八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)
勾股定理知识点易错点
勾股定理知识点易错点一、知识体系：二、知识点：1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。
即：a 2＋b 2=c 2（a 、b 为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。
注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
2、勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步3、勾股定理的逆定理：（重点）如果三角形的三边长a 、b 、c 且a 2＋b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”（2）a 2＋b 2=c 2它只是一种表现形式，不能因为a 2＋b 2≠c 2就说这个三角形不是直角三角形。
如a=5，b=3,c=4. a 2＋b 2≠c 2但此三角形是直角三角形。
a 为斜边。
利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。
勾股数：满足a 2＋b 2=c 2的3个正整数，且满足a 2＋b 2=c 2。
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么?222a b c +=。
强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就为直角三角形。
3、3、定理的证明方法勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 易错点1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。
勾股定理经典易错题及学习知识点类题总结计划
人教版八年级下册勾股定理全章米，此刻要在河畔建一自来水厂，向A、 B 两镇供水，类题总结铺设水管的花费为每千米 3 万，请你在河流CD上选择水厂的地点M，使铺设水管的花费最节俭，并求出种类一：等面积法求高 B总花费是多少？【例题】如图，△ ABC 中，∠ACB=90 0 ，AC=7 ， BC=24 ， CD⊥ AB 于 D。
C A（ 1）求 AB 的长；C DL （ 2）求 CD 的长。
A D B种类二：面积问题【例题】以下左图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边和长为7cm,2则正方形A， B， C， D 的面积之和为 ___________cm 。
CDBA7cm【练习 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，（1）求图中格点四边形 ABCD的面积和周长。
（2）求∠ ADC的度数。
【练习 1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短行程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家 . 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？小河【练习 2】如图，四边形ABCD是正方形，A 北A D 牧童东AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，暗影 EB 小屋部分的面积是 ______.B C【练习 3】如图字母B所代表的正方形的面25积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194B169种类四：判断三角形的形状种类三：距离最短问题【例题】假如ABC的三边分别为 a、b、 c，且满【例题】如图， A、 B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。
别到河的距离为AC=10千米， BD=30 千米，且 CD=30千2 2种类六：结构应用勾股定理【练习 1】已知△ABC的三边分别为m－n ,2mn,2 2m+n (m,n 为正整数 , 且 m＞n), 判断△ ABC能否为直【例题】如图，已知：在中，，角三角形 . ，. 求： BC 的长 .【练习 2】若△ABC的三边a、b、c知足条件22 2a ＋b ＋c ＋338＝ 10a＋24b＋26c，试判断△ ABC的已知 a，b，c 为△ ABC三边，且知足【练习】四边形 ABCD 中，∠ B=90 °， AB=3 ， BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
初二年级数学上册每章节重难点及易错点整理
初二年级数学上册每章节重难点及易错点整理
第一章
教学内容：勾股定理
重点：勾股定理的内容及应用，判断怎样得到直角三角形难点：勾股定理的应用，圆柱的展开，勾股定理的逆定理易错点：侧面展开图后直角三角形的理解与应用
第二章
教学内容：实数
重点：平方根，立方根的概念，实数的定义，计算器的应用
难点：理解无理数是无限不循环小数，实数运算的某些技巧掌握，分母有理化
易错点：无限不循环小数是无理数，无限循环或者有限小数是有理数，理解平方根有两个
第三章
教学内容：图形的平移与旋转
重点：平移的特征，简单的平移作图，旋转特征的了解
难点：旋转作图，图案的设计
易错点：简单的平移作图与旋转作图
第四章
教学内容：平行四边形性质的探索
重点：特殊平行四边形的性质多边形内角和的推导
难点：特殊平行四边形的性质与判断，多边形外角和的推导过程
易错点：平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定
第五章
教学内容：位置的确定
重点：平面直角坐标系的理论，坐标的变化
难点：物体位置变化的确定，坐标变化后物体的变化
易错点：平面直角坐标系中坐标的表示，坐标变化的情况第六章
教学内容：一次函数
重点：一次函数的【解析】式及其图像，一次函数的感念及其性质，待定系数法
难点：变量与函数对应关系的了理解，一次函数图像的应用。
易错点：一次函数的表达式及其用待定系数法确定一次函数的表达式
第七章
教学内容：二元一次方程组
重点：用代入法和加减消元法解二元一次方程组
难点：二元一次方程组的应用题，二元一次方程组及一次函数
易错点：二元一次方程组的解法及其应用题。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理2易错专项训练习题课件新版北师大版
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m.
