三角函数单元测试题目及答案
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题(含答案)三角函数综合测试题一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）函数y=(sinx-cosx)-1的最小正周期为π的奇函数。
2.（08全国一9）为得到函数y=cos(x+π/3)的图象，只需将函数y=sinx的图像向左平移π/3个长度单位。
3.（08全国二1）若sinα0，则α是第二象限角。
4.（08全国二10）函数f(x)=sinx-cosx的最大值为2.5.（08安徽卷8）函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是x=-π/6.6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π/2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为-sinx。
7.（08广东卷5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx，则f(x)是以π为最小正周期的奇函数。
8.（08海南卷11）函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值为-2，最大值为3/3π。
9.（08湖北卷7）将函数y=sin(x-θ)的图象F向右平移π/3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=5π/12，则θ=π/4.10.（08江西卷6）函数f(x)=(sinx+2sin2x)/x的最小正周期为2π的偶函数。
11.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的斜率为tan(a-π/4)。
19.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则$\tan2\alpha$ 的值为 ________。
20.函数 $f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{5}$，其中 $\omega>0$，则 $\omega=$ ________。
21.设 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则函数$y=\frac{2\sin2x+1}{\cos x}$ 的最小值为 ________。
必修4三角函数单元测试题(含答案)
必修4三角函数单元测试题(含答案) 三角函数单元测试1.sin210的值是多少？A。
3/2B。
-3/2C。
1/2D。
-1/22.终边相同的角是哪一组？A。
π或kπB。
(2k+1)π或(4k±1)π(k∈Z)C。
kπ±π/3或π/3k(k∈Z)D。
kπ±π/6或kπ±π/6(k∈Z)3.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ在哪两个象限之间？A。
第一或第二象限角B。
第二或第三象限角C。
第三或第四象限角D。
第一或第四象限角4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弧长是多少？A。
2sin1B。
sin2C。
2D。
π5.要得到函数y=2sin(xπ/36),x∈R的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点：A。
向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍B。
向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍C。
向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/3D。
向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/36.设函数f(x)=sin((x+π/3)/3)(x∈R)，则f(x)在区间：A。
(2π/7,2π/3)上是增函数B。
(-π,2π/3)上是减函数C。
(π,8π/4)上是增函数D。
(-π,2π/3)上是增函数7.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ<π)的部分图象如图所示，则函数表达式是：A。
y=-4sin(x+π/4)B。
y=4sin(x-π/4)C。
y=-4sin(x-π/4)D。
y=4sin(x+π/4)8.函数y=sin(3x-π/4)的图象是中心对称图形，其中它的一个对称中心是：A。
(-π/4,0)B。
(-π,0)C。
(π,0)D。
(11π/12,0)9.已知f(1+cosx)=cos2x，则f(x)的图象是下图的：（删除明显有问题的段落）4.A5.D6.C7.B8.A9.C10.B二、填空题11.012.513.1/214.-sin(15π/4)三、解答题15.cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/4)=√(3/4)=±√3/216.M={θ|θ∈[0,π/4]}，N={θ|θ∈[π/4,π]}17.（1）sin²θ+cos²θ+sinθ+cosθ+2sinθcosθ=1+sinθ+cosθsinθ+cosθ+2sinθcosθ=sinθ+cosθ2sinθcosθ=0sinθ=0或cosθ=0θ=kπ或θ=kπ±π/2 (k∈Z)2）将sinθ和cosθ代入原方程得m=1/218.（1）f(x)=sin(3x-π/2)2）a=2,b=419.最大值为1/√3，最小值为-120.（I）π/2II）g(x)=2cos(2x-π/2)-sin(2x)二、填空题11.412.013.414.20三、解答题15.已知 $A(-2,a)$ 是角 $\alpha$ 终边上的一点，且$\sin\alpha=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+16}}$，求 $\cos\alpha$ 的值。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (17)(含答案解析)
