高中数学北师大选修4-4课件：121极坐标系的概念
选修4-4极坐标系课件
我们先看下面的问题. 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
SOS!!!
拯救船o
30º
x
2021/5/23
3
从这向北 2000米。
请问：去阳江一中 中学怎么走？
2021/5/23
4
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
X
极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边 相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式： 4 ，2 k π +
π 4
2021/5/23
14
练习：探索点M（3，/4）的所有极坐标
3， 2k
4
M
O
P x
2021/5/23
15
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
2021/5/23
θ
o·
x
6
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用
表示线段OM的长度，用 表
示从OX到OM 的角度， 叫
M
做点M的极径， 叫做点M的
极角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为
F (4, )
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9
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
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3
3 10
题组3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆, 实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点 的极坐标.
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.2.1极坐标系的概念随堂验收(共14张PPT)
4
6.点M(1,θ)(θ∈[0,π])的轨迹是( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.半圆 答案:D 解析:由于M(1,θ)满足ρ=|OM|=1,θ∈[0,π],故点M的轨迹是以
极点为圆心,半径为1的圆的上半部分,即半圆.
7.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转
6
得到射线OP,若在OP
上取点M,使|OM|=4,则ρ>0,θ∈[0,2π]时点M的极坐标为
(4,11 )
_____6___.
解析:ρ=|OM|=4,与OP终边相同的角为2kπk=1,θ= 161π,∴M(4,π)1.61
6
,k∈Z,令
8.点
M
(6,
5 6
)
到极轴所在直线的距离为_____3___.
5
解析:依题意,点M(6,
π=3.
5
π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin
6
D.(3, )
答案:A
解析:如图所示,
COx 3 ,| OC || OA | tan 2 3.
24 4
3
5.点M(ρ, ) (ρ≥0)的轨迹是( )
4 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析轨:迹由是于极动角点为M的(ρ,终边)4的,是极一角条θ射=,线ρ取,故一4选切B2, )
3
C.(2, 4 )
3
B.(2, 2 )
3
D.(2, 5 )
3
答案:D
解析:如图所示,
设点 P(2, 3关) 于极轴的对称点为P′,易得P′点的极坐标为 (2, 5 ).
3
3.下列点与极点O, M(2, 5 )三点共线的是
1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化PPT课件(北师大版选修4-4)
课 堂 互 动 探 究
π π y＝ρsin θ＝4sin(－12)＝－4sin12＝ 2－ 6. π ∴点的极坐标(4， － )化为直角坐标为( 12 6)．
菜 单
课 时 作 业
2＋ 6， 2－
BS ·数学 选修4-4
课 时 作 业
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的 象限取最小正角．
菜 单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？ 【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是
联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
2.2
点的极坐标与直角坐标的互化
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系． 2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 课标解读 位置的区别． 3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2π ∴点的极坐标(4， 3 )化为直角坐标为(－2,2 3)．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
π (4)∵cos ＝ 12 π sin12＝
π 1＋cos6 ＝ 2 π 1－cos6 2 ＝
3 1＋ 2 6＋ 2 ＝ ， 2 4 3 1－ 2 6－ 2 2 ＝ 4 ，
课 时 作 业
点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4讲义：第一讲 坐标
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). 当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 【思维导图】【知能要点】 1.极坐标系的四要素. 2.点的极坐标的写法. 3.极坐标和直角坐标的互化.题型一 极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置. 2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2k π) (k ∈Z )，另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π) (k ∈Z ).在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系. 【例1】 写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E (9，0)，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. 【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.写出下列各点的极坐标.解 A (4，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，1312π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，53π.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B (6，－120°)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，180°). 解 各点描点如图所示.【反思感悟】 知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点.2.在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3所在的位置.解 由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π4.点D ，E ，F 的位置如上图所示.【例3】 在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C.(23，π)D.(3，π)解析 如图所示，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，|OC |＝23，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.答案 B【反思感悟】 在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.3.点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边.又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标.又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B题型二 两点间的距离公式一般地，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.【例4】 已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积.解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S ＝12·ab sin θ考虑.4.若△ABC 的三个顶点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，判定△ABC 的形状.解 AB ＝25＋64－2×8×5cos 5π3＝49＝7，BC ＝9＋64－2×8×3×cos π3＝7， AC ＝25＋9－2·3·5cos 4π3＝7，∴△ABC 为等边三角形.