数字电子技术基础2(第二版)

第2章 逻辑代数基础
2.1.2 三种基本逻辑运算 逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非 （NOT）三种，它们可以由相应的逻辑门来实现。 1.与运算（逻辑乘） 与运算（逻辑乘）表示这样一种逻辑关系：只有当决
定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才发生。例如
在图2.1.1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合 的条件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与
公式 1 A+1=1 A+0=A A+A=A A+ A =1 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+BC=(A+B)(B+C)
公式 2 A 0=0 A 1= A A A=A A A =0 A B=B A (A B) C=A (B C) A (B+C)=AB+AC
的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的 高、低等。
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逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随着自变量的
变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表 示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可
以用逻辑函数来描述。
数字电路响应输入的方式称为电路的逻辑，任何一个数 字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，并可 以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻辑变量 A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被唯 一确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为 F=f（A,B,C,…）。
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3.逻辑代数中的特殊定律 反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又 称为德· 摩根（DeMorgan）定理，在逻辑代数中具有特殊重 要的作用,它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以将 与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反演
律的正确性可以通过表2.2.2所示的真值表证明。 表2.2.2 反演律证明
例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中
的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C = A F A F A B C = A B C
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2. 反演规则 对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的 算符“·”换成“+”， “+”换成“·”，常量“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则
逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，
灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可以用表2.1.1所示的真值 表来描述。所谓真值表,就是将输入逻辑变量的所有取值组
合与其对应的输出函数值列成表格的表示形式。
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图 2 -1 与逻辑实例
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表2.1.1 与逻辑真值表
若F A B A (C 0), 则F ' ( A B ) ( A C 1); 若F A B C , 则F ' A B C; 若F A, 则F ' A
以上各例中F′是F的对偶式。不难证明F也是F′对偶式。 即F 与F′互为对偶式。
互补量。
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表 2.2.3 若干常用公式
名称 合并律 1 吸收律○ 2 吸收律○ 3 吸收律○
公式 1 AB+A B =A A+AB=A
公式 2 (A+B)(A+ B )=A A (A+B)=A A ( A +B)=A B (A+B)( A +C)(B+C)=(A+B)( A +C)
0 1
1 0
பைடு நூலகம்
图2.1.5 非逻辑实例
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图2.1.6 非门逻辑符号
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2.2 逻辑代数的基本定律和运算规则
2.2.1 基本定律 逻辑代数的基本定律如表2.2.1所示。
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表 2.2.1 逻辑代数的基本定律
名称 0-1 自等律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 反演律 （摩根定理） 还原律
图2.1.3 或逻辑实例
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表2.1.2
A B 0 0 1 1 0 1 0 1
或逻辑真值表
F 0 1 １ 1
或逻辑可以用逻辑表达式表示为 F=A+B
或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。
有些文献中也采用∨、∪等符号来表示逻辑加。
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实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图2-5 所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行 的符号， 图(c)为国标符号(见附录一)。 图2-6是一个 2 输 入的二极管或门电路。图中输入端A、 B的电位可以取两
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第2章 逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本运算
2.2 逻辑代数的基本定律和运算规则
2.3 复合逻辑和常用逻辑门
2.4 逻辑函数的两种标准形式 2.5 逻辑函数的化简方法
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2.1
逻辑代数的基本运算
2.1.1 逻辑函数的基本概念
逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗 繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因 （条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。
AB= AB
A B = A B A =A
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1.变量和常量的关系 0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量 的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变 量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义
推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1
与逻辑可以用逻辑表达式表示为 F=A· B
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在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号
“·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。 在有些文献中，也采用∧、 ∩及&等符号来表示逻辑乘。 实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图 2.1.2所示。其中,图（a）为特定外形符号，图（b）为矩形
证： AB AC BC AB AC ( A A) BC AB AC ABC ABC
AB AC
推论：
AB AC BCD AB AC
该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积
项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘
2.或运算（逻辑加）
或运算（逻辑加）表示的逻辑关系是：决定事件结 果的所有条件中，只要有一个满足，结果就会发生。例
如，图2.1.3所示的并联开关电路中，只要开关A、B中
有一个闭合，灯F就亮，这种灯亮与开关闭合的关系称 为或逻辑。F与A、B的或逻辑关系可以用表2.1.2所示的 真值表来描述。
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AB 0 0 1 1 0 1 0 1
AB
1 1 1 0
A B
1 1 1 0
A B
1 0 0 0
AB
1 0 0 0
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2.2.2 三个重要规则
1. 代入规则
任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都
代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入 规则。 由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值， 所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基 本定律的运用范围。
7所示的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮，当开
关A闭合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态 相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非
逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑表达式为
FA
通常称A为原变量，A为反变量。
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表 2.1.3 非逻辑运算真值表
A F
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任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立， 则 对偶式也一定成立。即，如果F=G,则F′=G′。这种逻辑推
理叫做对偶原理，或对偶规则。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。 观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。
例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，
根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律
也成立。
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2.2.3 若干常用公式
1. 合并律 证：
AB AB A
AB+A B =A B+ B ） 1=A （ =A
在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的 两个因子(如B和B)， 而其它因子都相同，那么这两个乘 积项称为相邻项。 合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去
轮廓符号。这两种符号都是IEEE/ANSI（电气与电子工程
师协会/美国国家标准协会）认定的图形符号，且与IEC （国际电工协会）标准相兼容。其中,图（a）表示的特定
外形符号目前在国外教材和EDA软件中已被普遍使用，因
此本书均采用这种特定外形符号。
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图2.1.2 与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数基础
第2章 逻辑代数基础
逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、
y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可 以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻 辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0 和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两