高中数学必修一第五章三角函数单元测试 (17) 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，则ω的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 62.已知f(x)=sin(2x−φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是()A. [π6,π2) B. [π6,π4) C. [π3,π2) D. [π4,π3)3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，若存在0≤x1<x2≤π，满足f(x1)=f(x2)=34，则cos(x1−x2)=()A. −√74B. √74C. 34D. −344.已知α∈(0,π2)，tanα=√2cosα，则sinα=()A. √33B. √63C. √22D. √325.sin(−19π6)=()A. −√32B. −12C. 12D. √326.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 直线x=−5π12为函数f(x)的一条对称轴C. 点(−2π3,0)为函数f(x)的一个对称中心D. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y=√2sin2x的图象7.已知函数f(x)=2cosωx2(sinωx2+cosωx2)(ω>0)(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为()A. √πB. πC. 3√πD. 3π8.若cos(π4−α)=√55，则sin2α=()A. −35B. 35C. −45D. 459.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，函数g(x)的图象由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A. g(x)的图象关于直线x=π6对称 B. g(x)的图象关于点(π3,0)对称C. g(x)在[−π24,5π24]单调递增 D. g(x)在[−π6,π3]单调递减10.将函数y=sin3x的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象的解析式为()A. y=sin(3x+π4) B. y=sin(3x+3π4)C. y=sin(3x−π4) D. y=sin(3x−3π4)二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）11.若点P(cosα,sinα)在直线y=2x上，则cos(2α+π2)的值等于______．12.已知函数y=√32sinπx+12cosπx在x∈[23,t](t>23)时的最小值为m，最大值为M，若2M+m=0，则(m+M)t的取值范围为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.已知函数f(x)=2cosxcos(x−π6)−√3sin2x+sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0在[−3π4,π4]上恰有2个根，求a的取值范围．14.已知sinα=13，tanα<0．(Ⅰ)求sin2α的值；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，若α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，将角α的终边绕原点顺时针旋转π4后与单位圆交于点Q，求点Q的坐标．15.已知α∈(π2,π)，且sinα=35．(1)求tan(α−π4)的值；(2)求sin(α2+2019π)的值．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若α∈(0,π2)，且sin(α−π2)=−13，求f(α)的值．17.已知函数f(x)=cos4x+2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−4,3)．(1)求cosα的值；(2)若角β满足sin(α−β)=513，求sinβ的值．19.已知函数f(x)=√3sinx⋅cosx−cos2x−12．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心；(Ⅱ)当x∈[−π12,5π12]时，求函数f(x)的值域．20.已知α∈(0,π2)．(Ⅰ)若sinα=√55，求sin(α+π6)的值；(Ⅱ)若cos(α+π6)=√55，求sinα的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，而π12+π4=π3，可得f(x)的图象既关于直线x=5π24对称，又关于点(π3,0)对称，∴2k+14⋅2πω=(π3−5π24)，∴ω=8k+4，k∈Z，则ω的最小值为4，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．2.答案：B解析：解：由x∈[0,π3]，可得2x−φ∈[−φ,2π3−φ]，结合0<φ<π2，由f(x)在[0,π3]上是增函数，可得2π3−φ≤π2，所以π6≤φ<π2①．当x∈(0,7π8)时，2x−φ∈(−φ,7π4−φ)，由f(x)在(0,7π8)有最小值，可得7π4−φ>3π2，即φ<π4②，结合①②可得，π6≤φ<π4，故选：B．由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的最值、定义域和值域，属于中档题．3.