人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法(教师版)
人教版高中数学选修4-5《第二讲证明不等式的基本方法：比较法》
f(
n
)
40 .琴生不等式推广形式：设 q1 , q2 ,, qn R , q1 q2 qn 1 ， f ( x) 是[a, b] 上的下凸函数， 则 x1 , x2 ,
, xn [a, b] 都有： f (q1x1 q2 x2
qn xn )
，
当且仅当 x1 x2 xn 时
例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 v1 行走，另一半 时间以速度 v 2 行走；乙有一半路程以速度 v1 行走，另一半路程以速度 v 2 行走. 如果 v1 v2 ， 问甲、乙两人谁先到达指定地点.
例5
设 f ( x) 2x 2 1, pq 0, p q 1. 求证；对任意实数 a , b ，恒有 pf (a) qf (b) f ( pa qb).
证明 考虑（1）式两边的差。
pf (a) qf (b) f ( pa qb).
＝ p(2a 1) q(2b 1) [2( pa qb) 1]
2 2 2
＝ 2 p(1 p)a 2q(1 q)b 4 pqab p q 1.
2 2
（2）
p q 1, pq 0, (2) 2 pqa2 2 pqb2 4 pqab 2 pq(a b) 2 0.
即（1）成立。
探索推广 10 . 在例 5 中, pq 0, p q 1 p 0, q 0. 特别地, 令 p 1 , q 1 , 则得 2 2
f(
2
)
2
再结合函数的图象, 这数和形 20 .琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数 f ( x) 定义域为[a, b] ，如果 x1 , x2 [a, b] ，都有
选修4-5 2第二节 证明不等式的基本方法
()
(2)比较法最终要判断式子果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,
最后达到待证的结论. ( )
(4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论
成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
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2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_和__最__小__,和定_积__最__大__. (2)基本不等式使用的基本原则:_一__正__二__定__三__相__等__.
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【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知x为实数,则1+x+ 1 ≥3.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
第二节 证明不等式的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.不等式的证明方法 (1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从_已__知__条__件__出__发__,_利__用__定__义__、__公__ _理__、__定__理__、__性__质__等逐步推导出结论. (2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_结__论__出发,逐步寻找结论成立的_充__分__条__ _件__,直至所需条件为_已__知__条__件__或__一__个__明__显__成__立__的__事__实__. (3)作差法与作商法:作差法是作差后与0比较,作商法是把两个_正__数__作商后与 _1_比较.
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
课堂练习:
1 1 x y 1.已知 a, b, x, y R 且 , x y ,求证: . a b xa yb 2.(课本第 23 页习题 2.1 第 4 题)已知 a, b, c 是正数,
求证: a 2a b2b c 2c ≥ a b c ba c c a b 3.(课本第 22 页例 2)已知 a , b, m 都是正数,并且 a b ,
∴a b 若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
尝试2 尝试3
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a 2b ab2 ,只要证 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ,
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
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当要证的不等式不知如何入手时，可考虑用分析法去证
明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．
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第二讲 证明不等式的基本方法
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由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一
步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不
综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不 等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要 证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证 的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重
要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑
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此时(a－b)(bn－an)＜0； 当a＝b＞0时，bn－an＝0，a－b＝0， 此时(a－b)·(bn－an)＝0. 综上所述：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
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解析： 设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理： a2＋b2－c2 cos θ＝ 2ab 因为 0<θ<π a2＋b2－c2 ∴cos θ<1∴ <1 2ab
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第二讲 证明不等式的基本方法
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2．综合法 已知条件 出发，利用_________________________ 定义、公理、定理、性质 等， 从_________ 经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 综合法，又叫_______________________ 顺推证法或由因导果法 ． 3．分析法 充分条件 ， 从要证的结论 __________出发，逐步寻求使它成立的___________
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解析： ∵a2＋b2－1－a2b2≤0 ∴a2b2－a2－b2＋1≥0 ∴(a2－1)(b2－1)≥0 由分析法的步骤可知
答案： D
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3．已知 a，b 是正实数，比较大小 aabb________abba.
abba＞0，
答案： aabb≥abba.
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4．求证： 7－1＞ 11－ 5.
