最新高考押题预测密卷数学试题
江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版测试(押题卷)完整试卷
江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若集合，，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(3)题如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：①；②异面直线与所成角的取值范围为；③有且仅有一个点P，使得平面；④三棱锥的体积是定值．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(4)题下列一组数据、、、、、、、、、的分位数为（）A．B．C．D．第(5)题在三棱锥中，为正三角形，设二面角，，的平面角的大小分别为，则下面结论正确的是A．的值可能是负数B．C．D．的值恒为正数第(6)题上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（）A．B．C．D．第(7)题已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．第(8)题设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（）A．12B．6C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设，则（）A．B．C．D．第(2)题复数，则下列说法正确的有（）A．在复平面内对应的点都位于第四象限B．在复平面内对应的点在直线上C．D．的最小值为4第(3)题已知函数，则下列判断正确的是（）A ．的最小正周期为B．的图象关于点对称C ．的值域为D．的图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知三个整数，且.若以为三条边的长可以构成一个三角形，则这样的数组有___________组.第(2)题已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．第(3)题如下图，在四面体中，，平面平面，，且.若与平面所成角的正切值为，则四面体的体积的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)若，求的值；(2)当时，证明：.第(2)题已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是增函数，求a的取值范围；(3)证明：有最小值，且最小值小于．第(3)题某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？第(4)题如图，已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，为其两对角线的交点，，，、分别为、的中点，顶点在底面的射影为底面中心．(1)求证：平面，且平面；(2)求三棱锥与三棱柱的体积之比．第(5)题随着2022年北京冬奥会的成功举办，吉祥物“冰墩墩”成为现象级“顶流”，憨态可掬的大熊猫套着冰晶外壳，“萌杀”万千网友.奥林匹克官方旗舰店“冰墩墩”一再售罄，各冬奥官方特许商店外排起长队，“一墩难求”，成了冬奥赛场外的另一场冰雪浪漫和全民狂欢.某商家将6款基础款的冰墩墩，随机选取3个放在一起组成一个盲盒进行售卖.该店2021年1月到11月盲盒的月销售量如下表所示：月份数1234567891011月销售量万个111517(1)求出月销售量（万个）与月份数的回归方程，并预测12月份的销量；(2)小明同学想通过购买盲盒集齐6款基础款冰墩墩，为此他购买了2个盲盒，设为这2个盲盒中不同款冰墩墩的个数，求的分布列以及期望.参考公式及数据：回归直线的方程是，则.。
押题预测卷02-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷(新高考九省联考题型)含答案
决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(12i)(32i)2i z ---=+，则z =（ ）A 33i - B. 33i+ C. 33i-+ D. 33i--2．已知向量(2,0),(a b ==-r r，则a r 与()a b -r r 夹角的余弦值为（ ）A. B. 12-C.123． “直线1sin 102x y q +-=与cos 10x y q ++=平行”是“π4q =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246a a a ++=（ ）A. 64B. 33C. 32D. 315．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为h 的水平截面的面积S 可以近似用函数()()2π9S h h =-，[]0,9h Î拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）A. 27πB. 81πC. 108πD. 243π.6.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a b c ､､，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，且c =2ba -的取值范围为（ ）A. ()1,2-B. ö÷øC. æççèD. (-7．已知正实数,,a b c 满足2131412,3,4a b c a b c a b c a b c+++=-=-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a b c<<C. a c b<< D. b a c<<8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF Ð=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B. 若随机变量()()2~2,10.68X N P x s>=，，则()230.18P x £<=C. 设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P BA PB =∣，则事件A 与事件B 相互独立D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 4.712=c ，依据0.05a =的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．若函数2222()2sin log sin 2cos log cos f x x x x x =×+×，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为pB. ()f x 的图象关于直线4x p=对称C. ()f x 的最小值为1-D. ()f x 的单调递减区间为2,24k k p p p æö+ç÷èø，k ZÎ11．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ）A ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-å三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12．已知集合{}24A x x =-<<，122x B x ìü=>íýîþ，则A B =I ______________.13．已知A 为圆C ：()22114x y +-=上动点，B 为圆E ：()22134x y -+=上的动点，P 为直线12y x =上的动点，则PB PA -的最大值为______________.14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++×××++n n n n a S a a a a a a n ，若对任意*N n Î，不等式()432n n S n l +<+恒成立，则实数l 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，2,90AB AD ABD Ð===o ，矩形BDEF 所在平面与底面ABCD 垂直，M 为CE 的中点.的（1）求证：平面BDM P 平面AEF ；（2）若平面BDM 与平面BCF CE 与平面BDM 所成角的正弦值.17．已知函数()()ln 1f x x a x a =--ÎR .（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线为x 轴，求a 的值；（2）讨论()f x 在区间(1,)+¥内极值点的个数；18．已知抛物线：22y x =，直线:4l y x =-，且点,B D 在抛物线上．（1）若点,A C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ，求直线BD 的方程；（2）若点A 为抛物线和直线l 的交点（位于x 轴下方），点C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ，求直线BD 的斜率．19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *"Î<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024年高考数学临考押题卷01(全解全析)(新高考通用)
2024年高考数学临考押题卷01（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-4【答案】A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．已知平面向量()1,3a x x =--- ，()1,2b x =+ ，4a b ⋅=- ，则2a b + 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得=1x -，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()()()41123412,2a b x x x x a ⋅=-⇒-+-+=-⇒=-⇒=- ，()()0,222,2b a b =⇒+=，(2)cos2,|2|||a b ba b ba b b+⋅∴〈+〉==+r rrr rrr rr2,[0,π]a b b〈+〉∈r rrQ，.π2,4a b b∴+=．故选：B3．甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】C【分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解.【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有2522A10A=种放法，故不同的就座方法共有()44A510360⨯+=种.故选：C.4．已知点()4,4M在抛物线C：22y px=（0p>）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则NF=（）A．203B．103C．152D．154【答案】B【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线MF的方程，求出两直线交点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.【详解】由()4,4M，有1624p=⨯，即2p=，即抛物线C：24y x=，则()1,0F，准线方程为：=1x-，故()4:141MFl y x=--，整理得44:33MFl y x=-，令=1x -，则448333y =--=-，即81,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则103NF ==.故选：B.5．已知ABC 的内角, , A B C 的对边分别为, , ,a b c 若面积()22,3a b c S +-=则sin C =（）A ．2425B ．45C ．35D ．725【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：2222cos a b c ab C +-=，结合三角形的面积公式in 12s S ab C =，可把条件转化为：4cos 43sin C C +=，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin 0C >，可求得sin C .【详解】因为in 12s S ab C =，所以()221sin 23a b c ab C +-=22223a b c ab +-+=，又由2222cos c a b ab C =+-⇒2222cos a b c ab C +-=，所以12cos 2sin 23ab C abab C +=⇒4cos 43sin C C +=.所以4cos 3sin 4C C =-⇒()()224cos 3sin 4C C =-⇒2216cos 9sin 24sin 16C C C =-+⇒()22161sin 9sin 24sin 16C C C -=-+所以225sin 24sin 0C C -=，又因为在ABC 中，sin 0C ≠，所以24sin 25C =.故选：A6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型0.25010()3n tn r r r r +=+-⋅（t ∈R ，*n ∈N ），其中0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯，由0.65n r ≤，解不等式即可求解.【详解】由题意知30 2.25g/m r =，31 2.21g/m r =，当1n =时，0.251010()3t r r r r +=+-⨯，故0.2531t +=，解得0.25t =-，所以0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯．由0.65n r ≤，得0.25(1)340n -≥，即lg 400.25(1)lg 3n -≥，得4(12lg 2)114.33lg 3n +≥+≈，又*n ∈N ，所以15n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D7．记数列{}n a 的前n 项积为n T ，设甲：{}n a 为等比数列，乙：2n n T ⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则11n n a a q -=，(1)12(1)211n n n n n n T a q a q-+++-== ，于是(1)12()22n n n n n T a q -=，(1)111211(1)12()222()22n n n n n n n n n n n T a qa q T a q ++++-==⋅，当1q ≠时，12n a q ⋅不是常数，此时数列2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，令首项为1b ，公比为p ，则112n n n T b p -=，112(2)n n T b p -=⋅，于是当2n ≥时，112112(2)22(2)n n n n n T b p a p T b p ---⋅===⋅，而1112a T b ==，当1b p ≠时，{}n a 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.8．设202310121011a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202510131012b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <<B ．2e b a<<C ．2e a b <<D ．2e b a <<【答案】B【分析】由题意可得10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++、10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，构造函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->、2()ln(1)(0)2xh x x x x =+->+，利用导数讨论两个函数的单调性可得a b >、2e b >，即可求解.【详解】10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++，10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，设函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->，则2111121()2ln(1)2ln (21)()2ln(1)()111f x x x x x x x x x x'=+-++-=+-⋅+++，设22()2ln(1)(01)1x xg x x x x+=+-<<+，则22()0(1)x g x x '=-<+，所以()g x 在(0,1)上单调递减，且()(0)0g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，则(1011)(1012)f f >，即ln ln a b >，所以a b >.设2()ln(1)(0)2x h x x x x =+->+，则22214()01(1)(1)(2)x h x x x x x '=-=>++++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且1()(0)0h h x>=，即21(21)ln(1)2112()2ln(1)ln(1)012121212x f x xx x x x x x x++--+-=+-==>++++，得()2f x >，所以(1012)2f >，即ln 2b >，解得2e b >.综上，2e b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
