马克维茨投资组合中文经典评析
最优投资组合--马科维茨投资组合理论
最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。
投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。
⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。
投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。
其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。
⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。
所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。
⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。
利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。
4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。
markowitz的文献综述
文献综述：Markowitz的资产组合理论随着金融市场的不断发展，投资者对资产配置和风险管理的需求愈发迫切。
在这个方兴未艾的环境下，哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出了著名的资产组合理论（Modern Portfolio Theory），该理论对资产组合和风险管理产生了深远的影响。
本文将对Markowitz的资产组合理论进行综述，探讨其核心理念、应用价值以及未来发展趋势。
一、资产组合理论的核心理念1.1 效用理论Markowitz的资产组合理论建立在效用理论的基础之上。
他提出，投资者的最终目标不是简单地追求收益最大化，而是在一定风险水平下追求效用最大化。
投资者的投资决策不仅取决于预期收益，还应考虑风险水平和资产之间的相关性。
1.2 效率前沿Markowitz将资产组合理论建模为一个多目标优化问题，他提出了“效率前沿”的概念。
效率前沿是指在给定风险水平下，投资组合所能达到的最大收益，或者在给定收益水平下，投资组合所能达到的最小风险。
通过对效率前沿的研究，投资者可以找到最优的资产配置方案。
1.3 马科维茨方差-收益均衡模型Markowitz提出了著名的方差-收益均衡模型，该模型将投资组合的风险定义为收益的方差，将投资组合的收益定义为期望收益。
他指出，投资者在选择资产配置方案时应该追求一种均衡，即在风险和收益之间取得最佳的折衷。
二、资产组合理论的应用价值2.1 风险管理Markowitz的资产组合理论为风险管理提供了重要的思路。
通过对资产之间相关性的分析和有效的风险分散，投资者可以在一定程度上规避风险，提高投资组合的抗风险能力。
2.2 盈利机会资产组合理论也为投资者提供了寻找盈利机会的方法。
通过对不同资产类别和不同资产之间相关性的分析，投资者可以发现低相关性的资产，实现有效的分散，从而获取更高的收益。
2.3 资产配置决策资产组合理论已经被广泛应用于资产配置决策中。
马科维茨证券组合理论的贡献与缺陷
马科维茨证券组合理论的贡献与缺陷Pros: 1. 在马科维茨的那个时代，很多投资者或证券组合管理者靠的只是经验判断，很少定量分析。
而马科维茨选择方差作为衡量风险的尺度是一个非常好的方法.2. 马科维茨用均值和方差来确定风险和收益，使得数理统计成为研究证券选择强有力的工具。
有一套精密的客观的定量分析。
半方差，下偏距，几何谱风险测度GM3. 马科维茨认为投资者根据以往的数据和个人判断来选择所需的均值，方差以及协方差来组合证券。
他对投资风险的数量化和理论研究的深入，为证券组合理论在这几十年间的迅速发展奠定了基础4. 另外，传统方法往往注重收益分析，对于风险的分析却很少。
传统的分析家也知道分散可以减少风险，但是分散如何减少风险，风险分散对收益的影响，把风险降到什么程度，则缺乏精密的数据可以解释。
Cons: 1 有人对马科维茨关于投资者是风险厌恶的假设以及方差就是衡量风险的最有效量度等问题提出质疑。
2. 在实践中，由于许多投资者不熟悉有关的数学知识，不习惯于估计证券间的协方差，以及计算机计算均值的期望收益率不很准确等因素将导致无效的证券资产组合。
3. 对于均值相同、且方差也相同的两个组合来说，由于其偏度的不同，其风险程度仍然大不一样。
因此，基于均值－方差模型思路的现有研究则仍有待完善。
如用“均值-方差-偏度”三因素优化。
CAPM模型假设： 1．投资者是风险规避者和最大财富追求者。
他们根据对证券行为的预期－期望收益、收益的方差及收益率的相关系数行事。
2．所有投资者均可按无风险利率任意借入或贷出无风险资产，且借入、贷出利率相同。
3. 市场上不存在交易成本和税金，卖空不受限制。
4. 证券的交易单位可以无限分割。
所有投资者都是价格的接受者，投资者的证券买卖活动不影响市场价格。
5. 投资者对每种证券行为的预期是一致的。
6. 投资者的投资期限相同。
内容：当完善的资本市场达到均衡时，任何风险资产的超回报和市场证券组合的超回报成比例关系。
