第六讲·直线与曲线的平移,翻折(对称),旋转
初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念
初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。
在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。
本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。
1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。
平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。
平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。
在数学中，平移有着广泛的应用。
它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。
平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。
2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。
旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。
旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。
旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。
旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。
3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。
常见的对称变换包括中心对称和轴对称。
中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。
对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。
对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。
总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。
通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。
通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。
本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。
一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。
在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。
平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。
平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。
形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。
例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。
假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。
2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。
3. 平移不改变形状内角的度数。
二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。
旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。
旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。
假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。
根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。
了解小学数学中的几何变换平移翻折和旋转
了解小学数学中的几何变换平移翻折和旋转了解小学数学中的几何变换：平移、翻折和旋转几何变换是小学数学中非常重要的一个概念，它涉及到平面图形在空间中的移动、翻转和旋转等操作。
通过学习几何变换，学生可以更好地理解和应用各种几何概念，并培养出良好的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将对小学数学中的几何变换中的三种常见形式进行详细介绍：平移、翻折和旋转。
一、平移平移是指在平面内保持图形形状不变的情况下，将图形沿着某一方向平行地移动一定距离。
简单地说，就是将图形整体按照规定的方向和距离进行移动，而不改变其大小、形状和方向。
在平移中，需要注意以下几个概念：1. 平移向量：平移的方向和距离可以用一个向量表示，这个向量称为平移向量。
平移向量可以用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。
2. 平移前后的对应关系：在平移中，图形的每个点在平移前后应该有对应关系。
即平移后的点与平移前的点在同一平行线上，并且距离相等。
3. 平移特点：平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。
二、翻折翻折是指将图形围绕某条直线对称翻转得到另一个图形的操作。
在翻折中，需要注意以下几个要点：1. 翻折轴：翻折轴是指图形围绕的直线。
可以用实线或虚线表示。
翻折轴上的任意一点与其对称点关于翻折轴对称。
2. 翻折前后点的对应关系：在翻折中，图形中的每个点都应该有翻折后的对称点与之对应，两点关于翻折轴对称。
3. 翻折特点：翻折不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。
三、旋转旋转是指将图形围绕某一点按照一定的角度顺时针或逆时针旋转的操作。
在旋转中，需要注意以下几个要点：1. 旋转中心：旋转中心是指图形所围绕的点。
可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度大小，可以用正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
3. 旋转前后点的对应关系：在旋转中，图形中的每个点都应该有旋转后的对应点与之对应。
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。
在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。
本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。
一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。
平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。
被平移图形是指需要进行平移操作的图形。
二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。
旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。
旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。
旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。
被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。
三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。
对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。
在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。
关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。
综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。
通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。
高中数学教案：图形的平移、旋转和翻折
高中数学教案：图形的平移、旋转和翻折一、引言图形的平移、旋转和翻折是高中数学中的重要内容，它不仅是数学知识体系中的一部分，更是具有实际应用价值的几何概念。
通过学习和掌握这些内容，可以帮助学生加深对几何图形的理解，提高空间想象能力，并应用于实际生活中的问题求解。
本教案旨在引导学生深入理解图形的平移、旋转和翻折，并通过多种教学方法和活动激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
二、图形的平移1. 什么是平移平移是指在平面上保持图形形状不变的条件下，将图形沿着一定的方向移动一段距离。
这种移动不改变图形的形状、大小和方向，只改变了它的位置。
学生需要理解平移的概念，并能够通过具体的实例和操作来进行图形的平移。
2. 平移的性质和规律通过教师的示范和讲解，学生需要掌握图形的平移具有以下性质：（1）平移前后的图像是全等的；（2）平移前后的图像之间的距离是相等的；（3）平移的方向可以是任意的。
教师可以设计一些具体的练习题，让学生通过操作图形来体验和发现这些性质和规律。
三、图形的旋转1. 什么是旋转旋转是指将图形围绕某一点旋转一定角度，使图形的每个点都绕着旋转中心转动，最终得到一个新的图形。
旋转可以使图形发生大小、形状和方向的变化，但图形的内部结构保持不变。
2. 旋转的性质和规律教师可以设计一些旋转的实例和绘图题，让学生发现图形旋转的性质和规律：（1）旋转前后的图形是全等的；（2）旋转时，图形每个点都绕着旋转中心旋转；（3）旋转的角度可以是任意的。
学生需要通过观察和操作来体验和发现这些性质和规律，加深对旋转的理解。
四、图形的翻折1. 什么是翻折翻折是指将图形围绕某一直线对称翻转，使图形的每一点关于对称轴对称。
翻折不改变图形的大小和形状，但改变了图形的方向。
2. 翻折的性质和规律通过具体的练习和操作，学生需要发现图形的翻折具有以下性质和规律：（1）翻折前后的图形是全等的；（2）翻折是在对称轴两侧同时进行；（3）对称轴可以是任意的直线。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 图形的对称、平移与旋转 课件
′′
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,
那么交点在对称轴上.