2025年高考预测押题卷-开学起始考模拟卷 高考数学热点(新高考专用)(解析版)
2025年高考预测押题卷（新高考专用）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{y|y＝2x，x≥1}，则M∩N＝（）A．[1，4）B．（0，2]C．∅D．[2，4）【分析】先通过解对数不等式求集合M，通过求解指数函数值域求集合N，再求交集即可．【解答】解：∵M＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，N＝{y|y＝2x，x≥1}＝{y|y≥2}，∴M∩N＝[2，4）．故选：D．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据余弦函数的性质，可得单调区间长度小于等于半周期，可得﹣2≤ω＜0，再利用整体代换法，即可求得，取k＝0即可得出结果．【解答】解：函数的最小正周期，所以，即﹣2≤ω＜0，当时，，依题意知，k∈Z，解得，又﹣2≤ω＜0，∴当k＝0时成立，．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．3．欧拉恒等式e iπ+1＝0（i为虚部单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式e ix＝cos x+i sin x的特例：当自变量x＝π时，e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1，得e iπ+1＝0．根据欧拉公式，复数的虚部为（）A．B．C．D．【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算，即可得出答案．【解答】解：由题意得＝，则虚部为，故选：C．【点评】本题考查复数的欧拉公式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．4．甲、乙、丙三人各进行一次打靶，三人打中的概率分别为0.8，0.8，0.7，则三人中至少有一人打中的概率为（）A．0.988B．0.96C．0.948D．0.448【分析】三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中，运用间接法解决即可．【解答】解：三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中，三人均打不中的概率为（1﹣0.8）×（1﹣0.8）×（1﹣0.7）＝0.012，所以三人中至少有一人打中的概率为1﹣0.012＝0.988．故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．5．已知α，β均为锐角，且，则sin（α﹣β）＝（）A．B．C．D．【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α，β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果．【解答】解：由得，又，即，又α，β均为锐角，所以，．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可．【解答】解：由题可知＝，∵点F在BE上，∴＝+（1﹣λ），∴＝（）+（），∴＝，λ＝，∴x＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．7．已知数列{a n}满足a n+1＝﹣a n+1（n∈N*），且a1＝2023，若存在正偶数m使得（﹣1）1+（﹣1）2+⋯+（﹣1）m+m＝2022a1a2⋯a m成立，则m＝（）A．2016B．2018C．2020D．2022【分析】由得，由此可得化简a1a2⋯a m；由及正偶数m得，由此可化简，最后建立等式关系求得m值．【解答】解：由题意，，故，∴﹣1，∵m为正偶数，∴，∴左边＝（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+⋅⋅⋅+（a m+1﹣a m﹣1）+m＝a m+1﹣a1+m，此时a m+1﹣a1+m＝a m+1﹣1，∴m＝a1﹣1＝2022．故选：D．【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知a＝2.12.3，b＝2.22.2，c＝2.32.1，则a，b，c的大小关系是（参考数据ln2.5≈0.916）（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】比较a，b的大小关系等价于比较2.3ln2.1，2.2ln2.2的大小关系，等价于比较的大小关系，后者两边具有统一的结构形式，构造函数，利用导数研究函数在包含2.2和2.3的某个适当区间内的单调性，进而比较a，b的大小，得到a＜b，同样思想，比较b，c得到b＜c．从而得到结论．【解答】解：令，，令，，当x＞0.1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．又，∴当0.1＜x＜e+0.1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（2.2）＜f（2.3），即，则2.3ln2.1＜2.2ln2.2，∴2.12.3＜2.22.2，则a＜b，令，则，令，则，当x＞0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减．又，所以当0＜x≤2.4时，h'（x）＞0，所以在（0，2.4]上单调递增，∴h（2.1）＜h（2.2），即，∴2.2ln2.2＜2.1ln2.3，即2.22.2＜2.32.1，则b＜c，综上所述a＜b＜c．故选：B．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知双曲线C过点且渐近线方程为x±y＝0，则下列结论正确的是（）A．C的方程为x2﹣＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x﹣2﹣1经过C的一个焦点D．C的焦点到渐近线的距离为1【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答．【解答】解：因为双曲线C的渐近线方程为，则设双曲线C：，又点在双曲线C上，有λ＝1，即双曲线C的方程为，故A错误；双曲线C的实半轴长，虚半轴长b＝1，半焦距c＝2，双曲线C的离心率，故B错误；双曲线C的焦点坐标为（±2，0），其中（2，0）满足y＝e x﹣2﹣1，故C正确；双曲线C的焦点（±2，0）到渐近线的距离，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知a＞0，b＞0，且a+b＝4则下列结论一定正确的有（）A．（a+2b）2≥8ab B．C．ab有最大值4D．有最小值9【分析】由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝4，A：（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2≥0，A错误；当a＝b＝2时取等号，B显然错误；因为a+b＝4，。
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷附答案解析
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{3,Z ,06A x x n n B x x ==∈=≤≤，则A B = （）A ．{1,2}B ．{3,6}C ．{0,1,2}D ．{0,3,6}2．若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-CD．3．双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线方程为2y x =±，则m =（）A ．12B ．22CD ．24．已知在ABC 中，点D 在边BC 上，且5BD DC = ，则AD =（）A ．1566AB AC + B ．1566AC AB +uuur uu u r C ．1455AB AC + D ．4155AB AC+ 5．函数()21ex x f x -=的图象大致为（）A．B．C ．D．6．三个相同的圆柱的轴线123,,l l l ，互相垂直且相交于一点O ，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P 同时在三个圆柱内（含表面），则OP 长度最大值为（）A ．1B．2C．D．27．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A ．209277B ．210277C ．211277D ．2122778．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且()1142,N 2n n n n n a a *-=+≥∈，若11a =，则（）A ．202431,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．20243,22S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．202452,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．20245,32S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，下列结论正确的有（）A ．若120z z ->，则12z z >B ．若2212z z =，则12=z z C ．1212z z z z ⋅=⋅D ．若11z =，则12i z +的最大值为310．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线32y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，则（）A ．2PF Q △的周长为4B ．1PF 的取值范围是[]1,3C ．PQ 的最小值是3D ．若点,M N 在椭圆上，且线段MN 中点为()1,1，则直线MN 的斜率为34-第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：，①()()()1212f x x f x f x =；②当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数；③()f x 为R 上偶函数.13．甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为．14．若关于x 的方程()2e e x xx a x +=存在三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．已知函数()e xf x =．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．16．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB 12AB AC A B ===，1AC BC ==(1)证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；(2)若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．18．已知,A B 是椭圆22:14x E y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点M 的坐标.(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23n n S a +=；数列{}n b 满足121n n b b n ++=+，其中11b =.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)对于给定的正整数()1,2,,i i n = ，在i a 和1i a +之间插入i 个数12,,,i i ii c c c ，使1,i i a c ，21,,,i ii i c c a + 成等差数列.（i ）求11212212n n n nn T c c c c c c =+++++++ ；（ii ）是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.1．D【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】依题意，}{}{{}3,Z 060,3,6A B x x n n x x ⋂==∈⋂≤≤=.故选：D.2．D【分析】根据已知条件利用诱导公式确定πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据角α所属象限确定cos α=-，即可求解.【详解】由诱导公式有：πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角α的终边位于第二象限，则cos 2α=-，所以πsin cos 22αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.3．D【分析】借助渐近线的定义计算即可得.【详解】由题意可得21m =，又0m >，故2m =.故选：D.4．A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC 中，BC AC AB =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，故选：A.5．A【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.【详解】易知R x ∈，因为()()12ex x x f x --'=，令()0f x '=，得0x =，或2x =，则()(),02,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()0,2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-和(2,)+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，所以选项A 符合题意,故选：A.6．B【分析】根据给定条件，构造以线段OP 为体对角线的长方体，再求出OP 的最大值.【详解】令直线123,,l l l 两两确定的平面分别为,,αβγ，显然,,αβγ两两垂直，把三个圆柱围成的几何体等分为8个部分，由对称性知，考查其中一个部分，当线段OP 在平面α或β或γ内时，1OP =，当线段OP 不在,,αβγ的任意一个内时，线段OP 可视为一长方体的体对角线，要OP 最长，当且仅当此长方体为正方体，其中一个表面正方形在α内，对角线长为1，边长即正方体的棱长为22，体对角线长为22所以OP 长度最大值为2.故选：B 7．B【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.【详解】用(),a b 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636⨯=个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即a b >包含的基本事件有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率为1553612p ==.