最新3第一讲__数列的极限典型例题汇总

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证明数列极限的题目及答案

证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。

接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。

因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。

第一讲-数列极限(数学分析)

第一讲数列极限一、上、下确界 1、定义：1）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，则称M 是数集S 的一个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，则称L 是数集S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，且0,:x S x M εε∀>∃∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，且0,:x S x L εε∀>∃∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。

2、性质： 1）（确界原理）设S R ⊂，S ≠∅，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。

2）当S 无上界时，记sup S =+∞；当S 无下界时，记inf S =-∞。

3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }AB A B A B A B ==。

4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。

5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。

6）sup()sup inf A B A B -=-。

（武大93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应用研究1）设{}n x 为一个正无穷大数列，E 为{}n x 的一切项组成的数集，试证必存在自然数p ，使得inf p x E =。

（武大94）二、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=⇔∀>∃=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞⇔∀>∃><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞→∞==⇒=。

高数数列极限经典例题

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

(整理)数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3. 数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n 4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n）例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（） A 2411 B 2417 C 2419 D 24256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2 ，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴ ⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0 答案:C7 解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴ca =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=c a =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim 21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38∴a 1=211 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。

高中数学数列极限的概念及相关题目解析

高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。

在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。

本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。

一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。

数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。

数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。

2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。

3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。

二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。

解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。

当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。

当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。

因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。

2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。

解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。

当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。

因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。

3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。

高中数学复习――数列的极限(精选.)

●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n limnn n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3C.4D.都不正确解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于A.0B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21 思考讨论●典例剖析【例1】求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nnn +++=52.（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim cc c n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n . 又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2），由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n +1）x +n =0,∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n +1）（n 2+1）. ∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c , ∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6 解析:由∞→n limcbn can ++=2,得a =2b . 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b . ∴ca =6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim22na c n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n . ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）. （1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值. 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）. ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 能力提高7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜p q ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得 .1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n nS S =p . 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim1-n n S S =qb p a q bp a -+--+-11111111=1. 探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n . 解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）. ∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32.教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.拓展题例【例题】已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1.当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.最新文件仅供参考已改成word 文本。

数列极限中的典型例题

数列极限是数学中的重要概念，求解数列极限的题目有多种方法。首先，对于连续情形的数列极限，我们可以采用罗比塔法则进行求解，而对于离散情形，斯铎兹定理则是一个有效的工具。其次，利用递推关系求极限是另一种常见题型，这种方法需要我们先找出数列的递推公式，然后通过递推关系逐步推导出数列的极限。最后深入理解数列的内在性质，并能够巧妙地构造出新的数列来简化问题。例如，我们可以证明从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其各项为一个绝对收敛级数的部分和序列。通过掌握这些方法和技巧，我们能够更加灵活地解决数列极限的相关题目。

数列极限(习题总结)课件

n
n
k bn
)
mA
kB
3.对于下列五个命题：
(1)若
lim
n
an
p,
lim
n
bn
r,则lim an b n
n
p r
(2）若lnim(anbn )
pr,则lim n
an
p, lim n

r
(3)若lim n
an
p,则lnim(an )m
pm (m为常数）
(4)若
lim
n
an
p,则lnim(nan )
且
lim
n
an
存在，则
lim
n
an
9.若lim f (x 1) 1,则lim x 1
x1 x 1
x1 f (2 2x)
变式1.lim x 2, lim f (2x)
x0 f (3x)
x0 x
10.设 lim ax2 bx 1 3, x1 x 1
求
lim
n
bn an
a n1 b n 1
7、自知之明是最难得的知识。20.6.1620.6.1620.6.16。2020年6月16日星期二二〇二〇年六月十六日 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。10:0010:00:236.16.2020Tuesday, June 16, 2020
7、自知之明是最难得的知识。20.6.1620.6.1620.6.16。2020年6月16日星期二二〇二〇年六月十六日 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。10:0010:00:236.16.2020Tuesday, June 16, 2020
1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。20.6.166.16.202010:0010:00:23Jun-2010:00 2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二

