浙江省2020-2021学年上学期高二期末考试数学试题
2020-2021学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．23．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．29．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是．（两条都写出）12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为，其外接球的表面积是．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．解：由点到直线的距离公式可得：点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．故选：A．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．2解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0即（x﹣）2+（y+1）2＝3，则圆的半径为．故选：C．3．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．∴l∥α或l⊂α．故选：C．4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行，所以，解得a＝2或a＝﹣3，故“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解：由l为直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；在B中，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：连接B1D1，EB1，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1，∴∠ED1B1或其补角为直线ED1与直线BD所成角，在△ED1B1中，B1D1＝2，B1E＝，D1E＝，由余弦定理知，cos∠ED1B1＝＝＝，∴直线ED1与直线BD所成角的余弦值是．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．8．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．2解：不妨设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2．由直线AB斜率为﹣2，且过点（1，0），用点斜式求得直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣1）．代入抛物线方程y2＝8x，可得4（x﹣1）2＝8x．整理得x2﹣4x+1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，代入直线AB方程得y1＝﹣2﹣2，y2＝2﹣2．故A（2+，﹣2﹣2），B（2﹣，2﹣2）．|AB|＝＝2，故选：B．9．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，△D1PC的面积为定值，∴点P到线段D1C的距离为定值，则点P在以D1C所在直线为轴，固定长为底面半径的圆柱的侧面与平面ABCD的交线上，∴运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．解：由题可知：a+c＝2b，∴直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，|PE|＝＝，当m＝0时，|PE|＝2，当n＝0时，|PE|＝，设＝t，当m≠0时，|PE|＝＝，令y＝26﹣，由判别式法可得：（4﹣y）t2﹣4t+26﹣y＝0，则△＝16﹣4（4﹣y）（26﹣y）≥0，解得y≤15+5，∴|PE|≤+．故选：D．二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是y＝±2x．（两条都写出）解：双曲线，可知a＝1，b＝2，所以双曲线的离心率是＝＝．渐近线方程为：y＝±x，即y＝±2x．故答案为：；y＝±2x．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为5，其外接球的表面积是50π．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为：＝5，故其外接球的直径为：5，∴其外接球的表面积是4π•（）2＝50π．故答案为：5，50π．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为4．解：过切点P（3，2）且与x+y﹣1＝0垂直的直线为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，与直线y＝﹣4x联立，解得x＝1，y＝﹣4，∴圆心为（1，﹣4），∴半径r＝，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8；圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离d＝，∴圆被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2＝8；4．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．解：由椭圆的方程可得：a＝3，b＝，c＝2，所以F（2，0），当直线AB⊥x轴时，A（2，y），且y＞0，所以，解得y＝，所以|AB|＝，当|AF|＝2|BF|，设直线AB的方程为：x＝my+2，（m＜0），代入椭圆方程可得：（9+5m2）y2+20my﹣25＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，y，由|AF|＝2|BF|可得：y1＝﹣2y2，所以联立方程解得m＝﹣，所以直线AB的方程为：x＝﹣，即y＝﹣，故直线AB的斜率为﹣，故答案为：．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是2x+y﹣7＝0．解：设所求直线的方程为2x+y+m＝0，将点（2，3）代入方程，可得m＝﹣7，故所求直线方程为2x+y﹣7＝0．故答案为：2x+y﹣7＝0．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是5﹣3．解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C1为（0，2），半径R＝1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝4，其圆心C2为（4，0），半径r＝2，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，解可得，即N（﹣3，﹣1），|NC2|＝＝5，当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，故答案为：5﹣3．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．解：设棱长为3a，QB＝x（0＜x≤3a），由余弦定理得QE＝．则正四面体的高PO＝＝a，设P到平面BCD的距离为h，则，x＝，∴sinθ＝＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．【解答】解（Ⅰ）设P（x，y），∵点A的坐标为（1，1），则由，得，∴动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，∴圆心C（2，2）到l的距离d＝，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝4，显然满足条件，∴l的方程为x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连BC1，则M为BC1的中点，又O为BD的中点，所以OM∥C1D，因为OM⊄平面DB1C1，C1D⊂平面DC1B1，所以直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）解：连D1O，因为ABCD是菱形，所以DO⊥AC，又ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，所以D1A＝D1C，而O为AC中点，所以D1O⊥AC，所以∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角，因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以DO＝1，又DO＝2，所以，所以．二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．解：（Ⅰ）抛物线C的焦点，可设直线，代入y2＝2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，已知A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt，，∴，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设P（x3，y3），Q（x4，y4），则依题知x3+x4＝2x0，y3+y4＝2，由，得（y3+y4）（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），即2（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），得，∵MN⊥PQ，∴MN的斜率为，得x0＝2，∴圆M的半径．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：因为BC＝3，CD＝6，∠C＝60°，所以由余弦定理得，从而BD2+BC2＝CD2，所以DB⊥BC，由已知得AB＝MC，AB∥MC，所以ABCM为平行四边形，所以DB⊥AM，设DB∩AM＝O，则折后可得AM⊥平面QOB，所以QB⊥AM，因为，即QB2+BO2＝QO2，所以QB⊥BO，因为AM∩BO＝O，AM，BO⊂平面ABCM，所以QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）作BP⊥QO于P，则由AM⊥平面QOB知BP⊥平面AQM，连MP，则MP是BM在平面AQM上的射影，所以∠BMP即是BM与平面AQM所成的角．因为，BM＝＝＝，所以．∴直线BM与平面AQM所成角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．解：（Ⅰ）由题意得，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意得椭圆M的方程为，从而O到AB的距离是N到AB距离的，所以．（ⅱ）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，所以．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由，所以，即（当且仅当时取得等号），从而．。
2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案
2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。
浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ， 平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。
2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0 2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣13．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a| 4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．269．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．1411．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）.13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．三、解答题（共4小题）.19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC121．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0解：由于倾斜角为的直线和x轴垂直，故选：A．2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣1解：∵直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，∴＝≠，求得a＝2，故选：B．3．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a|解：根据题意，圆x2+y2+2ax﹣2＝0，即（x+a）2+（y﹣a）2＝a2，其圆心为（﹣a，a），半径r＝|a|，故选：D．4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．故选：A．5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：①若a∥b，a⊥α，由线面垂直的性质定理可得b⊥α，故①正确；②若α∥β，a⊥α，由线面垂直和面面平行的性质可得a⊥β，故②正确；③若a∥α，可得过a的平面γ与α的交线b平行于a，由a⊥β，可得b⊥β，又b⊂α，则α⊥β，故③正确；④若a⊥α，α⊥β，可得a∥β或a⊂β，故④错误．故选：A．