同理可得，甲每轮得0分的概率也是512，得1分的概率为16.所以每一轮甲得分低于3分的概率为57111212p -=-=．设事件A 表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A 表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.则()333377C 1212P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()37138511121728P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.事件AB 可分三类情形：①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为221355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为212355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为33355125A 12126144P ⨯⨯⨯==.所以()12312512525175576576144288P AB P P P =++=++=175288=，所以()()()175210288|13852771728P AB P B A P A ===.故选：B ．8．A【分析】先对1n a)22n ≥+≥()*21N n n ≥-∈，进而()()()()211111223212232121n a n n n n n n ⎛⎫≤<=-≥ ⎪----⎝⎭-，应用裂项相消法即可求解.【详解】因为11a =，则211402na a =+>，即20a >，结合()1142,N 2n n nn n a a *-=+≥∈，可得0n a >，则()221112422222n n n n n n a a a --⎛⎫⎛⎫-==+≥+≥ ⎝⎝，)22n≥+≥()22n≥，22，…()22n≥，()21n≥-()()21212n n n+-=-≥，当1n=1=()*21Nn n≥-∈，所以()()()()211111223212232121na nn n n nn⎛⎫≤<=-≥⎪----⎝⎭-，所以()1111111113131112335232122122212 nS an n n n⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-<⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故202432S<，因为0na>，所以202412202411S a a a a=++⋅⋅⋅+>=，所以2024312S<<．故选：A．【点睛】数列与不等式结合，关键是看能不能求和，不能的要对通项公式进行放缩后进行. 9．BCD【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD.【详解】若复数122i,1iz z=+=+，满足12z z->，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；若2212z z=，则2212z z-=，即()()1212z z z z+-=，得12z z=或12z z=-，所以12=z z，B选项正确；设()11111i R,z a b a b=+∈，()22222i R,z a b a b=+∈，则()()()()12112212121221i i iz z a b a b a a b b a b a b⋅=++=-++，12||z z⋅==12||||z z==，所以1212z z z z⋅=⋅，C选项正确；若11z=，得22111a b+=，有111a-≤≤，111b-≤≤，则12i3z+===≤，1b=时取等号，则12i z +的最大值为3，D 选项正确.故选：BCD.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．BCD【分析】利用椭圆的定义可判定A ，利用焦半径公式可判定B ，利用椭圆弦长公式可判定C ，利用点差法可判定D.【详解】由题意可知椭圆的长轴长24a =，左焦点()11,0F -，由椭圆的定义可知222221148PF Q C PF QF PQ PF QF PF QF a =++=+++== ，故A 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，11142PF x ===+，易知[][]112,242,6x x ∈-⇒+∈，故B 正确；若PQ 的斜率存在，不妨设其方程为：y kx k =+，联立椭圆方程()2222221438412043x y k x k x k y kx k ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以223334343PQ k k ===+>++，若PQ 的斜率不存在，则其方程为=1x -，与椭圆联立易得3PQ =，显然当PQ 的斜率不存在时，min 3PQ =，故C 正确；设()()3344,,,M x y N x y ，易知()()()()2233343443342244143043143x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪+-+-⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩34343434343434PQ y y y y y y k x x x x x x +-+⇒⋅=-=⋅+-+，若MN 中点为()1,1，则3443324PQ x x y y k +=+=⇒=-，故D 正确.故选：BCD12．()2f x x =（答案不唯一）【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各性质即可得解.【详解】由性质①可联想到幂函数，由性质②可知该幂函数的指数大于0，由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数，综上，可考虑()()0af x x a =>或()af x x =（a 为正偶数）或()nm f x x =（n 为偶数，0nm>），不妨取2a =，得()2f x x =.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）.13．35##0.6【分析】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，根据条件概率公式分别求解()P A 、()P AB 的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，()P A 122221220C 3333327=⨯+⨯⨯⨯=，22224()C 339P AB =⨯⨯=，故4()1239(|)20()20527P AB P B A P A ====．故答案为：35．14．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】0x =不是方程的根，当0x ≠时，变形为e e x x x a x =-，构造()e ex x xf x x =-，0x ≠，求导得到函数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】当0x =时，()e 0xx a x +=，2e 1x =，两者不等，故0不是方程的根，当0x ≠时，e ex x xa x =-，令()e ,0xg x x x =≠，则()()2e 1x x g x x ='-，当0x <，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，且当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，画出()e ,0xg x x x=≠的图象如下：令()e xxh x =，0x ≠，则()1e xxh x ='-，当0x <，01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，且当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，画出()e xxh x =，0x ≠的函数图象，如下：令()e e x x x f x x =-，0x ≠，则()()()22e 11e 11e e x x x x x x f x x x x -⎛⎫-=-=-+ ⎝'⎪⎭，由于2e 10ex x x +>在()(),00,∞∞-⋃+上恒成立，故当0x <，01x <<时，()0f x '<，()e e x xxf x x =-单调递减，当1x >时，()0f x '>，()e ex x xf x x =-单调递增，其中()11e ef =-，从()(),g x h x 的函数图象，可以看出当x →-∞时，()f x ∞→+，当0x <且0x →时，()f x ∞→-，画出函数图象如下，要想e ex x xa x =-有三个不同的根，则1e ,e a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题或函数零点，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)2(2)(,∞--【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得l 与x 轴的交点与y 轴的交点，计算可得结果；（2）根据对称性求函数()g x 的解析式，将问题转化为存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，构造函数()2e e 2e x xF x x -=--，转化为函数的最值问题并求解.【详解】（1）由()e x f x =，得()()01,e xf f x '==，所以切线l 的斜率(0)1k f '==.所以切线l 的方程为1y x -=，即1y x =+.令0x =，得1y =，令0y =，得=1x -，所以切线l 与x 轴交于点(1,0)-，与y 轴交于点(0,1)，所以切线l 与坐标轴围成的三角形的周长为112+=.（2）设(,)Q x y ，则(2,)P x y -，由题意知(2,)P x y -在()f x 的图象上，所以2e x y -=，所以()2e xg x -=.由()()2e f x x m g x -≥+，得()()2e f x g x x m --≥，即2e e 2e x x x m ---≥，因为存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，所以存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，设()2e e 2e x x F x x -=--，则()2e e 2e x xF x -='+-，又()2e 0F x ≥'=，当且仅当1x =时等号成立，所以()F x 单调递增，所以当[)0,1x ∈时，()(1)2e F x F <=-，可得2e m <-，即实数m 的取值范围是(,2e).∞--16．(1)67（分钟）(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量ξ的分布列，并利用数学期望公式求解.【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人ξ的可能取值为：0，1，2则304236C C 1(0)C 5P ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===所以ξ的分布列为：ξ012P153515()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=17．(1)证明见解析(2)427【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【详解】（1）取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABCA B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =22211AC AA A C +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==-⎪⎩ ，取x =0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>=⋅=若0a =，则21sin 7θ=，若0a≠，则42sin 7θ==，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C427.18．(1)()3,0；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）设()00,P x y ，利用两点间距离公式得PM =然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛± ⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【详解】（1）设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x =-≤≤，①若min 30,12m PM <≤=，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >=，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t >t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =--，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y -+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3n =±，即4,3G ⎛ ⎝⎭.故直线AC的方程为)2y x =+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，因为2A x =-,所以412929C x ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭，所以C y =故l MC k k ==19．(1)()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N (2)（i ）323223n nn T +=-⨯；（ii ）存在，1m =【分析】（1）根据,n n S a 的关系式可得{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，再根据121n n b b n ++=+可分别对{}n b 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）利用定义可求得新插入的数列公差()231n nd n =-+，求得23nk n nc =并利用错位相减法即可求出323223n nn T +=-⨯；（ii ）求得1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，易知对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以不是数列{}n a 中的项；又()*n b n n =∈N ，分别对其取值为1132,313m mm m +-+=-+时解方程可求得1m =.【详解】（1）由23n n S a +=①，当2n ≥时，1123n n S a --+=②，①-②得()11120.23n n n n n a a a a a n --+-=∴=≥，当1n =时，11123,1a a a +=∴=，{}n a ∴是首项为1，公比为13的等比数列，故()1*13n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，由121n n b b n ++=+③.由11b =得22b =，又1223n n b b n +++=+④.④-③得22n n b b +-=，{}n b 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得()()()*212n 11221,2122,n n b n n b n n b n n -=+-⨯=-=+-⨯=∴=∈N .