导数习题课(上课用)
合集下载
导数的基本公式及运算法则习题课
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝ ＝xx＋－11x＋－′1xx2－＋11x＋－1x＝2－1x＋2x1＋21. ′
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x ＝ex(sin x＋cos x)．
x2 ) ' 1 x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2 (1 x 2 ) 2
(4) y ' (2x3 ) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x 3 )'3(x sin x)'0
(完整版)导数公式运算习题课
1 xlna
⑧
1 x
⑨f′(x)±g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ⑪f′(x)g(xg)－2(xf)(x)g′(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
()
①y＝ln2，则y′＝12 ②y＝x12，则y′|x＝3＝－227 ③y
＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝xl1n2
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
① ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝427.
高中数学《导数与单调性》习题课 课件
★状元笔记 单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的单调递增区间， 使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的单调递减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝xl1nx； (2)f(x)＝xx2-+11； (3)f(x)＝x+2 1-x.
所以当 f(x)在[1，2]上为单调函数时 a 的取值范围是(-∞， 0)∪(0，52]∪[1，+∞)．
【答案】 a≤0 时，增区间为(0，+∞)； a>0 时，增区间为(0，1a)，减区间为(1a，+∞)．
题型三 求参数的取值范围
已知函数 f(x)＝x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(-23，0)内是减函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调减区间是(-23，0)，求 a 的值．
(4)f′(x)＝（2+cosx（）2c+ocsxo-ssxi）nx2（-sinx）＝（22c+ocsoxs+x1）2. 当 2kπ-23π<x<2kπ+23π(k∈Z)时，cosx>-12，即 f′(x)>0； 当 2kπ+23π<x<2kπ+43π(k∈Z)时，cosx<-12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ-23π，2kπ+23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ+23π，2kπ+43π)(k∈Z)上是减函数．
f(x)在(2，3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，可得
导数的概念习题课
丝罕见，那种粗俗的墨蓝色鸵鸟模样的神态好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。…………那个身穿狼狈的灵冰衫的大叔是
娜哥瓜乌
保镖。他出生在Ｄ．勒西日世界的钢条湖，绰号：八腿病鬼！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十
多公斤。此人最善使用的兵器是『紫风摇精牛肝矛』，有一身奇特的武功『蓝雨蚌圣剃须刀爪』，看家的魔法是『黄影缸魔钢筋语录』，另外身上还带
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率 ,它 反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以
x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
四、导函数
如果函数y f (x)在区间(a ,b)內每一点都可导，就说 函数y f (x)在区间(a,b)內可导。这时，对于(a,b)內每一
个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
x
若f (x0)存在, 过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所 代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化 率的本质
2. f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
导数的四则运算法则(习题课)
北师大版选修 1-1
第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
导数计算习题课
法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考？应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
yA y f (x)
B
o 2 3x
预习：函数的单调性与导数
（1）
y
x(
x
2
1 x
1 x3
)
预习检测
y
3x2
2 x3
(2) y 1 1 1 x 1 x
2 y' (1 x)2
（3）y (x 1)(x 2)(x 3)
y 3x2 12x 11.
学习目标
1、进一步熟悉复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉两个函数的和、差、积、 商的求导法则及几何意义的应用。
其中g(x) 0
（2）导数的运算法则
推论：
1.[cf ( x)]'
2.
f
1
(
x)
cf '( x)
f '(x) [ f ( x)]2
（3）复合函数的求导
复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数
对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数 ，即
y'x y'u u'x
1.求下列函数的导数
2 x 2 -15 2 x
-10
-5
x
a
1 2 1 2
P( 1 , 3),k 1 24
公切 线y x 1 4
2
P
5
-2
-4 y x2 a
-6
课堂训练与检测
已知曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)，求在 点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
课堂训练与检测
2.已知两曲线C1 : y x3 ax和C2 : y x2 bx c都经 过点P(1,2),且在点P有公切线，求实数a,b, c的值.
一般地， 设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
oa
bx
下 课 了 ！
7:用求导的方法求和:
(1)Pn (x) 1 2x 3x2 nxn1(x 1);
习题课
忆一忆 （1）导数的运算法则
1.[ f ( x) g( x)]' f '( x) g'( x) 2.[ f ( x) g( x)]' f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
轮流求导之和
3.
f (x)
g(
x
)
f '( x)g( x) f ( x)g'( x) [g( x)]2
x2 1 •
1
• (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 1)'
x2 1
x2 1• 1 • 1 •2x x2 1 2 x2 1
2. 求y的导数 y f 2x f x2 f 2 x
解： y' [ f (2x )]' [ f (x2 )]' • f 2 (x) f (x2 ) •[ f 2 (x)]'
令 u 2x
其中 [ f (2x )]'
2:求下列函数的导数：
(1) y (2x 1)5 (23) y sin2 (2x )
3
(3) y sin(ln x2 1)
问题引导下的再学习1
求函数 y sin(ln x2 1)的导数
解 书写格式二
'
sin(ln x2 1 cosln cosln
cos ln
取次大原则
x2 1 • (ln x2 1)'
解：(1)Q x x2 x3 xn x(1 xn ) (x 1), 1 x
Pn
(
x)
(
x
x2
x3
xn
)
(
x xn1 1 x
)
( x xn1 )(1 x) ( x xn1 )(1 x) 1 (n 1)xn nxn1
(1 x)2
(1 x)2
.
(2)Sn
解：Sn
12
[Pn (x)]
证明：（1）由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．
对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即
f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．
证明：（2）设f(x)是一个以T为周期的函数， 则有： f(x)=f(x+T) 两边同时求导， 则有 f'(x)=f'(x+T) 可知f(x)的导函数仍然是周期函数。
解：根据题意有：1 a 2 a 1,b c 1 1 b c 2
C1 : y x 3 x ( x3 x) x1 (3x2 1) x1 4
两曲线在点P处有公切线，所以 ( x2 bx c) x1 (2x b) x1 2 b 4
b 2 从而c 1
求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离
证明：因为y=f（x）是奇函数 所以 f（x )= -f(-x)两边同时对x求导可得
f′(x）=-[-f′(-x）] = f′(-x)
课堂训练与检测
（1）已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f′(x) 为奇函数．
（2）已知函数y=f(x)是可导的周期函数，试求证其导函 数y=f′(x)也为周期函数.
解：设曲线在点 px0 y0 处的切线与2x-y+3=0
平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为
所求
∵
y' 2 2x 1
∴
2 2 2x0 1
∴ x0 1 ∴切点为（1，0）
∴
dmin
5 5
5
达标教学
这节课你又知道了哪些知识呢？
1、进一步熟悉了复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉了两个函数的和、差、积、商的 求导法则及应用。
令 v x2
[ f (x2 )]'
f ' (u)• (2x )' f ' (u)2x ln 2 f ' (v)• (x2 )' f '(v) • 2x
[ f 2 (x)]' 令 w f (x) f ' (w) • f ' (x) f '(w) • f '(x)
3：若可导函数f(x)是奇函数，求证：其 导函数f′(x)是偶函数.
已知抛物线C1：y x2 再2学x和习C22：y x2 a.若
直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切
线.问：当a取什么值时，C1和C2有且仅8 有一条公切
线？写出这个公切线的方程. 如图，C1,C2在P点和公切线相切， 设切点横坐标为x.则有：
6 y x2 2x
4
x2 2x x2 a
23x
n(1 n)xn1
(n 1)nxn2 (x