数学分析
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结一、实数系与复数系1.1 实数系的定义实数系是我们熟知的数系，包括有理数和无理数。
实数系满足加法、乘法封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
在实数系中，每个数都可以用小数形式表示，例如π=3.1415926535…，e=2.7182818284…等。
1.2 复数系的定义复数系是由实部和虚部组成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足虚数单位的定义i²=-1。
复数系具有加法、乘法运算，也满足封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
1.3 实数系与复数系的关系实数系是复数系的一个子集，所有实数可以看作复数系中的实部为零的复数。
实数系和复数系是数学分析中的基础，涉及了数的概念和性质，对后续的学习具有重要的作用。
二、函数与极限2.1 函数的定义函数是一种对应关系，如果对于每一个自变量x，都有唯一确定的函数值f(x)，那么称f是x的函数，在数学分析中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.2 极限的概念极限是数学分析中的重要概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
通俗地说，极限是函数在某一点上的“接近值”，用数学语言来描述，如果当自变量x趋近于a时，函数值f(x)趋近于L，那么称L是函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2.3 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保号性等。
同时，极限还具有四则运算性质，即两个函数的极限之和、差、积、商等于分别对应的函数的极限之和、差、积、商。
这些性质为求解极限问题提供了便利。
2.4 极限存在的条件函数在某一点处极限存在的条件有界性、单调性、有序性、保号性等。
在实际问题中，要根据极限存在的条件来判断函数在某一点处的极限是否存在。
2.5 极限的计算方法极限的计算方法包括用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等，这些方法能够帮助我们求解复杂的极限问题，对于深入理解函数的性质有很大的帮助。
数学分析pdf
数学分析pdf数学分析是一种应用于数学研究的技术。
它使用精密的数学语言对外部客观世界和内部抽象世界的大量杂乱的事实、规律、关系、性质、过程和结果进行深入地描述、解释和预测。
数学分析技术围绕着许多学科展开，如概率数学、统计数学、动态系统分析、矩阵分析、拓扑学等。
一、数学分析的定义数学分析是一种专门研究函数、极限、积分、微分方程以及复杂几何体的数学技术。
它主要关注该学科的理论基础，并研究在特定条件下的函数的行为以及它们之间的关系。
二、数学分析的用途数学分析有着应用于各行各业的广泛，它可以被运用在物理学和工程学中，以解决各类实际问题，如拟计划优化、精确测量、力学和热学等。
它还是建立数学模型的基础，可用于研究现实世界的有限变量的不确定性。
三、数学分析的内容数学分析含有诸多概念、定义和定理，主要包括下列几部分：（1）实数与有理数：实数和有理数的定义，以及它们的性质。
（2）函数：定义、基本概念，多项式、参数方程和曲线的性质，例如局部极值、凹凸性等。
（3）微积分：求导数、积分、初等函数，定义和求证坐标系下函数的最大值、最小值等内容。
（4）复数分析：复数的定义及其在极坐标、相位表达式和极角表示中的性质，以及与微积分相关的定理。
（5）线性代数：向量、向量空间、矩阵、特殊形式、行列式、线性等式组、变换和子空间等，还包括齐次线性方程组和线性方程组的解法。
四、数学分析的应用数学分析也是物理学、工程学中数学运用的基础。
数学分析在许多领域都得到了广泛应用，如品质管理、计算机科学、金融学、经济学、生命科学、机械工程等。
它的理论和方法在许多实用领域得到了广泛，如建模仿真、最优化解决方案、计算解析和数值计算等。
数学分析(考研必看)
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。
数学分析报告(3篇)
数学分析报告（3篇）数学分析报告（精选3篇）数学分析报告篇1动手做题巩固了基础概念后，就应该把“理论”与“实际”结合起来了，也就是做题，做题是最好的检验基础是否扎实的方法。
做题可以掌握做题的方法，积累解题的思路，对所学内容逐步进行练习，最后达到看到题目就可以将步骤一字不差的解出来。
这个阶段做题主要做课本上的例题还有课后的练习题。
很多考生喜欢看题，对照着答案看了一遍觉得懂了，这样做是不对的。
不实际的做题是肯定不会知道自己到底是在哪一步卡住而使题做不下去了。
所以一定要动手做题，“眼高手低”是复习中的大忌。
