ＋0: 00000000 零有两种表示方法
例 3：将 ( 237 . 625 ) 10 转化成二进制
整数： 除2取余 2 |2 3 7 2 |1 1 8 2 |5 9 2 |2 9 2 |1 4 2 |7 2 |3 2 |1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
取 值 方 向
小数： 乘2取整 0. 6 2 5 × 2 1 1. 2 5 0 0. 2 5 × 2 0 0. 5 0 × 2 1 1. 0
M
k
Di N
i
i m 1
其中D i为数制采用的基本数符; Ni为权；N为基数
M
k
Di N
i
i m 1
例：十进制数，3058.72 可表示为： 3×103+0×102+5×101+8×100+ 7×10-1+2×10-2 例： 二进制数10111.01 可表示为： 1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2
－7: 10000111
－0:10000000
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。
２）反码
规定正数的反码和原码相同， 负数反码是对该数的原码除符号位外各位求反
＋7: 00000111 －7: 11111000
计算机中的数值和编码
计算机中的数制和编码一、数制的概念：数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的科学方法。
按照进位方式计算的数制叫做进位数制。
例如：逢十进一即为十进制，逢二进一为二进制，逢八进一为八进制，逢十六进一为十六进制。
进位计数制有两个要素：基数和权值。
1、基数：它是指各种进位计数制中允许选用基本数码的个数。
例如：十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，所以十进制的基数为10；二进制的数码有0、1两个数码，所以二进制的基数为2；八进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以八进制的基数为8；十六进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码，所以十六进制的基数为16。
2、权值：每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫权值。
其大小是以基数为底，数码所在位置的序号为指数的整数次幂。
例如：十进制数356.4=3×100＋5×10＋6×1＋0.4＝3×102＋5×101＋6×100＋4×10-1（3在百位上，所以3×100＝3×102；5是在十位上，所以5×10＝5×101；6是在个位上，所以6×1＝6×100；0.4为小数，所以0.4＝4×10-1）。
二、十进制（D ecimal notation）及其特点：1、两个特点：①、十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；②、进位方法：逢十进一，借一当十。
（满了10个就得进一位）2、基数：103、按权展开式：任意一个a位整数和b位小数的十进制数D可以表示为：D＝D a-1×10a-1＋D a-2×10a-2＋…＋D0×100＋D-1×10-1＋D-2×10-2＋…＋D-b×10-b4、十进制在书写中的三种表达方式：128或者128D或（128）10三、二进制（B inary notation）及其特点：1、两个特点：①、两个数码：0、1；②、进位方法：逢二进一，借一当二。
补充数制转换
16 100 4 16 6 6
0
100(D)=144(O)=64(H)
100.345(D)=113. 二进制转化为八进制、十六进制 转换原则：三位一组、四位一组
整数部分：从右向左进行分组。 小数部分：从左向右进行分组。 不足位补零。
11 0110 1110 . 1101 01 (B)=36E.D4(H) 3 6 E D4
2.0.4 计算机编码
2. 汉字编码
(4) 汉字字形码(字模码) 每一个汉字都可以看作是由特定点阵构成的
图形。因此，要把汉字处理结果输出时，需把汉 字内码转换成以点阵形式表示的字形码。 例如点阵：16×16、24×24、32×32、48×48 注意：求汉字字形码占用的存储空间 一个16 × 16的汉字：16 / 8 × 16 = 32 字节 一个24 × 24的汉字：24 / 8 × 24 = 72 字节
十六进制 H
Hexadecimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2.0.2 数制转换
1. 二进制、八进制和十六进制转换为十进制 转换原则：按权展开，相加之和
10101(B) = 1? 24 + 0? 23 + 1? 22 + 0? 21 + 1? 20 = 21
101.11(B) = 1? 22 + 0?21 + 1? 20 + 1? 2-1 + 1? 2-2 = 5.75
-8+10=1111 1000+0000 1010=0000 0010=2
-8-10=-8+(-10)=1111 1000+1111 0110=1110 1110=-18