证明： 要证 7－1＞ 11－ 5， 只需证 7＋ 5＞ 11＋1， 即证 7＋2 35＋5＞11＋2 11＋1， 即证 35＞ 11， 即证 35＞11(显然成立)， 因为 35＞11 成立，所以原不等式成立．
[ 解题过程]
(1)a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
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高中数学(人教A版)选修4-5教案第二讲 证明不等式的基本方法2.2.2 分析法
当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。
使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。
例1、求证：5273<+证：分析法： 综合表述： ∵052,073>>+ ∵21 < 25只需证明：22)52()73(<+ ∴521<展开得： 2021210<+ ∴10212<即： 10212< ∴2021210<+∴ 521< ∴22)52()73(<+即： 21 < 25（显然成立） ∴5273<+ ∴5273<+例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+2333366)(2y x y x y x +=++>∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a 2 b 2 ab = 0]43)2[(22≤++-bb a例4、已知0,1a b ab >>=，求证：22a b a b +≥-，并求等号成立的条件。
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证明不等式的基本方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教课要点： 掌握比较法、综合法和剖析法、反证法和放缩法的方法；教课难点： 理解放缩法的解题及应用。
1、比较法：所谓比较法，就是经过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确立 a 与 b 大小关系的方法，即经过“a b 0 ， a b 0 ， a b 0 ；或a1， a 1， a1 ”来确立 a ， b 大小关bb b系的方法，前者为作差法，后者为作商法。
2、剖析法：从求证的不等式出发，剖析这个不等式建立的充足条件，把证明这个不等式的问题转变为证明这些条件能否具备的问题，假如能够一定这些条件都已具备，那么就能够判断所证的不等式建立，这类方法叫做剖析法。
3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，依据不等式的性质及公义推导出欲证的不等式，这类证明方法叫做综合法。
4、反证法：从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原结论是正确的，这类证明方法叫做反正法 .用反证法证明不等式时，一定将命题结论的反面的各样情况一一导出矛盾这里作一简单介绍。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假设命题的结论不建立；2） 进行推理，在推理中出现以下状况之一：与已知条件矛盾；与公义或定理矛盾；3） 因为上述矛盾的出现，能够断言，本来的假设“结论不建立”是错误的；4） 一定本来命题的结论是正确的。
5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传达性，作适合的放大或减小，证明比原不等式更好的不等式来取代原不等式的证明.放缩法的目的性强，一定恰到利处， 同时在放缩时一定时刻注意放缩的跨度，放不可以过头，缩不可以不及 .不然不可以达到目的。
最新人教版高中数学选修4-5《证明不等式的基本方法》本讲综述
第二讲证明不等式的基本方法本讲综述数学是一门思维的科学，思维能力的培养是学科能力培养的核心.高中数学中，推理与证明贯穿于每一个章节，每一个知识点，推理与证明的学习，有利于培养我们的逻辑思维能力，形成和发展理性思维.本章重点要掌握的证明方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.难点是证明不等式过程中的代数恒等变换技巧的运用.推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.本章将介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种证明方法——直接证明和间接证明.不等式的证明是数学证明的一个重要部分，也是学习不等式的一块主要内容.通过本章的学习，大家努力体会推理证明在生活中的应用，能够锻炼思维与表达能力，以及理论联系实际的意识，同时对其他学科的学习也有非常大的作用.例如在物理、化学、生物等学科中经常出现的有关不等式的定理、公式、定律结论等的证明，也必须应用不等式的证明方法. 证明不等式往往要涉及到多方面的知识和思想方法，具有较强的技巧性，没有固定的程序可循，证法要因题而异，灵活多变.其最基本的方法就是应用不等式的意义及其基本性质和几何背景，并通过代数变换予以论证.在很多情况下证明不等式需要一些技巧，但是，对大多数学习不等式的人来说，只要求理解这些不等式的数学思想和背景.所以我们不要求做很多技巧性很强的不等式证明题目，不希望同学们陷在过于形式化和复杂的恒等变换的技巧之中，我们只需感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.学习本章应回顾并掌握已学的不等式的有关概念，不等式的性质，常用的基本不等式，绝对值不等式的有关结论，还有就是一些函数、几何、数列等其他学科的知识，如函数的单调性、值域等.这就要求同学们要有比较扎实、比较全面的数学基础.通过生活事例和常见数学问题的训练来体会推理证明的思想与方法.只要平时多做练习，通过模仿、探究各种不等式的证明思路，同学之间交流讨论，仔细体会归纳各种证题方法，就能解决一般的不等式证明题，达到提高我们的逻辑思维能力的目的.。
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证明不等式的基本方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法； 教学难点： 理解放缩法的解题及应用。
1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1ab<”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。
2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。
反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； 4） 肯定原来命题的结论是正确的。
5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强，必须恰到好处， 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。
类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式 例1. 求证：x 2 + 3 > 3x解析：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 答案：见解析练习1. 已知a ， b ， m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++答案：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 ， b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++练习2. 已知a ， b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a ， b 都是正数，∴a + b ， a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2例2. 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： 解析：∵22c b +≥2bc ，a ＞0，∴)(22c b a +≥2abc ①同理 )(22a cb +≥2abc ②)(22b a c +≥2abc ③因为a ，b ，c 不全相等，所以22c b +≥2bc ， 22a c +≥2ca ， 22b a +≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=答案：见解析。