综上可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）在n a 和1n a +之间新插入n 个数12,,,n n nn c c c ，使121,,,,,n n n nn n a c c c a + 成等差数列，设公差为n d ，则()()111123321131nn n n n n a a d n n n -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+-++，则111122(1)2,33(1)33(1)23n nnk n n nk n n n n k k n n n n c a kd c n n --=+⎛⎫=+=-∴=-⋅= ⎪++⎝⎭∑.112122122122333n n n nn nn T c c c c c c ⎛⎫=+++++++=+++ ⎪⎝⎭⑤则23111223333n n n T +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ⑥⑤-⑥得：21111112111233332211333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫-⨯ ⎪+⎛⎫=+++=-=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭，所以可得323223n nn T +=-⨯（ii ）由（1）()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，又323223n nn T +=-⨯，由已知1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，假设11313m mm m +-+-+是数列{}n a 或{}n b 中的一项，不妨设()()()()1*130,,113313m m mm k k m k m k m +-+=>∈∴--=-⋅-+N ，因为()*10,30mm m -≥>∈N ，所以13k <≤，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以11313m mm m +-+-+不可能是数列{}n a 中的项.假设11313m mm m +-+-+是{}n b 中的项，则*k ∈N .当2k =时，有13m m -=，即113m m -=，令()()()111123,13333m m m m m m m m f m f m f m ++---+=+-=-=，当1m =时，()()12f f <；当2m ≥时，(1)()0,(1)(2)(3)(4)f m f m f f f f +-<<>>> ，由()()110,29f f ==知1113m m +-=无解.当3k =时，有10m -=，即1m =.所以存在1m =使得113313mm m m +-+=-+是数列{}n b 中的第3项；又对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，所以4k ≥时，方程11313m mm k m +-+=-+均无解；综上可知，存在正整数1m =使得21123123m m m m b a m b T +-++---是数列{}n b 中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项时，关键是限定出1131313m mm m +-+<≤-+，再对数列{}n a 的取值范围进行限定可得不是数列{}n a 中的项，再由{}n b 只能取得正整数可知只需讨论113213mm m m +-+=-+或3有无解即可求得结论.。
2024决胜高考预测模拟卷押题预测卷05(新高考九省联考题型)(解析)
决胜2024年高考数学押题预测卷05数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）A. 290 B. 295 C. 300 D. 330【答案】B【解析】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360，875%6´=，所以75%分位数为2903002952+=.故选：B2．已知复数z 满足1i 1z z -=+，则z =（ ）A. i B.14C. 12D. 1【答案】D【解析】()11ii 1i i 1i 1i 11iz z z z z z -+=Þ-=+Þ-=+Þ=+-，故()()()2221i 1i 12i+i 2ii 1i 1i 1i 1i 2z +++=====--+-，故i z =-，故1z =.故选：D 3． 若20201918219200121920(2)a b x a x a b x a b x ab x b -=+++++L ，则19x =（ ）A. 20-B. 19202-´ C. 192- D. 19202´【答案】B【解析】因为20(2)a b -的展开通项公式为()()()20202020C 22C 020,N rrr r rr r r T a b a b r r --=-=-££Î，则1919191920(2)C 202x =-=-´，故B 正确．故选：B ．4．已知()1,1a =r ，(),1b m =-r ，m 为实数，若()a ab ^-r r r ，则向量a r 在b r上的投影向量为（ ）A. 13,55æöç÷èøB. 13,55æö-ç÷èøC. 31,55æöç÷èøD. 31,55æö-ç÷èø【答案】D【解析】根据题意可知()1,2a b m -=-rr ，由()a a b ^-r r r 可得()()11120a a b m ×-=´-+´=rr r ，解得3m =，所以()3,1b =-r ；所以向量a r 在b r15531,5b æö-ç÷è=ø=r r .故选：D5．已知圆22:4O x y +=，弦过定点()1,1P，则弦长AB 不可能的取值是（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】圆22:4O x y +=的半径2r =，因为221124+=<，所以点()1,1P 在圆O 内，当弦AB 过圆心时，max24AB r ==，最短，=，所以弦长AB 不可能的取值是D 选项.故选：D.6．若24x y -=x ，R y Î，则x y -的最小值为（）A. 12B. 32C.54 D. 4【答案】C【解析】因为2x 所以2224444xx yyyy-===++．因为20y >，所以244y y +³所以5444x y -³=，即54x y -³．当且仅当244yy =，24x y =+14y =，32x =时等号成立，所以x y -的最小值为54．故选：C ．7．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin 3sin a A b B c C -=，若S 表示ABC V 的面积，则2Sb 的最大值为（ ）【答案】D【解析】因为2sin sin 3sin a A b B c C -=，由正弦定理得22223a b c -=，所以2221322a b c =+，由余弦定理得22222cos 24b c a b c A bc bc+--==，所以222224222422421(sin )sin (1cos )1182((1)4464bc A S c A c A c c b b b b b b -====-+-，令22c t b=，则22215((181)644S t t b =-+-£，当且仅当9t =，即3c b =时取等号，所以2S b £故选：D.8．已知22()32ln ,{1,1},(),{1,2,3,4}f x a ax x a g x bx x b =+Î-=-Î，使()()f x g x >恒成立的有序数对(,)a b 有（ ）A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个【答案】B【解析】由题得函数定义域为(0,)+¥，要想()()f x g x >恒成立，即2232ln a ax x bx x +>-恒成立，只需232ln a a x b x x +>-恒成立，只需232ln a x a x b x++>恒成立，设223(3)()()2ln (0),()a x a x a h x x a x x h x x x+-¢=++>=，所以当1a =-时，则min ()(3)42ln 3h x h ==-，使()()f x g x >恒成立的b 可取1；所以当1a =，则min ()(1)4h x h ==，使()()f x g x >恒成立的b 可取1，2，3，所以(,)a b 一共有(1,1),(1,1),(12),,(1,3)-共4种.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若11z z -=+，则（ ）A. R z Î B. 11z z -=+C. 0z z += D. 2z z z ×=【答案】BC【解析】利用复数的几何意义知在复平面内，z 对应的点在()()1,0,1,0-对应线段的中垂线即y 轴上，所以z 不一定是实数，所以A 错误；因为z 与z 关于实轴对称，且在y 轴上，所以B ，C 正确；取i z =，则21,1z z z ×==-，所以D 错误．故选：BC.10．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111224,AB A B AA P ===为棱1CC 上一点，则（ ）A. 不存在点P ，使得直线BP P 平面11AB DB. 当点P 与1C 重合时，直线1CC ^平面BPDC. 当P 为1CC 中点时，直线BP 与ADD. 当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2【答案】BCD【解析】连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立如图所示坐标系，设点1A 在底面投影为E ，则AE OA OE =-=1A E ==11ABCD A B -则(A ，()0,B ，)C ，(1B ，(1C ，(10,D ，所以(1AB =-，(1AD =-uuuu r ，1CC =uuuu r ，()BC =--uuu r，因为P 为棱1CC上一点，所以)()01CP CC l l ==££uuu r uuuu r，所以(),BP BC CP =+=-+-uuur uuu r uuu r，设平面11AB D)11x r，则1111111100AB n AD n ì×=-+=ïí×=-=ïîuuur r uuuu r r ，令11x =可得平面11AB D 的一个法向量为()1,0,2n =r ，令0n BP×=-+=r uuu r解得23l =，故存在点P ，使得直线BP P 平面11AB D ，A 说法错误；当点P 与1C 重合时即P，)0,D -，(BP =-uuu r，()0,BD =-r，设平面则BP m BD m ì×ïí×ïîuuu r r uuu r r1可得平面BPD 的一个法向量为()1,0,1m =u r ，因为1CC =uuuu r 1^平面BPD ，B 说法正确；当P 为1CC，()AD =--uuu r，所以cos ，所以直线BP 与AD 所成角的余弦值为cos ,BP AD =uuu r C 说法正确；设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，当P 为1CC 三棱锥111A A B D -的体积111111122332A B D V S h ==´´´V 三棱锥P BCD -的体积2111443232BCD h V S ==´´´=V 所以三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2，D 说法正确；故选：BCD11．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()()112f x g x -++=，()()22g x f x --=，()()42g x f x --=，且当(]0,1x Î时．()21f x x =+，则（ ）A. ()20242g =B.20241()0i g i ==åC. 函数()f x 关于直线3x =对称D. 方程()2024f x x +=有且只在3个实根【答案】ACD【解析】对于A ：由()()()()11242f x g x g x f x ì-++=ïí--=ïî，可得()()()()2242f x g x g x f x ì+-=ïí--=ïî，所以(2)(4)4g x g x -+-=所以[2(2)][4(2)]4g x g x --+--=，即()(2)4g x g x ++=所以(2)(4)4g x g x +++=，得()(4)g x g x =+，故()g x 为周期函数，且周期为4，又()()()()11222f x g x g x f x ì-++=ïí--=ïî，可得()()()()2222f x g x g x f x ì+-=ïí+-=ïî，故(2)(2)4g x g x -++=，令0x =可得()22g =，令()(2)4g x g x ++=中的0x =可得()02g =所以()()202402g g ==，A 正确；对于B ：因为当(]0,1x Î时，()21f x x =+，所以()12f =，由()()112f x g x -++=得()()112f g +=，所以()10g =由()()42g x f x --=得()()312g f -=，所以()34g =，又()()402g g ==，所以()()()()()20241()506123450602424048i g i g g g g =éù=+++=´+++=ëûå，B 错误；对于C ：由()()()()11242f x g x g x f x ì-++=ïí--=ïî，可得()()()()2242f x g x g x f x ì-+=ïí--=ïî，故(2)(4)0f x f x -+-=，即(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x +=，由()()()()11222f x g x g x f x ì-++=ïí--=ïî，可得()()()()112112f x g x g x f x ì-++=ïí+--=ïî，故(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，所以()(2)()f x f x f x +=-=-故()f x 为奇函数，关于1x =对称，且周期为4，又当(]0,1x Î时．()21f x x =+，作出()f x 的图象如下：由图可知函数()f x 关于直线3x =对称，C 正确；对于D ：方程()2024f x x +=，即()f x x =，由图可知，函数()f x 的图象和y x =的图象有3个交点，即方程()2024f x x +=有3个实根，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选安全防范服务”，则()P A B =_________.【答案】332【解析】事件AB ：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在其它4个项目，且互不相同，为44A ，事件B ：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它4个项目，可以安排在相同项目，为44，()()()44545A 354325P AB P A B P B ===.故答案为：332.13.已知0,4x p éùÎêúëû，sin cos x x +=，则 3 tan 4x p æö-=ç÷èø_________.【答案】3【解析】方法一：因为29(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=，所以sin cos x ，21(cos sin )12sin cos 5x x x x -=-=，因为0,4x p éùÎêúëû，所以cos sin x x -=3 tan 1sin cos tan 341tan cos sin x x x x x x x p ++æö-===ç÷--èø.方法二：由22sin sin cos 1x x x ìï++=íïî及0,4x p éùÎêúëû，解得sin cos x xìï==íïî所以1tan 2x =，113 tan 12tan 3.141tan 12x x x p ++æö-===ç÷-èø-故答案为：314.抛物线22(0)x py p =>与椭圆221(0)4x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P 是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM =uu r uuu r ，点()()*,n n x y n ÎN 是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．