高数6.3 定积分应用案例
定积分的几何应用举例
=x2
解 所围成的图形的面积.
y
x y2
(1,1)
得两曲线交点 (0,0) , (1,1) ,
x y
面积元素 dA ( y y2 )dy , o
x
A
1
(
0
y y2 )dx
2 3 y3 1
3 y2
3
0
1. 3
解题步骤：
1. 根据题意画出平面图形 .
2. 求出边界曲线的交点.
3. 确 定 一 个 积 分 变 量 及 其 变 化 区 间 [a , 4.b写]出.微元(面积元素) dA .
在[ , ]上任取小区间[ , d ]．o x
面积元素 dA 1[( )]2d
2
曲边扇形的面积 A 1[( )]2d . 2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的
面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4
4
1 a2 cos 2 d
第八节 定积分的几何应用举例
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
1、 直角坐标系情形
y y f (x)
设曲线 y=f (x)(x 0) 与直
线 x = a , x = b (a <b)
及 x 轴所 围曲边梯形的面
oa
积为 A , 则
b
dA f (x)dx,
A f ( x)dx .
立体体积
R
V h
R2 x2dx
1 R2h.
R
2
五、平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
定积分求面积实际案例
定积分求面积实际案例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲定积分求面积的实际案例，绝对让你大开眼界！
比如说啊，咱想象一下有个大操场，你要知道这个操场的某个部分的面积。
就像你想知道足球场那一块有多大！这时候定积分就派上用场啦！咱可以沿着操场的边界来划分小部分，然后一点点加起来，这不就求出面积了嘛！
再举个例子，想象你喜欢吃披萨，那圆形的披萨，你怎么知道自己吃了多大一块呢？哈哈，用定积分呀！把披萨想象成被分成很多小块，每一块的面积都可以通过定积分算出来，厉害吧！
还有哦，假如你有一个奇奇怪怪形状的花园，不是那种规规矩矩的，那你怎么知道种满花需要多少土呢？定积分就可以帮你精确计算出那个不规则形状的面积呀！
有一次我和朋友就争论一个不规则图形的面积，大家都各执一词呢！我说用定积分能算出来，他还不信。
结果一算出来，他那惊讶的表情，我现在都记得！这不就证明定积分求面积真的超级有用嘛！
我觉得啊，定积分就像是一把神奇的钥匙，能打开计算各种形状面积的大门！它让我们能更准确地了解和处理现实生活中的各种情况。
无论是操场、披萨还是花园，定积分都能帮我们搞定面积问题，难道不是很棒吗？所以呀，大家一定要好好掌握定积分求面积这个强大的工具，让它为我们的生活服务，为我们的思考助力呀！。
高考讲定积分及其应用举例课件理
高考讲定积分及其应用举例课件理日期:目录•定积分基本概念与性质•定积分的计算方法•定积分的应用举例•定积分的拓展应用与现实生活联系定积分基本概念与性质分割近似代替作和取极限01020304将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δxi。
在每个小区间上任取一点ξi，用f(ξi)Δxi近似代替小区间上的曲线段。
将所有小区间上的近似值加起来，得到Σf(ξi)Δxi。
当n趋近于无穷大，且最大的小区间长度趋近于0时，Σf(ξi)Δxi的极限就是定积分∫f(x)dx。
对于任意常数c1和c2，有∫[c1f(x)+c2g(x)]dx=c1∫f(x)dx+c2∫g(x)dx。
线性性对于任意两个区间[a,c]和[c,b]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]+[∫f(x)dx]。
区间可加性如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
保号性|∫f(x)dx|≤∫|f(x)|dx。
绝对值不等式面积：当f(x)≥0时，定积分∫f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a和x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
距离：定积分可以用来计算平面曲线在直角坐标系下的长度。
通过将曲线分成小段并用直线近似，可以用定积分计算曲线长度。
以上是定积分的基本概念与性质，通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地应用定积分解决实际问题。
定积分的几何意义定积分的计算方法牛顿-莱布尼茨公式是定积分计算的基础公式，它建立了定积分与被积函数的原函数之间的关系，大大简化了定积分的计算过程。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以直接利用被积函数的原函数在积分上下限处的函数值之差来计算定积分，避免了复杂的积分运算。
牛顿-莱布尼茨公式公式应用公式内容定积分的换元法定积分的换元法是通过变量代换来简化被积函数的形式，从而便于计算定积分的方法。
通过选择合适的代换函数，可以将复杂的被积函数转化为简单的形式。
方法应用换元法常用于处理被积函数中含有复杂表达式或根号等情况。
高二数学定积分的简单应用3
但是，一天早晨，我发现其中一棵最旺盛的兰草，叶子出现了灰褐色斑，且渐趋蔓延。几天后，几片叶子开始枯黄，其它叶子像得到了传染病似的，也萎靡不振，对我的关爱呵护没有反应。我心急 如焚，焦虑不安，苦苦地反思养护的过错，但百事不得其解。立博体育中文版
几位常常来观赏且赞不绝口的所谓亲朋邻居，有的和我一样痛心疾首，并想法设法，出谋划策；有的却不再登门来看了，好像这兰草的病也要传染给他们似的；有的虽然来了，只是斜眼扫视一下； 有的刚开始来看了看，以后则不来了；有的还说兰草本不应该在这里养；有的用怀疑的口气指责这兰草太娇气了，难以栽养；有的议论纷纷，添油加醋，捕风捉影，进行非议丑化；有的本就怀疑，心存 嫉妒，于是趁机造谣滋事，指责否定，等等。真是“一叶知秋意”、“患难见真情”啊。兰草似乎倍感委屈、痛苦和失望，那神情好像在说：你们人类有的人也太势利了、太卑劣了，我有生机的时候， 赞美羡慕，说我赏心悦目，好看好香，想方设法嬉皮பைடு நூலகம்脸地接近我，挨靠我，但一旦我出了事，失去了生机，没有价值了，就离我而去，好像我从来就不是香草，而是一株臭草，是一棵恶草，甚至是一 株毒草，恨不得将我连根铲除掉，抛弃掉，燃烧掉，世态炎凉，人心险恶啊。真是“一死一生，乃知交情；一贫一富，乃知交态；一贵一贱，交情乃见”啊。
定积分的几何应用举例