答案：C解析：解：由图象知函数的周期T=2×(13π12−7π12)=2×6π12=π，即2πω=π，得ω=2，f(7π12+13π122)=f(10π12)=sin(2×10π12+φ)=−1，即5π3+φ=2kπ+3π2，即φ=2kπ−π6，k∈Z，当k =0时，φ=−π6， 即f(x)=sin(2x −π6)，∵存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34， ∴−π6≤2x 1−π6≤11π6，则θ1=2x 1−π6，θ2=2x 2−π6关于π2对称，即2x 1−π6+2x 2−π62=π2，得x 2=2π3−x 1，且sin(2x 1−π6)=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)，设2x 1−π6=α，则2x 1=π6+α，即sinα=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)=cos(π6+α−2π3)=cos(α−π2)=sinα=34故选：C ．根据图象求出函数解析式，结合对称性求出x 2=2π3−x 1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度． 4.答案：C解析：解：∵α∈(0,π2)，tanα=√2cosα， ∴sinαcosα=√2cosα，即cos 2α=2又∵sin 2α+cos 2α=1， ∴sin 2α√2=1，即√2sin 2α+sinα−√2=0，解得sinα=√22，负值舍去．故选：C ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos 2α=√2sin 2α+cos 2α=1，可得解sinα的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题． 5.答案：C解析：解：sin(−19π6)=sin(−3π−π6)=sin π6=12．故选：C ．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 6.答案：D解析：解：函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象， 可得A =√2，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2，∴最小正周期为T =2π2=π，故A 正确．再根据五点法作图，可得2×π3+φ=π，∴φ=π3， 故函数f(x)=√2sin(2x +π3).令x =−5π12，求得f(x)=−√2，为最小值，故直线x =−5π12为函数f(x)的一条对称轴，故B 正确． 令x =−2π3，求得f(x)=0，故点(−2π3,0)为函数f(x)的一个对称中心，故C 正确．把函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y =√2sin(2x −π3)的图象，故D 不正确，故选：D ．由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题． 7.答案：A解析：解：∵函数f(x)=2cos ωx 2(sinωx 2+cosωx 2)(ω>0)=sinωx +cosωx +1=√2sin(ωx +π4)+1(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，ωx +π4∈(−ω2+π4,ω2+π4)， ∴−ω2+π4≥−π4，ω2+π4≤π2，求得ω≤√π2．又函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，∴ω2+π4=kπ+π2，即ω=√kπ+π4，∴ω=√π2，f(x)=√2sin(√π2x +π4)+1．将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)=√2sin(√π2x +π12+π4)+1=√2sin(√π2x +π3)+1的图象． 令g(x)=0，求得sin(√π2x +π3)=−√22，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为T4=14√π2=√π，故选：A ．由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性和零点，属于中档题． 8.答案：A解析：解：法一：根据已知，有sin2α=cos(π2−2α)=2cos 2(π4−α)−1=2×(√55)2−1=−35．法二：由cos(π4−α)=√55得cosα+sinα=√105，两边平方得1+2sinαcosα=25，所以2sinαcosα=−35，即sin2α=−35．故选：A ．法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．本小题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想． 9.答案：C解析：解：函数f(x)=2sin(2x +π3)，把由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=2sin(2x −π6)的图象，关于函数g(x)，令x =π6，可得g(x)=1，不是最值，故排除A ； 令x =π3，求得g(x)=2，为最大值，故排除B ；在[−π24,5π24]上，2x −π6∈[−π4,π4]，故g(x)在[−π24,5π24]单调递增，故C 正确； 在[−π6,π3]上，2x −π6∈[−π2,π2]，故g(x)在在[−π6,π3]上单调递增，故D 错误，故选：C ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题． 10.答案：D解析：解：函数y =sin3x 的图象向右平移π4个单位长度， 得到y =sin3(x −π4)=sin(3x −3π4)，即所得的函数解析式是y =sin(3x −3π4).故选：D ．根据三角函数的图象平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合三角函数的图象平移关系是解决本题的关键，属于基础题．11.答案：−45解析：解：∵点P(cosα,sinα)在直线y =2x 上， ∴sinα=2cosα，又sin 2α+cos 2α=1， 解得：cos 2α=15；∴cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosα=−4cos 2α=−45．故答案为：−45．