6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：根据棱台的几何性质可知，A1B1∥AB，B1C1∥BC，因为AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则B1BCC1四点共面，所以BB1⊥BC，则∠ABC即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．故选：C．7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．解：设球的直径为2R，则圆锥的底面半径为R，母线长为2R，因为圆锥的额侧面展开图是扇形，故扇形的半径为母线长2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为2πR，故扇形的面积为，即圆锥的侧面积为2πR2，所以圆锥的表面积为2πR2+πR2＝3πR2，球的表面积为4πR2，所以圆锥与球的表面积之比是．故选：C．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．26解：因为椭圆＝26，故其焦点为（﹣3，﹣4）和（3，4），且2a＝26，故2c＝＝10，∴a＝13，c＝5，∴b＝＝12，∴短轴长为2b＝24，故选：C．9．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2；圆（x﹣4）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径为1．依题意得|PF|＝1+r，|PO|＝2+r，则|PO|﹣|PF|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|＝2，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．14解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：故V＝．故选：C．11．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为实数x，y满足x|x|+＝1，当x＞0，y＞0时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分，当x＞0，y＜0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＞0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＜0时，方程为，图象不存在，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是，令z＝x+y﹣4，即直线为y＝与渐近线平行，当z最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，联立方程组，可得，当直线与椭圆相切时，则有，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，当z最小时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，此时y＝，故z＞﹣4，综上可得，z的取值范围为，所以|z|的取值范围为，即|x+y﹣4|的取值范围是．故选：B．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．解：因为AD⊥AE，BE⊥BF，FC⊥DC，所以折叠以后可以让A'EF作为三棱锥的底面，DA'为三棱锥的高，则A'D⊥A'E，A'E⊥A'F，A'F⊥A'D，所以A'D，A'E，A'F两两垂直，将三棱锥放入以A'D，A'E，A'F为相邻三条棱的长方体中，则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，因为A'D＝4，A'E＝2，A'F＝2，所以外接球的半径R＝，在△DEF中，cos∠DEF＝，所以sin∠DEF＝，△DEF外接圆的半径为r，则有，所以，故球心O到△DEF外心的距离为，所以以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为．故选：A．二、填空题（本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分）13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是2x+y﹣1＝0．解：已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是d＝＝＝；点A为（1，﹣1），垂直于直线l的直线方程斜率为＝﹣2，故过点A且垂直于直线l的直线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是（±5，0）；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．解：由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c＝，故椭圆的焦点坐标为（±5，0）；在双曲线中，由已知可得c＝5，且离心率e＝，所以a＝4，则b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，故双曲线的方程为：，故答案为：（±5，0），．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是30°．解：设正方体的棱长为2，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1∥BB1，则∠B1BC即为棱AA1与面对角线BC1所成的角，在Rt△B1BC中，，所以∠B1BC＝45°，故棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；连结AC与BD交于点O，则BO⊥AC，又A1A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥AA1，又AA1，AC是体对角面ACC1A1内两条相交直线，所以BO⊥平面ACC1A1，则∠BC1O即为面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角，在Rt△BOC1中，，所以sin∠BC1O＝，故面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角为30°．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．解：可设A在双曲线的右支上，|AF1|＝m，|AF2|＝n，在直角三角形AF1F2中，∠AF1F2＝30°，|F1F2|＝2，可得m＝2，n＝2，由双曲线的定义可得m﹣n＝2×2，即2﹣2＝4，解得b＝12+8，故答案为：12+8．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是[0，2]．解：如图，动点P在直线x+y﹣2＝0上，当PM与圆相切时，∠OPM最大，∵|OM|＝，∠∠OPM＝60°，∴|OP|＝2，设P（x，y），则|OP|＝，把y＝2﹣x代入，可得x2+（2﹣x）2＝4，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2．∴点P横坐标的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．解：设正方体为ABCD﹣A′B′C′D′投影最大时候，是投影面α与平面AB′C平行，三个面的投影为三个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影的面积＝2S△AB′C＝2××a×＝．故答案是：．三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．解：（1）由抛物线的方程可得准线方程x＝﹣，依抛物线的性质得，所以p＝4，将A（2，m）代入y2＝8x，得m＝4．所以p，m的值分别为4，4；（2）设B（2t2，4t），直线OA的方程为2x﹣y＝0，则点B到直线OA的距离，又，由题意得，解得t＝﹣1或t＝2，所以点B的坐标是（2，﹣4）或（8，8）．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC1【解答】证明：（1）连B1C交BC1于点E，连DE，则在△AB1C中，D，E是中点，所以AB1∥DE，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥面BC1D；（2）方法一：取BC中点F，连AF，B1F，由正三棱柱的性质知AF⊥侧面BCC1B1，所以AF⊥BC1，……①在侧面BCC1B1中，，F是中点，则Rt△BB1C1∽Rt△FBB1，所以BC1⊥B1F……②，由①②知BC1⊥面AB1F，所以BC1⊥AB1．方法二：在正三棱柱中，由于，，可得，所以，＝，所以，AB1⊥BC1．21．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．解：（1）连接AO，∵AB＝AS，O是BS的中点，∴BS⊥AO，∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，又AO∩DO＝O，AO、DO⊂平面AOD，∴BS⊥平面AOD，过O作OE⊥AD于E，则OE⊥BC，∵OE⊂平面AOD，∴BS⊥OE，又BC∩BS＝B，BC、BS⊂平面SBC，∴OE⊥面SBC，在Rt△AOD中，AO＝＝1，DO＝＝2，∵S△AOD＝AO•DO＝AD•EO，∴EO＝＝＝，∴DE＝＝．（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），S（0，﹣2，0），D（0，0，2），∴＝（﹣1，0，2），，，由（1）知，，∴E，∵EO⊥平面SBC，∴平面SBC的一个法向量，设平面SCD的一个法向量是，则，即，令y＝1，则x＝2，z＝﹣1，∴，∴，由图可知，二面角B﹣SC﹣D所成的角为钝角，故二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值为．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．解：（1），所以，，b＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）设圆的切线OA（OB）的方程为y＝kx，则，整理得（3﹣4m2）k2+8mnk+3﹣4n2＝0，其两根k1，k2满足……①这里k1＝k OA，k2＝k OB，且……②设A（x1，kx1），B（x2，kx2），则，，这里，，所以，，由①②得k1k2＝，则，所以，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号．即．。
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(word版含答案)
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列直线中，与直线210x y ++=平行的是（ ）A ．210x y ++=B ．2410x y ++=C ．210x y -+=D ．2410x y -+=2．双曲线2212x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =± 3．已知球O 的体积为36π，则该球的表面积为（ ）A ．6πB ．9πC ．12πD ．36π 4．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点，记1,,AB a AD b AA c ===，则EF =（ ）A ．12EF a b c =++ B ．3322EF a b c =++ C ．1122EF a b c =-- D ．1122EF a b c =-++ 5．已知平面α，直线m ，n ．（ ）A ．若//,//m n n α，则//m αB ．若,//m n n α⊥，则m α⊥C ．若//,//m n αα，则//m nD ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥6．已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，（ ） A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 7．已知圆222:22230C x y mx y m ++++-=，则（ ）A ．圆心C 在一条平行于x 轴的定直线上运动，且其半径存在最小值B ．圆心C 在一条平行于y 轴的定直线上运动，且其半径存在最小值C ．圆心C 在一条平行于x 轴的定直线上运动，且其半径存在最大值D ．圆心C 在一条平行于y 轴的定直线上运动，且其半径存在最大值8．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤ B ．12sin sin 1θθ+≥ C ．122πθθ+≤ D ．122πθθ+≥9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ）A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k -=D ．2211e k+= 10．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，P 是侧面11AAC C 内一点，设P 到平面11BB C C 的距离为d ，若12PA d =，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分二、双空题 11．已知()()()1,2,2,1,,2A B C x --三点共线，则x =______，直线AB 的倾斜角为_________．12．若某一个圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱体的底面圆半径是_______，侧面积是_______．13．