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曲边扇形的面积： A 1 [j( )]2 d ( j( ), ) 2
例4 计算心形线a(1+cos)(a>0)所围成的图形的面积.
解 A 2 1 [a(1+ cos )]2 d 02 a2 (1+ 2 cos + cos2 )d 0 a2 ( + 2 2 cos2 d ) 0
1
Vy 2
1 x(1- x2 ) dx +2
0
2 x(x2 -1) dx 5.
1
y
y x2
1
O
2x
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布置第四次作业
P243 5．（1），6.（1）；
P253 1.（2）、（5）、（15）；
P254 7.（1）、（6）、（7）.
P284 4.
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a2 ( + 2 1 )
22
3a2.
2
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三、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
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三、体积
1.旋转体的体积
考虑由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲 边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积. •旋转体的体积元素
-4ab0sin2 tdt
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
定积分的几何应用举例
32 3 V a x dx a . a 105
例 计算由椭圆 而成的椭球体的体积.
所围图形绕 x 轴旋转
y
解
2 y dx V 2 则
0 a
b
o
x
ax
(利用对称性) b2 a 2 2 2 2 (a x ) d x a 0 2 4 b 2 1 3 a 2 2 a x x ab2 3 0 3 a
成的图形的面积.
解
y2 2 x 由 y x 4
y dy y
y x4
得两曲线的交点 ( 2,2), (8,4).
y2 2 x
y2 dA ( y 4 )dy , 2 4 2 4 1 3 18. y 1 2 A ( y 4 )dy y 4 y y 2 6 2 2 2
2
练习： 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . y 2 2a 2 2 a ( 1 cos t ) dt ydx 解: A
0
0
4a
2
0
2
t 令u 2 4 8 a sin ud u 2 0
t sin d t 2
4
o
2 a x
16 a 2 sin 4 u d u
解
取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
dV [ PM QM ]dy
2 2
P
dy
Q
M
3
[ ( 3 4 y )2 ( 3 4 y )2 ]dy
12 4 ydy,
V 12
4
0
4 ydy 64.
第六章 定积分的应用经典例题
第六章 定积分的应用例8 求出12222≤+by ax 和12222≤+ay bx 的图形的公共部分的面积（其中0>>b a ）.解 如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段OA 在直线x y =上. 令,sin ,cos θθr y r x ==代入方程12222=+ay bx得其极坐标方程为θθ2222222sin cos b a ba r +=于是所求面积可表示为 θθθθθππd b a ba d r S ⎰⎰+=⨯=422222242sin cos 4)(218.tan4tan arctan 14422ab abacr a b ab b a =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=πθ例2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为kxk y cosh =, 其中k 为常数. 计算悬链线上介于b x -=与b x =之间一段弧的长度.解 如图，由于对称性，要计算弧长为相应于x 从0到b 的一段曲线弧长的两倍.,c x y sh='弧长微元: dx cx ds 2sh 1+=.dx cx ch=故所求弧长为⎰=bc xc s 0ch 2boc x c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=sh 2.c b c sh 2=例6 证明正弦线)20(sin π≤≤=x x a y 的弧长等于椭圆 )20(sin 1cos 2π≤≤⎩⎨⎧+==t ta y t x 的周长. 证 设正弦线的弧长为,1s 则dx y s ⎰'+=π20211dx x a ⎰+=π2022cos1,dx x a ⎰+=π22cos12设椭圆的周长为,2s 则dt y x s t t ⎰'+'=π20222)()(dt t a t ⎰++=π222))(cos 1()(sin 2（利用椭圆的对称性）dt t a ⎰+=π22cos 12dx x a ⎰+=π22cos12,1s =故原结论成立.例7 求极坐标系下曲线)30,0(3sin 3πθθ≤≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a r 的长.解313c o s 3s i n 32⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='θθa r ,3c o s 3s i n 2θθ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=aθθθβαd r r s ⎰'+=∴)()(22θθθθπd a a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=30242623cos 3sin 3sin θθπd a⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=3023sin.a π23=。
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F 1121.9767 0.91442 12.7, 37407.031(kg )
比较可知，此时租用客机比购买客机合算. 当 r 6% 时,
600 P (1 e 0.0615 ) 5934.3 (万美元), 0.06
此时购买客机比租用客机合算.