2.0.3 原码、补码和反码
数制转换
位权展开概念：某进制数的值都可以表示为各位数码本身的值与 其权的乘积之和。
• 计算器
计数器是系统提供的工具，我 们可以借助它来帮助我们检验数 制转换的结果。从而帮助我们学 习数制转换。
信息存储单位
位：数据信息存储的最小单位。用bit或b表示。 字节：数据存储最常用的单位。用Byte或B表示。 1B=8b • 在实际应用中，字节单位太小，为了方便计算，引入了KB、MB、GB、 TB，它们的换算关系如下： • 1KB＝210B＝1024B • 1MB＝210KB＝1024KB • 1GB＝210MB＝1024MB • 1TB＝210GB＝1024GB • 习惯上1KB读作1千字节，但这里的“千”并不具有十进制数中“1000” 的含义，它与十进制数中的“1024”等价。
• 国标码基本集中收录了汉字和图像符号共7445个， 分为两级汉字。其中一级汉字3755个，属于常用 汉字，按照汉字拼音字母顺序排序；二级汉字 3008个，属于非常用汉字，按照部首顺序排序； 还收录了682个图形符号。 • 国标码采用两个字节表示一个汉字，每个字节只 使用了低7位。这样使得汉字与英文完全兼容。 但当英文字符与汉字字符混合存储时，容易发生 冲突。所以人们把国标码的两个字节的高位置1， 作为汉字的机内码使用。
p q r s t u v w x y z {
C
D E F
1100
1101 1110 1111
FF
CR SO SI
FS
GS RS US
，
. /
<
= > ？
L
M N O
\
] ↑ ←
l
m n o
|
}
～
DEL
3、汉字编码
计算机运算基础复习1常见的几种数制
几个重要概念重点概念1：计算机中的数据都是以二进制形式进行存储和运算的重点概念2：在计算机中存储数据时，每类数据占据固定长度的二进制数位，而不管其实际长度。
一般长度为字节的整倍数例如：在八位微机中，整数216 存储为11011000B整数56 存储为00111000B复习1）十进制特点：每一位数有02)二进制特点：3）十六进制特点：1（即乘10101000376542复习真值与机器数例：真值与机器数+77机机例：真值与机器数-77机机2数的定点与浮点表示计算机中如何表示实数中的小数点呢？计算机中不用专门的器件表示小数点，而是用数的两种不同的表示法来表示小数点的位置。
根据小数点的位置是否固定，数的表示方法分为定点表示和浮点表示,相应的机器数称为定点数和浮点数。
任意一个二进制数N均可表示为：N＝S·2J其中：最后面或最前面，即分为定点纯小数与定点纯整数两类，如图1-6所示。
01000000定点小数：定取不同的数值，则在计算机中除了要表示尾码示阶码J。
因此，一个浮点数表示为阶码和尾数两部分，尾数一般是定点纯小数，阶码是定点纯整数，其形式如图点N = 2p S点例:X= +10110.01= 2 +101×（+ 0.1011001）26点= 2无符号数带符号数数有正、负→带符号数把符号位和数值位一起编码：原码，反码，补码。
顺时针调：7＋9 ＝4 （mod 12）逆时针调：7－3 ＝4 （mod 12）由于时钟上超过12点时就会自动丢失一个数与原码相同，只要将符号位的得到它的真值。
对一个二进制数按位取反，最低位加1。
(计算机 已知负数的补码求真值在计算机中，用补码表示方法：按位取反，最低位加12 105 2 52 12 26 0[ 105D ] 补8位= 0 –0110 1001B = 0 –69H －D 2000:0 如，用DEBUG 查看到存放在内存中的一组符号数：由最高位判断：0 →正数7DH的真值= 7 ×16 + 13 = 125 D凡是能在计算机内存储或参与运算的都是二进制形式的机器数，计算机只能出别“0”和“1”，对于某个二进别致的最高位究竟应看做为符号位还是数值位，理论上是无法自动识别但是，由于引入了补码概念，使得计算机在进行无符号数和有符号数的运算时能够实现操作的一致性，且结果合理。
关于计算机中数制之间的转换12
计算机中数制之间的转换赵祖应（云南爱因森软件职业学院，云南昆明65000）摘要：由于二进制具有电路简单，易于表示，可靠性高，运算简单，逻辑性强等特点，所以在计算机中采用二进制来表示指令和存储数据，所以计算机只能识别二进制，由于人们所固有的习惯，我们需要的数据和信息，要用计算机来处理，那么必须把它转换成二进制。
关键字：数据单位；计数制与非计数制；进制的表示方法；数制之间的转换一、数据的表示单位我们要处理的信息在计算机中常常被称为数据。
所谓的数据，是可以由人工或自动化手段加以处理的那些事实、概念、场景和指示的表示形式，包括字符、符号、表格、声音和图形等。
数据可在物理介质上记录或传输，并通过外围设备被计算机接收，经过处理而得到结果，计算机对数据进行解释并赋予一定意义后，便成为人们所能接受的信息。
计算机中数据的常用单位有位、字节和字。
1. 位(bit)计算机中最小的数据单位是二进制的一个数位，简称为位。
正如我们前面所讲的那样，一个二进制位可以表示两种状态(0或1)，两个二进制位可以表示四种状态(00、01、10、11)。
显然，位越多，所表示的状态就越多。
2. 字节(Byte)字节是计算机中用来表示存储空间大小的最基本单位。