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为_______3cm ，其中最长棱的长度是_______cm ．三、填空题14．已知圆221:20C x y y +-=和圆222:440C x y x y m +-++=相交于A ，B 两点，若直线AB 的方程为2340x y -+=，则||AB =________，m =______．15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EMxEF yEG x y =+∈R ，则点M的轨迹所形成的长度是________．16．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．17．如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB 的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．四、解答题18．已知直线1:230l x y +-=和2:230l x y +-=相交于点A ．（1）求经过点A 且与1l 垂直的直线方程；（2）设经过点(0,1)P -的直线l 与12,l l 分别相交于B ，C ，若AB AC =，求直线l 的方程．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D 是棱1CC 的中点，1AB AA =．（1）证明：1AB BD ⊥；（2）求二面角1B AB D --的平面角的余弦值．20．已知圆221:1O x y +=，圆222:(4)4O x y -+=，P 是直线:20l x my +-=上一点，过点P 分别作圆12,O O 的切线，切点分别为A ，B ．（1）若||PA 的最小值为1，求实数m 的值；（2）若直线l 上有且仅有2个点P 满足||2||PB PA =，求实数m 的取值范围．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA PD ⊥，E ，F ，G 分别是,,AD BC PB 的中点，1AB =，2PB BC ==．（1）证明：//PE 平面AFG ；（2）求直线PB 与平面AFG 所成角的正弦值．22．如图，已知A ，B ，C ，D 是抛物线2:2x y Ω=上四个不同的点，且//AB CD ，设直线AC 与直线BD 相交于点P ，设(0)PC CA λλ=>．（1）求证：A ，P ，B 三点的横坐标成等差数列；（2）当直线AB 经过点(0,1)Q ，且2λ=时，若PAB △面积的为203，求直线AB 的方程．参考答案1．B【分析】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，可得121121==，根据两直线的位置关系，可得两直线重合，不符合题意； 对于B 中，可得121241=≠，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C 中，可得1221≠-，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于C 中，可得1224≠-，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 2．A【分析】求出a 、b 的值，即可得出所求双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线2212x y -=中，a =1b =，因此，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：A.3．D【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.【详解】设球的体积为R ，则由题可得34363R ππ=，解得3R =，则该球的表面积为24336ππ⨯=.故选：D.4．C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】1111112EF EC C F AB C B B F =+=++ ()11112222a b c a b c ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭. 故选：C5．D【分析】根据线面平行，垂直的判定定理和性质即可判断.【详解】对A ，若//,//m n n α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对B ，若,//m n n α⊥，则m 和α平行、相交或在平面内，故B 错误；对C ，若//,//m n αα，则,m n 平行、相交或异面，故C 错误；对D ，若,//m n αα⊥，则m n ⊥，故D 正确.故选：D.6．D【分析】根据曲线方程，分别求出曲线表示双曲线、椭圆时参数的取值范围，即可判断；【详解】解：因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆； 故选：D7．C【分析】首先将圆的方程化成标准式，表示出圆心坐标及半径，即可判断；【详解】解：因为222:22230C x y mx y m ++++-=所以()()222:14C x m y m +++=-，故圆心坐标为(),1C m --，半径r =故圆心坐标在直线1y =-上运动，2r ≤，当0m =时半径取得最大值， 故选：C8．C【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项.【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 9．B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-， 利用点差法22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=， 即221k e +=故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项. 10．D 【分析】取11,B C BC 的中点,M N ，得出平面222A B C ，作122PP B C ⊥，在直角12PPC 中，求得2PC =，以1C 为原点，1C C 为x 轴，11C A 为y 轴建立平面直角坐标系，求得点(,)P x y 的轨迹方程，即可求解. 【详解】如图所示，取11,B C BC 的中点,M N ，连接1,,A M AN MN ， 得到平行于平面ABC 且过点P 的平面222A B C ，如图（1）（2）所示， 作122PP B C ⊥，则1PP d =，在直角12PPC 中，可得2PC =， 在图（3）中，设直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为a ，且(,)P x y ， 以1C 为原点，1C C 为x 轴，11C A 为y 轴建立平面直角坐标系， 则1(0,)A a ，所以21,4y A P d ==， 所以222(0))4x a d -+-=，整理得222220x y ay a --+=， 所以点P 的轨迹是双曲线的一部分. 故选：D.11．3 4π【分析】由三点共线得斜率相等即可求解. 【详解】直线AB 斜率为12121AB k +==+，BC 斜率为212BC k x -=-，因为()()()1,2,2,1,,2A B C x --三点共线，所以AB BC k k =，则3x =，由tan 1θ=得4πθ=所以直线AB 的倾斜角为4π故答案为：3；4π 12．1 4π 【分析】根据圆柱的轴截面可求得圆柱的底面圆半径及其圆柱的侧面积. 【详解】因为圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的底面圆半径为212r ==， 该圆柱的母线长为2l =，因此，圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=. 故答案为：1；4π.13．73【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱台，由棱台体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图所示，该几何体为棱台，上底面为腰长为1的等腰直角三角形，所以上底面111122S =⨯⨯=，下底面为腰长为2的等腰直角三角形，下底面12222S '=⨯⨯=，高等于2；所以体积(1117223323V h S S ⎛'=++=⨯⨯+= ⎝又2BE DE EF ===，DF ==CF AD =AC =DF =，故答案为：73；【点睛】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体．14．138- 【分析】将圆的方程作差得到直线AB 的方程，即可得到m 的值，再根据垂径定理可以构建1,,2AB r d 满足勾股定理，从而求得相交弦||AB 的值. 【详解】因为圆221:20C x y y +-=和圆222:440C xy x y m +-++=相交于A ，B 两点将两圆相减得直线AB 的方程为460x y m --=，则8m =-.又221:20C x y y +-=得圆心为(,)1C 01，半径为1，故圆心(,)1C 01到直线AB 的距离为13d ==所以1213AB ===，13AB ∴=；，8- 【点睛】1.两圆相交的情况下，将圆的方程作差就可以得到相交直线的方程；2.根据垂径定理可以构建1,,2AB r d 满足勾股定理。
2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（ ） A ．()1,2,3-- B ．()1,2,3---C ．()1,2,3--D ．()1,2,3--【答案】C【分析】根据对称性求得坐标即可.【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()1,2,3--， 故选：C2．已知1,21,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，*n N ∈，若121a =，则4a =（ ）A ．6B ．11C ．12D ．22【答案】C【分析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为1,21,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，*n N ∈，121a =，则21122a a =+=，23112aa ==，43112a a =+=，故选：C.3．已知ABC 的周长等于10，4BC =，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A 的轨迹方程可以是（ ） A ．()221095x y y +=≠B ．()221094x y y +=≠C ．()22103620x y y +=≠D ．()22103616x y y +=≠【答案】A【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为ABC 的周长等于10，4BC =， 所以6AB AC BC +=>，因此点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，且A 不在直线BC 上， 因此有22226,243,25a c a c b a c ==⇒==⇒=-=，所以顶点A 的轨迹方程可以是()221095x y y +=≠，故选：A4．在四棱锥A BCD -中，,M N 分别为,AB CD 的中点，则（ ） A ．111222MN AD AC AB =+- B ．111222MN AD AC AB =++ C ．111222MN AD AC AB =--+D ．111222MN AD AC AB =-+ 【答案】A【分析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为,M N 分别为,AB CD 的中点，则12AM AB =,12CN CD =,MN AM AC CN =-++111222AB AC AC AD =-+-+111222AB AC AD =-++,故选：A.5．已知{}n a 是等比数列，则（ ） A ．数列{}na 是等差数列B ．数列{}2n a 是等比数列C ．数列{}lg n a 是等差数列D ．数列{}2n a是等比数列【答案】B【分析】取0n a <，可判断AC 选项；利用等比数列的定义可判断B 选项；取2n n a =可判断D 选项.【详解】若0n a <n a 、lg n a 无意义，A 错C 错；设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭（常数）， 故数列{}2n a 是等比数列，B 对；取2nn a =，则11222n n n n a a ++==，数列{}n a 为等比数列， 因为124a =，242216a ==，3822256a ==，且()3212222a a a ≠⋅，所以，数列{}2n a不是等比数列，D 错.故选：B.6．气象台A 正南方向400km 的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为50km /h ，距台风中心250km 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ） A ．3h B ．4hC ．5hD ．6h【答案】D【分析】利用余弦定理进行求解即可.【详解】如图所示：设台风中心为O ，30AOB ∠=︒，t 小时后到达点B 处，即50BO t =，当250AB ≤时，气象台所在地受到台风影响， 由余弦定理可知：22232cos3016000025002400502AB AO BO AO BO t t ︒=+-⋅⋅⋅+-⨯⋅⋅有：2223160000250024005025083390AB t t t t =+-⨯⋅≤⇒-+≤， 解得：433433t ≤≤，所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是433(433)6-=， 故选：D7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且满足()11DE xDA yDC x y DD =++--，则DE 的最小值是（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】C【分析】由空间向量的共面定理可得点1,,,E A C D 四点共面，从而将求DE 的最小值转化为求点D 到平面1ACD 的距离d ，再根据等体积法计算d .