大学文科数学极限知识讲解
各类极限知识点总结
各类极限知识点总结一、函数的极限1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
通常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。
2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。
比如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。
3. 一些特殊函数的极限：（1）常数函数的极限；（2）幂函数的极限；（3）指数函数和对数函数的极限；（4）三角函数的极限；（5）复合函数的极限等。
二、无穷大和无穷小1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。
当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。
反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷小。
2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有界性的关系、无穷小的运算规律等。
3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：（1）常数函数的无穷大和无穷小；（2）幂函数的无穷大和无穷小；（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；（4）三角函数的无穷大和无穷小；（5）复合函数的无穷大和无穷小等。
三、极限的运算规律1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。
比如两个函数的极限之和等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。
2. 复合函数的极限性质：当函数与另一个函数进行复合时，它们的极限也满足一定的规律。
比如复合函数的极限等于内函数的极限等。
3. 一些特殊函数的极限运算：（1）三角函数的加减角极限性质；（2）指数函数和对数函数的极限性质；（3）特殊组合函数的极限性质等。
四、常见的极限形式1. 0/0型：在计算函数的极限时，经常会遇到0/0型的不定式形式。
大一高数函数极限知识点
大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。
在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。
一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。
4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。
这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。
二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。
1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。
即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。
2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。
这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。
三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。
大学文科数学2 第二章 第二节 函数极限
y
y = f ( x)
o
x0
(δ −
x0
x0 + δ
)
x
明 lim 常 例1 证 x→x C = C (C为 数).
0
证明 任给ε > 0, 任取δ > 0, 当 0 < x − x 0 < δ 时 ,
lim f ( x ) − A = C − C = 0 < ε 成立, ∴ x → x C = C .
2
= lim( x + 1)
x →1
=2
有关函数极限的说明： 有关函数极限的说明：
★ 函数在某点的
极限与函数在这点 的函数值是否存在， 的函数值是否存在， 以及取值是多少并
没有关系. 没有关系.
★ 函数在该点
的极限只与函数在 该点附近的变化趋 势有关系. 势有关系.
定义
U 。 x0 , δ ) 内有定义，如果对于 内有定义， 设函数 f(x)在点 ( ( )
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A( x → x0 ).
对于任意的 存在
该定义称为“ε −δ”定义.
该 定 义 的 简 洁 表 示 方 法 ： ∀ε > 0, ∃ δ > 0, 使 当0 < x − x 0 < δ 时 , 恒 有 f ( x ) − A < ε .
x从x0右侧无限趋近x0 , f ( x )的极限称为右极限，
作 记 x → x0+；
x→0 x→0
y = x −1
o
−1
x
lim f ( x) = lim( x +1) = 1, + +
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限基础知识点总结
极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。
1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。
常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。
函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。
1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。
（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。
二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。
2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。
2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。
三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。
3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。
大学文科数学——极限ppt课件
0
x2n1
•
1
an (1)n1
x
②
11
1
, ,L 24
, 2n
,L
… xn … x3
x2
••••• •••••
011
1
2n 8
4
这个数列的通项是:
x1
1 an 2n
1x
2
数列极限的定义(定性描述):
如果当n无限增大时，数列{an }的通项 无限趋近于常数a，则称数列以a为极限，
记作
lim
n
an
a，或an
a(n
).
也称该数列收敛.
若该数列不以任何常数为极限，则称
这个数列发散.
这个定义是在运动观点的基础上凭借几 何图像,直觉用自然语言作出的定性描述.
a2n
–1
0
a2n1
x
1
(1){(1)n1 }的极限不存在;
因为当n∞ 时，{(1)n1 }
1 lim 0 n 2n
反复地取 1和－1， 没有明显 的变化趋势, 是发散的.
一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 称为数列. 102－n为通项. 以下均为数列 :
111 1
, , ,L 248
, 2n
,L
.
1,1, 1,L ,(1)n ,L .
2, 4, 6,L , 2n,L .