【答案】201912æöç÷èø【解析】22(0)x py p =>焦点在y 轴上，故椭圆221(0)4x ym m +=>的焦点在y 轴上，故4m >，I 是12PF F △的内心，连接2F I ，则2F I 平分12F F P Ð，在2PF I △中，由正弦定理得222sin sin PIPF PF I PIF =ÐÐ①，在2MF I V ，由正弦定理得222sin sin MI MF MF I MIF =ÐÐ②，其中22πMIF PIF Ð+Ð=，故22sin sin MIF PIF Ð=Ð，又22sin sin PF I MF I Ð=Ð，式子①与②相除得22PI PF MIMF =，故222PF MF =，同理可得112PI PF IMF M==，121222PF PF F M F M \+=+，由椭圆定义可知1224PF PF a +==，122F M F M c +=，24,1a c c \=\=，即焦点坐标为()0,1±，所以抛物线方程为24x y =，12y x ¢=，故24x y =在(),n n x y 处的切线方程为()12n n n y y x x x -=-，即21122n n n y y x x x -=-，又214n n y x =，故12n n y x x y =-，所以24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，令212240,2nn n n n nx y x y x x x +´====，又1282x x ==，即116x =，所以{}n x 是首项16，公比12的等比数列，202320192024111622x æöæö\=´=ç÷ç÷èøèø．故答案为：201912æöç÷èø四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC CD ^，AB DC P ，12244DC BC CC AB ====．（1）证明：111AC B D ^；（2）求二面角11D B C D --【答案】（1）证明见解析 （2．【解析】（1）法一：连接11A C ，交11B D 于点H ，在梯形1111D C B A 中，111,A B =112B C =，114C D =，所以1111111112A B B C B C C D ==，又11111190A B C B C D Ð=Ð=°，所以111111~A B C B C D V V ，则111111B A C C B D Ð=Ð，因为11111190B A C A C B Ð+Ð=°，所以11111190C B D A C B Ð+Ð=°，则1190C HB Ð=°，即1111B D A C ^．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ^平面1111D C B A ，因为11B D Ì平面1111D C B A ，所以111^B D AA ．因为1AA 、1AC Ì平面11AA C ，1111AA AC A Ç=，所以11B D ^平面11AA C ．因为1AC Ì平面11AA C ，所以111AC B D ^．法二：以{}1,,CD CB CC uuu r uuu r uuuu r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()1,2,0A ，()10,0,2C ，()14,0,2D ，()10,2,2B ，()11,2,2A ．的因为()11,2,2AC =--uuuu r ，()114,2,0B D =-uuuur，所以()()1111,2,24,2,04400AC B D ×=--×-=-++=uuuu r uuuur，所以111AC B D ^uuuu r uuuur，即111AC B D ^．（2）设平面1B CD 与平面11B CD 的一个法向量分别为()111,,m x y z =r 与()222,,n x y z =r，因为()10,2,2CB =uuur ，()14,0,2CD =uuuu r ，()4,0,0CD =uuu r，由1m CB m CD ì^ïí^ïîuuur r uuu r r 得111122040m CB y z m CD x ì×=+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，则10x =，令11y =得11z =-，所以()0,1,1m =-r．由11n CB n CD ì^ïí^ïîuuur r uuuu r r 得122112220420n CB y z n CD x z ì×=+=ïí×=+=ïîuuur r uuuu r r ，令21x =，则12z =-，22y =，所以()1,2,2n =-r．所以cos ,m =r ，由图可知二面角11D B C D--所以二面角11D B C D --．16．某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4n n ³为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则()233322222222122220C 1+C 3+133333333333327P A æö=×××-×××=××××××=ç÷èø；（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则()23331111111111111C 1+C 3+12222222222222P B æö=×××-×××=××××××=ç÷èø，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P =´=，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则10,27X B n æöç÷èø:，且()33310103C 12727n n P X -æöæö==-ç÷ç÷èøèø，设()3331=1010C 2727n nf n -æöæö-ç÷ç÷èøèø，则()()()()11f n f n f n f n ì³+ïí³-ïî，则 3332331333433110101010C 1C 12727272710101010C 1C 127272727n n n n n n n n --+---ìæöæöæöæö-³-ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíæöæöæöæöï-³-ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，即 ()17212717327n n n n ì-³+ïïíï³-ïî，即 7.18.1n n ³ìí£î，又 *N n Î，则 8n =，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.17.设函数()ln (1)(2)f x x a x x =+--，其中a 为实数．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()f x 在定义域内有两个不同的极值点12,x x 时，证明：()()1259ln 916f x f x +>+．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为10,,(1,)2æö+¥ç÷èø，单调递减区间为1,12æöç÷èø （2）证明见解析【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+¥，21231()(23)x x f x x x x-+¢=+-=，令()()()2110x x f x x-¢-==，得12x =或1x =，10,(1,)2x ¥æöÎÈ+ç÷èø时，()0f x ¢>，1,12x æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，所以()f x 的单调递增区间为10,,(1,)2¥æö+ç÷èø，单调递减区间为1,12æöç÷èø；（2）221(3)ax ax xf x -=¢+，由()f x 在(0,)+¥上有两个不同的极值点12,x x ，故22310ax ax -+=有两个不同的正根，则有1212220302102Δ980a x x x x aa a ¹ìïï+=>ïíï=>ïï=->î，解得89a >，因为()()()()()2212121212ln 34f x f x x x a x x a x x a+=++-++()()]()()2121212127ln 234ln 214x x a x x x x a x x a a a é=++--++=-+-ë，设7()ln(2)14g a a a =-+-，89a >，则7174()044a g a a a -¢=-=>，故()g a 在8,9¥æö+ç÷èø上单调递增，又816559()lnln 999916g a g æö>=-+=+ç÷èø，故()()1259ln 916f x f x +>+．18．设动点(),M x y与定点)2F的距离和它到定直线:l x =，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线（2）设1(F 过点2F 的直线与C 的右支相交于A ，B 两点，I 是1F AB V 内一点，且满足111||||||0F B IA BA IF AF IB ×+×+×=uu r uur uu r r，试判断点I 是否在直线l 上，并说明理由．【答案】（1）221x y -= （2）点I 在直线l 上，理由见解析【解析】（1）由动点(,)M x y 与定点)2F 的距离和它到定直线:l x =，=，化简得221x y -=，故所求曲线C 的方程为221x y -=．（2）点I l 上．因为F ，设点,,I A B 的坐标分别是()()()1122,,,,,x y x y x y ，)()()122,,0,0x y AF x x y y -+--=，解得当AB 13,2A AB ==，代入有x ==，所以点I 在直线l 上，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB的方程是(y k x =，因为曲线C1±，且直线AB 与曲线C 的右支相交于两点，所以1k >，联立方程组(22y k x ì=ïí，整理得()()22221210k x x k -+-+=，)12x x+．()))11211212112F B x x x x x éù+--++ëû(()()11212122x x x x x x =++=-++222221111k k k k ö+-=+=++÷--ø所以x I 在直线l 上．.19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于*,i j "ÎN ，i j <，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}*3n n a Î=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）数列{}n a 不满足性质P ；数列{}n b 满足性质P ，理由见解析 （2）证明见解析 （3）0n a =或3n a =．【解析】（1）对①，取1i =，对,1j j *"Î>N ，则11,j i j a a a ===，可得11j j i i j a a a j a =---=--，显然不存在,k j k *>ÎN ，使得1k a =-，所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *"Î<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i jb b b b --=++-+-+=×++()22i j i j =×++-+，因为,,1,2i j i j *γ³N ，则()2i j i j *×++-ÎN ，且()()2123i j i j i j j ×++-=++-³，所以存在()2k i j i j *=×++-ÎN ，k j >，使得()22j k i j i b b i b j i j b b =×++-=--+，故数列{}n b 满足性质P ；（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>ÎN ，均存在111,k j k *>ÎN ，使得111111k j j a a a a a =--=-，取2121,,i j j k j *==>ÎN ，均存在2212,k j k k *>>ÎN ，使得222111k j j a a a a a =--=-，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>ÎN ，使得112123m k k k k a a a a a =--=，故数列{}n a 中存在n *ÎN ，使得3n a =，即{}3∣n n a *Î=¹ÆN ，反证：假设{}3∣n n a *Î=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >L ，取1,1l l i j n n ==+>，均存1,L l L k n k *>+ÎN ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=--=-，取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+ÎN ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=--=-，取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>ÎN ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=--=，即{}13∣l n n n a *+ÎÎ=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集.（3）设周期数列{}n a 的周期为1,T T *³ÎN ，则对n *"ÎN ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *Σ£N ，最小项为,,1N a N N T *Σ£N ，即对n *"ÎN ，均有N n M a a a ££，若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ³时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *$>+ÎN ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=--=-，则()2330k M M M M M a a a a a a -=-=->，即k M a a >，这对n *"ÎN ，均有N n M a a a ££矛盾，假设不成立；则对n *"ÎN ，均有3n a £；反证：假设2N a £-时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *$>+ÎN ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=--=-³，在这与对n *"ÎN ，均有3n a £矛盾，假设不成立，即对n *"ÎN ，均有1n a ³-；综上所述：对n *"ÎN ，均有13n a -££，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3-为数列{}n a 中的项，∵()13135-´---=-，即5-为数列{}n a 中的项，这与对n *"ÎN ，均有13n a -££相矛盾，即对n *"ÎN ，均有1n a ¹，同理可证：1n a ¹-，∵n a ÎZ ，则{}0,2,3n a Î，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *"Î<N ，都存在k j >，使得22i k i j j a a a a a a a a =--=-=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意；当2T ³时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022´--=-，即2-为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3-Ï，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033´--=-，即3-为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3-Ï，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231´--=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3Ï，不成立；综上所述：0n a =或3n a =.。
押题预测卷7丨决胜2024届高考数学押题预测7模拟试卷及答案