马克维茨的资产组合理论
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=0
E(RA )
A
0
A
B
P
图 3 完全不相关时的组合收益与风险的关系
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思考：
➢ 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。A的期 望收益率E（RA）=5%，标准差σA=20%；B的期望 收益率E（RB）=15%，标准差σB=40%；
数为1的时候，组合收益 也是组合风险 的线性函数。
E(Rp )
p
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证明：
∵σp=WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB－σA）
∴WB
P B
A A
∴ EP
EA
P B
A A
(EB
EA)
E A B E A B P (EB E A ) EB A E A A B A
第第1010章章1马克维茨的资产组合理论马克维茨的资产组合理论第第1010章章1马克维茨的资产组合理论马克维茨的资产组合理论一基本假设投资者的厌恶风险性和不满足性
第10章—1 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 ➢ 投资者的厌恶风险性和不满足性：
1、厌恶风险 2、不满足性
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
（2）衡量证券i系统性风险的指标：
i
CoviM
2 M
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➢ 假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系:
it i i mt it （t=1,2…n） 其中， it ：误差项， E(i ) 0, Cov(i , j ) 0, Cov(it ,it' ) 0 ；
马科维茨投资组合理论模型
马科维茨投资组合理论模型
马科维茨投资组合理论模型是由美国经济学家马科维茨提出的一种投资组合理论，该理论模型通过对投资组合和投资组合收益率的分析，提出了一种最优投资组合的概念，这种投资组合可以满足投资者的期望收益和风险最小化的要求。
马科维茨投资组合理论模型的基本概念是，当给定一定的投资资金，可以通过不同的投资组合，即不同投资产品的组合，使投资者的收益最大化。
该模型也引入了风险因素，通过对投资组合和投资组合收益率的分析，提出了最优投资组合的概念。
马科维茨投资组合理论模型的应用非常广泛，它可以帮助投资者进行投资决策。
该理论模型可以帮助投资者选择最佳的投资组合，以满足投资者的期望收益和风险最小化的要求，从而更好地实现投资目标。
此外，它还可以帮助投资者估算投资组合的收益率和风险，从而更好地进行投资。
马科维茨投资组合理论模型也可以帮助投资者灵活地进行投资，根据投资者的风险承受能力，可以调整投资组合，以满足投资者的投资目标。
此外，该理论模型还可以帮助投资者更好地识别投资机会，以获得更高的投资收益。
总的来说，马科维茨投资组合理论模型是一种有效的投资组合理论，
它可以帮助投资者更好地实现投资目标，更好地进行投资决策，并获得更高的投资收益。
马克维茨投资理论浅析
马克维茨投资理论浅析数学与应用数学（金融数学） 陆文康摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性描-方差模型。
R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益率的(R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差来i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为：当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是12(x ,x ,,x )n X ，p ，期望收益率p E 与收益率方差2p 可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描（1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。
（2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。
（3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。
（4）收益率的分布服从正态分布。
马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下：0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。