涂四利考研数学辅导班典型例题

sin π sin 2nπ n 例14 ( 98 数 1 ) 求极限 lim + + n→ ∞ n+ 1 2 n +1 n 例15 求极限 lim ∑ n→ ∞ k =1
n
+
sin π . n+ 1 n
. 4n2 − k 2 1 n .
例16 求极限 lim
∫
ax − sin x 3 x ln (1 + t )
b
= c (c ≠ 0 ). dt
t
题型 11 由已知极限求另一极限
sin 6 x + xf 例 3 0 ( 0 0 数 2 ) 若 lim x→ 0 x3 ( A)0 (B )6 (C ) 3 6
( x ) = 0, 求 lim
1 1 1 )(1 + 2 ) (1 + 2 ), n ≥ 2, 试证：数列 { x n } 收敛 . 2 n 2 3 xn 例 5设 x1 = 1, x n +1 = 1 + , n ≥ 1, 证明数列 { x n } 收敛并求极限 . 1 + xn 例 4 设 x n = (1 + 例 6设 x1 = 2, x n +1 = 2 + 1 , n ≥ 1, 证明数列 { x n } 收敛并求极限 . xn
( 4 x + 1) ( 9 x + 2 ) (1) lim 50 x →∞ ( 6 x − 1)
30
20
( 2 ) lim x →∞
x + sin x x − sin x
3
江西师范大学考研数学辅导班强化班讲义典型例题

数列极限常见题型及解法

数列极限常见题型及解法汤原县鹤立高级中学乔春华数列极限是描述数列当项数n 无限增大时的变化趋势，是高考考点之一，多以选择题、填空题出现。

对于常见类型，应熟悉其解法和变形技巧。

注意向三个重要极限C C n =∞→lim （C 为常数），0lim =∞→n c n （c 为常数），0lim =∞→n n q （1<q ）转化，数列极限常见题型及解法如下：一、分式型数列的极限1.若分子、分母上n 的最高次数相同，则极限等于它们的系数比。

例1.求极限243132lim 22+++-∞→n n n n n 解：原式=22243132lim nn n n n +++-∞→ =32 2.若分子上n 的最高次数低于分母的最高次数，则极限一般等于零。

例2.求极限nn n n n 3243lim 423++-∞→ 解：原式=34231243lim nn n n n ++-∞→ =03.若分子上n 的最高次数高于分母的最高次数，则极限不存在。

例3.2lim 223-+-∞→n n n n n 极限不存在综上：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++++----∞→）（极限不存在q p q p q p b a b n b n b n b a n a n a n a q q q q p p p p n )(0)(lim 0011101110二、无限项形式变为有限项形式再求极限因为极限的运算法则，只适用于有限个数列之和求极限，所以求项数不定的积式、和式的极限分两步①将积式、和式化为有限项的积或和；②求极限例4.求极限nn n n n n n n -+++-+-∞→2221374lim解：原式=nn n n n -++∞→22)134(lim 232253lim =-+=∞→n n n 例5.求极限)211()411()311(lim +--⨯-∞→n n n 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯⨯⨯⨯⨯∞→21544332lim n n n n 222lim =+=∞→n n n 三、无理式求极限通常是将分子或分母有理化，使式子中的减号变为加号。