决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -2．已知集合{}2R 230A x x x =∈--<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ⋂＝（）A.()3,2- B.()2,3- C.()2,0- D.()1,0-3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = ()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A.3B.3-C.3a -D.a-r4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设0x >，0y >，122y x+=，则1x y +的最小值为（）A.32B. C.32+ D.36．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率e =，从2F 发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则21sin F F E ∠=（）A.56B.55C.45D.2557．若3sin cos θθ+=，则π1tan π8tan 8θθ⎛⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.14- C.17D.278．已知函数()()e 2,ln 2x f x x g x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e- B.1- C.1e- D.21e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z z-，下列说法正确的是（）A.若0z z -=，则z 为实数B.若220z z +=，则0z z ==C.若i 1z -=，则||z 的最大值为2D.若|i |||1z z -=+，则z z -为纯虚数10．已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P B A =∣B.()()P B A P B A=∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A.()f x 为偶函数B.()g x 为偶函数C.(1)(1)--=--+g x g x D.(1)(1)g x g x -=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2nx ⎛- ⎝展开式的常数项为__________．13.已知ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，CD =是ACB ∠的角平分线,满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++,若3CD =，ABC的面积为，则c 的值为__________．14.若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001 xα2.7063.841 6.63510.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．17．已知函数()21e 2xf x ax x x =--.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r ，使得1,n n n n a p S q r -==-恒成立；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意正整数,2n n n T nb =恒成立．(1)求常数,,p q r 的值；(2)证明数列{}n b 为等差数列；(3)若22b =，记311221222222422n n n n n n n n n nn b n b n b n b n b P a a a a a ---+++++=+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数,n n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 与Γ相切，与圆O ：2223+=x y a 相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，||AB =.（1）求Γ的方程；（2）对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N .（ⅰ）若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当PAB 的面积最大时，求,()d M N ；（ⅱ）若,()d M N ，(,)d N M 均存在，记两者中的较大者为(,)H M N .已知(,)H X Y ，(,)H Y Z ，(,)H X Z 均存在，证明：(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024届普通高招全国统一考试临考预测押题密卷数学试题(A卷)(解析版)
2024年普通高招全国统一考试临考预测押题密卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i z a b =+，其中,R a b ∈，若()i i 2ia b +=-，则z =（）A.12i --B.12i -+C.2i -- D.2i-+【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等求参数，再根据共轭复数的的形式，即可求解.【详解】因为()ii 2i a b +=-，所以1i 2i a b -+=-，所以2,1a b =-=-，所以2i z =--，故2i z =-+．故选：D2.已知曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（）A .2- B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式得直线方程，令0x =即可求解.【详解】由()ln f x x x =得()ln 1f x x ='+，所以直线l 的斜率()11k f ='=，又()10f =，所以直线l 的方程为1y x =-，令0x =，得1y =-，即l 在y 轴上的截距为1-.故选：B3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，15180S =，则10a =（）A.13 B.14C.15D.16【答案】C【解析】【分析】利用等差数列求和公式列方程组求出1,a d ，然后由通项公式可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得1133915105180a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13232a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()3331222n a n n =+-=，所以10310152a =⨯=．故选：C4.中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（）A.6种B.12种C.24种D.48种【答案】C 【解析】【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可.【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有2232C A 种扮演方式；旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有12C 种扮演方式；剩下的2人有22A 种扮演方式，故共有22123222C A C A 24=（种）不同的人物角色扮演方式．故选：C5.如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（）A.49B.59C.1119D.1219【答案】D 【解析】【分析】设出底面半径，分别表示出圆锥和圆柱内水的体积再求解即可.【详解】设圆锥容器的底面半径为R ，倒入前圆锥和圆柱容器中水的体积分别为12,V V ，则22211117ππ4π23346R V R R =⨯-⨯⨯=,222π22πV R R =⨯=，所以2222122π127π192π6V R R V V R ==++．故选：D.6.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则(2)f m （）A.2-B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则()2sin 21x ϕ+=，即()1sin 22x ϕ+=在()0,π上恰有一个实数根m ，因为π恰为()sin 2y x ϕ=+的最小正周期，且当()0,πx ∈时，2(,2π)x ϕϕϕ+∈+，所以1sin 2ϕ=，若1sin 2ϕ≠，则关于x 的方程()1f x =在()0,π上有两个实数根，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，此时π()2sin(2)16f m m =+=，即π5π266m +=，解得π3m =，所以2π4ππ(2)()2sin()2336f m f ==+=-．故选：A7.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f x f y f x xy y -=-，则（）A.()00f =B.()11f -=C.()1f x +为偶函数 D.()1f x +为奇函数【答案】D 【解析】【分析】令0y =，()0f x =或()01f =，分类讨论可求()01f =，判断A ；法一：令0x =，可得()1f y y =-，进而可求()1f -，判断B ；法二：令0,1x y ==-，可求()1f -，判断B ；法一：由B 可得()1f x x +=-，可判断CD ；法二令0,2x y ==，可得()()020f f +=，判断CD.【详解】A ：令0y =，得()()()00f x f f x -=，即()()()010f x f -=，所以()0f x =或()01f =．当()0f x =时，()()()f x f y f x xy y -=-不恒成立，故()01f =，A 错误．B ：解法一令0x =，得()()()00f f y f y -=-，又()01f =，所以()1f y y =-，故()1112f -=+=，B 错误．解法二令0,1x y ==-，得()()()0101f f f --=，又()01f =，所以()12f -=，B 错误．C ：解法一由B 选项的解法一可知()1f x x =-，则()1f x x +=-，所以()1f x +为奇函数，C 错误，D正确．解法二令0,2x y ==，得()()()0202f f f -=-，又()01f =，所以()21f =-，所以()()020f f +=，结合选项得C 错误，D 正确．综上可知，选D ．故选：D.8.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，若10114nn a==-∑，则13579a a a a a ++++=（）A.512B.678C.1010D.1022【答案】B 【解析】【分析】由12a =，12n n a a +=计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算【详解】由题意知12a =，222a =，⋅⋅⋅，101021024a ==，因为11014n n a =∑=-，所以110,,a a ⋅⋅⋅中至少有一项是负数．①若101024a =-，则111010910141010n n n n a a a a ==∑=∑-=--=，若129,,,a a a ⋅⋅⋅均为正数，则()919212102212n na =⨯-∑==-，比1010多12，所以前9项中必有负项，且其和为6-．易得当122,4a a =-=-，且其他项为正项时满足题意，故135792832128512678a a a a a ++++=-++++=．②若101024a =，当129,,,a a a ⋅⋅⋅均为负数时，数列{}n a 的前9项和最小，此时()919212102212n na =⨯-∑=-=--，11010221024214n na=∑=-+=>-，不符合题意．综上，13579678a a a a a ++++=故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设集合π1{|cos}32x M x ==，π1{|cos }32x N x ==-，则（）A.()6,Z k M N k ∈∈B.()61,Z k M N k +∈∈C.()63,Z k M N k +∈∈Z ðD.()3,Zk M N k ∈∈z ð【答案】BCD 【解析】【分析】先分别求出集合M ，N ，计算M N ⋃和()M N z ð，再逐项判断即可.【详解】对集合M ，由π1cos32x =，得ππ2π,33x k k =±+∈Z ，解得61,x k k =±∈Z ，即{|61,Z}M x x k k ==±∈；对集合N ，由π1cos32x =-，得π2π2π,33x k k =±+∈Z ，解得62x k =±，k ∈Z ，即{|62,Z}N x x k k ==±∈．所以{|61M N x x k ==± 或62,Z}x k k =±∈，A 错误，B 正确，()Z {|6M N x x k == ð或63,Z}x k k =±∈{}|3,Z x x k k ==∈，C ，D 正确．故选：BCD10.已知点()2,3P 在定圆()()()222:450C x y r r -+-=>内，经过点P 的动直线l 与C 交于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（）A.4r =B.若AB 4=，则直线l 的倾斜角为135︒C.存在直线l 使得CA CB ⊥D.PAC PBC S S ⋅△△的最大值为12【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，根据点P 在圆C 的内部得到不等式，求出r >利用垂径定理得到AB =，而max d =，从而得到方程，求出r =；B 选项，在A 选项基础上得到l PC ⊥，结合PC k 求出直线l的斜率和倾斜角；C==<C 正确；D 选项，由三角形面积公式和相交弦定理得到D 错误.【详解】A ．因为点P 在圆C 的内部，所以()()2222435r -+-<，解得r >设点C 到直线l 的距离为d ，则AB =r 为定值，所以当l PC ⊥时，d 最大，AB 最小．又圆心()4,5C ，所以max d PC ===，所以4AB =，解得r =A 错误．B ．由A 选项可知，当AB 4=时，直线l PC ⊥，而53142PC k -==-，所以1l k =-，所以直线l 的倾斜角为135︒，B 正确．C ．假设存在直线l 使得CA CB ⊥，则此时点C 到直线l 的距离为==<所以假设成立，C 正确．D ．由三角形面积公式得11sin sin 22PAC PBC S S PA PC APC PB PC BPC ⋅=⋅∠⋅⋅∠ ()()2221sin 2sin 4PC PA PB APC PA PB APC =⋅⋅⋅∠=⋅⋅∠，因为弦AB 一定经过点P ，设直线PC 与圆相交于点,D E ，因为,BEP DAB APD EPB ∠=∠∠=∠，所以APD △∽EPB △，故AP PD EPPB=，故PA PB PD PE =，因为()()221284PD PE r PC r PC rPC ⋅=-+=-=-=，所以4PA PB ⋅=，所以()28sin 8PAC PBC S S APC ⋅=∠≤ ，当sin 1APC ∠=，即π2APC ∠=时等号成立，故D 错误．故选：BC ．11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱1,CD DD 的中点，111B P B C λ=，()0,1λ∈，过点,,P M N 的平面截正方体所得图形为Ω，则（）A.()0,1λ∃∈，使得AP BM ⊥B.()0,1λ∃∈，使得Ω为四边形C.三棱锥P AMN -体积的取值范围是41,3⎛⎫⎪⎝⎭D.Ω的面积的取值范围是7717,26⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A ，设BC 的中点为1P ，先证明1AP BM ⊥，1PP BM ⊥，根据线面垂直判定定理证明BM ⊥平面1APP ，即可判断，B ，连接MN ，并延长线段11,MNCD 交于点E ，连接EP 交11A D 于点R ，延长线段1,NM C C 交于点F ，连接FP 交BC 于点S ，即可判断，C ，先求出AMN 的面积，建系结合向量法用λ表示出动点P 到平面AMN 的距离，结合体积公式求体积解析式，再求其范围；D ，求出截面图形的相关边长，再分析截面图形的特征，并求面积表达式，根据λ的取值范围，求出截面面积的取值范围.