微分方程的线性化
自动控制原理课程简介
《自动控制原理》课程简介课程编号：A1620025课程名称：自动控制原理学分/学时：4/64开课学期：第5学期课程类型：专业必修课程课程性质：必修先修课程：《高等数学A(1)》、《高等数学A(2)》、《线性代数》、《电路》、《复变函数与积分变换》、《模拟电子技术》、《数字电子技术》、《信号与系统分析》适用专业：自动化考核方式：考试考核形式：大作业、期中测试、实验评估、期末考试等组合形式建议教材：（1）谢克明编著.自动控制原理（第3版）.电子工业出版社,2010年（2）常熟理工学院电气及自动化工程学院自编讲义.自动控制原理实验指导书，校内讲义，2015年内容简介：《自动控制原理》课程是一门研究自动控制系统的基本概念、基本原理和基本分析与设计方法的基础工程课程，本课程主要内容包括自动控制系统建模、自动控制系统分析和自动控制系统设计（校正）三个方面。
通过本课程的教学，让学生掌握分析与综合SISO自动控制系统的经典控制理论与方法，并能初步结合实际，分析和设计控制系统，以及在MATLAB与Simulink支持下对控制系统进行计算机辅助分析和设计。
为今后进一步深入学习和研究其他控制理论与控制系统设计打下坚实的基础。
自动控制原理Automatic Control Theory课程编号：A1620025学分：4学时：64学时（讲课：56学时实验：8 学时实践：0学时）学时：周开课学期：第5学期课程类型：专业必修课程课程性质：必修先修课程：《高等数学A(1)》、《高等数学A(2)》、《线性代数》、《电路》、《复变函数与积分变换》、《模拟电子技术》、《数字电子技术》、《信号与系统分析》适用专业：自动化建议教材：（1）谢克明编著.自动控制原理（第3版）.电子工业出版社,2010年（2）常熟理工学院电气及自动化工程学院自编讲义.自动控制原理实验指导书，校内讲义，2015年主要参考书：（1）胡寿松主编.自动控制原理（第5版）.科学出版社.2007年（2）李友善主编.自动控制原理（第3版）.国防工业出版社.2005年（3）富兰克林,鲍威尔主编; 李中华，张雨浓译著.自动控制原理与设计.人民邮电出版社.2007年开课学院：电气与自动化工程学院修订日期：2018年9月一、课程说明《自动控制原理》课程是自动化专业学生学习和掌握自动控制系统的基本概念、基本原理和基本分析与设计方法的基础工程课程，它是自动化专业的一门专业必修课程，在第五学期开设。
微分方程化简
微分方程化简
一、引言
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的规律的重要工具。
在解决实际问题时，我们经常需要对方程进行化简，以便更好地求解。
本文将介绍微分方程化简的常用方法和技巧。
二、微分方程化简的方法
1.合并同类项：将方程中的同类项合并，简化方程的形式。
2.变量代换：通过引入新的变量，将方程中的复杂表达式替换为简单表
达式，从而简化方程。
3.积分因子：通过乘以适当的函数，使方程左侧成为全微分，从而简化
方程。
4.线性化：将非线性微分方程化为线性微分方程，以便更容易求解。
5.分离变量：将方程中的变量分离出来，使方程变为容易求解的形式。
三、微分方程化简的步骤
1.观察方程形式：首先观察微分方程的特点，确定采用哪种化简方法。
2.实施化简：根据确定的化简方法，对微分方程进行化简。
3.验证结果：化简后，需要验证结果的正确性，确保方程的意义没有改
变。
四、实例分析
下面以一阶常系数线性微分方程为例，介绍微分方程化简的过程。
原方程：y' + p(t)y = q(t)
步骤1：观察方程形式，确定采用线性化方法。
步骤2：对方程两边同时乘以e^(-p(t)t)，得到：e^(-p(t)t)(y' + p(t)y) = e^(-p(t)t)q(t)
步骤3：对上式进行积分，得到：e^(-p(t)t)y = ∫e^(-p(t)t)q(t)dt + C
步骤4：化简得到通解：y = e^(∫p(t)dt) * (∫q(t)e^(-∫p(t)dt)dt + C)
通过以上步骤，我们成功地将一阶常系数线性微分方程化简为通解的形式。
微分方程的数值解法与近似求解技巧
微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。
本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。
欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。
以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。
改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。
其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。
二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。
以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。
微分方程组的解法
微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。
微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。
二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。
它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。
三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。
它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。
四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。
边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。
五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。
2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。
六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。
2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。
七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。
2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。
八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。
2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。
九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。
微分方程的线性化
微分方程的线性化
然而严格地说，实际物理元件和系统都是非线性 的。
叠加原理不适用于非线性系统，这给求解非线性 系统带来不便，因此需要对所研究的系统作线性 化处理。
xn
x10, x20, xn0
y k1x1 k2x2 knxn
线性化总结
1) 线性化是相对某一工作点，工作点不同，线 性化方程的系数也不同；
2) 偏差愈小，线性化精度愈高；
3) 线性化适用于连续变化的单值函数。
4) 式中变量是增量，不是绝对量，公式称为增量 方程式
5) 额定工作点若是坐标原点，增量可以写成绝对 量。
1 2!