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3第一讲__数列的极限典型例题第一讲数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».注1 «Skip Record If...»的双重性.一方面,正数«Skip Record If...»具有绝对的任意性,这样才能有«Skip Record If...»无限趋近于«Skip Record If...»另一方面,正数«Skip Record If...»又具有相对的固定性,从而使不等式«Skip Record If...».还表明数列«Skip Record If...»无限趋近于«Skip Record If...»的渐近过程的不同程度,进而能估算«Skip Record If...»趋近于«Skip Record If...»的近似程度. 注2若«Skip Record If...»存在，则对于每一个正数«Skip Record If...»，总存在一正整数«Skip Record If...»与之对应，但这种«Skip Record If...»不是唯一的，若«Skip Record If...»满足定义中的要求，则取«Skip Record If...»，作为定义中的新的一个«Skip Record If...»也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个«Skip Record If...»则必存在无穷多个正整数可作为定义中的«Skip Record If...»．注3«Skip Record If...»«Skip Record If...»的几何意义是：对«Skip Record If...»的预先给定的任意«Skip Record If...»邻域«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入«Skip Record If...»．注4«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».2.子列的定义在数列«Skip Record If...»中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为«Skip Record If...»的子列，记为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»在原数列中的项数，«Skip Record If...»表示它在子列中的项数．注1 对每一个«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．注2 对任意两个正整数«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．反之，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．注3 «Skip Record If...»，有«Skip Record If...».注4 «Skip Record If...»«Skip Record If...»的任一子列«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».3.数列有界对数列«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，使得对«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则称数列«Skip Record If...»为有界数列．4.无穷大量对数列«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为无穷大量，记作«Skip Record If...»．注1 «Skip Record If...»只是一个记号，不是确切的数．当«Skip Record If...»为无穷大量时，数列«Skip Record If...»是发散的，即«Skip Record If...»不存在．注2 若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»无界，反之不真．注3 设«Skip Record If...»与«Skip Record If...»为同号无穷大量，则«Skip Record If...»为无穷大量．注4 设«Skip Record If...»为无穷大量，«Skip Record If...»有界，则«Skip Record If...»为无穷大量．注5 设«Skip Record If...»为无穷大量，对数列«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使得对«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为无穷大量．特别的，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为无穷大量．5.无穷小量若«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为无穷小量．注1 若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»有界，则«Skip Record If...»．注2 若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»使得对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．6.收敛数列的性质（1）若«Skip Record If...»收敛，则«Skip Record If...»必有界，反之不真．（2）若«Skip Record If...»收敛，则极限必唯一．（3）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»．注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列«Skip Record If...»、«Skip Record If...»皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）也收敛，且有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．7.迫敛性（夹逼定理）若«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．8. 单调有界定理单调递增有上界数列«Skip Record If...»必收敛，单调递减有下界数列«Skip Record If...»必收敛．9. Cauchy收敛准则数列«Skip Record If...»收敛的充要条件是：«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．10.Bolzano Weierstrass定理有界数列必有收敛子列．11.«Skip Record If...»12.几个重要不等式(1) «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»(2)算术－几何－调和平均不等式：对«Skip Record If...»记«Skip Record If...» (算术平均值)«Skip Record If...» (几何平均值)«Skip Record If...» (调和平均值)有均值不等式: «Skip Record If...»等号当且仅当«Skip Record If...»时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对«Skip Record If...»由二项展开式«Skip Record If...»«Skip Record If...»（４）Cauchy－Schwarz 不等式:«Skip Record If...»(«Skip Record If...»),有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（５）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»13.O. Stolz公式二、典型例题1．用“«Skip Record If...»”“«Skip Record If...»”证明数列的极限．（必须掌握）例１用定义证明下列各式：（１）«Skip Record If...»；（２）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；（97，北大，10分）（３）«Skip Record If...»«Skip Record If...»证明：（１）«Skip Record If...»，欲使不等式«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»，于是，«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»．（２）由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是，«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．（３）已知«Skip Record If...»，因为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以，«Skip Record If...»，欲使不等式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»．于是，«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．评注１本例中，我们均将«Skip Record If...»做了适当的变形，使得«Skip Record If...»，从而从解不等式«Skip Record If...»中求出定义中的«Skip Record If...»．将«Skip Record If...»放大时要注意两点：①«Skip Record If...»应满足当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．这是因为要使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»必须能够任意小；②不等式«Skip Record If...»容易求解．评注２用定义证明«Skip Record If...»«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»，只要找到一个自然数«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»即可．关键证明«Skip Record If...»的存在性．评注３在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１）«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为任一正常数）.（２）«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...».例２用定义证明下列各式：（１）«Skip Record If...»；（92，南开，10分）（２）«Skip Record If...»«Skip Record If...»证明：（１）（方法一）由于«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），可令«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»．«Skip Record If...»