通过做题也可以透彻理解各章节的知识点及其应用，达到相辅相成的理想复习效果。
第一遍复习时，需要认真研究各种题型的求解思路和方法，做到心中有数，同时对自己的强项和薄弱环节有清楚的认识，这样在第二遍复习的时候就可以有针对性地加强自己不擅长的题型的练习了，经过这样的系统梳理，相信解题能力一定会有飞跃性的提高。
做历年真题在做真题的.时候一定要全身心的投入，把每一年的真题当做考试题来做，把握好时间，将做每份真题的时间控制在两个半小时之内，做完之后按照考研阅卷人给出的评分标准对自己的试卷进行打分，记录并分析试卷中出错的地方，找出与阅卷人所给答案不符合的地方，逐渐完善自己的做题思路，逐渐向阅卷人的思路靠拢。
另外除了做真题之外大家还要学会总结归纳历年真题，将历年真题中的考点列成表格，这样可以有助于大家预测考点。
做全真模拟题与参考书基础题其次，要做典型题。
做题时要有这样一种态度：做题是对知识点掌握情况的检验，在做题过程中不能只是为了做题而做题，要积极、主动的思考，这样才能更深入的理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。
从历年的考研真题来看，线性代数的计算量比较大，但出纯计算的可能性比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。
所以考生在做题时要注意证明题的逻辑严紧性，掌握一些知识点在证明一些结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。
《数学分析》教学大纲
《数学分析》教学大纲《数学分析》教学大纲一、课程概述《数学分析》是数学专业的一门重要基础课，它旨在为学生提供深入的数学分析知识和技能，为后续的高级数学课程打下坚实的基础。
本课程的目标是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
二、课程目标1、理解并掌握数学分析的基本概念、原理和方法，包括极限、导数、微分、积分等。
2、理解并掌握数学分析中的一些重要定理和公式，包括微积分基本定理、泰勒定理、格林公式等。
3、培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力，使学生能够运用所学的数学分析知识解决复杂的数学问题。
4、培养学生的自学能力，使学生能够自主地学习新的数学分析知识和技能。
三、课程内容1、数列的极限、函数的极限、连续函数、导数、微分、不定积分、定积分、级数、泰勒定理等基本概念和原理。
2、微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、导数的应用、积分的应用、多元函数的微分和积分等进阶内容。
3、一些重要的数学分析方法和技巧，包括无穷级数、瑕积分、傅里叶分析、微分方程等。
4、数学分析在其他领域中的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
四、课程安排本课程分为两个学期，每个学期为36个学时，每个学时为45分钟。
每周安排4个学时，共12周。
五、教学方法本课程采用讲授、演示、练习、讨论等多种教学方法，使学生能够更好地理解和掌握数学分析知识。
六、作业和考试本课程要求学生完成一定数量的作业，包括课堂练习和课外作业。
作业内容主要是针对课堂讲授的知识和技能进行练习和巩固。
考试形式为笔试，考试内容主要是针对学生掌握的数学分析知识和技能进行测试。
七、教师队伍本课程的教师队伍由具有丰富教学经验和深厚数学分析知识的教授和副教授组成，他们将为学生提供全面的教学支持和指导。
八、教学资源本课程将提供各种教学资源，包括教材、参考书籍、网上资料、教学视频等，以帮助学生更好地学习和掌握数学分析知识和技能。
九、课程评估本课程的评估将采用多种方式进行，包括作业、考试、课堂表现等。
数学分析-课件-(完整版)
x)dx
f(x)(x)0,
发散。
f (x) dx
a
比较判别法II（用极限比较）
设函数 f (在x) [a,有定) 义，在任意有限区间
[a, A上] 可积，且
(x)0s.t.x l im | f((x x))|l,
（1）若 0l， 则
(
收敛 x)dx
a
收敛；
a f (x)dx
（2）若
，则
小结
第十五章 多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
§2 多元函数的极限与连续性
目录
第十六章
偏导数与全微分
§1 偏导数与全微分的概念 §2 复合函数微分法
§3 几何应用
§4 方向导数
§5 泰勒公式
小结
第十七章
隐函数存在定理
§1 单个方程的情形
§2 方程组情形
第十八章
极值与条件极值
§1 极值与最小二乘法
（2）若 a f ( x) dx
lim (xa)p| f(x)|l,
则
x a
时
收敛，
0l , p1
时
b
a f ( x发)散d。x
b
0l , p1 a f ( x) dx
设
b
a
f
( x)d有x 唯一暇点
a.