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易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错
4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为
5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三
角形，则满足上述条件的点 C 有
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个.
易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错
5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，
BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13，
BC ＝12.求图中阴影部分的面积.
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解：因为 AD ⊥ BD ，
所以 AB2＝ AD2＋ BD2，
因为 AD ＝4， BD ＝3，
所以 AB ＝5.
BD － DC ＝4. 综上所述， BC 的长为14或4.
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易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确
的展开方式出错
3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的
仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已
知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的
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在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2
＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题02勾股定理重难点知识(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S aS c ====【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】323333=4c a a c S a==△2323=4h a S a=△ 5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c =13∶5∶12 B ．a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b +c )(b -c ) D ．a :b :c =8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）图1-1A ．CD ,EF ,GHB .AB ,EF ,GHC .AB ,CD ,GH D .AB ,CD ,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1+S 2值为图1-2【答案】（1）D ;（2）B ；（3）68.【解析】解：（1）A ：22213512=+，所以A 正确； B ：a 2-b 2=c 2，即a 2 = b 2+c 2，所以B 正确；C：a2=(b+c)(b-c)，即b2 =a2+c2，所以C正确；D：82+162≠172，故D错误.（2）由图可知：AB2=8；CD2=20；EF2=5；GH2=13；∴AB2 +EF2 =GH2故答案为B；（3）如图1-3所示.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=∠CAD=45°，图1-3因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，即S1=36；如图1-4，图1-4由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，所以AE=CF=EF，因为正方形边长为12，所以AC2，所以EF2,即S2=32，故S1+S2=68.5【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A (8，0)、C （0,1）、D 为OA 的中点，P 是BC 边上一点. 若△POD 为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1【答案】(3,1)、 (2－3,1)、(2+3,1)；【解析】解：因为D 是OA 的中点，A (8，0)，所以OD =4，①当OD 为底时，P 在线段OD 的垂直平分线上，即P 点横坐标为2， 即P 点坐标为（2,1）；②当OD 为腰时，分别以O 、D 为圆心，以OD 的长为半径画弧，与线段BC 的交点即为P ，如图2-2所示.图2-2∵OP 1=2，OC =1，在Rt △COP 1中，由勾股定理得：CP 13，即P 13,1)； 过D 作DH ⊥BC 与H ， ∵DP 2=OD =2，在Rt △DHP 2中，由勾股定理得：HP 13，即P 2(23,1)； 同理，得P 33【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 、EFGH 、MNKT 的面积分别为a 、b 、c . 若a +b +c =15，则b=图2-3【答案】5.【解析】解：设八个直角三角形的面积为S ， a =4S +b ，c =b －4S ， ∵a +b +c =15， ∴4S +b +b + b －4S =15， 解得：b =5.（3）如图2-4所示，在矩形ABCD 的对称轴l 上找一点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个；图2-4【答案】5.【解析】解：因为P 在ABCD 的对称轴上，所以PB =PC ，即△PBC 为等腰三角形（l 与BC 交点除外） 当AB 为底时，P 是AB 的垂直平分线与l 的交点，有一个；当AB 为腰时，分别以A 、B 为圆心以AB 的长为半径画弧，与直线l 的交点有4个，均符合要求 综上，符合条件的P 点有5个. 如下图2-5所示.