【详解】因为()11DE xDA yDC x y DD =++--，由空间向量的共面定理可知，点1,,,E A C D 四点共面，即点E 在平面1ACD 上，所以DE 的最小值为点D 到平面1ACD 的距离d ，由正方体棱长为1，可得1ACD △是边长为2的等边三角形，则()12132sin232ACD S π=⨯⨯=△，111122ACD S =⨯⨯=△，由等体积法得，11D ACD D ACD V V --=，所以131********d d ⨯⨯=⨯⨯⇒=，所以DE 的最小值为33. 故选：C【点睛】共面定理的应用：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(),,x y z 使得OP xOA yOB zOC =++，说明：若1x y z ++=，则,,,P A B C 四点共面.8．已知,,A B C 三个观测点，A 在B 的正北方向，相距2040m ，C 在B 的正东方向，相距1360m .在某次爆炸点定位测试中，,A B 两个观测点同时听到爆炸声，C 观测点晚2s 听到，已知声速为340m/s ，则爆炸点与C 观测点的距离是（ ） A ．680m B ．1020mC ．1360mD ．1700m【答案】D【分析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设爆炸点为O ，由于,A B 两个观测点同时听到爆炸声，则点O 位于AB 的垂直平分线上，又C 在B 的正东方向且C 观测点晚2s 听到，则点O 位于AB 的左侧，2040m AB =，1360m BC =,3402680m OC OB -=⨯=，设m OB x =，则()2222213606801020cos cos sin 221360x x x OBC OBA OBA x +-+-⎛⎫∠=∠+=-∠== ⎪⋅⎝⎭π解得1020x =，则爆炸点与C 观测点的距离为10206801700m +=， 故选：D. 二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．282a a += B ．371a a = C ．99S = D ．1010S =【答案】AC【分析】根据等差中项的性质可判断AB 选项；利用等差数列的求和公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，28522a a a +==，A 对； 对于B 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()22237555224141a a a d a d a d d =-+=-=-≤，B 错；对于C 选项，()19959992a a S a +===，C 对； 对于D 选项，10910109S S a a =+=+，10S 的值无法确定，D 错. 故选：AC.10．已知直线()()():1120l m x m y m m R ++--=∈和圆22:1O x y +=，则（ ） A ．直线l 经过定点()1,1 B ．直线l 与圆O 相切时1m =-C ．当0m =时直线l 被圆O 截得弦长等于1D ．当12m =时直线l 被圆O 【答案】AD【分析】对于A ，将直线方程转化为关于m 的方程形式，求得定点坐标；对于B ，根据直线与圆的位置关系求得参数值；对于CD ，根据参数值求得弦长； 【详解】对于A ，将直线变形为：(2)0x y m x y +-+-=，则200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得1x y ==，即定点坐标为()1,1，故A 正确；对于B ，当直线l 与圆O 1=，解得1m =±，故B 错误；对于C ，当0m =时，直线:0l x y -=，圆O 被截得的弦长等于2，故C 错误； 对于D ，当12m =时，直线:320l x y --=，圆O 被截得的弦长等于=D 正确；故选：AD11．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一点，满足2MF 垂直于x 轴，且1MF 与以2OF 为直径的圆相切于点N （O 为坐标原点），则（ ） A ．123MF MF = B ．2MN MF =C ．12122MF MF F F +=D ．1212MF MF F -=【答案】ABD【分析】根据椭圆的定义、圆的切线性质，结合勾股定理逐一判断即可. 【详解】不妨设点M 在第一象限，以2OF 为直径的圆的圆心为P ，如图所示：当x c =时，由222221c y b y a b a +=⇒=（负值舍去），所以2(,)bM c a，因为圆P 的半径为2c，1MF 是圆P 的切线，显然2MF 是也是圆P 的切线，因此有2MF MN =，所以选项B 正确；在直角1NPF 中，1NF ===，由椭圆的定义可知：122MF MF a +=，显然选项C 不正确；由22121222b b MF MF a MN NF MN a a a a+=⇒++=⇒+=，22c a b c =⇒⇒==，所以222b MF a ==，12MF a =，123MF MF =，1212MF MF F -==，选项AD 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用椭圆的定义，结合圆的切线性质是解题的关键. 12．全班学生到工厂劳动实践，各自用4cm AB =，12cm BC CC ==的长方体1111ABCD A B C D -切割出四棱锥P FBED -模型.产品标准要求：,E F 分别为,AB CD 的中点，P 可以是线段11A B (不含端点)上的任意一点，有四位同学完成制作后，对自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是( )A ．使直线PD 与平面PEB 所成角取到了最大值 B ．使直线PE 与平面PDF 所成角取到了最大值C ．使平面PDE 与平面PFB 的夹角取到了最大值D ．使平面PDF 与平面PEB 的夹角取到了最大值 【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，设P 点坐标，利用向量法求出各个选项所研究的角的正弦值或余弦值，根据点P 的坐标变化范围即可判断角的变化情况，判断角是否能取到最大值即可.【详解】则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()2,2,0E ，()0,2,0F ， 设()2,,2,04P t t <<，则()2,,2DP t =，()0,2,2EP t =-，()0,2,0DF =，()2,2,0DE =，()2,2,2FP t =-，()0,4,2BP t =-，取平面PEB 的一个法向量为()2,0,0m DA ==， 设平面PDF 的法向量为()111,,n x y z =， 则1110000y n DF x z n DP ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，取()2,0,2n =-，设平面PDE 的法向量为()222,,p x y z =，则22222220000x ty z p DP x y p DE ⎧++=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，取()2,2,2p t =--，设平面PFB 的法向量为()333,,q x y z =，则()()33333222004200x t y z q FP t y z q BP ⎧⎧+-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩，取()2,2,4q t =--， A ：设直线PD 与平面PEB 所成角为α， 则224sin cos ,288DP m DP m DP m t t α⋅===⋅++，∵0＜t ＜4时，函数28y t =+单调递减，没有最大值，故A 描述不可能符合标准.B ：设直线PE 与平面PDF 所成角为β， 则222sin cos ,44(2)4(2)4EP n EP n EP nt t β⋅====⋅+⋅-+-+，0＜t ＜2时，函数y2＜t ＜4时，函数y减，∴当t ＝2时，即P 是11A B 中点的时候，sin β取最大值，此时夹角β最大，故B 描述可能符合标准.C ：设平面PDE 与平面PFB 的夹角为θ， 则2cos cos 8(p q p q pqθ⋅=⋅==⋅+下面研究函数2y t ∈(0，4)上的单调性：令t －3＝s ，22(3)t s r -==， 222616(3)77t t t s -+=-+=+，28(2)t +-＝()()2228[31]9(3)2392t t t s s +-+=+-+-=++， 28(4)t +-＝()()2228[31]9(3)2392t t t s s +--=+---=+-，则228(2)8(4)=t t ⎡⎤⎡⎤+-⋅+-⎣⎦⎣⎦()()229292s s s s+++-()()2222422941481732s s s s s =+-=++=++，∴2y=2===t ∈(0，4)，2(3)r t =-在()0,3t ∈递减，在()3,4t ∈递增，且[)0,9r ∈，又y =在[)0,9r ∈时递增， 故由复合函数单调性判断原理可知2y 在()0,3t ∈递减，在()3,4t ∈递增，则cos θ在t ＝3时取最小值，此时θ最大，即平面PDE 与平面PFB 的夹角取到了最大值，故C 描述可能符合标准. D ：设平面PDF 与平面PEB 的夹角为φ，则42cos cos ,2244m n m n m nϕ⋅====⋅⋅+，即45ϕ=为定值，故D 描述不可能符合标准. 故选：BC.【点睛】本题综合考察了线面角和面面角的向量求法.问题关键是选项C 的情况，需要合理换元，通过复合函数的单调性判断法则判断所得函数的单调性. 三、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，对ABD 部分以BD 为轴进行翻折，A 翻折到A '，使二面角A BD C '--的平面角为直二面角，则A B CD '=___________. 【答案】-2【分析】根据CD BA →→=，则''A B CD A B BA →→→→⋅=⋅，根据条件求得向量夹角即可求得结果. 【详解】由题知，CD BA →→=，取BD 的中点O ，连接,'AO A O ，如图所示，则,'AO BD A O BD ⊥⊥，又二面角A BD C '--的平面角为直二面角， 则'90AOA ，又'2AO A O ==则'2AA =，'ABA △为等边三角形，从而2',3A B BA π→→<>=， 则2''22cos 23A B CD A B BA π→→→→⋅=⋅=⨯⨯=-， 故答案为：-214．若圆()222:0O x y r r +=>与圆22:4460A x y x y +--+=相交，则r 的取值范围是__________. 【答案】2,32【分析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.【详解】圆()222:0O x y r r +=>的圆心为原点，半径为r ，圆22:4460A x y x y +--+=，即()()22222x y -+-=的圆心为()2,2，半径为2，由于两圆相交，故22r OA r -<<+，即2222r r -<<+， 解得232r <<，即r 的取值范围是()2,32，故答案为：()2,3215．达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点F 到直线QC 的距离是__________.【答案】2【分析】根据题意，求得△FQC 的三条边长，在三角形FQC 中求边QC 边上的高线即可.【详解】根据题意，延长,QN BA 交于点M ，连接,QF FC ，如下所示：在△QFC 中，容易知：()2222123QF QN NF =+=+同理()22156FC =+()2222253QC QM MC +=+=，满足222QF FC QC +=，设点F 到直线QC 的距离为d ，由等面积法可知：QF FC QC d ⨯=⨯，解得d ==F 到直线QC .16．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：101.1 2.59≈，111.1 2.85≈，121.1 3.14≈） 【答案】24【分析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入. 【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为101010%(110%)⨯⨯+， 2022年的投入在结算时的收入为91110%(110%)⨯⨯+， ，2030年的投入在结算时的收入为11910%(110%)⨯⨯+， 则结算时的总投资及收益为： 10911010% 1.11110% 1.1++1910% 1.1S =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯①，则111021.11010% 1.11110% 1.1++1910% 1.1S =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯②，由①-②得，11109210.11010% 1.1110% 1.110% 1.110% 1.1+1910% 1.1S -=-⨯⨯-⨯⨯-⨯--⨯⨯⨯，则2111110921111.1 1.110 1.1 1.1 1.1 1.1-19 1.110 1.120.91 1.1S -=⨯++++⨯=⨯+--1120 1.112.120.920 2.853324=⨯--≈⨯-=，故答案为：24 四、解答题17．已知数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n N +==∈，数列{}n b 为等差数列，35b =，前4项和416S =.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求和：123n b b b b a a a a ++++.【答案】(1)13n n a -=，21n b n =-；(2)918n -.