(Dirichlet)
g(x)单 a bf(调 x)xld iam x 有 且 g(x) 界 0 a bf(x)g(x)d收 x 敛
(a,a]
无界。若
b
存在，则称瑕积分
b
lim
f (x)dx
收敛0， 且a积分值为该极限值，记为
a f (x)dx
b
数学分析课件
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
数学分析第一章
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
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第一讲 微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。
人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。
在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。
到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。
在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。
在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。
两者都包含了极限与无穷小的思想。
1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。
”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。
而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”更是道出了无限分割的极限思想。
公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。
他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了142704.3141024.3<<π ，并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。
”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。
利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体{}；将圆柱体 {2222,x y z R z ++≤≥0222x y R +≤，0z R ≤≤}减去（即挖去）倒立的圆锥{222x y z +≤，0z R ≤≤}视为另一个几何体。
则对任意的0z R ≤≤，过(0,0,)z 点作水平截面，得到的截口面积相等， 都为，由此得到球体的体积为(22R z π−)343V R π=。
2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon ）创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。
公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes ）对“穷竭法”作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。
在《论球和柱体》一书中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。
阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。
1615年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微元来确定曲边形的面积与体积。
他把圆看作边数无限多的多边形，圆周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。
他把球看作面数无限多的多面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底，于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。
他还用无穷小方法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书中包含了87种不同的旋转体的体积计算。
开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。
（2）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。
（3）行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
可以说这是天文学上划时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。
牛顿就是应用开普勒的行星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。
为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积。
在其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。
积分学的历史可追溯至古希腊，它跨越了二千多年历史。
而微分学的历史相对要短得多，这是因为积分学研究的问题是静态的，而微分学研究的问题是动态的，它涉及到运动。
直到17世纪，微分学才得到重大突破。
微分学主要来源于两个问题的研究：曲线的切线问题与函数的极大、极小问题。
法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825）在这两个问题上作出了主要贡献。
费尔马在处理这两个问题时，都是先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。
费尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。
但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。
另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗（I. Barrow, 1630-1677），他是牛顿的老师，是剑桥大学卢卡斯讲座教授，后来他认为牛顿已经超过了他，就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。
他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲线下区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的两个基本问题联系了起来。
但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进一步深入地研究它们。
3．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼兹。
关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来的。
1669年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学说存在正反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决定性步骤。
但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅，而这一决定在以后给他带来了大麻烦。
直到1687年，牛顿才出版了他的著作《自然哲学的数学原理》，在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造—微积分，并应用微积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万有引力定律。
牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学科，充分显示了微积分理论的巨大威力。
牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。
英国著名诗人波普（Pope）是这样描述牛顿的：自然和自然的规律沉浸在一片混沌之中，上帝说，生出牛顿，一切都变得明朗。
牛顿本人却很谦虚：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我自己来说，就象一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前是未被发现的真理的大海。
”德国数学家莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716) 也致力于研究切线问题和面积问题，并探索两类问题之间的关系。
他把有限量的运算与无穷小量的运算进行类比，创立了无穷小量求商法和求积法，即微分和积分运算。
1684年，他发表了论文《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》，两年后他又发表了他在积分学上的早期结果。
牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标，但两人的方法不同。
牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些，但莱布尼兹发表自己的结论比牛顿早一些。
关于谁是微积分的创始者，英国数学家与欧洲大陆的数学家经历了一场旷日持久的论战，这场论战持续了100多年。
正是由于牛顿和莱布尼兹的功绩，微积分成为了一门独立的学科，求微分与求积分的问题，不再是孤立地进行处理了，而是有了统一的处理方法。
虽然关于谁是微积分的创始者，英国数学家与欧洲大陆的数学家经历了100多年的论战，但公正的历史评价是不应该把发明微积分这一伟大的成就完全归功于一两个人的偶然的和不可思议的灵感，公正地说，微积分的产生历史，说明了这样一个真理：人类科技发展史上的任何一个进步，都是站在巨人的肩膀上取得的。
牛顿说他就是站在巨人的肩膀上，在当时这个巨人已经形成，这个巨人包括了一大批微积分的先驱们，如：阿基米德、开普勒、费尔马、巴罗等数学家。
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭与转折点，是人类探索大自然的艰苦努力的一项伟大的成功，是人类思维的最伟大的成就之一。
这个伟大发明所产生的新数学与旧数学有本质的区别：旧数学是关于常量的数学，新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态的；旧数学只涉及固定的和有限的量，新数学则包含了运动、变化和无限。
关于微积分的地位，恩格斯这样评论：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。
”微积分诞生后，数学引来了一次空前的繁荣时期。
18世纪被称为数学史上的英雄世纪。
数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果。
在数学本身，他们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大扩展了数学研究的范围。
4．微积分严格理论体系的完善微积分建立之后，出现了两个极不协调的情景；一方面是微积分广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积分的基本概念的合理性提出了强烈的质疑。
19世纪以前，无穷小量概念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。
1734年英国哲学家红衣主教贝克莱（G . Berkeley, 1685-1753）对微积分基础的可靠性提出强烈质疑，从而引发了第二次数学危机。
他认为微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。
例如对求导数（当时称为求流数），要先假设自变量有一个无穷小增量“”，它不能为零，但在计算后半部，又要把这增量取为零：3x y =022233300330)0(x x x x x =+⋅+=−+。
所以他说：无论怎样看，牛顿的流数计算是不合逻辑的。
为了克服微积分运算在逻辑上的矛盾，为微积分学科建立严格的数学基础，数学家们又经历了长期而艰苦的努力。
1750年法国数学家达朗贝尔（J. R. d’Alembert, 1717-1783）用极限方法取代无穷小量方法；后来法国数学家柯西（L. Cauchy, 1780-1857)在达朗贝尔通俗的极限基础上，从变量和函数角度出发给出极限的定义，从而把微积分的基础严格地奠定在极限概念之上。
最后德国数学家魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass, 1815-1897)用静态的δε−语言来刻画动态的极限与连续概念，使极限的定义达到了最清晰最严密的程度，直到如今人们仍然在使用他的定义。
由于严格的极限理论的建立，而无穷小量可用极限的语言清楚地加以描述，这才解决了有关的逻辑困难。