函数与导数测试题
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案] D[解析]y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，y|x＝1＝4.2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析]∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－11＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，y＝6x5＋12x2.6．(2019江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0[答案] B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a ＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()A．0 B．－1C．－60 D．60[答案] D[解析]∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．22cos2x－B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4[答案] A[解析]y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.9．(2019高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.12[答案] A[解析]由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15 B．0C.15 D．5[答案] B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.[答案]2sinx＋4，1＋sin2x[解析]f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.[f(x)]＝1＋sin2x.12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.[答案] 6[解析]f(x)＝－3sin(3x＋)，f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)＝2sin3x＋＋56.若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．又∵(0，)，6.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x1＋x2的导数为________．[答案](1＋2x2)1＋x21＋x2[解析]y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.[解析](1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosxsin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.[解析](1)y＝[cos2(x2－x)]＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x ＋1)2＝2log2ex2－1.17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．[解析]∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.要练说，得练看。
高三测试-函数及导数测试题无答案-2013-8-1
x 12．(12 分)已知函数 f(x)＝(x－k) e k
2
(1)求 f(x)的单调区间； 1 (2)若对于任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)≤ ，求 k 的取值范围． e 解：
5 5．设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x(1－x)，则 f －2＝( 1 A．－ 2 1 B．－ 4 1 C. 4 1 D. 2 )
1＋sinx1 1＋sinx2 π 6．对任意 x1，x2∈(0， )，x2>x1，y1＝ ，y2＝ ，则( 2 x1 x2 A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2
D．y1，y2 的大小关系不能确定
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在题中横线上． －x ＋2x x>0， x＝0， 7． 已知函数 f(x)＝0 2 x ＋mx x<0 则 a 的取值范围是________． 8． 设 g(x)是定义在 R 上， 以 1 为周期的函数， 若函数 f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]， 则 f(x)在区间[－10,10]上的值域为________． 9．对方程 lg(x＋4)＝10x 根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有 两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是________． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(11 分)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数 f(x)的值域为[0,9]．过动点 P(t，f(t))作 x 轴的垂线，垂足为 A，连接 OP. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)记△OAP 的面积为 S，求 S 的最大值．
高三测试-函数及导数测试题含答案-2013-8-1
A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2 D．y1，y2 的大小关系不能确定 1＋sinx xcosx－sinx－1 解析：设 f(x)＝ ，则 f′(x)＝ x x2 cosxx－tanx－1 π π ＝ .当 x∈(0， )时，x－tanx<0，故 f′(x)<0，所以 f(x)在(0， )上是减函数，故 x2 2 2 由 x2>x1 得 y2<y1. 答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上． －x ＋2x x>0， x＝0， 7． 已知函数 f(x)＝0 2 x ＋mx x<0 则 a 的取值范围是________． 解析：当 x<0 时，－x>0，∵f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝ －x ＋2x x>0， 2 2 x＝0， －f(x)＝－x －2x，∴x<0 时，f(x)＝x ＋2x，∴m＝2，即 f(x)＝0 2 x ＋mx x<0
4．(2011· 全国)曲线 y＝e ( ) 1 A. 3 2 C. 3 解析：
－2x
＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为 1 B. 2 D．1
y′＝－2e
－2x
，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即 2x＋y－2＝0
y＝x 由 2x＋y－2＝0
x
3 a 当 a<0，b>0 时， 2 >－2b， a 则 x>log1.5 －2b；
x
3 a 当 a>0，b<0 时， 2 <－2b， a 则 x<log1.5 －2b. x 12．(2011· 北京)已知函数 f(x)＝(x－k) e k
函数与导数选择题题库 含答案
14、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）
(A)－1(B)0(C)1(D)2
15、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设函数f(x)＝ax2＋bx－c (a≠0)对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中最小的一个不可能是( )
A．a>1B．1<a<12C．1<a≤12D．1<a≤4
6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数 满足 ，且在[-1，0]上单调递增，设 ， ， ，则 大小关系是
A． B． C． D．
7、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数 值域为
A．（-∞，1）B．（ ，1）C．[ ，1）D．[ ，+∞）
A．11 B．6 C． D．
7、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作 = m.在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：