一个字节由8个二进制位组成。
例如，计算机内存的存储容量、磁盘的存储容量等都是以字节为单位进行表示的。
除了用字节为单位表示存储容量外，还可以用千字节(KB)、兆字节(MB)以及十亿字节(GB)等表示存储容量。
它们之间存在下列换算关系：1B=8bits1KB=210B=1024B1MB=210KB=220B=1048576B1GB=210MB=230B=1073741824B3. 字(Word)字和计算机中字长的概念有关。
字长是指计算机在进行处理时一次作为一个整体进行处理的二进制数的位数，具有这一长度的二进制数则被称为该计算机中的一个字。
字通常取字节的整数倍，是计算机进行数据存储和处理的运算单位。
六年级上册 第2课 数制
二、二进制
世界上有很多事物只存在两种可能性，“
特点：只有“０”，“１”两种符号，比如：十进制中 的１０表示１０，二进制中的１０表示２
进制间的互转
二进制特点
三、数据单位
最小单位：Bit（比特） 字节：８个Bit——B，MB，GB
小知识
第2课 数制
六年级上册信息技术
一、数的进制
进制是一种记录方式，亦称进位计数法。这 种计数法，可以使用有限的数学符号来表示所有 的数值。
比如：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表达数值，逢十进一
W H AT
计算机 中，用二进制， 八进制，十进制W，H十A六T进制等来 表示信息
二进制：0，1 八进制：0，1，2，3，4，5，6，7，逢八进一 十进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，逢十进一 十 六 进 制 ： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， A , B , C , D , E , F, 逢 F 进 一
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高中信息技术（Python）重难点1：数制
⾼中信息技术（Python）重难点1：数制⼀、数的进制进制是⼀种记数⽅式，亦称进位计数法或位值计数法。
利⽤这种记数法，可以使⽤有限种数字符号来表⽰所有的数值。
任何⼀种数制都包含两个基本要素：基和权。
基⼜叫基数，是组成该数制的数码个数，⼀般来说，k进制的基数就是k，包含k个数字；权⼜叫权值，是指每⼀个数位上的1对应的数值，可以表⽰为基数的若⼲次幂。
⼗进制数的基数为10，⼗进制数234中2的权值是103，3的权值是101，4的权值是100，所以⼗进制数234还可表⽰为：2×102+3×101+4×100除了⽣活中常见的10进制，计算机还有⼆进制、⼗六进制等，我们通常⽤⼀个下标来表⽰该数的进制(⼗进制数可以忽略)，也可以在该数的最后以字母来表⽰，见下表。
进位制⼆进制⼋进制⼗进制⼗六进制标识B O D H⼆、⼗进制我们先来看输⼊⼀个三位数的⾃然数，然后⼀次输出这个数的每位上的数字，并⽤逗号分隔。
10进制的123为什么代表123呢，123=1∗100+2∗10+3∗1，即123有1个100，2个10和3个1，也就是逢10进1，10进制中每⼀位只会出现0～9。
1. 求个位最简单，直接%10即可；2. 求⼗位呢，123有12个10，但是10个10是百位(10进制中每⼀位只会出现0～9，不能出现10)，所以任意⼀个数我们//10后再求次个位也就是%10就可以求出⼗位；3. 求百位也就是有⼏个100，直接//100即可。
给定任意⼀个数，%10得到当前位，//10抛弃当前位，不断重复下去，即可以得到其每⼀位。
参考代码n=int(input())# 求出个位c=n%10# 求出⼗位（抛弃个位后再求个位）b=n//10%10# 求出百位（抛弃个位和⼗位后）a=n//100print(a,b,c,sep=',')三、⼆进制数据在计算机内部是以⼆进制⽅式进⾏存储和处理的。
计算机的内部有⽆数个负责开关的半导体元件，0代表开关的断，1代表开关的合。
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基 r 数制的概念 只用 r 个基本符号 ( 例如 0,1,2,…r-1 ) 通过排
列起来的符号串表示数值，r 称为该数制的基。 数值 N 的表示
N = Dm-1Dm-2 … D1 D0D-1D-2 …D-k
有 权 的基 r 数制
每个Di（-k≤i≤m-1）的单位值都赋以固定的值
Wi，则称 Wi 为该位的 权 。
2n ＞ x ≥ 0 0 ≥ x ＞ 2n
[x]补 =
x 2n+1 + x
2n ＞ x ≥ 0 0 ≥ x ≥ 2n（mod 2n+1）
讲课中不大用整数讲 原 反 补 码定义
例如：整数六位编码 ( 1 位符号位，5 位数值位)
X = +01110 X = - 01110
[X]原= 0 01110 [X]补= 0 01110 [X]原= 1 01110 [X]补= 1 10010
12
整数的编码表示
x 为真值 n 为整数的位数
x [x]原 = 2n x
N 代表的实际值可表示为：
N
m 1
Di Wi
ik
1
数制与进位记数法
若逢 r 进位，有 Wi = ri ，则
N 代表一个数值
m1
N Di rri i ik
