《垂直关系的性质》公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】
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北师大版高中数学必修2课件1.6垂直关系的性质课件(数学北师大必修二)
二、知识应用：
题型二 线面、面面垂直性质定理的应用
例 2. P 是 ABC 所在平面外的一点，且 PA 平面 ABC ，平面 PAC 平面 PBC ．
求证： BC AC ．
证明：过 A 作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵面 PAC⊥面 PBC,PC 是面 PAC 和面 PBC 的交线, ∴AD⊥面 PBC,∴AD⊥BC.∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD⊥BC,PA⊥BC,而 PA∩AD＝A,∴BC⊥面 PAB, ∴BC⊥AC.
一、新课讲授：
2.平面与平面垂直的性质
⑴平面与平面垂直性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
图形语言：
符号语言： , m,l ,l m l
一、新课讲授：
⑵ 平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于
第六节·平行关系
6.2垂直关系的性质
一、新课讲授：
1.直线与平面垂直的性质 ⑴ 线面垂直的基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面 内的所有直线. 图形语言：
符号语言： l , m l m
一、新课讲授：
. ⑵ 线面垂直性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言：
第二个平面的直线，在第一个平面内．
3.垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对
应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
二、知识应用： 题型一 概念问题
例 1.下列命题中错那么平面 内的所有直线都垂直于平面 . B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在一条直线平行于平面 . C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ， l ，那么 l .
北师大版必修2高中数学1.6.2《垂直关系的性质》ppt配套课件
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？ 【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？ 【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
●教学建议 本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关 系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理 的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以 推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推 出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的 联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴n α，又∵m⊥α，n⊥
m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四
个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
(12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD ⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2， BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC； (2)证明：SE＝2EB. 【思路点拨】 由平面 EDC⊥平面SBC可考虑 作或找这两个平面交线的垂线．
高三数学北师大版垂直关系的性质PPT教学课件
个平面，那么这两条直线平行． • (2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b. • (3)图形表示：
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
高中数学 1.6.1 垂直关系的判定课件 北师大版必修2
求证：(1)直线 PA∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC. [思路分析] (1)由三角形的中位线定理易证 PA∥DE. (2)易证 DE⊥AC 及 DE⊥EF，故 DE⊥平面 ABC.
第二十六页，共40页。
[规范解答] (1)由于 D，E 分别是 PC，AC 的中点，则有 PA∥DE，
所有与l′平行的直线与l都垂直．
第十二页，共40页。
• 2．下列结论(jiélùn)正确的是( )
• A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则 a⊥M
• B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直， 则a⊥M
• C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂 直，则a⊥M
• D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边 垂直，则a⊥M
第二十三页，共40页。
• [规律总结] 1.利用直线和平面(píngmiàn)垂 直的判定定理证明直线与平面(píngmiàn)垂 直的步骤：
• (1)在这个平面(píngmiàn)内找两条直线，证 明它和这两条直线垂直；
• (2)说明这个平面(píngmiàn)内的两直线是相 交的直线；
• (3)根据判定定理得出结论．
• (2)二面角的定义：从一条二直面线角出的棱发的 _______二_面__角_的_面______图形，叫作二面角， 这条直线叫作________________，这两个 半平面叫作________________．
• α(—3A)B二—β面角的记法： 2∠α—AB—β
• 以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角， 记作二面角______________，也可记作
第三十三页，共40页。
• (2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC 为二面角A－BD－C的平面角．
第二十六页，共40页。
[规范解答] (1)由于 D，E 分别是 PC，AC 的中点，则有 PA∥DE，
所有与l′平行的直线与l都垂直．
第十二页，共40页。
• 2．下列结论(jiélùn)正确的是( )
• A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则 a⊥M
• B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直， 则a⊥M
• C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂 直，则a⊥M
• D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边 垂直，则a⊥M
第二十三页，共40页。
• [规律总结] 1.利用直线和平面(píngmiàn)垂 直的判定定理证明直线与平面(píngmiàn)垂 直的步骤：
• (1)在这个平面(píngmiàn)内找两条直线，证 明它和这两条直线垂直；
• (2)说明这个平面(píngmiàn)内的两直线是相 交的直线；
• (3)根据判定定理得出结论．
• (2)二面角的定义：从一条二直面线角出的棱发的 _______二_面__角_的_面______图形，叫作二面角， 这条直线叫作________________，这两个 半平面叫作________________．
• α(—3A)B二—β面角的记法： 2∠α—AB—β
• 以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角， 记作二面角______________，也可记作
第三十三页，共40页。
• (2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC 为二面角A－BD－C的平面角．
北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
北师大版高中数学必修二6.1垂直关系的判定课件(共20张PPT)
与影子所在直线的位置关系是什么？
随着时间的推移呢？
B1
A
B C1
、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 （2）BC 平面PAC l 与平面 互相垂直，记作 l
例题:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是
如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
问题2： （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC，旗杆所在直线 与影子所在直线的位置关系是什么？ 随着时间的推移呢？
A B
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
问问题题3：2： 旗（杆1A）B与在地阳面光上下任观意察一直条立不于过地旗面杆旗底杆AB 部及B的它直在线地B面1C的1的影位子置BC又，是旗什杆么所？在直线
（2）BC 平面PAC
解 ： （ 1）
A
O
B
AB ,AC , 且 AB AC A
(2)C为圆O上一点C， AB为圆直径
P A A C , P A A B BC AC
PA 又 BC PA BC
由1得BCPA,又PAAC A
BC面PAC
知识小结
1.直线与平面垂直的概念
问题1：请同学们观察图片,说出双子塔与水面、葡萄架柱与地面是什么位置关系？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的定义 （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
地面是什么位置关系？ （1）在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢
随着时间的推移呢？
B1
A
B C1
、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 （2）BC 平面PAC l 与平面 互相垂直，记作 l