【详解】对于A ，如图1，设BC 的中点为1P ，连接11,PP AP ，由已知11,,AB BC BP CM ABP BCM ==∠=∠，所以1ABP BCM ≅ ，所以1P AB MBC ∠∠=，而90MBC MBA ∠∠+= ，所以190P AB MBA ∠∠+=，所以1AP BM ⊥，当P 为11B C 的中点时，11PP B B ∥，又由正方体性质可得1B B ⊥平面ABCD ，所以1PP ⊥平面ABCD ，又BM ⊂平面ABCD ，所以1PP BM ⊥，又111AP PP P ⋂=，11,AP PP ⊂平面1APP ，所以BM ⊥平面1APP ，又AP ⊂平面1APP ，所以AP BM ⊥，A 正确；对于B ，如图2，连接MN ，并延长线段11,MN C D 交于点E ，连接EP 交11A D 于点R ，由基本事实3知直线PE 为截面与正方体的上底面的公共直线，延长线段1,NM C C 交于点F ，连接FP 交BC 于点S ，连接,MS NR ，则过点,,P M N 的平面截正方体所得图形为五边形MSPRN ，B 错误.对于C ，由已知AM AN MN ===，则22cos 10AMN ∠==，所以13222102AMN S AMN ∠===⨯= .以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图3，则()()()()()112,0,0,0,1,0,0,0,1,2,2,2,0,2,2A M N B C ，因为()1112,0,0B P B C λλ==-，所以点P 的坐标为()22,2,2λ-，所以()()()2,1,0,2,0,1,2,2,2AM AN AP λ=-=-=-，设平面AMN 的一个法向量为(,n x = ,)y z ，则20,20,AM n x y AN n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，得()1,2,2n = ，所以点P 到平面AMN 的距离823AP n d n λ⋅-==，所以三棱锥P AMN -的体积113433223AMN d V dS d λ-==⨯== ，又()0,1d ∈，所以41,3V ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，C 正确.对于D ，如图2，由点,M N 分别是棱1,CD DD 的中点，四边形11CDD C 为正方形，可得CMF DMN ≅ ，所以1FC DN ==，所以113FC FC =，在1Rt PC F 中，由1PC SC 得1113SC FS FC PC FP FC ===，又122PC λ=-，所以1122,233SC PC FS MS PS FS λ-======，同理可得，122,23RD SC ER NR PR ER λ-======，连接RS ，由ER MS 且ER MS =，可得四边形ERSM 为平行四边形，所以RS EM ==，易知，五边形MSPRN 为轴对称图形，且由等腰梯形MNRS 与等腰三角形PRS 组成，如图4，过点N 作1NN RS ⊥于点1N ，过点P 作1PM RS ⊥于点1M ，则在等腰梯形MNRS 中，因为MN RS ==，所以111,222N R M R N R ====，且2PR NR =，又1RN N 与1RM P 均为直角三角形，所以11RN N RM P ~ ，所以112PM NN =，又1NN ===所以五边形MSPRN 的面积()111111111222222S MN RS NN RS PM NN NN NN =++⋅=⨯++⨯=722=由()0,1λ∈，得7717,26s ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：结合图象，根据基本事实三确定截面与正方体各面的交线，由此确定截面的形状是判断选项BD 的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()1,1,,1a b λ==-，若()a ab ⊥- ，则b = ______.【答案】【解析】【分析】先利用向量垂直的坐标运算求得3λ=，然后代入模的坐标运算公式求解即可.【详解】()()()1,1,,1,a b a a b λ==-⊥- ，()()()1,11,2120a a b λλ∴⋅-=⋅-=-+=，()3,3,1b λ∴==-，b ∴== .13.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交E 的左支于,A B 两点．若2OB OF =（O 为坐标原点），点O 到直线l 的距离为43a，则E 的离心率为______．【答案】173【解析】【分析】由12OF OF OB ==可得1290F BF ∠=︒，过点O 作OD l ⊥于点D ，利用三角形中位线性质和双曲线定义可求得283a BF =，123aBF =，然后根据勾股定理构造齐次式可得离心率.【详解】如图，连接2F B ，因为12FO OF OB ==，所以1290F BF ∠=︒．过点O 作OD l ⊥于点D ，则43aOD =．又2AB BF ⊥，所以2//OD BF ，又12OF OF =，所以OD 为12Rt BF F 的中位线，所以2823a BF OD ==．又212BF BF a -=，所以123a BF =．令双曲线的半焦距为c ，在12Rt BF F 中，2221212BF BF F F +=，即()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3c a =，所以E 的离心率为3．故答案为：314.斐波那契时钟是一种基于斐波那契数列设计的特殊时钟．钟面上是5个正方形方块，每个方块对应的数值分别是斐波那契数列里的前5个数：1,1,2,3,5，方块的数值固定，颜色可变化，可呈现红色、蓝色、绿色、白色．人们根据方块对应的数值和颜色计算时间，规则如下：小时数=红色方块数值+蓝色方块数值；分钟数=（绿色方块数值+蓝色方块数值）5⨯；呈现白色时忽略．如图表示时间为9:25，则当表示时间为6:30时，数值为5的方块为白色的概率为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】由题意：小时数=红色方块数值+蓝色方块数值；分钟数=（绿色方块数值+蓝色方块数值）5⨯，可知蓝色方块数值可以既用来表示小时数，也可以用来表示分钟数，接下来就是对这五个区域着色，按数值为5的方块着色，分四类列举讨论即可得到结果.【详解】当表示时间为6:30时，小时数为6，则红+蓝6=；分钟数为30，则5⨯（绿+蓝）=30，所以绿+蓝6=．故红=绿，则各方块的颜色情况如下．（1）如图1，当数值为5的方块为白色时，剩下方块的数值分别为1,1,2,3，若2，3为蓝色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若1,2,3为蓝色，另一个1为白色，则有2种情况，（提醒：此时钟面上不出现红色和绿色的方块）总计4种情况．图1（2）如图2，当数值为5的方块为蓝色时，剩下方块的数值分别为1,1,2,3，若2，3为白色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若2，3为白色，1，1为一蓝一白，则有2种情况，总计4种情况．图2（3）如图3，当数值为5的方块为红色时，剩下方块的数值分别为1,1,2,3，若1，1为一蓝一白，2，3为绿，则有2种情况；若1，1为一红一绿，2，3为绿色，则有2种情况，总计4种情况．图3（4）当数值为5的方块为绿色时，因为红=绿，由（3）可知，也有4种情况．综上，总计有16种情况，其中数值为5的方块为白色时有4种情况，所以41164P ==．故答案为：14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 3A =，πsin 2sin()3b C C =+．（1）求c ；（2）若点D 在边BC 上，且13BD a =，33AD =，求ABC 的面积．【答案】（1）2（2）23【解析】【分析】（1）根据条件tan 3A =π3A =，从而有sin 2sin b CB =，利用正弦定理边转角，即可求出结果；（2）根据条件，在ABC 中，利用余弦定理得到2242a b b =-+，224cos 4a b B a+-=，在ABD △中，利用余弦定理得到212cos 12a B a-=，联立方程，即可求解.【小问1详解】因为tan A =，又0πA <<，所以π3A =，则()πsin 2sin 2sin 3b C C A C ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因为πA C B +=-，所以()sin 2sin π2sin b C B B =-=，由正弦定理，得2bc b =，所以2c =．【小问2详解】由（1）知2c =，π3A =，在ABC 中，由余弦定理得22222cos 42a b c bc BAC b b =+-⋅∠=+-①，222224cos 24a c b a b B ac a+-+-==②，在ABD △中，由余弦定理得222221641293cos 42123a c BD AD a B a c BD a +-+--===⋅③，由②③得222124124a a b a a-+-=，化简得2232240b a --=，把①代入得()223242240b b b -+--=，即24320b b +-=，解得4b =，于是ABC的面积113sin 42222S bc BAC =∠=⨯⨯⨯=.16.如图，三棱锥-P ABC 中，4PC AB ==，2PA BC ==，AB BC ⊥，平面ABP ⊥平面,,ABC E F 分别为棱,AB PC的中点．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角P EF A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）57．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质证明BCPA ⊥，由勾股定理证明PA PC ⊥，可证PA ⊥平面PBC ；（2）过点P 作PO AB ⊥，垂足为点O ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.【小问1详解】因为平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP ⋂平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABP ，因为PA ⊂平面ABP ，所以BCPA ⊥．因为4AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以22220AC AB BC =+=，又4PC =，2PA =，所以22220PA PC AC +==，所以PA PC ⊥．综上，因为PA BC ⊥，PA PC ⊥，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PC BC C ⋂=，所以PA ⊥平面PBC ．【小问2详解】过点P 作PO AB ⊥，垂足为点O ，因为平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP ⋂平面ABC AB =，PO ⊂平面ABP ，所以PO ⊥平面ABC ．以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知PA ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA PB ⊥，在Rt APB △中，2,4PA AB ==，则PB =．又PO AB ⊥，所以1122PO AB PA PB ⋅=⋅，得PA PB PO AB⋅==，故1AO =，1OE =，3BO =，则(P ，()1,0,0A -，()3,2,0C ，()1,0,0E ，3,1,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,PE =，1,1,22EF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0AE =．设平面PEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,130,22n PE x n EF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1z =，则x =y =，得)n =，设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =，则20,10,22m AE a m EF a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取2c =，则0,a b ==()0,2m =，设二面角P EF A --的大小为θ，易知θ为锐角，则5cos cos ,7m n m n m n θ⋅====⋅，所以二面角P EF A --的余弦值为57．17.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展．以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora （以下简称Sora ），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora 的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示．Sora 的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用7075没有应用15合计100120（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为211,,323，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．（ⅰ）求员工经过培训能应用Sora的概率．（ⅱ）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．α0.0100.0050.001xα 6.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，有关（2）（ⅰ）12；（ⅱ）14人【解析】【分析】（1）先根据已知条件，列出22⨯列联表，，做出零假设，计算2χ的值，即可得出结论.（2）根据独立事件同时发生的概率计算公式可求解；根据期望的应用解决问题.【小问1详解】依题意，22⨯列联表如下：Sora的应用的情况视频从业人员合计减少未减少应用70575没有应用301545合计10020120零假设0:H Sora 的应用与视频从业人员的减少无关，由列联表中数据得，()220.00112070153057214.410.8281002075455x χ⨯⨯-⨯===>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为Sora 的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．【小问2详解】（ⅰ）设=i A “员工第i 轮获得优秀”()1,2,3i =，且i A 相互独立．设B =“员工经过培训能应用Sora”，则()()()()()123123123123P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++211111211212323323323323=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯12=，故员工经过培训能应用Sora 的概率是12．（ⅱ）设视频部调x 人至其他部门，,x X ∈N 为培训后视频部能应用Sora 的人数，则1100,2X B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭～，因此()1002x E X -=，调整后视频部的年利润为()()()10011011006100700722x x x x -⎛⎫⨯+--⨯--=- ⎪⎝⎭（万元），令70071006x -≥⨯，解得10014.37x ≤≈，又x ∈N ，所以m ax 14x =．因此，视频部最多可以调14人到其他部门．18.已知函数()22ln 32a f x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，且12x x <．（1）求a 的取值范围；（2）证明：112212ln ln x x x x x x +>+．【答案】（1）()e,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）函数()f x 有两个不相等的极值点，则方程()0f x '=在()0,∞+上有两个不相等的实数根，通过构造函数，利用导数研究单调性和函数图象，数形结合求结论成立时a 的取值范围；（2）由121x e x <<<，设21x t x =，要证112212ln ln x x x x x x +>+，只需证()()11111ln ln ln 1x x tx t x x t ++>+，即证即证221ln 01t t t -->+，构造函数利用导数证明不等式.