①函数y= 的定义域为R，值域为 ；
②函数y= 的图像关于直线 （ ）对称；
③函数y= 是周期函数，最小正周期为1；
A. B. C. D.
16、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如果函数 对任意的实数x，都有 ，那么（）
A． B．
C． D．
17、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)若函数 在R上既是奇函数，又是减函数，则 的图象是（ ）
18、(四川省成都市一诊)对任意的实数a、b，记 ．若 ，其中奇函数y=f(x)在x=l时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数 与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数 的说法中，正确的是
完整版)导数测试题(含答案)
完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。
3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。
4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。
6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。
8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。
9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。
10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。
11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。
13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。
14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。
15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。
16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。
17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。
18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。
函数导数的测试题
函数导数的测试题1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为2．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R)在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为3．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 4．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝e x ln x ＋x 3f ′(1)，则f ′(1)＝________.5．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．6．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 7．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为9.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．410.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．012．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________．13.．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值．(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．14．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋3.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．15．设函数)(ln)(Raxaxxf∈-=(1)当a=2,求f(x)的图象在x=1处的切线方程。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》基础测试题附答案
【高中数学】单元《函数与导数》知识点归纳一、选择题1．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.5．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f xf x f x ->-=-，∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
鄂州二中《函数与导数》测试题(一) (理科)
鄂州二中《函数与导数》测试题 (理科)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．已知a 是f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( B )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定2．已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( A)A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减3．实数a ＝b ＝log20.3，c ＝(2)0.3的大小关系正确的是( C )A ．a <c <bB ．a <b <cC ． b <a <cD ．b <c <a4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，且函数y ＝f (x －2)在[0,2]上是单调减函数，则(D) A ．f (－1)<f (2)<f (0) B ．f (－1)<f (0)<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f (0) D ． f (0)<f (－1)<f (2)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是(A ) A ．(－∞，－2]∪(1，2] B ．[－2，－1)∪[2，＋∞) C ．(1，2]D ．[2，＋∞)6．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，若设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010的值为( B ) A ．－log 20112010－2 B ．－1 C ．log 20112010－1 D ．17．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( D )A.329 B ．2－ln3 C ．4＋ln3D ．4－ln38．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为(B )A.13 B ．－13C.73D ．－13或539．已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－110．设定义域为R 的函数f(x)=若关于x 的方程2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则满足题意的a 的取值范围是(D )A.(0,1)B.(0,)∪(,1)C.(1,2)D.(1,)∪(,2)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是[1，32)．12．函数y ＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋1n的最小值为____4____．13．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是___(0，14]_____．14．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子：⎝⎛⎭⎫2tan 5π4⊗ln e ＋lg100⊗⎝⎛⎭⎫13－1的值是___4_____．15.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为__(1,1)______．(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝⎛⎭⎫12011＋g ⎝⎛⎭⎫22011＋g ⎝⎛⎭⎫32011＋g ⎝⎛⎭⎫42011＋…＋g ⎝⎛⎭⎫20102011＝__2010______.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分) 已知f (x )＝ln x ＋x 2－bx .(1)若函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(2)当b ＝－1时，设g (x )＝f (x )－2x 2，求证函数g (x )只有一个零点． [解析] (1)∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f ′(x )＝1x ＋2x －b ≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋2x min (x >0)，∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，∴b 的取值范围为(－∞，22]．(2)当b ＝－1时，g (x )＝f (x )－2x 2＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝1x－2x ＋1＝－2x 2－x －1x ＝－(x －1)(2x ＋1)x ，令g ′(x )＝0，即－(2x ＋1)(x －1)x ＝0，∵x >0，∴x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴当x ≠1时，g (x )<g (1)，即g (x )<0，当x ＝1时，g (x )＝0. ∴函数g (x )只有一个零点． 17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解析] (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1， 故f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)∵f (1)>0，∴a －1a >0，又a >0且a ≠1，∴a >1.f ′(x )＝a x ln a ＋ln aa x ＝⎝⎛⎭⎫a x ＋1a x ln a ∵a >1，∴ln a >0， 而a x ＋1a x >0，∴f ′(x )>0故f (x )在R 上单调递增原不等式化为：f (x 2＋2x )>f (4－x ) ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0 ∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴g (x )＝22x ＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2.令t ＝f (x )＝2x －2－x ，由(1)可知f (x )＝2x －2－x 为增函数∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (t ≥32)若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去综上可知m ＝2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求常数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间[0，m ]上的最小值和最大值(m >0)．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax f ′(1)＝3＋2a ＝－3，∴a ＝－3 f (1)＝a ＋b ＋1＝0，∴b ＝2.