例题:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是
如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
问题2： （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC，旗杆所在直线 与影子所在直线的位置关系是什么？ 随着时间的推移呢？
A B
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
问问题题3：2： 旗（杆1A）B与在地阳面光上下任观意察一直条立不于过地旗面杆旗底杆AB 部及B的它直在线地B面1C的1的影位子置BC又，是旗什杆么所？在直线
（2）BC 平面PAC
解 ： （ 1）
A
O
B
AB ,AC , 且 AB AC A
(2)C为圆O上一点C， AB为圆直径
P A A C , P A A B BC AC
PA 又 BC PA BC
由1得BCPA,又PAAC A
BC面PAC
知识小结
1.直线与平面垂直的概念
问题1：请同学们观察图片,说出双子塔与水面、葡萄架柱与地面是什么位置关系？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的定义 （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
地面是什么位置关系？ （1）在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢
高中数学北师大版必修2《第1章66.2垂直关系的性质》课件
5
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线 与另一个平面 垂直 ． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m⇒ l⊥α . (3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面 垂直．
6
思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？ 提示：平行、相交、异面． 思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？ 提示：不是．
36
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
()
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条
直线互相垂直．
()
(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ. ( )
[解析] (3)×，α∥γ或α∩γ＝l.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结
10
D [a与β三种位置关系都有可能．] 11
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置
关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
12
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正 确．]
13
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()
28
提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC. ∵DC 平面SDC，∴BK⊥DC， 又AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面SBC，又SB 平面SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线 与另一个平面 垂直 ． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m⇒ l⊥α . (3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面 垂直．
6
思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？ 提示：平行、相交、异面． 思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？ 提示：不是．
36
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
()
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条
直线互相垂直．
()
(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ. ( )
[解析] (3)×，α∥γ或α∩γ＝l.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结
10
D [a与β三种位置关系都有可能．] 11
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置
关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
12
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正 确．]
13
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()
28
提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC. ∵DC 平面SDC，∴BK⊥DC， 又AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面SBC，又SB 平面SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
高中数学第一章立体几何初步162垂直关系的性质课件北师大版必修2
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得DE＝ 3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
类型三垂直关系的综合问题 [例3]
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60° 且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】 解答本题要先从菱形、正三角形中找到其中 所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结 论．
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两 直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c⇒a∥c. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得DE＝ 3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
类型三垂直关系的综合问题 [例3]
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60° 且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】 解答本题要先从菱形、正三角形中找到其中 所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结 论．
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两 直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c⇒a∥c. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
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新课学习
一、新课讲授：
2.平面与平面垂直的性质
⑴平面与平面垂直性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
图形语言：
符号语言： , m,l ,l m l
新课学习
一、新课讲授：
⑵ 平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于
再见
符号语言： l , m l // m .
新课学习
一、新课讲授：
⑶ 直线与平面垂直的其他性质 ①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
②若 l 于 A ， AP l ，则 AP ．
③垂直于同一条直线的两个平面平行． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·第六节
垂直关系的性质
新课学习
一、新课讲授：
1.直线与平面垂直的性质 ⑴ 线面垂直的基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面 内的所有直线. 图形语言：
符号语言： l , m l m
新课学习
一、新课讲授：
. ⑵ 线面垂直性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言：
第二个平面的直线，在第一个平面内．
3.垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对
应的定义、判定定理和性质定理题型一 概念问题
例 1.下列命题中错误的是（ A ）
A.如果平面 平面 ，那么平面 内的所有直线都垂直于平面 . B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在一条直线平行于平面 . C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 . D.如果平面 平面 ，平面 平面 ， l ，那么 l .
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二、知识应用： 题型二 线面、面面垂直性质定理的应用
例 2. P 是 ABC 所在平面外的一点，且 PA 平面 ABC ，平面 PAC 平面 PBC ． 求证： BC AC ．
证明：过 A 作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵面 PAC⊥面 PBC,PC 是面 PAC 和面 PBC 的交线, ∴AD⊥面 PBC,∴AD⊥BC.∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD⊥BC,PA⊥BC,而 PA∩AD＝A,∴BC⊥面 PAB, ∴BC⊥AC.