【分析】（1）根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）根据（1）中所求，构造数列n n b c a =，证明其为等比数列，利用等比数列的前n 项和即可求得结果.【详解】(1)因为数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n N +==∈，故可得数列{}n a 为等比数列，且公比3q =，则13n n a -=；数列{}n b 为等差数列，35b =，前4项和416S =，设其公差为d ， 故可得1125,4616b d b d +=+=，解得11,2b d ==，则21n b n =-；综上所述，13n n a -=，21n b n =-.(2)由（1）可知：13n n a -=，21n b n =-，故22139n n n n b c a --===， 又11999nn n n c c +-==，又11c =，则{}n c 是首项1，公比为9的等比数列； 则123n b b b b a a a a ++++1231991198n n n c c c c --=++++==-. 18．已知：圆P 是ABC 的外接圆，边BC 所在直线1l 的方程为4330x y --=，中线AD 所在直线2l 的方程为810x y --=，直线3:80l x y +-=与圆P 相切于点A . (1)求点A 和点D 的坐标； (2)求圆P 的方程.【答案】(1)A （1,7）, (0,1)D - (2)22(4)(2)50x y ++-=【分析】（1）1l 与2l 的的交点为点D , 3l 与2l 的的交点为点A ,联立解方程即可得出结果. （2）设圆P 的圆心P 为(),x y ，由31AP k k ⋅=-，11DP k k ⋅=-，计算求解即可得出P 点坐标，由r PA =求得半径，进而可得出圆的方程. 【详解】(1)由题可得：1l 与2l 的的交点为点D ,故由4330810x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)D -3l 与2l 的的交点为点A ,81080x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：17x y =⎧⎨=⎩，故A （1，7） (2)设圆P 的圆心P 为(),x y ，由3l 与圆P 相切于点A ，且3l 的斜率为31k =-,则31AP k k ⋅=-即7(1)11y x -⋅-=--， 即6y x =+，①又圆P 为ABC 的外接圆，则BC 为圆P 的弦， 又边BC 所在直线1l 的科率为143k =, 故根据垂径定理，有BC PD ⊥进而11DP k k ⋅=-，即4113y x+⋅=-②， 联立①②，解得：42x y =-⎧⎨=⎩，即(4,2)P -故r PA =P 的方程为：22(4)(2)50x y ++-=. 19．已知：0a b >>，椭圆22122:1x y C a b +=，双曲线22222:1y x C b a-=.(1)若1C 2C 的离心率； (2)当2,1a b ==时，过点()0,1A 的直线l 与1C 的另一个交点为P ，与2C 的另一个交点为Q ，若P 恰好是AQ 的中点，求直线l 的方程.【答案】(2)1y x =+或1y =+ 【分析】（1）有椭圆的离心率可以得到，,a b 的关系，在双曲线中方程是非标准的方程，注意套公式时容易出错.（2）联立方程分别解得P ,Q 两点的横坐标，利用中点坐标公式即可解得斜率值.【详解】(1)椭圆1C 21214c b e a a ==，在双曲线中因为222222,a b b a ==，222c e a ===.(2)当2,1a b ==时, 椭圆221:14x C y +=，双曲线222:14x C y -=.当过点()0,1A 的直线l 斜率不存在时，点P ,Q 恰好重合，坐标为(0,1)-，所以不符合条件；当斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，1,122(),(,)P x y Q x y ，联立方程22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()224180k x kx -+=，利用韦达定理128041k x k +=-+，所以12841k x k =-+；同理联立方 程22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，韦达定理得228041k x k +=--，所以22841k x k =--由于P 是AQ 的中点，所以212A x x x +=,所以212x x =，即228824141k kk k -=--+，化简得233,42k k ==±，所以直线方程为312y x =+或312y x =-+. 20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PB ⊥平面ABCD ，3PDC ADC π∠=∠=，N 是CD 的中点.(1)若M 为线段PB 的中点，证明：MN ∥平面PAD ；(2)线段PB 上是否存在点M ，使得直线PA 与平面CMN 所成角的正弦值为77，若存在，求BM 的长，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，且BM 15.【分析】（1）取AB 的中点为E ，连接,NE ME ，得到//,//ME AD NE PA ，结合面面平行的判定定理证得平面//MNE 平面PAD ，进而得到//MN 平面PAD ；（2）以B 为原点，,BA BP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，以垂直平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，设(0)BM b b =>，求得CMN 的法向量为n 和向量PA ，结合向量的夹角公式列出方程，求得b 的值，即可求解. 【详解】(1)证明：取AB 的中点为E ，连接,NE ME ，因为,,M N E 分别为,,CD PB AB 的中点，所以//,//ME AD NE PA ， 又因为,ME NE ⊂平面MNE ，且ME NE E ⋂=， 所以平面//MNE 平面PAD ，又由MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面PAD .(2)解：以B 为原点，,BA BP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，以垂直平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，设PB a =， 在直角PBC 中，可得2224PC PB BC a =+=+， 在直角PBD △中，可得22212PD PB BD a =+=+， 在PCD 中，因为3PDC π∠=，所以2222cos PC PD CD PD CD PDC =+-⋅∠，即2222221(4)(12)221222a a a +=++-+⨯⨯，解得26a =， 设(0)BM b b =>，可得(0,0,),(3,2,0),(3,1,0),(0,0,26),(0,2,0)M b N C P A ， 则(0,2,26),(3,1,),(0,1,0)PA CM b CN =-=--=，设平面CMN 的法向量为(,,)n x y z =，则300n CM x y bz n CN y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3z =，可得(,0,3)n b =， 设直线PA 与平面CMN 所成角为θ， 所以2627sin 7328n PA n PAb θ⋅===⋅+⋅，解得215b =，即15b =， 所以存在点M ，且BM 的长为15.21．已知数列{}n a 满足12a =，1342n n n a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为()*1,n n n N +∈.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1,11,1,12=-=-，设{}n n a b +的前n 项和为n S ，令[]4log n n c S =，求证：122311111n n c c c c c c ++++<. 【答案】(1)n a =42n n =-，2n b n = (2)证明见解析【分析】(1)利用累加法求{}n a 通项公式，利用通项公式与前n 项和公式的关系可求{}n b 的通项公式；(2)求出n S 并判断其范围，求出n c ，利用裂项相消法求11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和即可证明.【详解】(1)由题可知，当n ≥2时，()()()132211n n n a a a a a a a a -=-++-+-+()()123444212n n n --=+++--+＝()141432414n n --⨯-+-42n n =-当n ＝1时，1422a =-=也符合上式， ∴42n n a n =-；当2n 时，()()112n b n n n n n =+--=， 当n ＝1时，12b =也符合上式， ∴2n b n =；(2)由(1)知4224n n n n a b n n +=-+=，∴()141444143n n n S +--==-，∵1444444033n n nn n S +---=-=，4nn S ∴；∵11244403n n n S ++⨯+-=>，14n n S +∴<，144n n n S +∴<，4log 1n n S n ∴≤<+，[]4log n n c S n ∴==，∴11n n c c +()11111n n n n ==-++ 设n T 为数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则11111221111131n T n n n =-+--=-<++++. 22．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()00,A x y 到抛物线焦点的距离为014x +，点,A B 关于坐标原点对称，过点A 作x 轴的垂线，D 为垂足，直线BD 与抛物线C 交于,M N 两点.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线,AM AN 与y 轴交点分别为,P Q ，求PQ AD的值；(3)若2MNAN =⋅，求0x . 【答案】(1)2y x =； ； 【分析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线BD 的方程，与抛物线的方程联立，可求得点M 和N 的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；（3）利用弦长公式求得2||MN ，由两点间距离公式求得||AM 和||AN ，再解方程即可. 【详解】(1)抛物线的准线方程为：2px =-， 因为点()00,A x y 到抛物线焦点的距离为014x +， 所以有20011()242p x x p y x --=+⇒=⇒=；(2)由题意知，20(A y ，0)y ，设00y >，则20(B y -，0)y -，20(D y ，0)，所以直线BD 的方程为2001()2y x y y =-， 联立20021()2y x y y y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得，2001022y y y y --=，解得0(1yy =， 设21(M y ，1)y，22(N y ，2)y ，不妨取10(1y y =，20(1y y =， 直线AM 的斜率为102210101y y y y y y -=-+，其方程为200101()y y xy y y -=-+， 令0x =，则2000010(1P y y y y y y y =-==+，同理可得200020(1Qyy y y yy y=-=+，所以000P QPQ y y y y=-=，而0||AD y=，所以PQAD=(3)222120021||(1)(14)8MN y y y yk=+-=+⋅，其中12=ky，AM=AN因为2||MN AN=⋅，所以220000(14)8y y+⋅=化简得420081610y y--=，解得2y=，即2y=所以200x y==．【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2540B x x x =-+≥，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3 C.{}1,4 D.{}0,1,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{25401B x x x x x =-+≥=≤或}4x ≥，{}0,1,2,3,4A =，则{}0,1,4A B = .故选：D.2.已知()2i i z +=，i 为虚数单位，则z =（）A.15B.13C.D.53【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z 的值.【详解】因为()2i i z +=，则()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z -===+++-，故55z ==.故选：C.3.已知平面向量()2,0a =r ，()1,1b =- ，且()()//ma b a b -+，则m =（）A.1-B.0C.1D.132±【答案】A 【解析】【分析】首先求出ma b - 、a b + 的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为()2,0a =r，()1,1b =- ，所以()()()2,01,121,1ma b m m -=--=+- ，()()()2,01,11,1a b +=+-=，因为()()//ma b a b -+，所以()21111m +⨯=-⨯，解得1m =-.故选：A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左，右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若双曲线左支上存在点P 使得2322PF c a =-，则离心率的取值范围为（）A.[)6,∞+ B.