【小问1详解】函数()22ln 32a f x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域是()0,∞+，()()2222ln 2ln 323a a f x x a x x x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=--+'-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 有两个不相等的极值点12,x x ，所以方程ln 0a x x -=在()0,∞+上有两个不相等的实数根12,x x ，所以0a ≠，方程两边同时除以ax ，整理得1ln xa x=，即直线1y a =与函数ln x y x=的图象有两个交点．令()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=，令1ln 0x -=，得e x =，当()0,e x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；当()e,x ∞∈+时，()()0,g x g x '<单调递减．所以()max 1()e eg x g ==，又()10g =，x →+∞时，()0g x >且()0g x →，所以()g x的图象如图所示，要想1y a =与()g x 的图象有两个交点，则110ea <<，所以e a >．故a 的取值范围是()e,∞+．【小问2详解】由（1）易知，121x e x <<<，设21x t x =，则1t >，21x tx =．由（1）得22ln a x x =，所以()11ln a tx tx =，即()11ln ln a t x tx +=，又11ln a x x =，即11ln x a x =，代入上式得，11ln ln ln t x t x +=，整理得()1ln ln *1tx t =-，要证112212ln ln x x x x x x +>+，只需证()()11111ln ln ln 1x x tx t x x t ++>+，两边同时除以1x ，即证()11ln ln ln 1x t t x t ++>+，即证()11ln ln 1t x t t t ++>+，两边同除以1t +，即证1ln ln 11t tx t +>+，结合()*式，即证ln ln 111t t tt t +>-+，即证221ln 01t t t -->+，设()()221ln ,11t h t t t t -=->+，因为()()()()222222114011t t h t t t t t -=-=+'>+，所以()h t 在()1,∞+上单调递增，所以()2211ln1011h t ->-=+，所以原不等式得证．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为63，且过点()3,1M ．若斜率为1k 的直线1l 与椭圆E相切于点T ，过直线1l 上异于点T 的一点P ，作斜率为2k 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，定义2PTPA PB⋅为点P 处的切割比，记为P λ．（1）求E 的方程；（2）证明：P λ与点P 的坐标无关；（3）若35P λ=，且2l OT ∥（O 为坐标原点），则当20k <时，求直线1l 的方程．【答案】（1）221124x y +=（2）证明见解析（3）4y x =-或4y x =+．【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率得223a b =，又()3,1M 在椭圆上得22911a b +=，联立可得结果；（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，联立椭圆方程，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+，并求2PT ，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立椭圆方程结合韦达定理，求出PA PB ⋅，利用()2211124n k m k -=+化简2PT PA PB ⋅可得结果；（3）由（2）可知切点()00,T x y ，得00113OT y k x k ==-，结合已知进而可得直线OT 的方程，联立椭圆方程求T 点坐标，从而求出直线1l 的方程.【小问1详解】设椭圆E 的半焦距为c，由题意知，3c a =，所以22223a b a -=，解得223a b =．又椭圆E 过点()3,1M ，所以22911a b+=，结合223a b =，解得2212,4a b ==，所以E 的方程为221124x y +=．【小问2详解】设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，由()2211124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22211111363120k x k n k m x n k m ++-+--=，()()()()22222111111Δ641331212124k n k m k n k m k n k m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+．设切点()00,T x y ，则()11021313k n k m x k -=-+，101012113n k m y k x n k m k -=+-=+，所以()()()()()22221111212221113311313k m nk k n k m PT k m k k ++⎡⎤-=+--=⎢⎥++⎣⎦，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立由()2221124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22222221363120k x k n k m x n k m ++-+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221222613k n k m x x k -+=-+，()22122231213n k m x x k --=+，所以12PA PB m m ⋅=--()()22212121k x x m x x m =+-++()()()22222222222312611313n k m k n k m k m m k k ⎡⎤---=+--+⎢⎥++⎣⎦222222131213k n m k +=+-+，易知，点(),P m n 在椭圆E 外，所以221124m n +>，所以223120n m +->，()222222131213k PA PB n m k +⋅=+-+．由()2211124n k m k -=+，得22221112124nk m mnk k +-=+，即()222112412mnk n k m -+=-．因为()()212221331213m nk n m k +-+-+()()()2222112131331213m nk k n m k +-++-=+()222222221112196312331213m k n mnk n m k n m k ++--+-+-=+()()222222111219324331213k n mnk n k n m k +-+-+-=+()()2222222111219312331213k n k m k n m k +--+-=+()()22222211213312331213k n m k n m k +--+-=+0=．所以()212221331213m nk n m k +=+-+，所以()2222121131213k PT n m k +=+-+．所以()()()()222122212113131P k k PT PA PB k k λ++==⋅++，与点P的坐标无关．【小问3详解】由（2）得()11021313k n k m x k -=-+，102113n k m y k -=+，所以00113OT y k x k ==-，因为2l OT ∥，所以2113k k =-①，又35P λ=，所以()()()()2212221211335131k k k k ++=++②，由①②解得12113k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12113k k =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）．所以直线OT 的方程为13y x =-，由22112413x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或3,1,x y =-⎧⎨=⎩故切点T 的坐标为()3,1-或()3,1-．所以直线1l 的方程为4y x =-或4y x =+．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果.。
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保密★启用前 试卷类型：A
最新高考押题预测密卷
数学试题
第I 卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 复数1z i =-（i 是虚数单位），则22
z z -等于 ( )
A.12i +
B.12i -
C. 1-
D.12i -+
2．定义{|,,}x
A B z z xy x A y B y
⊗==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,2}B =，{1}C =.则集合()A B C ⊗⊗的所有元素之和为 （ ）
A ．3
B ．9
C ．18
D ．27
3.函数tan()42y x ππ
=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（ ）
A.6
B.4
C.4-
D.6- 4.函数3()f x ax bx =+在1a
x =
处有极值,则ab 的值为( ).
A.3
B.3-
C.0
D.1
5.如果实数,x y 满足等式(x －2)2+y 2
=3，那么y x
的最大值是（ ）
A ．
2
1 B ．
3
3 C ．
2
3
D ．3
6. 13.程序框图如图所示：
如果输入5x =, 则输出结果为( )
A.325
B.13
C.37
D.111 7.已知ABC ∆的三顶点坐标为(3,0)A ,(0,4)B ,(0,0)C ,D 点的坐标为(2,0), 向ABC ∆内部投一点P ,那么点P 落在ABD ∆内的概率为( ).
A.1
3
B.1
2
C.1
4
D.1
6
8.(文科)在正三棱柱111ABC A B C -
中，若1AB =
，则1AB 与1C B 所成角的大小是（ ）
（A ）
6π （B ）4π （C ）3π （D ）2
π
（理科）若4
43
32
2104
)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++213()a a -+的值为（ ）
A.1
B.-1
C.0
D.2
第3题图
9.（文科）(2010·武汉质检)若x ，y ∈R ，则“x >1或y >2”是“x ＋y >3”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（理科）在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名 代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉， 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序 共有（ ）
A.72种
B.36种
C.144种
D.108种 10. 若
4
2
x π
π
<<
，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为
A.8
B.1
2
- C.1
2
D.-8
11.已知正项数列{}n a 的各项均不相等,且112(*,2)n n n a a a n N n -+=+∈≥,则下列各不等式中一定成立的是( ).
A.2243a a a ≤
B.2243a a a <
C.2243a a a ≥
D.2
243a a a > 12.已知1F 、2F 分别是双曲线
222
2
1(0,0)x y a
b
a b -
=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若1290F PF ∠=︒,
且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共20分.
13.已知数列10*11),(0,2,}{a N n a a a a n n n 则中∈=+=+的值等于 . 14.已知)3()0)(2()1()
0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则⎩
⎨
⎧>---≤-=的值等于 .
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体
的表面积为 .
16. 已知()f x 是定义在实数集上的奇函数,且(2)()f x f x -=-,给出下列结
论:①(2)0f =;②()f x 以4为周期;③()f x 的图象关于y 轴对称;④(2)()f x f x +=-.这些结论中正确结论的序号是 .
三.解答题：本大题共75分。
其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤. 17．（本题满分12分）
（理科）设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝1
3，
f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14
，且C 为锐角，求sin A .
（文科）已知函数2
1
()cos cos ,2
f x x x x x R =--
∈．
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==
，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值． 18．（文科 本题满分12分）
有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A B 、两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，
9，9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10．
（Ⅰ）请你估计A B 、两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；
（Ⅱ）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
(理科)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的
（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分
布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE CF CP 1
EB FA PB 2
===，将A E F ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，
使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P （如图）
（I ）求证：1A E ⊥平面BEP (Ⅱ)求点B 到面1A PF 的距离
(Ⅲ)求异面直线BP 与1A F 所成角的余弦
20．（本小题满分12分）已知数列{n a }、{n b }满足：111
,1,4(1)(1)
n n n n n n b a a b b a a +=+==-+． （Ⅰ）求1234,,,b b b b ； （Ⅱ）设1
1
n n c b =-，求数列{}n c 的通项公式；
21．( 本小题满分12分)已知圆C:224x y +=.
图1 图2
(1)直线l 过点P(1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的方程；
(2)过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程.
(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求RQ 的最小值.
选修4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)．
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．。