，欲使不等式«Skip Record If...»«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»．于是，«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．（方法二）因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，欲使不等式«Skip Record If...»«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»．于是，«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．（２）当«Skip Record If...»时，由于«Skip Record If...»，可记«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，于是有«Skip Record If...»«Skip Record If...»．«Skip Record If...»，欲使不等式«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»．对«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有 «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），而«Skip Record If...»«Skip Record If...»．则由以上证明知«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，故 «Skip Record If...»．评注１在本例中，«Skip Record If...»，要从不等式«Skip Record If...»中解得«Skip Record If...»非常困难．根据«Skip Record If...»的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个«Skip Record If...»是变量，一个«Skip Record If...»是定值．评注２从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．评注３第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例用定义证明：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）（山东大学）证明：当«Skip Record If...»时，结论显然成立．当«Skip Record If...»时，欲使«Skip Record If...»成立，只须«Skip Record If...»«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»即«Skip Record If...»．例设«Skip Record If...»，用“«Skip Record If...»”语言，证明：«Skip Record If...»．证明：当«Skip Record If...»时，结论恒成立．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，欲使«Skip Record If...»«Skip Record If...»只须«Skip Record If...»«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»．2.迫敛性（夹逼定理）«Skip Record If...»项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界，但不能说明«Skip Record If...»有极限．使用夹逼定理时，要求«Skip Record If...»趋于同一个数．例求证：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为常数）．分析：«Skip Record If...»，因«Skip Record If...»为固定常数，必存在正整数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，因此，自«Skip Record If...»开始，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．证明：对于固定的«Skip Record If...»，必存在正整数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由夹逼定理得«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...»．评注当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例若«Skip Record If...»是正数数列，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．证明：由«Skip Record If...»«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»«Skip Record If...»．于是，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，而由已知«Skip Record If...»及«Skip Record If...»«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»«Skip Record If...»由夹逼定理得 «Skip Record If...»．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0．评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如：（1）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）（2）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）（3）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）（6）«Skip Record If...»«Skip Record If...»例证明：若«Skip Record If...»（«Skip Record If...»有限或«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»有限或«Skip Record If...»）．证明：（１）设«Skip Record If...»为有限，因为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．其中«Skip Record If...»为非负数．因为«Skip Record If...»，故对上述的«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．取«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»即«Skip Record If...»．（２）设«Skip Record If...»，因为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»取«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»（３）«Skip Record If...»时证法与（２）类似．评注１这一结论也称Cauchy第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）«Skip Record If...»（已知«Skip Record If...»）；（２）«Skip Record If...»（已知«Skip Record If...»）．评注２此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“«Skip Record If...»为单调数列”，则由«Skip Record If...»可推出«Skip Record If...»．评注３证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为有限数），证明：«Skip Record If...»．分析：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．只须证«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）由于«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»再利用«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）即得．例求下列各式的极限：（１）«Skip Record If...»（２）«Skip Record If...»（３）«Skip Record If...»解：（１）«Skip Record If...»«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由夹逼定理，∴«Skip Record If...»（２）«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，由夹逼定理，∴«Skip Record If...»．（３）∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由夹逼定理，∴«Skip Record If...»．评注«Skip Record If...»的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»．解：∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»单调递减，«Skip Record If...»单调递减有下界，故其极限存在．令«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．«Skip Record If...»（中科院）评注拆项：分母是两项的积，«Skip Record If...»插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．«Skip Record If...»３单调有界必有极限常用方法：①«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；③归纳法；④导数法．«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»单调递增«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»单调递减«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»不解决决问题．命题：«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»单调递增，且«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»单调递增（单调递减）．例求下列数列极限：（1）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（98，华中科大，10分）（2）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（04，武大）（3）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．