第一章质点力学

第一章 质点力学1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 1.8 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222er e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。

试证其速度矢量v 与加速度矢量a 正交。

证：质点作平面运动，设速度表达式为 j i v y x v v +=令为位矢与轴正向的夹角，所以dt d v dt dv dt d v dt dv dt d yy x x j j i i v a +++==j i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x yy x v dt dv v dt dv []j i a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv ()j i y x v v +⋅θθ y x yy y x x x v v dt dv v v v dtdv v ++-=dtdv v dtdvv y yx x += 又因为速率保持为常数，即C C v v y x ,22=+为常数 对等式两边求导 022=+dtdv v dt dv v y y xx所以 0=⋅v a 正交.1.11 质点沿着半径为r 的圆周运动，加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。

求质点的速度随时间而变化规律。

出速度为0v 。

解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示题1.11.1图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====ααcos sin 2a dt dv a a r v a t n两式相比得 dtdv r v ⋅=ααcos 1sin 2即 2cot 1v dv dt r =α对等式两边分别积分200cot 1v dv dt rv v t⎰⎰=α 即αcot 110rtv v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律1.19 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。

设阻力与速度平方成正比，即22gv mk R =。

如上抛时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为22011vk v v +=解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正上升时 下降时 题1.19.1图则两个过程的运动方程为： 上升 22y g mk mg y m --= ① 下降： 22y g mk mg y m +-=- ② 对上升阶段: ()221v k g dtdv +-=()221v k g dyvdvdt dy dy dv +-== 即 gdy v k vdv -=+221对两边积分gdy vk vdvh v ⎰⎰-=+022010所以 ()20221ln 21v k gk h += ③即质点到达的高度. 对下降阶段： 22gv k g dyvdvdt dy dy dv -== 即gdy vk vdvh v ⎰⎰=-022011()21221ln 21v k gk h --= ④ 由③=④可得 202011vk v v +=1.36 检验下列的力是否是保守力。

如是，则求出其势能。

()a233206y bx y abz F x -=，y bx abxz F y 43106-=，218abxyz F z =()b()()()z F y F x F z y x k j i F ++=解 （a ）保守力F 满足条件0F =⨯∇对题中所给的力的表达式 ，代入上式()()()22=+--+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇kj i kj i F F F k j iF zy x y 40abx 6abz y 40bx 6abzy 18abz y 18abz 18abxz 18abxz y F x F x F z F z F y F z y x 333322x y z x y z所以此力是保守力，其势为()()()()()()(()()()()324,,0,,20,,0,0,300000233z y,x,0,0,0x6518106d 206F abxyz y bx dz abxyz abxzx y bx y abzdz F dy F dx V z y x y x y x x ,x,,,zy-=----++-=⋅-=⎰⎰⎰⎰⎰drF (b)同（a ），由= ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇j i k j i F y F x F x F z F z F y F F F F z y x y z x y z zy x 所以此力F 是保守力，则其势能为dzF dy F dx F d V BABABx Az z z y y y x x ⎰⎰⎰⎰---=⋅-=rF1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有势能：()k rke r V ar,-=＜0 试求()a 中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；()b 求质量为m 的粒子作半径为a 的圆运动的动量矩J 及能量E 。

解 （a ）因为质子与中子之间引力势能表达式为 ()()0<=-k rke r V rα故质子与中子之间的引力()()()221r er k r ke r ke rke dr d dr r dV r F rrr rαααααα----+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-= （b ）质量为m 的粒子作半径为a 的圆运动。

动量矩 v r J m ⨯= 由（a ）知 ()()21r e r k r F rαα-+= ()r F 提供粒子作圆周运动的向心力，()r F 方向是沿着径向， 故 ()r v m r e r k r 221=+--αα 当半径为a 的圆周运动 ()a v m ae a k a 221=+--αα 两式两边同乘以3ma 即 ()2221a v m e a m k a a =+--αα又因为 m v a J = 有 ()a e a m k a J αα-+-=12做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。

所以()()()ae a k a ke a e a k a V mv VT E a a a 2121212ααααα----=++-=+=+= 1.43 质点所受的有心力如果为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=322r r m F νμ式中μ及ν都是常数，并且ν＜2h ，则其轨道方程可写成θk e a r cos 1+=试证明之。

式中222222222,,μμνh Ak e h k a h h k ==-=（A为积分常数）。

证 由毕耐公式 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-u d u d u h m F θ222 质点所受有心力做双纽线θ2cos 22a r =运动故θ2cos 11a r u == ()232c o s 12s i n 1θθθ∙∙=a d du ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙∙+=-θθθθθθ2sin 22cos 2sin 232cos 2cos 21252322a d u d ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--252212cos 2sin 32cos 21θθθa故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=u d u d u mh F 2222θ ()()⎢⎣⎡++-=--θθθθcos 12cos 2sin 32cos 22cos 12522132a mh ()()θθ2tan 12cos 322332+-=-a mh()27322cos 3--=θamh 2722323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a r a mh 7243r h ma -=1.44证 由毕耐公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-u d u d u h m F θ222 将力⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=322r r m F νμ带入此式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+u d u d u h r r 2222322θνμ 因为r u 1=所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+u d u d u h u u 2222322θνμ 即 222221h u h d u d μνθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 令 222hh k ν-= 上式化为 22222h u k d u d μθ=+ 这是一个二阶常系数废气次方程。

解之得 ()222c o shk k A u μϕθ++= A 微积分常数，取0=ϕ，故 222c o s hk k A u μθ+=1c o s c o s 11222222222+=+==θμμμθk h k A h k h k k A u r 令222222,μμh Ak e h k a == 所以 θk e ar c o s 1+=第二章习题.2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a ,所对的圆心角为2θ，并证半圆片的质心离圆心的距离为πa 34。