(]1,6C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点P 到右焦点2F 的距离：2PF a c ≥+可确定双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意：322c a a c -≥+⇒132c a ≥⇒6ce a=≥.故选：A5.已知22cos cos 1θθ-=，()0,πθ∈，则sin θ=（）A.0B.12C.2或0D.2【答案】D 【解析】【分析】由已知可得出1cosθ1-<<，解方程22cos cos 1θθ-=，可得出cos θ的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sin θ的值.【详解】因为()0,πθ∈，则1cosθ1-<<，由已知可得22cos cos 10θθ--=，解得1cos 2θ=-，故sin 2θ===.故选：D.6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1111ln 23x xγ++++=+ （*x ∈N ，常数0.557γ= ）．利用以上公式，可以估算111101102300++⋯+的值为（）A.ln30B.ln3C.ln3-D.ln 30-【答案】B 【解析】【分析】依题意可得1111ln 30023300γ++++=+ ，1111ln10023100γ++++=+ ，两式相减，根据对数的运算法则计算可得.【详解】依题意可得1111ln 30023300γ++++=+ ，1111ln10023100γ++++=+ ，两式相减可得111ln 300ln100ln 3101102300++⋯+=-=.故选：B7.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“)os(1c 4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】依题意可得cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+，利用充分条件、必要条件的定义判断可得答案．【详解】π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cos 1β<<，0sin 1α<<，所以cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+，所以由)os(1c 4αβ-<不能推出1cos sin 4αβ+<，充分性不成立；反之，1cos sin 4αβ+<⇒)os(1c 4αβ-<成立，即必要性成立；π,0,2αβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，则“)os(1c 4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的必要不充分条件．故选：B ．8.已知圆22:20C x x y -+=与直线():20l y mx mm =+>，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A和B ，若线段AB 长度的最小值为，则实数m 的值为（）A.7B.7C.2D.7【答案】D 【解析】【分析】推导出PC 垂直平分AB ，分析可知，当PC 取最小值时，AB 取最小值，此时，PC l ⊥，利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，解之即可.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，如下图所示：由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，因为PA PB =，AC BC =，PC PC =，所以，PAC PBC ≌，所以，APC BPC ∠=∠，则PC AB ⊥，设AB PC E = ，则E 为AB 的中点，由勾股定理可得PA ==由等面积法可得22PA ACAB AE PC⋅===所以，当PC 取最小值时，AB取最小值，由=，可得PC =所以，PC的最小值为，当PC 与直线l 垂直时，PC 取最小值，=0m >，解得7m =.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x ，5，5，6，6的平均数为4.7，则（）A.7x =B.这组数据的中位数为4C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D.这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD 【解析】【分析】根据平均数求出x 值，再根据百分位的性质求出结果．【详解】由题意得()1334445566 4.710x +++++++++=，解得7x =，故A 正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数454.52+=，故B 错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为4.70.35+=，故C 正确；因为1070%7⨯=，所以这组数据的第70百分位数为(56)2 5.5+÷=，故D 正确．故选：ACD ．10.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5a =，6b =，7c =，下面说法正确的是（）A.sin :sin :sin 5:6:7A B C =B.cos :cos :cos 5:6:7A B C =C.ABC 是锐角三角形D.ABC 的最大内角是最小内角的2倍【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理可判断A 选项；利用余弦定理可判断BC 选项；利用二倍角的余弦公式可判断D 选项.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:6:7A B C a b c ==，A 对；对于B ，由余弦定理可得2223649255cos 22677b c a A bc +-+-===⨯⨯，22225493619cos 225735a c b B ac +-+-===⨯⨯，2222536491cos 22565a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以，cos :cos :cos 5:6:7A B C ≠，B 错；对于C ，因为a b c <<，则C 为最大角，又因为1cos 05C =>，则C 为锐角，故ABC 为锐角三角形，C 对；对于D ，由题意知，A 为最小角，则2251cos 22cos 121cos 749A A C ⎛⎫=-=⨯-=≠ ⎪⎝⎭，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()20,πA ∈，则2C A ≠，D 错.故选：AC.11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，PD =，点E 是棱PB 上一点（不包括端点），F 是平面PCD 内一点，则（）A.一定不存在点E ，使//AE 平面PCDB.一定不存在点E ，使PB ⊥平面ACEC.以D 为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD 的交线长为π3D.AE EF +的最小值165【答案】ACD 【解析】【分析】建立坐标系，利用空间向量判断A ，B ，把,PAB PCB 展开到同一平面内计算判断D ，求出球面与,PAD PAB 的交线，再借助对称计算判断C 即可.【详解】对于A ，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，因为,⊂DA DC 面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以DA DC ⊥，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()(2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,3A B C P ，设(()()2,2,32,2,3,0,1PE PB λλλλλλ==-=-∈，()(()2,2,32,0,322,2,233AE PE PA λλλλλλ=-=---=--，显然面PCD 的一个法向量为()2,0,0DA = ，而440DA AE λ⋅=-<，即,DA AE不垂直，所以AE与平面PCD 不平行，故A 正确；对于B ，又()(2,2,0,2,2,3AC PB =-=-，所以4400AC PB ⋅=-++=，即AC PB ⊥，若)44433320160AE PB λλλλ⋅=-+-=-= ，则()40,15λ=∈，所以存在点E ，使得AE PB ⊥，又,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面ACE ，所以PB ⊥平面ACE ，故B 错误；对于C ，由题意球面与Rt PAD △的交线如图中圆弧 IJ，而π2,3DJ DI DA PAD ===∠=，所以π6IDJ ∠=，所以圆弧 IJ的弧长为ππ263⨯=，故C 正确；对于D ，由于PD⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PD AB ⊥，而AB AD ⊥，,,PD AD D PD AD =⊂ 面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，所以AB PA ⊥，同理CB PD ⊥，且4PA PC ===，把,PAB PCB 展开到同一平面内，要使AE EF +取得最小值，当且仅当点F 在PC 上，且AF PC ⊥，如图，因为2AB =，所以由勾股定理得PB ==所以sin 55BPA BPA ∠==∠=，而BPA BPC ∠=∠，所以4sin sin 22555APF BPA ∠=∠=⨯⨯=，所以()min416sin 455AE EF AF PA APF +==⋅∠=⨯=，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.12.已知函数()()e 11x x f x x x =->-，()()ln 11x g x x x x =->-的零点分别为1x 、2x ，则下列结论正确的是（）A.12ln x x =B.12111x x +=C.124x x +> D.12ex x <【答案】ABC 【解析】【分析】分析可知，函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，利用图象的对称性可判断A 选项；由1121e 1x x x x ==-化简可判断B 选项；由基本不等式可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于函数1x y x =-，可得()1x y x -=，可得()1x y y -=，则1y x y =-，所以，函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，由()()e 011x x f x x x =-=>-，得e 1x x x =-，由()()ln 011x g x x x x =-=>-，得ln 1x x x =-，作出函数e x y =、ln y x =、1xy x =-的图象如下图所示：由对称性可知，点()11,ex x 、()22,ln x x 关于直线y x =对称，对于A 选项，12ln x x =，12e xx =，A 对；对于B 选项，由1121e 1x x x x ==-，可得1221x x x x -=，所以，1221x x x x =+，故211212111x x x x x x ++==，B 对；对于C 选项，若121x x =>，由1221x x x x =+可得2112x x =，则122x x ==，这与12e xx =即2e 2=矛盾，所以，12x x ≠，()121212122111224x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++>+ ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为11x >，12e e xx =>，由不等式的基本性质可得12>e x x ，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解本题的关键分析出函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，以及同底数的指数函数和对数函数的对称性来得出等量关系，再利用不等式的基本性质求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过()1P +、()1Q +两点的直线的斜率为_______．【解析】【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线PQ 的斜率.【详解】由已知可得())1131PQk -+==-14.在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =，4BC =，18AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______．【答案】80π【解析】【分析】将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -，求出该直三棱柱的外接球的直径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】因为2AB =，AC =，4BC =，则222AB AC BC +=，则AB AC ⊥，将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -，如下图所示：所以，直三棱柱111ABC A B C -的外接球直径为2R ===，因此，该直三棱柱的外接球的表面积为()224ππ280πR R =⨯=.故答案为：80π.15.已知函数()πsin sin (0)3f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为2⎣，则实数ω的取值范围是_______．