练习3. 已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++ 答案：左－右=2（ab +bc －ac ）∵a ，b ，c 成等比数列，∴ac b =2 又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =<0≤c a ca +<+2例3. 求证5273<+解析：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+展开得 2021210<+ 即 2521,10212<<因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立即证明了5273<+ 答案：见解析练习4. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 答案：(1)当0ac bd +≤(2)当0ac bd +>时，欲证原不等式成立， 只需证()()()22222ac bd a bcd +≤++即证2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++≤+++即证22222abcd b c a d ≤+即证()20bc ad ≤-因为,,,a b c d ∈R ，所以上式恒成立， 综合(1)、(2)可知:类型二： 反证法和放缩法证明不等式 例4. 若a ， b ， c ， d ∈R +，求证： 解析：（用放缩法）记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a ， b ， c ， d ∈R + ∴1 <m <2 即原式成立 答案：见解析练习5. 当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 答案：（用放缩法）∵n >2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴n > 2时， 1)1(log )1(log <+-n n n n例5. 设0<a ，b ，c <1，求证：(1 -a )b ，(1 -b )c ，(1-c )a ，不可能同时大于41解析：（用反证法）设(1 - a )b >41，(1 -b )c >41，(1 -c )a >41， 则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641①又∵0 <a ，b ，c <1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a同理 41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c 将以上三式相乘 (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641此与①矛盾 ∴(1 -a )b ，(1 -b )c ，(1-c )a ，不可能同时大于41 答案：见解析练习6. 已知a +b +c > 0，ab +bc +ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0 答案：（用反证法）设a < 0， ∵abc >0， ∴bc < 0 又由a + b + c > 0， 则b +c >-a >0∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 此与题设矛盾 又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证 b > 0， c > 0 1. 设a ， b ， c ∈ R ， （1）求证：)(2222b a b a +≥+ （2）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++（3）若a + b = 1， 求证：22121≤+++b a 答案：（1）∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2|2|222ba b a b a +≥+≥+ （2）同理：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++（3）由幂平均不等式：2.a ， b ， c ∈R ， 求证：（1）9)111)((≥++++cb ac b a (2)29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a (3) 23≥+++++b a c a c b c b a答案：(1)法一：33abc c b a ≥++， 313111abcc b a ≥++， 法二：左边)()()(3cbb c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++=≥3+2+2+2 = 9(2)∵3))()((23222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++3))()((13111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++两式相乘即得 (3)由上题：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴29111≥++++++++a c b c b a b a c 即 23≥+++++b a c a c b c b a3. 求证：213121112222<++++n答案：（用放缩法）n n n n n111)1(112--=-< 4. 设x > 0， y > 0，y x y x a +++=1， yyx x b +++=11，求证：a < b答案：放缩法：yy x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++111115. 若x ， y > 0，且x + y >2，则xy +1和y x+1中至少有一个小于2答案：反证法：设xy+1≥2，y x +1≥2 ∵x ， y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 设a ， b ∈ R +，求证：a b ba bab a ab b a ≥≥+2)(答案：作商：2222)()(b a a b b a b a b a ba baab b a ---+==当a = b 时，1)(2=-b a ba当a > b > 0时，1)(,02,12>>->-ba bab a ba当b > a > 0时，1)(,02,102><-<<-b a bab a ba2. 证明lg9•lg11 < 1答案：放缩法：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅3. 设0 < a ， b ， c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ， (2 - c )b ，不可能同时大于1 答案：反证法：(2 - a )c>1， (2 - b )a>1， (2 - c )b>1，则(2 - a )c (2 - b )a (2-c )b >1…① 又因为设0 < a ， b ， c < 2，(2 - a ) a 12)2(=+-≤aa ，同理 (2 - b ) b ≤1， (2 - c ) c ≤1，所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤14. 证明1)1(log )1(log <+-n n n n答案：放缩法：222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n5. 已知x >0，y >0，2x +y =1，求证：22311+≥+yx答案：22323)2(11+≥++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x yy x y x y x 即：22311+≥+y x 6. 求证3+<答案： 960+>>5456<成立∴7. 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3b c a c a b a b c++≥+-+-+-答案：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+且20c a b --≤， 20a b c --≥8. 若a > b > c ，则0411≥-+-+-ac c b b a 答案：c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((121129.证明)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n 答案：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 10. 证明121211121<+++++≤n n n 答案：11111121221n n n n n n n ⋅≤+++≤⋅<+++11. 已知a ， b ， c > 0， 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3， n ∈R *)答案： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a ， b ， c > 0， ∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nnc b c a 122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ⇒ a n + b n < c n12. 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ） 答案： （1）当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +-- （2）当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-． 13. 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a >答案： b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( 又∵0>ab b a ，14. 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 答案： ∵ 222a b ab +≥（当且仅当22a b =时取等号）两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，即：44222()22a b a b ++≥ （1） 又：∵ 222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+∴ 2224()()22a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 15. 已知a 、b 、c R +∈，1a b c ++=，求证1119.a b c++≥ 答案： ∵1a b c ++=∵2b a a b +≥=，同理：2c a a c +≥，2c b b c+≥。