根据点P 在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．12.答案：[−1,−23]解析：解：y =√32sinπx +12cosπx =sin(πx +π6)∵x ∈[23,t]，∴πx +π6∈[56π,πt +π6]，∵当x =23时，y =12，∴M ≥12或−1≤m <12，即−1≤−2M <12，∴−14<M ≤12， ∴M =12，m =−1．由正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解得t ∈[43,2]．∴(m +M)t =(−1+12)t ∈[−1,−23].故答案为：[−1,−23].先根据辅助角公式将函数y 化简为y =sin(πx +π6)，从而得πx +π6∈[56π,πt +π6]，当x =23时，y =12，由此可推出M ≥12或−1≤m <12，进而得到M =12，m =−1.再结合正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解之得t 的取值范围，故而得解．本题考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及辅助角公式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x −π6)−√3sin 2x +sinxcosx=√3cos 2x +sinxcosx −√3sin 2x +sinxcosx =√3cos2x +sin2x =2sin(2x +π3)，所以，f(x)的最小正周期为T=2π2=π．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x+π3)，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=2sin(x+π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2sin(x+π3+π4)=2sin(x+7π12)．由[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0，得g(x)=2，或g(x)=a．当x∈[−3π4,π4]时，x+7π12∈[−π6,5π6]．当且仅当x+7π12=π2，即x=−π12时，g(x)=2．由题意，g(x)=a仅有一个根，因为2sin(−π6)=−1，2sin5π6=1，所以，a的取值范围是[−1,1)．解析：(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求得a的范围．本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域和值域，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属于中档题．14.答案：解：(Ⅰ)∵tanα<0，且sinα=13，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29．(Ⅱ)由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为α−π4．∵cos(α−π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=−2√23×√22+13×√22=√2−46，sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=13×√22+2√23×√22=√2+46，∴点Q的坐标为(√2−46,√2+46)．解析：(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．(Ⅱ)由题意利用任意角三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得点Q的坐标．本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．15.答案：解：(1)因为α∈(π2,π)，且sinα=35．所以：cosα=2α=−45；∴tanα=−34；∴tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=−34−11+(−34)×1=−7；(2)因为α∈(π2,π)，∴α2∈(π4,π2)；又cosα=−45=1−2sin2α2⇒sinα2=3√1010；∴sin(α2+2019π)=−sinα2=−3√1010．解析：(1)根据三角函数的定义先求出cosα，即可得到结论．(2)利用三角函数的诱导公式进行化简进行求解即可．本题主要考查三角函数的定义以及三角函数的诱导公式的应用，属于基础题目．16.答案：解：(1)易知A=1，T=4(7π12−π3)=π，故ω=2ππ=2．故此时f(x)=sin(2x+φ)，将(π3,0)代入得sin(2π3+φ)=0，因为此处函数递减，故2π3+φ=π+2kπ,k∈Z，结合φ的范围，当k=0时，得φ=π3，故f(x)=sin(2x+π3)．(2)sin(α−π2)=−13，得cosα=13，sinα=2√23．所以f(α)=sin(2α+π3)=sin(2α)cosπ3+cos2αsinπ3=2sinαcosα×12+(2cos2α−1)×√32 =2×2√23×13×12+(2×(13)2−1)×√32=4√2−7√318．解析：(1)根据最高点与最低点的坐标求出A 的值，再根据最低点、零点间的距离求出周期，进而求出ω的值，最后结合最小值点求出φ值；(2)先根据sin(α−π2)=−13，求出cosα的值，然后根据倍角公式求出结论．本题考查三角函数的图象与性质，据图求式时，利用零点求φ值时，要注意零点处的增减性．属于中档题． 17.答案：解：(1)∵f(x)=cos 4x +2sinxcosx −sin 4x ，=(cos 2x −sin 2x)(cos 2x +sin 2x)+sin2x ，=cos2x +sin2x ，=√2sin(2x +π4)， 故f(x)的最小正周期T =π；(2)由x ∈[0,π2]可得2x +π4∈[π4,5π4]， 当2x +π4=π2即x =π8时，函数取得最大值√2，当得2x +π4=5π4即x =π2时，函数取得最小值−1．