【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先把函数化成()()sin f x A x ωϕ=+的形式，再根据函数在给定区间上的值域求ω的取值范围.【详解】因为()πsin sin 3f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin sin 33x x xωωω=++3sin ·cos ·22x x ωω=+π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又0πx ≤≤⇒ππππ666x ωω≤+≤+.因为()2f x ≤≤⇒1πsin 126x ω⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭⇒ππ5π266ωπ≤+≤⇒1233ω≤≤.故答案为：12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点P ，直线PF 与C 的一个交点为Q ，()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ，且5Q PF P =，则C 的离心率为________．【答案】45+【解析】【分析】先根据条件：()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ，可确定P 点坐标，再根据条件：5QP FP=可确定Q 点坐标，依据Q 在双曲线上可求出双曲线的离心率.【详解】如图：因为(),0A a ，(),0F c ，设00,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ⇒()()·OP OF OA a c a -=- ⇒()()00,·,0b x x c a a c a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以：()()0c a x a c a -=-⇒0x a =.所以P 点坐标为(),a b .，所以PA x ⊥轴.过P 作x 轴的垂线，过Q 作PA 轴的垂线，相交于E 点.则~PAF PEQ ，又5QP FP =，所以()(),5,Q Q a x b y a c b --=-，可得Q 点的坐标为()54,4c a b --，因为Q 在双曲线C 上，所以()()22225441c a b a b ---=⇒225e 40e 10--=⇒417e 5=或417e 5-=（舍去）.故答案为4175+.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常见的方法有两种：（1）求出a ，c ，利用e ca=求出离心率；（2）根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c =-和e ca=，解方程可得e 的值.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数()()sin cos f x x x x =-∈R .（1）求函数π2y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期；（2）求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2π（2）1【解析】【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，可得出函数π2y f x ⎛=+⎫⎪⎝⎭的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数π2y f x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期；（2）由π02x ≤≤求出π4x -的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【小问1详解】解：因为()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则πππ42in 4π2f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣+⎦+⎝⎭，故函数π2y f x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π.【小问2详解】解：当π02x ≤≤时，πππ444x -≤-≤，所以，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()max ππ124f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.18.如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，M ，N 分别为AC ，BC 上的两点12AN AC = ，13BM BC =，AM ，BN 相交于点P ．（1）求AM的值；（2）求证：AM PN ⊥．【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用AB 、AC表示AM ，再根据数量积的定义及运算律计算可得；（2）用AB 、AC表示AM 、BN ，根据数量积的运算律求出AM BN ⋅ ，即可得证.【小问1详解】因为13BM BC = ，所以()11213333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222221441441116424163399999293AM AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AM 【小问2详解】因为12AN AC = ，所以12BN AN A BA B AC =+=-+ ，所以22211212141603323636AM BN AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AM BN ⊥，即AM BN ⊥，所以AM PN ⊥．19.树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．【答案】（1）补全频率分布直方图见解析；估计众数为75.（2）100（3）2 3【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出[)70,80组的频率，可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；（3）根据分层抽样求出各组抽取的人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.【小问1详解】[)70,80组的频率为：()10.010.0150.0150.0250.005100.3-++++⨯=.所以补全频率分布直方图为：因为[)70,80组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为7080752+=.【小问2详解】由频率分布直方图得分数不低于88分的频率为：90880.025100.005100.110-⨯⨯+⨯=.所以这1000名参赛同学中估计进入复赛的人数为：10000.1100⨯=.【小问3详解】从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取6人，因为第一、二、六组的频率之比为2:3:1，所以第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人.设这6人分别为：12123,,,,,a a b b b c ，从这6人中任选2人的抽法有：1211121312122232121312323,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c b b b b b c b b b c b c基本事件总数15n =，所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25包含的基本事件有：12111213212223121323,,,,,,,,,,a a ab a b a b a b a b a b b b b b b b 基本事件个数个数10m =.所以所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率为102153m P n ===.20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//EF AD ，22AE EF ==，120EAD ∠= ，平面ADFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：BD CF ⊥；（2）求平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）连接AC 、AF ，推导出AF AD ⊥，利用面面垂直的性质可得出AB ⊥平面ADFE ，可得出AF AB ⊥，推导出AF ⊥平面ABCD ，可得出BD AF ⊥，利用正方形的性质可得出BD AC ⊥，可得出BD ⊥平面ACF ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值.【小问1详解】证明：连接AC 、AF，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，AB AD ⊥，因为1EF =，2AE =，120EAD ∠= ，//EF AD ，则60AEF ∠=o ，由余弦定理可得22212cos 601421232AF EF AE AE EF =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以，222AF EF AE +=，则AF EF ⊥，则AF AD ⊥，因为平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，则AB ⊥平面ADFE ，因为AF ⊂平面ADFE ，则AF AB ⊥，因为AB AD A ⋂=，AB 、AD ⊂平面ABCD ，则AF ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，则BD AF ⊥，因为AF AC A = ，AF 、AC ⊂平面ACF ，则BD ⊥平面ACF ，因为CF ⊂平面ACF ，则BD CF ⊥.【小问2详解】解：因为AF ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AF 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0D、(F、(0,E -，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =r，()2,0,0AB =，(0,AE =- ，则11120m AB x m AE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11z =，可得()m = ，设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z =r，()2,2,0DB =-，(0,DF =- ，则222222020n DB x y n DF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2y =)n = ，所以10cos ,4m nm n m n ⋅===⋅，因此平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值为104.21.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，且满足PD =．当点P 在圆上运动时，M 的轨迹为Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）点()2,0A ，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交曲线Ω于点B ，交y 轴于点C ．已知G 为AB 的中点，是否存在定点Q ，对于任意()0k k ≠都有OG CQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）存在，()1,0Q 【解析】【分析】（1）设点()00,P x y 、(),M x y ，则()0,0D x，根据平面向量的坐标运算可得出00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式22004x y +=化简可得出曲线Ω的方程；（2）记10m k=≠，则直线l 的方程可化为2x my =+，将该直线方程与曲线Ω的方程联立，求出点B 的坐标，进而求出点G 的坐标，求出OG k 及点C 的坐标，根据CQ OG ⊥可求出直线CQ 的方程，即可得出直线CQ 所过定点的坐标，即为所求的点Q .【小问1详解】设点()00,P x y 、(),M x y ，则()0,0D x ，因为PD =，所以PD =，则())000,,y x x y -=--，则)000x x y -=-=⎪⎩，所以00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点P 在圆224x y +=，则2204x y +=，所以2224x y +=，整理可得22142x y +=，因此曲线Ω的方程为22142x y +=.【小问2详解】存在定点()1,0Q 满足题意，理由如下：记10m k=≠，则直线l 的方程为2x my =+，联立222240x my x y y =+⎧⎪+=⎨⎪≠⎩，得()22240m y my ++=，解得242m y m =-+，则2222442222m m x m m -=-+=++，故点222424,22m m B m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以点2242,22m G m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则2OG m k =-，因为OG CQ ⊥，则12CQ OGk k m=-=，在直线2x my =+中，令0x =，可得2y m =-，即点20,C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线CQ 的方程为()2221y x x m m m=-=-，所以存在定点()1,0Q ，使得CQ OG ⊥.