一、数列的极限（问题的引入）：
在《庄子·天下篇》 中有“截丈问题”的 精彩论述：
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺（Zenon，约 公元前496 — 约前429）曾提出一个著 名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟 素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追 不上乌龟！
极限公式知识点总结
极限公式知识点总结一、极限的定义在微积分中，对于一个函数f(x)，当x趋于某一个特定的值a时，可以用极限的概念来描述。
具体的定义如下：若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，都有|f(x)-L|＜ε成立，那么就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim┬(x→a) f(x) = L。
这个定义描述了当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。
其中ε为任意给定的正数，δ为与ε对应的正数。
当|x-a|小于δ时，|f(x)-L|也小于ε。
二、极限的性质极限具有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解极限概念，也可以用于极限的计算中。
下面是极限的一些基本性质：1. 极限的唯一性：若lim┬(x→a) f(x)存在，则极限唯一。
2. 极限的局部有界性：若lim┬(x→a) f(x) = L，则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上有界。
3. 极限的局部保号性：若lim┬(x→a) f(x) = L，且L＞0（或L＜0），则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上恒大于0（或小于0）。
这些性质对于理解极限以及进行极限的计算都具有重要的意义，可以帮助我们更好地掌握极限的概念。
三、极限的计算方法在实际应用中，需要对极限进行计算，以便求解问题或证明定理。
对于一些常见的函数，可以通过一些特定的计算方法来求解极限。
下面是一些常见的极限计算方法：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数中，从而得到极限的值。
例如lim┬(x→2) (x²-4) = 2²-4 = 0。
2. 夹逼准则：当极限存在时，如果存在另外两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)对于x∈(a-d, a+d)成立，并且l im┬(x→a) g(x) = lim┬(x→a) h(x) = L，则有lim┬(x→a) f(x) = L。
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4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说 与 是同阶;的
特殊如 地果 lim1,则称 与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是 说 是 k阶的 无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
★另两种情形:
10.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
20.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 当 恒 f ( x ) A 有 .
定:l理 im f(x )A lif( m x ) A 且 lif( m x ) A .
第二章 极 限 习题课
主要内容 典型例题
一、主要内容
（一）极限的概念 （二）连续的概念
数列极限
函数极限
ln im xn a
lim f(x)A
x
limf(x)A
xx0
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x
x
x
2. 无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记 lif ( 作 m x ) 0( 或 lif ( m x ) 0 ).
x x 0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记 lif ( 作 m x ) ( 或 li f ( x m ) ).
x x 0
3. 极限的性质
定理 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 (1) lim[ f (x) g(x)] A B; (2) lim[ f (x) g(x)] A B; (3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim c(f[x)]clim f(x).
9. 极限的唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
0 x x0 时，对应的函数值 f (x)都满足
不 等 式 f (x) A ,那 么 常 数 A 就 叫 函 数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限 , 记 作
lim f ( x ) A 或
x x0
f ( x ) A (当 x x 0 )
""定义 0,0,使0 当 xx0时 ,
的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) A ,那 么 常 数 A 就 叫 函 数 f ( x ) 当 x 时的极限 ,记
作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x ) x
"X"定义limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
恒f有 (x)A.
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
6. 两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
limsin1; 某过程
(2) li(m 11)xe x x
1
lim (1x)x e
x0
1
lim(1) e.
某过程
7. 无穷小的比较
定义:设,是同一过程中穷 的小 ,且 两 个 0. 无
(1)如果 lim0,就说 是比 高阶的无 , 穷小
定 : x l x 0 i f ( x ) m 理 A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
定义③ 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定 义 ，对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存
在 正 数 X ,使 得 当 x 满 足 不 等 式 x X 时 ，对 应
xn
a,
或
xn a (n ).
"N"定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 .
定义② 设函数 f (x) 在点 x0的某一去心邻域 内 有 定 义 ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么
小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 当 x 满 足 不 等 式
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的(不论它
多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时
的一切xn,不等式 xn a 都成立,那末就称 常数 a是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于 a,记为
lim
n