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高等数学上册PPT课件
R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为 既 约 真 分 数 ,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1) 内 的 无 理 数.
y
1 2
1 3 1 4 1 8 o
y R( x)
1 1 1 3 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
例3 符号函数 x x sgn x ,
1,
sgn
x
0
,
1 ,
当 x 0, 当 x 0, 当 x 0.
sgn x 起 了 x 的 符 号 的 作 用.
否 则 ，f ( x) 称 为 非 奇 非 偶 函 数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l , l ) (l 0) 内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l , l ) 内能表成奇函数与偶函数的和.
证 令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
f (x2 )
o
o x
D
x
D
当 f ( x)在 D 上单调递增或单调递减 时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
大一高数课件第一章 1-3-1 数列的极限
1 2 n
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
大一高数课件ch2-7函数的连续性
第七节 函数的连续性
一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题
一、函数的连续性
1.函数的增量
设变u量 从它的u初 1变值 到终 u2则 值 uu2u1
称为变 u的 量增. 量
注意：(1) u可正可负；
(2) u是一个整体，不能看作 与u的乘积.
设函 f(x)数 在 U (x0,)内有 ,当 定 x在 U 义 (x0,)
如果 f(x)在点 x0处的极， 限但 存在 lx ixm 0 f(x)Af(x0),或f(x)在点 x0处无定 义则x 称 0为点 函f(数 x)的可去.间断点
例4 讨论函数
y y1x
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x 1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
x0为f(x)的间,断 有点 以下三 ：种
(1) f(x)在点 x0处没有; 定义
(2)limf(x)不存;在
xx0
(3)
f(x)在x点 0处
有,定 lim 义 f(x)存 x x0
在
但x l ixm 0 f(x)f(x0).
1.可去间断点(a removable discontinuity)
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
lim
x x0
f (x)
f(x ) 0
那末就称函数 f ( x)在点x0 连续.
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x).
0
从 这 个 定 义 我 们 可 以 看 出 ， 函 数 f(x)在 点 x0
一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题
一、函数的连续性
1.函数的增量
设变u量 从它的u初 1变值 到终 u2则 值 uu2u1
称为变 u的 量增. 量
注意：(1) u可正可负；
(2) u是一个整体，不能看作 与u的乘积.
设函 f(x)数 在 U (x0,)内有 ,当 定 x在 U 义 (x0,)
如果 f(x)在点 x0处的极， 限但 存在 lx ixm 0 f(x)Af(x0),或f(x)在点 x0处无定 义则x 称 0为点 函f(数 x)的可去.间断点
例4 讨论函数
y y1x
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x 1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
x0为f(x)的间,断 有点 以下三 ：种
(1) f(x)在点 x0处没有; 定义
(2)limf(x)不存;在
xx0
(3)
f(x)在x点 0处
有,定 lim 义 f(x)存 x x0
在
但x l ixm 0 f(x)f(x0).
1.可去间断点(a removable discontinuity)
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
lim
x x0
f (x)
f(x ) 0
那末就称函数 f ( x)在点x0 连续.
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x).
0
从 这 个 定 义 我 们 可 以 看 出 ， 函 数 f(x)在 点 x0
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
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有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉 格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。 由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
ln(1 x) x 。 1
又由0<<x，有
x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
例 2．证明当 x>0 时， x ln(1 x) x 。 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足 拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
由于 f(0)0， f (x) 1 ，因此上式即为 1 x
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
例 1 ． 不 求 函 数 f(x)(x1)(x2)(x3) 的 导 数 , 判 断 方程f (x)0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足 罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是
f (x)=0的一个实根。
y x0 2x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 又例如, f ( x) 1 x, x (0,1], f (0) 0;
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f ( x) x ln( x 2)
在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f (x) 与 F (x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F (x)
( x )
常把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但在(0,1)内找不到一点能使f (x) 0.
再例如 f ( x) x, x [0,1].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件,但也找不到使f ( x) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
大一高数上课件
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在
区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
例如,
lim tan x , ( 0 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)