二、中国股票市场的实例分析1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非系统风险(e )p Var 和总风险2p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。
投资组合理论简介
投资组合理论简析：美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。
该理论也称证券投资组合理论或资产组合理论。
马克维茨投资组合理论的基本假设为：(1)投资者是风险规避的，追求期望效用最大化；(2)投资者根据收益率的期望值与方差来选择投资组合；(3)所有投资者处于同一单期投资期。
马克维茨提出了以期望收益及其方差(E，δ2)确定有效投资组合。
以期望收益E来衡量证券收益，以收益的方差δ2表示投资风险。
资产组合的总收益用各个资产预期收益的加权平均值表示，组合资产的风险用收益的方差或标准差表示，则马克维茨优化模型如下：式中：rp——组合收益；ri、rj——第i种、第j种资产的收益；wi、wj——资产i和资产j在组合中的权重；δ2(rp)——组合收益的方差即组合的总体风险；cov(r,rj)——两种资产之间的协方差。
马克维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，采用微分中的拉格朗日方法求解，在限制条件下，使得组合风险铲δ2(rp)最小时的最优的投资比例Wi。
从经济学的角度分析，就是说投资者预先确定一个期望收益率，然后通过确定投资组合中每种资产的权重，使其总体投资风险最小，所以在不同的期望收益水平下，得到相应的使方差最小的资产组合解，这些解构成了最小方差组合，也就是我们通常所说的有效组合。
有效组合的收益率期望和相应的最小方差之间所形成的曲线，就是有效组合投资的前沿。
投资者根据自身的收益目标和风险偏好，在有效组合前沿上选择最优的投资组合方案。
根据马克维茨模型，构建投资组合的合理目标是在给定的风险水平下，形成具有最高收益率的投资组合，即有效投资组合。
此外，马克维茨模型为实现最有效目标投资组合的构建提供了最优化的过程，这种最优化的过程被广泛地应用于保险投资组合管理中。
在马可维茨的理论基础上又出现了致力于寻求新的度量标准和新的投资准则的现代投资组合理论：均值-V aR投资组合模型最早应用V aR风险测量方法的是Jm Morgan公司，1994年10月JP Morgan公司开发的“风险度量"(Riskmetrics)系统中提出了V aR风险测量方法；1995年4月，巴塞尔银行监管委员会宣布商业银行的资本充足性要求必须建立在V aR基础上；1995年6月，美联储提出相似的预案；1995年12月，美国证券交易委员会建议上市交易的美国公司将V aR 值作为信息披露的一项指标。
第二章马科维茨投资组合理论(均方模型)剖析
在证券投资中，一般认为投资收益的 分布是对称的，即实际收益低于预期 收益的可能性与实际收益高于预期收 益的可能性是一样大的。实际发生的 收益率与预期收益率的偏差越大，投 资于该证券的风险也就越大，因此对 单个证券的风险，通常用统计学中的 方差或标准差来表示。
2019/3/4
投资学第二章
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Markowitz 的基本思想
风险在某种意义下是可以度量的。 各种风险有可能互相抑制，或者说可能“对 冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放在一个篮 子里”，而要“分散化”。 在某种“最优投资”的意义下，收益大意味 着要承担的风险也更大。
2019/3/4
投资学第二章
记方差为即有方差越大风险越大投资者选择方差较小的证券2020224投资学第二章35三方差两个证券组合预期收益的方差第四个概念方差分别为的权重构成一个资产组合的方差为如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合第五个概念则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例2020224投资学第二章36四协方差协方差第六个概念是两个随机变量相互关系的一种统计测度即它测度两个随机变量如证券a和b的收益率之间的互动性
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马科维兹模型概要
马科维兹于1952年提出的“均值－方差组合模型”是 在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合 中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效 边界(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差 最小的投资组合，并导出投资者只在有效边界上选择 投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，欲使投资 组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外， 还应挑选相关系数较低的股票。因此，马科维兹的 “均值－方差组合模型”不只隐含将资金分散投资于 不同种类的股票，还隐含应将资金投资于不同产业的 股票。同时马科维兹均值－方差模型也是提供确定有 效边界的技术路径的一个规范性数理模型。