解析：(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；(2)由x 的范围先求出2x +π4的范围，结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数的最值的求解，属于基础试题．18.答案：解：(1)角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−4,3)． 所以cosα=−45．(2)由于α为第二象限角，所以cosα=−45，sinα=35．由于sin(α−β)=513，所以cos(α−β)=±1213当cos(α−β)=1213时，所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=5665．当cos(α−β)=−1213时，所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=−1665故结果为5665或−1665．解析：(1)直接利用三角函数定义的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：解：(Ⅰ)由于f(x)=√32sin2x−1+cos2x2−12=√32sin2x−12cos2x−1=sin(2x−π6)−1，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，求得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z．令2x−π6=kπ，求得x=kπ2+π12，可得它的图象的对称中心是(12kπ+π12,−1),k∈Z．(Ⅱ)∵−π12≤x≤5π12，∴−π3≤2x−π6≤2π3，∴−√32≤sin(2x−π6)≤1，从而−1−√32≤sin(2x−π6)−1≤0，则f(x)的值域是[−1−√32,0]．解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得它的单调递增区间及其图象的对称中心．(Ⅱ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)因为sinα=√55，α∈(0, π2)，所以cosα=2√55，所以sin(α+π6)=√32sinα+12cosα，=√1510+2√510=√15+2√510．(Ⅱ)因为α∈(0, π2)，所以α+π6∈(π6, 2π3)，又因为cos(α+π6)=√55，所以sin(α+π6)=2√55，所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=√32sin(α+π6)−12cos(α+π6)，=2√1510−√510=2√15−√510．解析：(I)由已知结合同角平方关系可求cosα，然后结合两角和的正弦公式即可求解；(II)由已知结合两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．。
第五章三角函数单元测试卷及参考答案
第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案一、选择题1. 已知角A的正弦值为\( \sin A = \frac{1}{2} \)，则角A的余弦值\( \cos A \)是：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( -\frac{1}{2} \)D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)2. 函数\( y = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \pi/2 \)D. \( 4\pi \)3. 已知\( \cos x = \frac{1}{3} \)，且\( x \)在第一象限，求\( \sin x \)的值：A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)B. \( \frac{2\sqrt{5}}{3} \)C. \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \)D. \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \)二、填空题4. 根据正弦定理，如果三角形ABC的边a和角A相对，且\( a = 5 \)，\( \sin A = \frac{3}{5} \)，则边b的长度为______（假设\( \sin B = \frac{4}{5} \)）。
5. 已知\( \tan x = -1 \)，求\( \sin 2x \)的值。
三、解答题6. 求以下列三角方程的解：\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)7. 证明：\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。
四、应用题8. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC 的长度。
答案：一、选择题1. C2. B3. B二、填空题4. 45. 1 或 -1三、解答题6. 该方程对所有\( x \)都成立，因为它是三角恒等式。
必修4 三角函数单元测试