(2)f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴f (x )增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)， f (0)＝2，令f (x )＝x 3－3x 2＋2＝2得x ＝0或x ＝3. ∴f (0)＝f (3)＝2， ①当0≤m ≤2时 f (x )min ＝f (m )＝m 3－3m 2＋2 f (x )max ＝f (0)＝2 ②当2<m ≤3时 f (x )min ＝f (2)＝－2 f (x )max ＝f (0)＝2 ③当m >3时 f (x )min ＝f (2)＝－2f (x )max ＝f (m )＝m 3－3m 2＋2.19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R ； (1)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e ](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立令h (x )＝2x 2＋ax －1，x ∈[1,2]，∴h (x )≤0在[1,2]上恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧h (1)＝1＋a ≤0h (2)＝7＋2a ≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a ≤－72，∴a ≤－72.(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－x 2，x ∈(0，e ]有最小值3 g (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x①当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减 ∴g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3，∴a ＝4e(舍去)②当0<1a <e 即a >1e 时，在(0，1a )上，g ′(x )<0；在(1a，e ]上，g ′(x )>0∴g (x )在(0，1a ]上单调递减，在(1a ，e ]上单调递增∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2满足条件 ③当1a ≥e 即0<a ≤1e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去)综上所述，存在a ＝e 2使得当x ∈(0，e ]时，g (x )有最小值3.20．(本小题满分13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎨⎧16－x，0<x ≤c 23，x >c，(c 为常数， 且0<c <6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)[解析] (1)当x >c 时，p ＝23，y ＝⎝⎛⎭⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0； 当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝⎝⎛⎭⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝3(9x －2x 2)2(6－x ).∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(9x －2x 2)2(6－x ) 0<x ≤c 0 x >c(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时， ∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c ).②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．21．(本小题满分14分) 函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围；(3)是否存在点P ，使得过点P 的直线若能与曲线y ＝f (x )围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由． [解析] (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＋3b ， ∵f ′(2)＝－3且f (2)＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －24a ＋3b ＝－3，8a －24a ＋6b ＋b ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，－16a ＋7b ＝5，解得a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3. (2)由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3可得，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根， 即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点，g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，则g (x )，g ′(x )的变化情况如下表.则函数f (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.(3)存在点P满足条件．∵f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x<1时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0；当x>3时，f′(x)>0.可知极值点为A(1,7)，B(3,3)，线段AB中点P(2,5)在曲线y＝f(x)上，且该曲线关于点P(2,5)成中心对称．证明如下：∵f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，∴f(4－x)＝(4－x)3－6(4－x)2＋9(4－x)＋3＝－x3＋6x2－9x＋7，∴f(x)＋f(4－x)＝10，上式表明，若点A(x，y)为曲线y＝f(x)上任一点，其关于P(2,5)的对称点A(4－x,10－y)也在曲线y＝f(x)上，曲线y＝f(x)关于点P(2,5)对称．故存在点P(2,5)，使得过该点的直线若能与曲线y＝f(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等．。
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《函数与导数》测试题
一、选择题
1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞
解析 ()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 2. 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 ( ) B. 2 C.-1 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又
0'01
|1x x y x a
==
=+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B 3.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+解析 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何
2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
4.存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 （）
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25
-64 D ．74-或7
解析 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03
2
x =-，
当00x =时，由0y =与21594y ax x =+
-相切可得2564
a =-， 当032x =-时，由272744y x =
-与215
94y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
-
解析由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A 6.曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --= 答案 B 解 111
222121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
7.若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解析 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，
即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢. 8.若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝
y y
( ) A.
52 B.3 C.7
2
答案 C
解析 由题意1
1225x x += ①
22222log (1)5x x +-= ② 所以1
1252x x =-,121log (52)x x =-
即21212log (52)x x =-
令2x 1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1) ∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2 于是2x 1＝7－2x 2
9.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
( )
A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1
(,1),(1,)e e
内均无零点。
C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1
(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得x
x x x f 33131)`(-=-=
，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间
),3(+∞
为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又
()0131
)1(,013,31)1(>+=<-==
e
e f e e f f ，故选择D 。
二、填空题
10. 若函数2()1x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =
解析 f ’(x)＝22
2(1)()
(1)
x x x a x +-++ f ’(1)＝
34
a
-＝0 a ＝3 11.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域0x >，由()1
2f x ax x
'=+。
因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数
()1
2f x ax x
'=+
存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1
h x x
=
存在交点。
当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。
解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程1
20ax x
+
=在()0,+∞内有解，显然可得()2
1
,02a x =-
∈-∞ 12.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .解析 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，
由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .解析231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15） 答案 : 1>a
14.（2009福建卷理）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 答案 (,0)-∞
解析 由题意可知'21
()2f x ax x =+，又因为存在垂直于y 轴的切线，
所以2311
20(0)(,0)2ax a x a x x
+
=⇒=->⇒∈-∞。
15.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令
lg n n a x =，则1299a a a ++
+的值为 .
答案 -2
1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1
1298991
...lg ...lg ...lg 2
2399100100
n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n
x n a a a x x x ++==∈∴==+⇒=+⇒-=+-=
++++====-解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：。