2.8牛顿运动定律之降落伞下落的规律

T
其中
= KC1′ arc coth( α′ =
v0 ). vT
v
g vT tanh( t + α ) vT
{范例2.8} 降落伞下降的规律
g = (v < vT) v vT coth( t + α ′) vT
(v > vT)
g t + α )dt vT
当v < vT时，利用关系v =
= dt dx/dt，可得 dx v= vT tanh(
可得常数
ln
降落伞下落的高度为 x = v
2 T
g
sinh( gt / vT + α ′) . sinh α ′
不论降落伞的初速度是小于极限速度还是大 于极限速度，最后的速度都趋近于极限速度。
在初速度较大的情况下，在相同的时间内， 降落伞下落的高度要大些，所以速度较大的 高度曲线在速度较小的高度曲线上面。
1 g tanh( Kgt += vT tanh( t + α ) KC1 ) vT K
v0 α = 其中 = KC1 arctanh( ). vT
{范例2.8} 降落伞下降的规律
= gdt 1 d(1 + Kv) d(1 − Kv) [ − ] 2 K 1 + kv 1 − Kv
当Kv > 1时，即v > vT，积分上式
2 vT cosh( gt / vT + α ) 降落伞下落的高度为 x = ln g cosh α g = dt dx v= vT coth( t + α ′)dt 当v > vT时，可得 vT 2 vT cosh( gt / vT + α ′) g g = α ′)dt 积分 x vT ∫ coth( v t + = g ∫ sinh( gt / v + α ′) d( v t + α ′) T T T 2 2 vT gt 当t = 0时，x = 0， ′ = − vT ln[sinh(α ′)] ′)] + C2 ′ = ln[sinh( + α 即x C2 g + Kv) d(1 − Kv) gdt = = ( + )= [ − ]. 2 2 1− K v 2 1 + Kv 1 − Kv 2 K 1 + Kv 1 − Kv
{范例2.8} 降落伞下降的规律
1 d(1 + Kv) d(1 − Kv) [ ] = gdt − 2 K 1 + kv 1 − Kv
不论初速度是大还是小，加速度最后都趋于0。 初速度较小时，其加速度的方向与速度方向相同，并随 着速度的增加而减少；初速度较大时，其加速度的方向 与速度的方向相反，大小也随着速度的增加而减少。
2 vT g = = 积分 x vT ∫ tanh( t + α )dt vT g
sinh( gt / vT + α ) g d( ∫ cosh( gt / vT + α ) vT t + α )
2 2 vT gt v ln[cosh( + α )] + C2 当t = 0时，x = 0， C = − vT ln[cosh(α )] = 即 2 g vT g 可得常数
1 Kv + 1 gt + C1′ = ln 2 K Kv − 1
设当t = 0时，v = v0，C1′ = 1 ln Kv0 + 1 2 K Kv0 − 1 可得常数为
Kv
1 利用反双曲正切函数可得 Kgt + KC1′ = arc tanh
= 速度为 v 1 g coth( Kgt + KC1′) = vT coth( t + α ′) K v
当Kv < 1时，即v < vT，例如初速度为0的情况，积分上式
1 1 + Kv gt + C1 = ln 2 K 1 − Kv
设当t = 0时，v = v0， C = 1 ln 1 + Kv0 1 2 K 1 − Kv0 可得常数为
利用反双曲 1 1 + x ln = arc tanh x 可得 Kgt + KC1 = arc tanh Kv 正切函数 2 1− x 速度为 v =
{范例2.8} 降落伞下降的规律
物体在空气中运动时，阻力的大小可以表示为f = CρAv2/2。 其中ρ是空气的密度，A是物体的有效横截面积，C为阻力 系数。一降落伞和人组成系统的极限速度为vT = 5m/s，当 系统从静止开始下落时，求它的速度和下落的高度随时间 的变化关系。如果该降落伞开始没有打开，当速度达到v0 = 10m/s时才打开，系统的运动规律是什么？ [解析]伞和人受到重力mg，方向竖直向下； 空气阻力f，方向竖直向上。 其中k = CρA/2，k 取向下为正方向，根据牛顿第二定律 是比例系数。 可列人和伞的运动方程mg - kv2 = ma， 由于a = dv/dt，可得微分方程 其中K2 = k/mg。 dv 当dv/dt→0时，v→vT，vT是 = g (1 − K 2 v 2 ) dt 极限速度，因此K = 1/vT。 分离变 量得