必修4 三角函数单元测试一、选择题：1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位 5、如图，曲线对应的函数是 （ ）A ．y=|sin x |B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |6 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒7、函数)32sin(2π+=x y 的图象 （ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 8、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ） A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]ππ-上是减函数9、函数y =（ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：10、已知απβαππβαπ2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 11、函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 ． 12、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题：13、（8分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒14、（8分）已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.15、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析
人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33． 故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。
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三角函数单元测试卷目及答案2018-11-722.5?2sin1( )
．计算的结果等于4.（2018福建文）2132 C B ．．．A 2323．D 2B
【答案】2=cos45,【解读】原式故选=B．2【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值
cos300??文） (1)5.（2018全国卷11133?(D) (A) (B)-(C)2222【答案】 C
0000cos42cos18?cos48sin18的结果计算黑龙江省绥棱一中2018届高三理科期末】【等于
（）
1323 D A
C B 2232【答案】A
f(x)?sin3cosx，设学期期末考试】已知函数【北京市朝阳区2018届高三上
???)(?f()fcba?f()?a,b,c的大小，，则关系，是367）（
a?b?cc?a?bb?a?cb?c?a B.A. D. C.【答案】B
a?1,b?2ABC?B?45，则角中，，大庆铁人中学第一学期高三期末】已知【2018
A等于
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306015090 D
C．．A． B．
D
【答案】
????)??0,0?2sin(?x?)(πf(x)的届高三质量统一检测】已知函数【株洲市2018
?( )
图象如图1所示，则等于
21 B．．A3321 C．．D 1
图B
【答案】
?，) (0既是偶函数又在区间上单调递减的）含答案)．（2018年上海市春季高考数学试卷(( ) 函数是x 2y?cosxy?sin 2x?ysin xy?cos (C)(B) (D)(A)B【答案】cbCaABCAB若所对的边分别为设△, 的内角, , , , ））（2018年高考陕西卷（理1 ．ABC(C)
直角三角形 (A) 锐角三角形 (B) , 则△的形状为AcosB?asinbcosC?c (D) 不确定钝角三角形B【答案】??3????????sin()，则届十所重点中学第二次联考】已知,【江西省2018 522??)tan(?）的值为（
4334?? D． C．． B A．3344B 【答案】
ABC?b,,BaA若角,在锐角中所对的边长分别为.年高考湖南卷（理））．2（2018等于则角A?3b,a2sinB
???? D.A. B. C.12364D 【答案】2 / 7 ?ABC,在内版））．（2018年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试卷（WORD3
1b,A??csinBcosasinBcosC?B?b?a.b,ca,B,C,A且则所对的边长分别为角,2????52
B. C. D.A.3663A 【答案】
?1??A)??sin(cos(??A)．如果，那么【广东省执信中学2018学年度第一学期期末】221【答案】2???2sintan?2cos的已知，那么【北京市东城区2018学年度高三数第一学期期末】值为．
4?【答案】3
y?2sinx 的最小正函数周期是）答案)考数学试卷(含年4．（2018上海市春季高_____________ ?2【答案】B、C?ABCA、角在所对边长分别为中,）)20185．（年上海市春季高考数学试卷(含答案a、、 b cb=60B? b?8，a?5，_______则,,若7 【答案】??????)(,?2?sinsin2tan?的值设,是,则）理）卷高．6（2018年考四川（2_________.
3【答案】?312.（2009青岛一模）已知，则的值为；x2sin?)sin(?x457答案
25[??xf(x)?sinx?2cosx取得最大值,时函数,设当则（理））7．年高考新课标（20181??cos______
25?. 【答案】5
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1设函数已知向量, R,cos2x),x?(cosx,?),b?(3sinx a?年高考陕西卷（理））20188．（2???f (x)f (x).
在Ⅱ) 求上的最大值和最小值. (Ⅰ) 求的最小正周期. (bx)?a·f(0,??2??:(Ⅰ)
解】【答案?113cos2x?sin2x?cos2x?sin(cosx?3sinx?2x?).=最小正周期b·f(x)?a 2226??2?????)sin(2x?),Tf(x.(Ⅱ)
周期.所以为最小正26??????55当x?[0,]时，(2x?)?[-,]，由标准函数y?sinx 在[-,]上的图像知，.
266666???1???],1?[?f(-),sin(f(x)?2x?f()])?[f (x)上的最大值和最小,在 .所以0,??
66222??1?1,.值分别为2
????
设向量版））9年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试卷（WORD2018．（???
