函数与导数练习题(有答案)

函数与导数练习题（高二理科）1．下列各组函数是同一函数的是 （ ）①()f x =()g x =()f x x =与()g x =； ③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数24++=x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = .4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A ．12log (1)y x =+ B．2log y =C ．21log y x = D．2log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1)(xx f =则当2-<x 时，=)(x f . 7．函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则a 的取值范围是 . 8．偶函数)(x f 在0-，（∞）上是减函数，若)(lg -1)(x f f <，则实数x 的取值范围是 ． 9．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y xa y x 则 （ ）A ．a 3B ．a 23 C ．a D ．2a 10．若定义运算ba ba b aa b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕的值域是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R 11．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）A ．21B ．2C ．4D ．41 12．已知幂函数)(x f y =的图象过点=)9(),2,2(f 则.13．已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，则21x x +值为 .14．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为 .15．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 16．若2)5(12-=-x f x ，则=)125(f .17．根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是（ ）x －1 0 1 2 3 x e0.3712.727.39 20.09 2+x1 2 345A ．18．若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 . 19．关于x 的方程0|34|2=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 . 20．关于x 的方程ax lg 11)21(-=有正根，则实数a 的取值范围是 .21．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A B C D22．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是 ．23．曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 24．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数=b ． 25．已知函数()24(0)2(0)12(0)x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩，（1）画出函数()f x 图像；（2）求()()()21(),3f a a R f f +∈的值； （3）当43x -≤<时，求()f x 取值的集合.26．已知函数.93)(23a x x x x f +++-=（1）求)(x f 的单调减区间；（2）若)(x f 在区间[－2，2]．上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．27．已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R上有三个零点，且1是其中一个零点． （1）求b 的值； （2）求()2f 的取值范围；（3）试探究直线1y x =-与函数()y f x =的图像交点个数的情况，并说明理由．28．已知函数()212xx f x e ax =---，（其中a R ∈． 2.71828e =L 无理数） （1）若12a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的最大值．29．设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线)(x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行．（1）求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； （2）证明：当]2,0[πθ∈时，2)(sin )(cos <-θθf f ．30．已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n Λ（n *N ∈）．《函数与导数练习题》参考答案1．C ； 2．4{-≥x x 且}2-≠x ； 3．312-x 或12+-x ； 4．A ； 5． D ；6．21+-x ； 7．21>a ； 8．),10()101,0(+∞⋃； 9．a 3； 10．A ； 11．B ； 12．3； 13．3； 14．]0,2(-； 15．2； 16．0； 17．C ； 18．21-和0； 19．1； 20．)10,101(；21．D ； 22．332； 23．38；24．12ln -；25．（1）如右图所示。

（2）32)1(4)1(24222+--=+-=+a a a a f ，11)5())3((=-=f f f 。

（3）{}|59y y -<≤。

26．27．（1）∵()32f x x ax bx c =-+++，∴()232f x x ax b '=-++． ∵()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，∴当0x =时，()f x 取到极小值，即()00f '=． ∴0b =． （2）由（1）知，()32f x x ax c =-++， ∵1是函数()f x 的一个零点，即()10f =，∴1c a =-．∵()2320f x x ax '=-+=的两个根分别为10x =，223ax =． ∵()f x 在()0,1上是增函数， 且函数()f x 在R 上有三个零点，∴2213a x =>，即32a >．∴()()52841372f a a a =-++-=->-．故()2f 的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （3）由（2）知()321f x x ax a =-++-，且32a >． 要讨论直线1y x =-与函数()y f x =图像的 交点个数情况，即求方程组321,1y x y x ax a=-⎧⎨=-++-⎩解的个数情况．由3211x ax a x -++-=-， 得()()()321110x a x x ---+-=．即()()()()()2111110x x x a x x x -++--++-=．即()()()21120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦．∴1x =或()()2120x a x a +-+-=． 由方程()()2120x a x a +-+-=， （*） 得()()2214227a a a a ∆=---=+-． ∵32a >，若0∆<，即2270a a +-<，解得312a <<．此时方程（*）无实数解． 若0∆=，即2270a a +-=，解得1a =．此时方程（*）有一个实数解1x =． 若0∆>，即2270a a +->，解得1a >．此时方程（*）有两个实数解，分别112a x --=，212a x -=．且当2a =时，10x =，21x =．综上所述，当312a <<时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有一个交点．当1a =或2a =时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有二个交点．当1a >且2a ≠时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有三个交点．28．（1）当12a =-时，()()2111,222xx x f x e x f x e x '=-+-=-+，从而得()()111,12f e f e '=-=-， 故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11()(1)2y e e x -+=--， 即11022e x y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. （2）由()0f x ≥，得22111121,,22x x e x ax e x x a x--≤--≥∴≤Q ，令()2112,x e x g x x --=则()()221112,x e x x g x x--+'= 再令21()(1)1,2x x e x x ϕ=--+则 ()()1(1),,02x x x e x x ϕϕ''=-≥∴>Q ，即()x ϕ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.所以()xϕ17028ϕ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，因此()()100,2x g x x ϕ⎛⎫⎡⎫'>⇒>∈+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增. 则()()12min111981242e g x g x g --⎛⎫≥===⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此 max a=94.30．（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ．Θ当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减．)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．Θ当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ． （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h Θ，)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ； ③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ．（3）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令k k x 1+=， 则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ．∑=+=+nk k k n 11ln )1ln(Θ， 1215131)1ln(++++>+∴n n Λ．。