（2000,浙大）解：（1）首先注意«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»为有下界数列．另一方面，因为«Skip Record If...»．（或«Skip Record If...»）故«Skip Record If...»为单调递减数列．因而«Skip Record If...»存在，且记为«Skip Record If...»．由极限的四则运算，在«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．并注意到«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»．（2）注意到«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»为有界数列．另一方面，由«Skip Record If...»«Skip Record If...»知«Skip Record If...»«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»与«Skip Record If...»保持同号，因此«Skip Record If...»为单调数列，所以«Skip Record If...»存在（记为«Skip Record If...»）．由极限的四则运算，在«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．并注意到«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»．（3）由于«Skip Record If...»,又«Skip Record If...»«Skip Record If...»,所以 «Skip Record If...»«Skip Record If...»．评注１求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上单调递增，且«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»），则数列«Skip Record If...»单调递增（或单调递减）．评注2第三小题的方法较为典型，根据所给的«Skip Record If...»之间的关系，得到«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项«Skip Record If...»写成级数的表达式．例设«Skip Record If...»为任意正数，且«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»收敛，且极限相同．证明：由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»«Skip Record If...»．则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»为单调有界数列．又«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»存在，且分别记为«Skip Record If...»与«Skip Record If...»．在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»与«Skip Record If...»．考虑到«Skip Record If...»为任意正数且«Skip Record If...»．即得«Skip Record If...»．例（1）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»；（2）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），求«Skip Record If...»．解：（1）假设«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，由极限的四则运算，在«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．又«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．下面只须验证数列«Skip Record If...»趋于零（«Skip Record If...»）．由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由夹逼定理得«Skip Record If...»«Skip Record If...»．（2）由«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．假设«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，由极限的四则运算，得«Skip Record If...»．下面只须验证数列«Skip Record If...»趋于零（«Skip Record If...»）．由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．显然«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由夹逼定理得«Skip Record If...»．评注１两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设«Skip Record If...»，由递归方程求出«Skip Record If...»，然后设法证明数列«Skip Record If...»趋于零．评注２对数列«Skip Record If...»，若满足«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），其中«Skip Record If...»，则必有«Skip Record If...»．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３本例的第二小题还可用Cauchy收敛原理验证它们极限的存在性．设«Skip Record If...»>0，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»＝1（04，上海交大）证（1）要证«Skip Record If...»＝1 ，只要证«Skip Record If...»，即只要证«Skip Record If...»，即证«Skip Record If...»（2）因«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»因此只要证«Skip Record If...»，即只要证«Skip Record If...»（3）由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»单调增加，假如«Skip Record If...»有上界，则«Skip Record If...»必有极限«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«SkipRecord If...»知，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»，因此«Skip Record If...»，矛盾.这表明«Skip Record If...»单调增加、没有上界，因此«Skip Record If...». （证完）４利用序列的Cauchy收敛准则例（1）设«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»；（2）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»；解：（1）由«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），得«Skip Record If...»．假设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．有«Skip Record If...»«Skip Record If...»由归纳法可得«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．由Cauchy收敛准则知：«Skip Record If...»存在并记为«Skip Record If...»，由极限的四则运算，在«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．注意到«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．（2）设«Skip Record If...»，显然«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»).由Cauchy收敛准则知：«Skip Record If...»存在并记为«Skip Record If...».由极限的四则运算，在«Skip Record If...»两端同时取极限«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．注意到«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»«Skip Record If...»．评注1 Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列«Skip Record If...»有界,因此有«Skip Record If...».保证了定义中的N仅与«Skip Record If...»有关.评注2 “对«Skip Record If...»有«Skip Record If...»”这种说法与Cauchy收敛准则并不一致．这里要求对每个固定的«Skip Record If...»，可找到既与«Skip Record If...»又与«Skip Record If...»的关的Ｎ，当«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．而Cauchy收敛准则要求所找到的Ｎ只能与任意的«Skip Record If...»有关．５利用Stolz定理计算数列极限例求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）假设«Skip Record If...»（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz公式«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）６关于否定命题的证明（书上一些典型例题需背）«Skip Record If...»«Skip Record If...»发散例证明：«Skip Record If...»发散．例设«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），且«Skip Record If...»，若存在极限«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．（北大，20）７杂例(1) «Skip Record If...»(2)（04，武大）«Skip Record If...»(3) «Skip Record If...»(«Skip Record If...»);(4)设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），求：«Skip Record If...»．。