题型三 极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任一点，如图所示，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.① 从①可得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0） ② ①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标. 解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33.又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.5.若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标.(ρ＞0，0≤θ＜2π)解 (1)x ＝4cos 5π3＝2，y ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴直角坐标为(2，－23).(2)ρ1＝4＋4＝22，sin θ1＝－222＝－22，cos θ1＝222＝22，∴θ1＝7π4，∴(2，－2)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，ρ2＝15，sin θ2＝－1，cos θ2＝0，∴θ2＝3π2，∴(0，－15)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π21.在极轴上与点⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点的坐标是________. 解析 设所求点的坐标为(ρ，0)，则 ρ2＋（42）2－2×42ρcos π4＝5.即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0). 答案 (1，0)或(7，0)2.在直角坐标系中，已知点A (－3，33)，B (33，3). 将A 、B 两点的直角坐标化为极坐标.解 直接根据互化公式，可得A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23π，B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6.3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0))解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得|AB |＝300 m ，|OA |＝3003m ，同样求得|OD |＝2|OF |＝3002，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 4.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标. (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点.解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z ).所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z ). (2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z ).[P 10练习]在极坐标中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)有什么关系？答 关于极轴对称.设M 点坐标为(ρ，θ)，为直观，以极点为原点，以x 轴的正方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M 点关于y 轴对称的点M 1的坐标为(ρ，π－θ)M 1关于极点对称的点M 2的坐标为(－ρ，π－θ) 则M 2与M 关于极轴对称，如图所示. 【规律方法总结】1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.一、选择题1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 答案 B2.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B.32－62C.36＋322D.36－322解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A.M 和N B.M 和G C.M 和HD.N 和H解析 把极坐标写成最简形式M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0，故M 、N 是相互重合的点. 答案 A4.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π3 解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12， 所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案 A5.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5，109°)，P 2(4，49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( ) A.5 3B.10 3C.52 3D.10解析 点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3.答案 A二、填空题6.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________. 解析 利用极坐标系中两点间距离公式.答案 57.在极坐标系中，点P (ρ，θ)与Q (－ρ，π－θ)的位置关系是________.解析 Q 的极坐标可写成(ρ，－θ)，故与P (ρ，θ)关于极轴对称.答案 关于极轴对称8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________. 解析 A 、B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32， k ＝－1，倾斜角为3π4，故直线与极轴的夹角为π4.答案 π49.极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0，θ∈[0，2π))解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题10.在极坐标系中，(1)求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π36，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43π36两点间的距离；(2)已知点P 的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R ，求满足上述条件的点P 的位置.解 (1)A ，B 在过极点且与极轴成7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上.11.设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.解 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列两种情形：(1)当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝330°时，ρ＝30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形：⎝ ⎛⎭⎪⎫30，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，5π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，11π6. 12.在极坐标系中，已知三点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，－π4，R (6，2π). (1)将P 、Q 、R 三点的极坐标化为直角坐标；(2)求△PQR 的面积.解 (1)P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0).(2)直线PQ 的方程为y ＋4＝6（x －4）23－4， 与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋43，0，S △PQR ＝14－4 3. 13.已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ<2π时，求点P 的极坐标.解 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3).ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.。
高中数学北师大版选修4-4+2.1极坐标系的概念导学案教案
O引一条射线四、课堂小结你今天主要学习了什么？都有哪些收获？课堂检测内容1.在下面的极坐标系里描出下列各点：(3,0)(6,2)(3,)2A B Cππ，，455 (5,)(3,)(4,)(6,) 363D E F Gππππ，，，2、第18页A组 1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
OBLeabharlann XA
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
选修4-4 1.2 极坐标系
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E (3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。