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投资组合投资组合的选择过程可以分为两个阶段。
第一个阶段以观察和经验开始以预计拥有证券的未来绩效结束。
第二个阶段以未来绩效相关的信念开始以投资组合的选择结束。
本文主要研究第二个阶段。
首先，我们相信投资者会最大化其预期折现或期望的收益。
这个准则我们既不作为一个假设去解释也不作为最大化指导投资者的行为。
我们接下来考虑投资者应该思考预期的收益是合意的，收益的方差是不确定的。
这个准则不论作为投资行为最大化或假设都有很多优点。
我们通过预期收益-收益方差来解释投资组合的选择与预期之间的几何关系。
投资组合选择的一种类型是投资者应该最大化未来收益的折现（资本化）价值。
因为未来是不确定的，我们必须预期未来的折现收益，可以提出这种类型的变化，根据hicks我们可以让预期的收益包含对未来风险的补贴。
或者我们可以让资本化的利率虽不同证券组合的不同利率变化。
投资者应该最大化折现价值的假设或准则必须被拒绝。
如果我们忽略了市场的缺陷上述的准则不会表明存在多样化的投资组合优于所有的非多元化的投资组合。
多元化是可以观察也可以感觉到的。
一个不包含多元化优越性的准则或假设必须被拒绝。
上述的准则没有解释多样化是如何形成的，是否不同的折现率被用于不同的投资组合，假设表明投资者将他所有的资金投资于折现价值最大的证券，如果两个或更多的证券有相同的价值那么所有这些组合都是一样好的。
我们可以看这个解析:假设有N种证券令r it为在时间t投资一美元证券i的预期收益，d it为证券组合i th在t时折现到当前的折现率。
X i为投资到证券i的相对数量。
我们排出了卖空，所以对于所有的证券i,X i>=0那么证券组合的预期回报为:为证券组合i th的折现回报。
所以相互独立，对于所有的证券i X i》=0R为X i非负权重条件下R i的加权平均。
总结：投资者应当多元化并最大化他们的预期回报。
投资者应当在最大化其投资收益的所与证券投资组合中进行多样化，统计学中的大数定律可以保证实际的投资组合收益将会和预期十分接近。
这是expected returns – variance of returns rule（期望回报-回报波动）原则的特殊运用，它假定存在一个风险投资组合可以最大化收益最小化波动，并且它推荐这个组合给投资者。
假如你的银行账户有一百万美金，你将如何处理它们呢？答案想必因人而异，然而有一点我们可以确信：几乎没人会把它们放在同一个地方。
即使人们不是有意想要投资赚钱，也一定记得那句众人皆知的俗语：不要把鸡蛋放在同一个篮子中。
这句话背后的含义是，如果所有鸡蛋都放在同一个篮子，那么当篮子掉下来的时候，所有鸡蛋都会摔碎；而当我们把鸡蛋放在不同篮子里的时候，即使有一两个篮子掉下来，也可以保全有些鸡蛋不会被摔碎。
这原本是生活常识，但由此衍生出的“多样化”理念，已经成了当今所有投资者的信条。
不妨让我们追问一句：投资者为何需要多样化？“降低风险！”人们若懂得鸡蛋和篮子的故事，相信都会如此回答。
但如果有人继续追问：这些风险从何而来？他可能已经迈出了通向诺贝尔奖的第一步。
是的，马克维茨（Harry M. Markowitz, 1927-）投资组合理论（portfolio theory）的开端，就是由对这个问题的深入思考发展而来。
他的投资组合理论，后来成为了现代投资组合理论（modern portfolio theory）和金融经济学（financial economics）的基石。
回到我们的问题：风险从何而来？事实上，答案很简单：从未来。
比如我们的鸡蛋：如果人们百分之百确定篮子不会掉落，不会被偷，也不会以任何形式被毁掉，人们完全可以把所有鸡蛋放在同一个篮子里，因为人们相信鸡蛋是安全的。
然而这情形就像梵高（Vincent van Gogh）那插在花瓶里的向日葵一样：花不会掉，因为它已经被定格在画上了。
而在现实生活中，时间永远在流动，未来是不确定的。
今天买一只股票，没有人可以肯定明天是涨是跌。
因此，我们所说的“风险”，背后隐藏着投资的“不确定性”。
说到这里，读者或许会有些迷惑：“不确定”与投资组合有何关系？这就要让我们回到60多年前的某个午后。
1950年，马克维茨还是芝加哥大学（University of Chicago）经济学博士的候选人。
完全没有投资经验的他，当时正在读一本名为《价值投资理论》（The Theory of Investment Value）的书。
这本书是提出用“贴现现金流”(Discoun ted Cash Flow, DCF)来评估投资价值的开山之作。
其中提到，“一只股票的价值等于未来股息折现的价值”，用数学语言，可以写成：（这个公式适用于股票。
对于债券，需要在最后加上本金的折现。
）值得一提的是，《投资价值理论》的作者威廉姆斯（John Burr Williams, 1900 – 1989）是提出股价由内在价值（intrinsic value）决定的首批经济学家之一。
而他被认为是基本面分析的开山鼻祖。
投资大师巴菲特（Warren Buffett）十分重视内在价值投资，他曾引用威廉姆斯（1938）关于价值的定义：如今任何股票，债券或生意的价值，都是由该资产剩余时间中所经历的，通过适当利率折现的现金流入和流出而决定。
