导数与复数测试试题
复数和导数基出测试(15个小题)含答案详解
【解析】
【分析】
先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，
即 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的运算，重点考查了导数的几何意义，属基础题.
9．A
【解析】
【分析】
先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.
3．B
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算法则化简复数 ,根据共轭复数的定义即可求解 .
【详解】
因为复数 ,
由复数的乘法运算法则可得, ,
利用共轭复数的定义可得, = ,
故选:B
【点睛】
本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
因为 ，故 ，然后根据复数的几何意义判断即可.
C． D．
8．曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
9．曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角面积为（ ）
A．6B． C．3D．12
10．函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为
A．（-1，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[-1，0）
11．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（）
6．C
【解析】
【分析】
求出导函数 ，即可求解 .
【详解】
由题：函数 ,
所以
则 .
故选：C
【点睛】
此题考查求导函数，再求导数值，关键在于根据题意准确求出导函数.
7．C
【解析】
【分析】
导数复数试卷
导数与复数章节测试时间：120分钟. 总分：150分 姓名一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．－6D ．6 2．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23） D ．（49,23-） 3．已知)32(33i z i -=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．函数0)(x x x f =在处连续是0)(x x x f =在处可导的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件5．若（m +i ）3为实数，则正实数m 的值为（ ）A ．1+23B ．33 C ．3D ．23 6．已知两函数4334,y x a y x =+=，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或17．设复数,|sin ||cos |i z θθ+=，则函数z z f ⋅=)(θ的性质适合 （ ） A ．最小正周期为1,2π值域为]2,1[B ．最小正周期为π，值域为]2,1[C ．最小正周期为1,2π值域为2,0[]D ．最小正周期为π，值域为]2,0[8．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 （ ）A ．1秒末B ．2秒末C ．2，4秒末D ．1，2，4秒末 9．复数111.i z i-+=-+在复平面内，z 所对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a 1,0]B ．]21,0[aC ．|]2|,0[a bD ．|]21|,0[ab - 11．若二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[－1，1]内至少存在一点C （c ，0），使0)(>c f ，则实数p 的取值范围是 （ ）A ．233<<-pB ．3-≤pC 121<<-p ．D ．213-<<-p 或231<<p12．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．21<<-a B ．63<<-a C ．21>-<a a 或 D ．63>-<a a 或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．已知复数00032,3,z i z z z z z =++=+复数满足z =则复数 .14．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 . 15．函数y =x 2cos x 的导数为16．已知函数⎩⎨⎧≥+<+=)0(2sin )0(1)(x xb x e x f ax 在R 上可导（提示：可导必连续），则a = ，b= .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分13分） 已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本小题满分13分）设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求常数a 、b 的值.19．（本小题满分14分）已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求a 、b 、c 的值.20．（本小题满分14分）圆柱形金属饮料罐的容积一定时（设为V ），它的高与底半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？21．（本小题满分16分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.高三数学同步测试⑶参考答案13．i 231-； 14．6363； 15．2x cos x －x 2sin x ； 16．a =2，b=2.三、解答题 17．解：.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. …………12分18．解：)(333)(2a x x ax x x f -=-='(0)与f (1)的大小. …………6分∵0123)1()0(>-=--a f f ，∴f (x )的最大值为f (0)=b=1，0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f ， ∴f (x )的最小值为f (－1).即2623123-=-=+--a b a ，∴36=a ，b=1. …………12分19．解：C 1为椭圆：.023:;2,;123322222=-+=+=+y x C y x C y x 为直线为圆设)sin 2,cos 3(),sin 2,cos 3(ββααB A 把A 、B 两点的坐标代入直线C 3的方程中，得 02sin 23cos 3=-⋅+αα① .02s i n 23c o s 3=-⋅+ββ② …………6分①—②得02sin 2cos 262sin 2sin 320)sin (sin 23)cos (cos 3=-++-+-=-+-βαβαβαβαβαβα即…………9分221tan 1652tancos().21671tan 2αβαβαβαβ+-+-∴+===-+++故有 …………12分 20．解：由曲线)(x f y =过（1，0）得01=+++c b a ①又ax x x f 23)(2+='+b 则0412)2(=+-=-'b a f ②323)1(-=++='b a f ③ ……9分.解①②③得6,8,1=-==c b a . ……12分.21．解：（1）b ax x x f ++='23)(2，由于)(x f 有极大值和极小值，α∴、0232=++b ax x 为β的两根，则=+++++++=+∴=-=+)()()()(,3,322323c b a c b a f f ba βββαααβααββα+-+++-+=++++++]2)[()](3)[(2)()()(232233αββαβααββαβαβαβαa c b ac ab a c a b b a a a b a c b 2322742)32()]3(2)32[()]32(33)32[(2)(323+-=+-+⋅--+-⋅⋅--=++βα…7分 （2）设=++⋅++⋅++=+c b a f f B f A 2)2()2()2(),(,()),(,(33βαβαβαβαββαα由)]()([2131272)3()3()3(323βαf f c ab a c a b a a a +=+-=+-⋅+-⋅+- 知AB 的中点在)(x f y =上 …………12分22．解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.71==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -='因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a①②又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a。
专题03 导数与复数(原卷版)2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析
10．（2020
届浙江省嘉兴市
3
月模拟）已知函数
f
x
ln
x
4
，
x 1
g x 2ab ex1 b x 1 ln x 2a 2b 2 ，其中 a R ，且 a 0 ．
（1）求 f x 在 x 0,1 上的最大值；
（2）若 g x 0 对任意的 b a, 及 x 0,1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
x=
x e x 1
a
的两个零点记为
x1, x2
.