.?0,,x,sinx,b?cosa?x,sinxx3sin??2??????的最大值x求ab,f.fxx求ba?.的值；? (II)若设函数(I)
【答案】
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10ABC的内角设△．年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试卷（含答案））2018
（7c,,bB,CaA,?cosB2?6?ba?c. ,且,所对的边分别为,9ca,)sin(A?B.
的值 (Ⅱ)求的值。
(Ⅰ)求2??2)cosB2ac?(1a?c?b?222Bcos2aca?c?b?,解:(Ⅰ)由余弦定理,得【答案】7?cosB ac?9a?3c?3?a?c6b?ABC29△.(Ⅱ)在,,又所,以解,得,
2B22asin42?AsinB?1?cos?B?sin a?c39b, 因为中所
以,,,由正弦定理得121si??snA?cAo3A因此以为锐角,所
102?AsinBAcosB?cossin(A?B)?sin27.
已知函数版））WORD（2018年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯11．???
x?R?xx)?2cosf(.
,??12?????33???????????cos?ff?2,?2.
(Ⅱ) 若,(Ⅰ) 求,求的值。
??????5326?????? ???????????f??2cos???2cos??2cos?1。
(Ⅱ)
(Ⅰ)】案【答??????466124????????????????
?????2sin???cos2cos22???2cos2f2??为因??????
33124???????433???????sin?o?sc2,?,,,所以所以??
552??72422?????????2sinsincos??cos2cos?sin2?所以,
2525?72417???????sc?o????2f???.????2235255????已知函数年高考湖南卷（理））（12．20185 / 7
??x22sin)x??).g(f(x)?sin(x?)?cos(x.
26333????)f()g(的值。
(I)若.是第一象限角,求且5)(xx)?gf(.
求使(II)x的取值集合成立的:
解】【答案331133???3?f(sin)?x?cosx?cosx?f(x)?sinx?3sinsinx.I)(
52222??1432??????cos?1)?cos??,且2sing(?sin??,)?(0,(II)
52525?113sinx?cosx??cosx?sin(x?)?xf(x)?g(x)?3sin?1
2262????25?????],k2k??xx??[?2k??[,2k2?kZ,] 6636?)??2sin(2x1
4?x)f(届高三年级第二次月考】已知函数【银川一中2018，xcos)(xf的
定义域；（1）求4????tan?)(f的值. （2）设，求是第四象限的角，且3【答案】
?，（Ⅰ）依题意，有cosx?0，解得x?k?＋2?)xf(｝---------4分＋?，即k?Z?的定义域为｛x|xR，且x?k2?)?21?sin(2x4?)f(x（Ⅱ）＋＝－2sinx2cosx----------7分
xcos?)f(＝－2sin?＋?2cos?
443???tan?可得sin?＝－，由cos是第四象限的角，且?＝-----------10分
35514?)(f-------------122cos＝－2sin??＋?＝分52018届上学期高三期末】已知函市赣西【江省州数12x?,x?cos3sinxx?cosR?xf()．2f(x)的最小值和最小正周期；（）求函
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c?3,f(C)?0c、、bB、CaA、ABC?，若向量的对边分别为内角，且2（）已知a、b)n?(2,sinBm?(1,sinA)的值．共线，求与【答案】
31?12?sin(2x?)?1?cosf(x)?3sinxx?xcos1?cos2xx?sin2?（）1
6222?)xf(2?…………………5，最小正周期为的最小值为∴分
??sin(2C?)?10C?1?)?f(C)?sin(2（2）∵即，66????11???C??0?C??2???2C?C∵，∴分，．……7，∴362666sinB?2sinA?0nm．∵共线，∴与
ab?b?2a,①…………………………………８分由正弦定理，得BAsinsin
?223?ccosb?ab2a9??，由余弦定
理，得∵，②……………………１０分3?3?a解方程组①②，得…………………………………………２分1?32?b?
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