简而言之，威廉姆斯将一只股票的投资价值（内在价值）看做未来股息的现价。
这便是上面的数学公式所表达的含义，也是马克维茨在1950年那个午后所读到的内容。
就在此时，激动人心的一刻来临了。
马克维茨很快意识到这理论的缺陷——未来的现金流是不确定的，它们是有关联的随机变量（Varian, 1993）。
威廉姆斯相信通过足够的多样化投资，所有的风险都可以被分散（达到零风险），如此一来，等于说未来的不确定性被消除了——这显然与常理不符。
马克维茨发现威廉姆斯得到这个结论是利用统计学上的“大数法则”，需要假设不同资产之间的风险没有关联。
于是他意识到，问题或许出在不同投资风险的关联性上。
为了更加科学地衡量风险，马克维茨使用了数理统计中的方差（）作为衡量风险（分散度）的标准。
以投资者的角度出发，马克维茨认为投资者希望最大化投资组合的期望回报（expected portfolio return, ），同时最小化投资组合的变动（portfolio variance of return, ）。
换言之，投资者希望得到最多回报，同时最小化损失的可能性。
用方差来计算投资组合风险（risk of the portfolio,）可以说是马克维茨论文中最重要的部份。
由此得出的结果显示，对于投资者而言，重要的不是证券单独的风险，而是它对于整个投资组合风险的影响——或者说是它和投资组合中所有其他证券的关联性（Rubinstein, 2002）。
下面的公式表达了投资组合的方差（）与组成它的证券的方差（，j= 1, 2, …, m）的关系：其中(j= 1, 2, …, m) 指投资组合比例（证券j 上的投资占总投资的比例，因此), 是证券j 和k 的相关系数。
相关系数可以看做衡量两个随机变量上下波动的紧密程度。
在马克维茨1952年的《投资组合理论》中，原始方程给出的是：其中代表协方差（covariance），等于，该公式虽用不同符号，但表达含义和上述公式（Rubinstein，2002）相同。
在金融经济学领域的论文中，马克维茨的这篇《投资组合理论》似乎是第一次提到了上面的公式（Rubinstein, 2002）。
而这篇论文也是第一次用数学将投资多样化的优势表现出来：通过多样化，可以在保持投资组合的期望回报不变的情况下降低风险；同时，由于协方差的存在，多样化只能降低风险到一定程度而无法消除风险。
马克维茨后来在1959年出版的书，《投资组合选择：投资的有效多样化》中提到多样化投资的有效性。
他假设了一个投资组合，其中的证券完全一样，并且证券之间的协方差也一样。
如此得到的结论是：在多样化足够情况下，投资组合方差接近相关系数与证券方差的乘积。
举例来说，当相关系数为0.25时，= 0.5。
这意味着当在无限相同的证券之间投资时，投资组合的标准偏差是单个证券的一半，换言之，在期望回报相同的情况下，风险减少了一半。
不过同时，它也说明虽然多样化可以减少风险，但降低风险的能力是有限的（无法消除风险）。
因此对于投资者来说，要减少风险，仅仅把目光放在投资很多证券是不够的，更重要的是避免投资在互相关联性很大的产品上。
在现实中，投资者应该分散投资在不同产业，因为不同产业具有不同经济特点，之间关联性要比同一产业的不同公司小很多。
如今，“在投资组合增加不相关资产”这一理念已被广泛应用。
比如最近一家投资公司的白皮书（Merk Investment, 2013）强调了货币资产在投资组合的重要性。
而当谈及货币资产的吸引力时，寻找不相关资产的想法几乎随处可见：投资者为避免负面风险，正积极寻找与他们投资组合不相关的资产……货币资产一直以来与诸如股票，固定收入证券等传统资产的相关性很低。
它独特的市场结构为盈利提供了潜在机会。
因此，增加货币资产可能会提高现有投资组合的回报-风险指标。
然而这对投资者并不够——他们想知道具体应该如何分配资产。
这事实上是马克维茨论文最终的目标。
然而马克维茨发现，数学并不能选择出唯一最好的投资组合，而只能选出一组有效投资组合（efficient portfolios）。
有效投资组合对于每个给定的期望回报，可以达到最低的风险。
换言之，为了得到更高回报，投资者必须承担更多风险。
具体的资产分配则根据投资者个人对于风险的态度而决定。
越厌恶风险（risk-averse）的人，愿意承担的风险越小，所能得到的期望回报也就越小。
为了用图像表达不同投资组合的期望回报与风险的关系，马克维茨创造了有效集合（efficient sets），后来成为了著名的有效前沿（efficient frontier）。
这幅取自马克维茨论文的原图描述了在有三个证券的情况下，期望回报与回报波动的取舍关系。
有效组合是一个类似“倒对勾”的折线。
这种根据“期望回报–回报波动”原则（expected returns – variance of returns rule）的分析方法后来发展为“均值–方差分析”（mean – variance analysis）。
而有效前沿（efficient frontier）后发展为下图：有效前沿的横轴代表波动性（通常用标准偏差衡量），纵轴代表期望回报，以此表现了不同投资组合间回报与风险的取舍。
在现实生活中，前述的白皮书（Merk Investments, 2013）同样提到了有效前沿。
该研究以过去20年证券的年回报率（用标普500指数代表）和货币的年回报率（用德银货币回报指数，DBCR Index代表）构建了不同比例的投资组合。