(
d
2f( dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
x)
)
x0
(
x
x0
)
2
当增量（x- x0)很小时，略去其高次幂项，则
df (x) y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
y
(
df (x) dx
)
x0
x
k
x
df (x) k
dx x0
是比例系数，它是函数f(x)在工作点 A点的切线斜率。
6) 当增量并不是很小时，在进行线性化时，为了 验证容许的误差值，需要分析泰勒式中的余项。
非线性系统的线性化
非线性系统进行线性化的条件： 非线性函数是连续函数；系统在预定工作点附近作小偏 差运行，即变量的变化范围很小。
图示为连续变化的非线性 函数
y=f(x)
线性化方法是：把非线性 函数在 工作点x0附近展成 泰勒级数，略 去高次项， 便得一个以增量为变量的 线性函数：
21-123 列写微分方程的一般方法及线性化
待定系数法
x 3 A( x 3) B( x 2) x 3 ( A B)x (3A 2B)
x 3 A( x 3) B( x 2) 代入特殊值
n
f (t) c1ep1t c2ep2t c3ep3t cnepnt ciepit i1
拉普拉斯变换
《自动控制理论》
例1：
x3 x3
AB
x2 5x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3) estdt 0 dt
L
df (t) dt
sF
(s)
f
(0)
微分定理：设 Lf t Fs 则
L f t s Fs f 0 L f n t snFs sn-1f 0 sn-2f 0 L sf n-2 0 f n1 0
C1
1
2
11
r
1
1
i dt i R (i i )dt
C2 2
22
C1
1
2
1
i dt u
C2
2
c
消去中间变量 i1,，i2 得
RRCC
d
2u c
(RC
RC
du RC ) c u
u
d t 1 2 1 2
2
11
22
1 2 dt
c
r
（2-2）
可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。
数学模型分为静态模型和动态模型两种。
代数方程
微分方程
系统的动态特性
建立系统数学模型
解析法 实验法
1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决
自动控制理论知识点总结
1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。
3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。
常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。
（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。
时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。
常微分方程的线性化方法
常微分方程的线性化方法一、引言常微分方程是数学中研究动力系统的重要工具。
在实际问题中，有些非线性常微分方程难以求得精确解，因此需要采用一些近似和简化的方法来解决。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，包括一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化。
二、一阶线性化在研究非线性常微分方程时，可以通过线性化方法来近似求解。
一阶线性化方法是指将非线性方程在某一点附近进行线性化处理，得到近似的线性常微分方程。
其基本思想是利用泰勒展开将非线性项进行线性逼近，然后求解线性方程。
三、高阶线性化除了一阶线性化方法外，还可以使用高阶线性化方法来求解非线性常微分方程。
高阶线性化方法的基本原理是通过进行多次线性化逼近，以提高线性化的精度。
一般而言，越高阶的线性化方法，得到的近似解越精确。
然而，高阶线性化方法在复杂的系统中计算量较大，因此需要权衡计算成本和精度的平衡。
四、齐次线性化齐次线性化是一种处理非线性常微分方程的有效方法。
它基于齐次方程的特性，通过对方程进行相应的变换，将其转化为齐次线性方程。
这样一来，可以采用线性微分方程的解法，得到原方程的近似解。
五、举例说明以常见的经典非线性常微分方程为例，我们可以通过线性化方法来解析求解。
例如，考虑一个简单的非线性方程 dy/dt = t^2*y，我们可以将其进行一阶线性化处理，得到近似的线性常微分方程 dy/dt = t*y。
然后，我们可以求解该线性方程，进一步得到原方程的近似解。
六、总结常微分方程的线性化方法是一种处理非线性方程的重要工具。
通过线性化近似，可以得到非线性方程的近似解，从而解决实际问题中的困难。
一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化是常用的线性化方法。
然而，在使用线性化方法时，需要注意线性化误差的影响，以及计算成本和精度的平衡。
以上就是关于常微分方程的线性化方法的简要介绍。
通过线性化方法，我们可以更好地理解和解决非线性常微分方程，为实际问题的建模和分析提供有效的工具。
希望本文能对读者有所帮助。
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df ( x) 1 d 2 f ( x) 2 y f ( x) f ( x0 ) ( ) x0 ( x x0 ) ( ) ( x x ) x0 0 2 dx 2! dx
当增量（x- x0)很小时，略去其高次幂项，则
df ( x) y y0 f ( x) f ( x0 ) ( ) x0 ( x x0 ) dx
线性化总结
1) 线性化是相对某一工作点，工作点不同，线
性化方程的系数也不同； 2) 偏差愈小，线性化精度愈高； 3) 线性化适用于连续变化的单值函数。 4) 式中变量是增量，不是绝对量，公式称为增量 方程式 5) 额定工作点若是坐标原点，增量可以写成绝对 量。 6) 当增量并不是很小时，在进行线性化时，为了 验证容许的误差值，需要分析泰勒式中的余项。
df ( x) y ( ) x0 x k x dx
df ( x) k dx x0
是比例系数，它是函数f(x)在工作点 A点的切线斜率。
将线性增量方程代入系统微分方程，便可得系统线性化 方程。
y kx
同理可得，多变量非线性函数
y f ( x1 , x 2 , x n )
微分方程的线性化
然而严格地说，实际物理元件和系统都是非线性 的。 叠加原理不适用于非线性系统，这给求解非线性 系统带来不便，因此需要对所研究的系统作线性 化处理。
非线性系统的线性化
非线性系统进行线性化的条件： 非线性函数是连续函数；系统在预定工作点附近作小偏 差运行，即变量的变化范围很小。
图示为连续变化的非线性 函数 y=f(x) 线性化方法是：把非线性 函数在 工作点x0附近展成 泰勒级数，略 去高次项， 便得一个以增量为变量的 线性函数：
在工作点
f x1
( x10 , x 20 , x n 0 )
x1 f x 2
附近的线性增量函数为
x 2 f x n x n
x10 , x20 , xn 0
y
x10 , x20 , xn 0
x10 , x20 , xn 0
y k1 x1 k2 x2 kn xn