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
二. 转售机器的最佳时间
（周）的减函数 由于折旧等因素，某机器转售价格 R( t )是时间 t
因此，加在整个窗面上的压力为
z0 z
dz
F d F 2 z l ( z ) dz
z0 z0
z1
z1
z1
图 5 －21
因为 A 2
z1 z0
l ( z )dz
2 z1 z l(z) d z 形心 z A z0
因此
F z A
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
t 3 A ln 32 A 96ln 32 48 f (333) e e dt 12.01 A (元) 0 4 4
因此,
最大总利润
P f (333) A 11.01 A,
3A 机器卖了 (元 ) 128
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
三. 潜艇的观察窗问题
第6章 定积分的应用
§6.3 定积分应用案例
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
一、租客机还是买客机 某航空公司为了发展新航线的航运业务， 需要增加5架
波音747客机,如果购进一架客机需要一次支付5000万
美元现金， 客机的使用寿命为15年. 如果租用一架客机， 每年需要支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方
§6.3
定积分应用案例
求得 x 96 ln 32.
当 x (0, 96ln 32) 时, f ( x ) 0 ; 当 x (96ln 32, ) 时, f ( x ) 0 . 又因为 x 96ln 32 是唯一极值点, 所以它是最大值点. 当 x 96 ln 32 (周)时, 总利润最大值, 此时总收入为
在这段时间内机器创造的利润是 0
x
t A 48 e dt . 于是，问题 4
t t x A 3 A 96 e e 48 dt , x (0, ) 的最大值. 就成了求总收入 f ( x ) 0 4 4
高等数学 第6章 定积分的应用
x x x 3 A 96 1 A 48 1 96 e ( ) e 0 即 e , 由 f ( x ) 4 96 4 32
t 3 A 96 R( t ) e (元），其中A是机器的最初价格，在任何时间 4
t
t A 48 机器开动就能产生 P e 的利润，问机器用了多长时间后 4
转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？
解：假设机器使用了 x
x 3 A 96 周后出售，此时的售价是 R( x ) e , 4
式支付. 若银行的年利率为12%, 请问购买客机与租用客
机哪种方案为佳？如果银行的年利率6％呢？
解：购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元.
而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支 付15年租金， 年流量为600万美元.
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
在探测海底的潜艇上装有若干个观察窗. 为使窗户的设计 更科学、更合适，必须先计算加在观察窗上的压力. 如果 试 其行状如图－21所示是对称的， 我们假定窗户是垂直的， 求出压力与窗户面积、窗户形心间的关系
解 从物理学知道, 在水深 z 处的压强为 p z 这里 是海水的比重. 建立 如图5－21所示的坐标 系，对应于[ z , z dz ]
的窄条上各点处的压强近似
O
l ( z)
z0 z
dz
z1
图 5 －21
等于 z , 这窄条的面积近似为dA 2l ( z )dz ,
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
故这窄条上所受的海水压力的近似值, 即压力微元
dF pdA 2 zl ( z )dz
l ( z)
O
T 0
t 0 时的总价值可 表示为 P
a a r t T rT a e dt e (1 e ). 0 r r
r t
因此，15年的租金在当前的价值为
600 P (1 e 15 r ) (万美元). r
当 r 12% 时,
600 P (1 e 0.1215 ) 4173.5 (万美元). 0.12
t 0 时的价值为 Ae rt 美元. 那么，对流量为 a 的均匀货币
流，在 [t , t t ] 时所存入的 at 美元，在 t 0 时的价值是
at e
rt
Hale Waihona Puke e t . rt高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
由微元法可知，当
t从 0 变到 T 时，[0, T ] 周期内均匀流在
定积分应用案例
因此
F z A
但 z 正好是深度为 z 处的水压强, 所以加在窗户上的全部压力 等于窗户露出的全 部面积乘上它形心处的压强.
作为一个具体的 实例，设窗户是圆的(这是可能的形状),
3 1121.9867 千克 / 米 其半径为0.9144米, 取
z 12.7 米.
则
两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时 刻的价值才能比较.我们以当前价值为准.
购买一架飞机的当且价值为5000万美元. 下面计算均匀货币流的当前价值： 设 t 0 时向银行存入 Ae rt 美元，按连续复 利计算， t 年之后在 银行的存款额恰好是 A美元. 也就是说， t年后的 A美元在