（1）求 a 的取值范围；
（2）证明： x1 x2 2 1 a .
2
3.（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数 f (x) x2 bx b ex (b R) .
（Ⅰ）若 b 1，求曲线 y f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；
7．（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数 a 0 ，设函数 f x eax ；
（2）当 a 1 时，若对任意的 x 1, ，均有 f x a x2 1 ，求 a 的取值范围．
2
2
注： e 2.71828为自然对数的底数．
（Ⅱ）若 b 0 ，求证： f (x) x2 x3 ；
（Ⅲ）当 x 0 时，若关于 x 的不等式 f (x) k 的解集为 x1, x2 ，且 x1 x2 ， x1, x2 (, 2] ，求 k 的
取值范围（用 b 表示）.
4．（2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知函数 f (x) x 1 sin x m ln x 1， f (x) 是 f (x) 的导
（i 是虚数单位）则
______，ab=________。
三、解答题
复数及导数部分 练习题
2014-3-17高二十一班数学作业 咸焕1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．复数集C 和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________.2．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝________________________(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________________.习题练习1，i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i2， 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i3， 复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i4， 已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，则复数i ＋z 2z 1的虚部为______． 5， 设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD ．2－2i6， 若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A.2b =，3c =B.2b =-，3c =C.2b =-，1c =-D.2b =1c =-（一），导数的基本公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x =（2）()n f x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =-（5）()x f x e =，'()x f x e = （ 6）()x f x a =，'()ln x f x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x =（8）()log a f x x =，1'()log a f x e x= （二）设()f x ，()g x 均可导（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±（2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+ （3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f x g x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） （三）习题 1. 过(1,0)点，曲线3y x =的切线方程为 。
高三级数学选修导数与复数测试题
高三级数学选修导数与复数测试题时间：120分钟 满分：150分 姓名一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．函数y = (1－sinx)2的导数是（ ）A.y=2sin2x-cosxB. y=sin2x+2cosxC.y=2sin2x-2cosx D .y=sin2x-2cosx2．设20)2(,)2()(2='+=f a x x f ，则a 等于（ ）A .-1 B. 1 C . 0 D. 任意实数 3） A ．i B ．i - Ci Di4．函数()x f =2008x ，则12007'12008f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ） A . 0 B . 1 C.2006 D. 2007 5.（2008重庆卷4)已知函数y=M ,最小值为m ,则mM的值为 ( )A ．14 B.12C.26．曲线x x y 2212-=在点(1 ，23-)处切线的倾斜角为（ ）A.1-B.︒45C. ︒-45D.︒1357．2()f x ax bx c =++的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()y f x '=的图象大概是（ ）8上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+∞） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－∞，－1）∪（1，+∞） D ．（－∞，－1）∪（0，1） 9．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ）A.f （0）＋f （2）<2f （1）B. f （0）＋f （2）≤2f （1）C. f （0）＋f （2）≥2f （1）D. f （0）＋f （2）>2f （1） 10．函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是（ ）A ．]1,0(B ．),1[∞+C ．]1,(--∞及]1,0(D ．]1,0()0,1[及-11．已知11mni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则（ ） A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2B C D12．已知f ＇（0）=2，则lim 0h →hh ）f （h ）3f （--=（ ）A ．4B ．－8C ．0D ．8二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分13．已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()'2F =14．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时tan x =15．设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则x +y =_________ 16．（2008江苏卷14）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a =三、解答题：本大题共6小题，共74分17．（12）已知()()2cos ln f x x =，求()'1f 的值。
精选高中数学复数多选题专项训练专题复习含答案(5)
一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：ADA 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.13．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数 答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
导数及推理证明复数