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,i n n =⋯∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”．（1）判断()[]()221,0,4g x x x x =-+∈是否为()[]()40,5f x x x =+∈的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩，为()222log 21x x f x +=+，的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.21,22, 1.22==-=-．若()[][),0,2h x ax ax x =-∈为()[)2,0,1x f x x x ∞=∈++的“2023重覆盖函数”请直接写出正实数a 的取值范围（无需解答过程）．【答案】（1）1n =（2）2|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（3）40452023,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据新定义，结合单调性即可求解（2）先求出()f x 的值域，然后把问题转化为()y g x =与y k =有两个交点，然后对a 分类讨论即可求解；（3）先求出()f x 的值域，作出()g x 的图象，结合函数图象可求．【小问1详解】因为()22()211g x x x x =-+=-，[]0,4x ∈，()[]()40,5f x x x =+∈，则()[]4,9f x ∈，由定义可得，对任意[]00,5x ∈，恰好存在不同的实数1x ，2x []0,4n x ⋯⋯∈，使得i 0()()g x f x =，（其中1i =，2，n ⋯，*N n ∈），即[]20(1)44,9i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，所以对于任意[]00,5x ∈，能找到一个i x ，使得20(1)4i x x -=+，()g x ∴是()f x 的“n 重覆盖函数”，且1n =；【小问2详解】可得22221()log log 12121x x x f x +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭的定义域为R ，即对任意0R x ∈，存在2个不同的实数1x ，[)22,x ∞∈-+，使得0()()i g x f x =（其中1,2i =），20x > ，则11211011122121x x x +>⇒<<⇒<+<++，∴210log 1121x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，即()021()log 10,121i x g x ⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，即对任意01k <<，()g x k =有2个实根，当1x >时，()1g x x k =-=已有一个根，故只需21x -≤≤时，()g x k =仅有1个根，当0a =时，()31g x x =-+，符合题意，当0a >时，(2)44617g a a -=-++=，则需满足()12310g a a =+-+≤，解得203a <≤，当a<0时，抛物线开口向下，(2)44617g a a -=-++=，(0)1g =，若仅有1个根，由a<0知3212a a -≤-，当[]2,0x ∈-时，()1g x ≥，所以()g x k =无解，则只需(1)3200g a a =-≤⎧⎨<⎩，解得a<0，综上，实数a 的取值范围是2|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；【小问3详解】因为()[)2,0,1x f x x x ∞=∈++，当0x =时()00f =，当0x >时()0f x >且()211112x f x x x x ==≤=++，当且仅当1x =时取等号，所以()102f x <≤，综上可得()102f x ≤≤，即00201()0,12x f x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则对于任意10,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x m =，[)0,2x ∈要有2023个根，1,0,121,,()[]232,,ax x a ax x h x ax ax a a ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢=-=⎣⎭⎨⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⋯⎩，作出函数的图象（部分），如图：要使()h x m =，[)0,2x ∈有2023个根，则4045202322a a<≤，又0a >，则4045202342a <≤，故正实数a 的取值范围40452023,42⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解定义，将其转化为方程的根的问题，第三问关键是数形结合.。
2020-2021学年浙江省温州市乐清市知临中学高二上学期期末考试数学试卷带讲解
令 ，结合等差数列前n项和公式有：
，
令 ，
则 ，
据此可知函数 在 上单调递减，
， ，
即 的取值范围是 .
16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．
40
2020学年第一学期期末质量检测
高二数学试卷
一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A. B.
C D.
B
【分析】求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
则 或 ，因此， .
故选：B.
故答案为： ，20
14.已知函数 ，则函数 的最小正周期 __________，在区间 上的值域为__________．
①. ②.
【详解】函数的解析式：
∴函数f(x)的最小正周期
∴当 时, ，
当 时, ，但取不到.所以值域为 .
15.已知等差数列 满足： ， ，数列的前 项和为 ，则 的取值范围是__________．
（2）求函数的单调区间.
（1） 或 ， ；
（2）当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， .
【分析】（1）通过恒等变换可得 ，可得 或 即可求得 ，再由 即可得解；
（2）当 由 ， ，分离出 即可得解，而当 ，奇单调性和 的单调性相反即可得解.
【小问1详解】
（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析
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第一学期期末考试高二
数学试题卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分；本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答卷页规定的地方，在相应位置粘贴条形码；
3.答题时请按照答卷页上“注意事项”的要求，在答卷页相应的位置上规范答题，在本试卷上答题一律无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
台体的体积公式()
121
3
V h S S =+
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式34
3
V R π=
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l ：20ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1
B.1-
C.2-
D.2
2.边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（ ）
A.
4
B.1
C.
D.8
3.已知方程()()()()2
2
1313m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A.()1,2
B.()2,3
C.(),1-∞
D.()3,+∞
4.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则x y -的最大值等于（ ）
A2
B.1
C.2-
D.4-
5.与直线l ：30x y ++=平行，且到直线l
的距离为 ） A.80x y -+=或10x y --= B.80x y ++=或10x y +-= C.30x y +-=或30x y ++=
D.30x y +-=或90x y ++=
6.已如双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心
率为（ ）
B.
2
D.7.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB EF ⊥；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD .
其中正确的是（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
8.过抛物线C ：2
4y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B ，若3AF BF =，则直线l 的斜率是（ ）
B.
C.
D.9.已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A.1θθ≥
B.1θθ≤
C.2θθ≥
D.2θθ≤
10.已知A 、B 、C 是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右
焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是______，该几何体的表面积是______.
12.已知点(),m n 在曲线y =
2
3
n m --的取值范围是______，2m n +的最小值为______. 13.已知12,F F 是双曲线C ：2
2
124
y x -=（0y ≠）的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若16PF =，则2PF =______，12PF F ∆的面积12PF F S ∆=______.
14.设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.
15.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为______；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是______.
16.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线2
y x =上移动，则AB 的中点到y 轴的距离的最小值为______. 17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1
PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）已知直线m ：230x y --=与直线n ：30x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P ，且点()1,3A 和点()3,2B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程.
19.（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面APC ，2AB AP PC CB ====.
（1）求证：AP ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AB C --的大小，
20.（本题满分15分）已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切. （1）求圆M 的标准方程；
（2）过点()0,3N -的直线l 与圆M 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且满足22
121221
2
x x x x +=
，求直线l 的方程。
21.（本题满分15分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4,2AB BC CD DA ====，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）
（1）求证：AM 平面BCD ；
（2）在图2中，若BD =CD 与平面BCFE 所成角的正弦值.
22.（本题满分15分）椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），右焦点为)
F
，AB 是斜率为k （0k ≠）的弦，
AB 的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N 。
当1k =时直线OE 的斜率为1
4
-（O 为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求
EN
d
的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2
OA OB k k k =⋅（0k >），判断并证明2
2
175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
是否为定值.。