r 是这个数制的基
i 表示这些符号排列的位号
Di 是位序号为 i 的位上的一个符号 ri 是位序号为 i 的位上的一个 1 代表的值
Di× ri 是第 i 位的符号所代表的实际值 ∑ 表示 对 m+k 位的值求累加和
称此数制为 r 进位数制，简称 r 进制。最常用的 有二进制、八进制、十六进制 和 十进制 这4种。
2
数制与进位记数法
计算机中常用的 4 种进位数制 二进制：r = 2， 基本符号：0 1 八进制：r = 8， 基本符号：0 1 2 3 4 5 6 7 十进制：r = 10，基本符号：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十六进制：r = 16，基本符号：
说明：补码最高一位是符号位，符号 0 正 1 负 补码表示为：2×符号位 + 数的真值 补码零只有一个编码，故能表示 -1 补码能很好地用于加减（乘除）运算
11
整数的编码表示
整数的 原码 反码 补码 表示 与小数的三种表示基本相同 差别仅表现在小数点的位置 可以认为整数的小数点在最低数值位的右侧
因此整数的模与整数位数有关
机内处理
数值范围与数据精度概念不同。在计算机中，它们的 值与用多少个二进制位表示某种类型的数据，以及怎 么对这些位进行编码有关。
6
数值数据在计算机内的格式
定点小数: N = Ns N -1 N-2……...N -n
整 数: N = N s Nn-1 ... N 1 N 0
浮点数: N = Ms Es E m-1 ...E1 E0 M-1 M-2 ...M-n
求二进制数所对应的十进制数值，可通过进位记 数公式来计算，即把取值为 1 的数位的位权累加。
把十进制数转换为二进制，对整数部分通过除 2 取余数来完成，对小数部分通过乘 2 取整数来完成。
2 13-------1 低位 2 6-------0 2 3-------1 2 1-------1 高位 0
能有利于简化对它们实现算术运算用到的规则； 数据符号的正与负，可用一位二进制的 0 和 1
两个状态加以表示，数据数值用多位二进制表示。 常用的编码方案
原码表示、补码表示、反码表示
8
机器数与真值
真值
带符号的数
+ 0.1011 – 0.1011 + 1100
– 1100
机器数
符号数字化的数
0 1011
小 数
1 1011
点
0 1100
的
位
1 1100
置
一个数据的实际值被称为数的真值，机器数是 指对数据符号位完成数字化处理后的机内表示。
9
(纯小数) 原码，反码，补码的定义
定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn
[ X ]原 =
X 1-X
0≤X<1 -1 < X ≤ 0
[ X ]反 =
X -n
0≤X<1
(2 - 2 )+ X -1 2 )
[ X ]补 =
X 2+X
0≤X<1 -1 ≤ X ≤ 0
Mod 2
10
(纯小数) 补码的定义与说明
定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn
定义： [ X ]补 =
X
0≤X<1
2 + X -1 ≤ X ≤ 0
MOD 2
实例： X1 = 0.1011 -0.1011 0.0000 [ X ]补 = 0 1011 1 0101 0 0000
0123456789ABCDEF 其中 A～F 表示十进制数 10～15
4 种进位数制之间的关系: 二进制用于计算机内部, 八和十六进制是二进制的缩写, 十进制用于人员。
3
二进制数→八、十六和十进制
把二进制数转换为十进制数， 累加二进制数中全部数值为 1 的那些位的位权
(1101.1100)2=(1×23+1×22+0×21+1×20)10 + (1×2-1+1×2-2+0×2-3+0×2-4)10 = (13.75)10
基为 2 IEEE 标准： 阶码用移码 尾数用原码
符号位 阶码位 尾数数码位 总位数
短浮点数:
1
8
23
32
长浮点数:
1
11
52
64
临时浮点数:
1
15
64
80
7
3、数值数据的编码和运算算法
二进制数值数据的类型 二进制表示的定点小数、整数和浮点数
数值数据编码目标 能方便统一地表示正数、零和负数，并且尽可
(13)10 = (1101)2
0.76×2 1 0.52×2 高位 1 0.04×2 0 0.08×2 0 0.16 低位
(0.76)10 = (0.1100)2
5
数值范围和数据精度
数值范围
数值范围是指一种类型的数据所能表示的最大值和最 小值；
数据精度
通常指实数所能给出的有效数字位数；对浮点数来说， 精度不够会造成误差，误差大量积累会出问题。
把二进制数转换成八或十六进制数时，从小数点 向左和向右把每 3 或者 4 个二进制位分成一组，直接 写出每一组所代表的数值，小数点后不足位数补0。
(1101.1001)2 = (D.9)16 = (15.44)8 ，而不是(15.41)8
4
数制与进位记数法
二进位数和十进制数之间的转换方法
二进制：r = 2， 基本符号：0 1 十进制：r = 10，基本符号：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9