同心中学高二数学期末联考试题一(理)一、选择题： 1、设a 是实数，且11aiR i+∈+，则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-2．i 为虚数单位，复数1+i i在复平面内对应的点到原点的距离为（ ） A ．21 B.22 C. 1D. 23．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25B ．5C ．215D ．104．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ． 3C ．5D ．7 5．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D <a b < 6． 条件甲：“00>>b a 且”,条件乙：“方程122=-by a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ． 12- 8.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数 （ ） A ．24 B ．4 C ．34 D ．43 9. 下列说法：（1）命题“R x ∈∃，使得32>x ”的否定是“R x ∈∀，使得32≤x ”（2）命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00='x f ”的否命题是真命题 （3）()x f 是（∞-，0）∪（0，∞+）上的奇函数，0>x 时的解析式是()xx f 2=，则0<x的解析式为()x x f --=2其中正确的说法的个数是（ ）A ．0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．111．设)(3cos )(R x x x f ∈=，则曲线()y f x =在4π=x 处的切线的斜率为A.B. 223-D.223 12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A二、填空题：13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .15、复数z=3412ii++，则z = ； 16．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a _________ 。
复变函数的可导与解析练习题.ppt
（3） f (z) x 2 iy
解 u( x, y) x 2 , v( x, y) y，而
ux 2x, uy 0, v x 0, v y 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续， 但仅在直线x 1 上满足C R条件
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复 数 集 ：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复 数 集C中 的 四 则 运 算 满 足 ： 加法 与 乘 法 的 交 换 律 ， 分 配 律 ， 且 复数 集 中 有 零 元(0)， 单 位 元(1)及 逆 元(z 1 ),于 是 复 数 集C构 成 一 个 数 域 复 数 域C
v v x x v y y o( (x)2 (y)2 ) w u iv
z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
课件
C
R条件
u
x
x
v
x
y
i（v
x
x
u
x
y)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
x y x y
x y x y
处处不可导。
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？
例 3 证明 ：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R
条件，但不可导。
证 ：f (z) Re z Im z xy ,
u( x, y) xy , v( x, y) 0
课件
f z f 0
lim
不存在
z 0
z
f (z) 在 z 0 不可课件导。
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则不等式 ex f x 2ex 2018 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． 0,
B．2018,
C． 2020,
D．,0 2018,
二、填空题（共 4 题，每小题 5 分）
13、复数
＝．
14、对任意的 x R ，函数 f x x3 ax2 7ax 不存在极值点的充要条件是
B．(－1,2) D．(1,4)
11、已知直线 y a x 1 与曲线 f x ex b 相切，则 ab 的最小值为（ ）
A． 1
4e
B． 1
2e
C． 1
e
D． 2
e
12、设定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f ' x ，若 f x f ' x 2 ， f 0 2020 ，
导数与复数测试试题
冀慎珍 2020.2
（满分 150 分 时间 120 分钟）
一、选择题（共 12 题，每小题 5 分）
1、i2020＝（ ）
A．1
B．﹣1
C．i
2、已知函数 f（x）＝xsinx+cosx，则
D．﹣i 的值为（ ）
A．
B．0
C．﹣1 D．1
3、已知复数 z 满足 z•|3﹣4i|＝2+5i（i 为虚数单位），则在复平面内复数 z 对应的
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知 a 为实数，若复数 z＝（a2﹣9）+（a+3）i 为纯虚数，则复数 z 的虚部为
（）
A．3
B．6i
C．±3
D．6
5、函数 y＝f（x）在 P（1，f（1））处的切线如图所示，则 f（1）+f′（1）＝（ ）
A．0
B．
C．
D．﹣
6、函数 f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
__________. a
15、已知函数 f(x)＝2ln x＋ (a>0)．若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2 恒成立， x2
则实数 a 的取值范围是________
16、已知函数 t
t− t
．若存在
，使得 t ꀀ t ሻ ，
则实数 的取值范围是____．
三、解答题（17 题 10 分，其它每小题 12 分）
A．0
B．
C．
D．
7、若函数 y＝f(x)在 R 上可导，且满足不等式 xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数 a， b 满足 a<b，则下列不等式一定成立的是( )
A．af(b)>bf(a) C．af D．af(b)<bf(a)
8、函数 的定义域为 ，其导函数 在 的图象如图所示，则函数
20、设函数 f (x) [ax2 (3a 1)x 3a 2]e x . （1）若曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a； （2）若 f (x) 在 x 1处取得极小值，求 a 的取值范围.
21、已知函数 t
t− − .
（1）若
t在
处取得极小值，求 的值；
（2）若 t
在 ꀀ 上恒成立，求 的取值范围；
22、已知函数 f（x）＝ln（ax+1）+ ，x≥0，其中 a＞0． （1）若 f（x）在 x＝1 处取得极值，求 a 的值； （2）求 f（x）的单调区间； （3）若 f（x）的最小值为 1，求 a 的取值范围．
17、利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式:
（1）
，
；
（2） ሻ ꀀ ， .
18、已知函数 f(x)=ex-ax2, 曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y=bx+1.
（1）求 a,b 的值；
（2）求 f x 在0,1上的最大值.
19、已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．
在 内的极小值点共有( )个
A．
B．
C．
D．
1
9、若函数 f(x)＝
的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( )
ex－x＋m
A．m＞－1 B．m≥－1
C．m＜－1 D．m≤－1
10、函数 f(x)＝－x3＋3x 在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(－1， 11) C．(－1,2]