续表
性
质
轴对称图形
∠
∠ = ⑩____,
对应角 ∠ = ⑪_______,
∠
相等
∠
∠ = ⑫_______
轴对称
∠′
∠ = ⑬_____,
∠′
∠ = ⑭_____,
, −
坐标为_________.
图（2）
（6）如图（3），点 为边 上一动点，将 △ 沿直线
翻折，点 的对应点为 5 ，当 5 与坐标轴垂直时，
− 或
的长度为______________.
图（3）
【思路点拨】
（6）应分 5 ⊥ 轴与 5 ⊥ 轴两种情况讨论.
图（1）
（4）将 △ 向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，点 的
对应点 3 落在反比例函数 =
4
的图象上，则点 的对应点 3 的坐标为
, +
___________.
（5）如图（2），作 △ 关于直线 的对称图形 △ 4 ，
再作 △ 4 关于直线 4 的对称图形 △ 4 4 ，则点 4 的
拓展：若点 , 的坐标分别为 1 , 1 , 2 , 2 ,则线段 的中点 的坐标
为
1 +2 1 +2
,
2
2
（中点坐标公式）.
命题角度1 图形变换与坐标
例1 一题多问 如图（1），在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在
轴的正半轴上， ∠ = ∠ = 30∘ ， = 2 .
初中数学华东师大七年级下册轴对称平移与旋转轴对称PPT
如图所示的平行四边 形不是轴对称图形.
变式练习：1、下列图形中，对称轴最少的对称图形 是 (A )
2、在直线、角、线段、等边三角形四个图形中， 对称轴最多的是 直线 ，它有无数 条对称轴；最少 的是 角 ，它有 1 条对称轴
例2 做一做，找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形 的对称轴最多.
B. 2
C. 3
D. 4
4.判断下列图形是否为轴对称图形？如果 是，说出它有几条对称轴。
5.如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出 哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称。
课堂小结
轴对称
定义
轴对称 图 形 性质
定义
成轴对 称图形
性质
轴对称与成 轴对称
联系 区别
例3、下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ D）
A
Hale Waihona Puke BCD.例4、如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿 DE折叠后，点A落在BC边上的A ˊ处，若点D 为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD A ˊ的度 数．
课堂练习
1.下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之 和为（ ）
A. 13 C. 10
B
C 对称轴
B′ C′
把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重
合，那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是它的对称轴.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
归纳总结
轴对称、轴对称图形的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，
最新对称、平移、旋转知识点
轴对称图形1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线（虚线、尺子、露头）2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。
3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。
4、在方格纸上补全轴对称图形关键：找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。
5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
平移1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。
注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）平移不仅仅局限于左右运动。
2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。
将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。
3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
4、在方格纸上平移图形的方法：（1）找出图形的关键点；（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。
注意：用箭头标明平移方向（→）旋转1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。
2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；与时针运动方向相反的是逆时针方向；3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。
5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。
6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。
7、简单图形旋转90°的画法：（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；（3）参照原图形顺次连接所画的对应点。
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第六讲·直线与曲线的平移，翻折（对称），旋转
平移：
规律：上加下减，左加右减。
翻折：本质是轴对称。
解决方法：垂直平分。
垂直，121-=k k ，平分，中点公式⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x
对称：轴对称和点对称
轴对称：设A ()11,y x 关于直线l:b kx y +=对称点为B ()22,y x 这AB 两点和直线的处理方式为垂直平分。
点对称：设A ()11,y x 关于点P ()00,y x 对称点为B ()22,y x 这AB 两点和P 点的处理方式为中点公式。
旋转：中考一般只会考90°或者180°旋转。
处理方式一般为旋转坐标轴，改变坐标。
例1、
例2、
在平面直角坐标系x O y 中，抛物线
2
22--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称
轴对称，求直线l 的解析式； （3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直
线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析
式。
例3、
已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．
例4、如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=x+交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B 两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过D点作x轴的平行线交抛物线C2于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．
例5、如图①，抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点
D的横坐标为4，OA•OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得
矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由
（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．。