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8图2-5题3. （1）尺规作图：如图1，请在x 轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A （4，2），点B 在x 轴上，若∠OAB =90°，试求点B 的坐标；（3）如图3，已知点A （4，2），点P 在x 轴上，若△OAP 为等腰三角形，试求点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图3-4所示，图3-4找到点A (4,2)，连接OA ，由勾股定理得：OA =25以O 为圆心，以OA 的长为半径画弧，交于x 正半轴于点M ，即为所求. （2）如图3-5所示，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9图3-5过A 点作AC ⊥x 轴于C ，设B 点坐标为（m ，0） 则OC =4，CA =2，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AO 2+AB 2=OB 2, 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2 =20,在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AC 2+CB 2=AB 2，即4+（m -4）2=AB 2 ∴20+4+（m -4）2=m 2解得：m =5，即B 点坐标为（5,0）；（3）①以O 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 1，P 2，如图3-6所示，图3-6由（1）知，P 1（25，0），P 2（－25，0）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 3，如图3-7所示，图3-7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10由对称性可得：P 3（8,0）；③当OA 为底时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4，过A 作AH ⊥x 轴于H ，如图3-8所示，图3-8设P 4坐标为（m ，0），则AP 4=OP 4=m ，HP 4=4－m ，AH =2， 在Rt △AHP 4中，由勾股定理得： m 2=(4－m )2+22，解得：m =52，即P 4（52，0）. 综上所述，△OAP 为等腰三角形时，P 点坐标为（25，0），（－25，0），（8,0），（52，0）. 题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A ,B 两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF 表示楼体, AB =150m , CD =10m , ∠A =30°, ∠B =45°(A ,C ,D ,B 四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m 计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【答案】见解析.【解析】解：(1)设楼高为x m , 则CF =DE =x ,【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11∵∠A =30°,∠B =45°,∠ACF =∠BDE =90°,∴AF =2CF =2x ,在Rt △ACF 中,根据勾股定理得AC =3x , ∵∠BDE =90°,∠B =45°,∴BD =x ,∴3x +x =150－10,解得x =703－70(m ),即楼高为703－70(m ).(2)x =703－70≈70(1.73－1)=70×0.73=51.1(m )<3×20(m )，∴我支持小华的观点,这楼不到20层.题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m ，在入口的一侧安装了停止杆CD ，其中AE 为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA 为0.7m ．在此状态下，若一辆货车高3m ，宽2.5m ，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）图5-1【答案】见解析.【解析】解：在线段AB 之间找一点F ，使BF=2.5 m ，过点F 作GF ⊥AB 交CD 于点G ，如图5-2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12图5-2∵AB=3.2 m ，CA=0.7 m ，BF=2.5 m ，∴CF=AB －BF+CA=1.4 m ，∵∠ECA=60°，∴GF= CA=≈2.38m ，∵2.38<3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．题6. 如图6-1所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC 中，试求出AB 边上的高．【答案】见解析.【解析】解：（1）（5,1）、（1,5）、（7，7）；（2）求得△ABC 的面积为：9－1.5－2－1.5=4，由勾股定理得，线段AB 10，所以AB 45510=.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
中考数学复习指导：勾股(逆)定理应用中的易错点
勾股（逆）定理应用中的易错点勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．一、忽视应用的前提例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．错解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．正解由三角形的三边关系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c为质数，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．错解∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．正解∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽视直角所对的边是斜边例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．错解∵△ABC为直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，而并不一定是我们所习惯的c为斜边．三、忽视隐含情形例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，错解第三边长为：分析同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．正解(1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：∴第三边的长为5或．友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．四、忽视分类讨论例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．错解如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.正解如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．五、忽视区别应用勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．错解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.六．忽视定理实质例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )(A)∠A为直角(B)∠C为直角(C)∠B为直角(D)不是直角三角形错解选B．分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一等式进行判断．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故选A．例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )(A)1.2.3 (B)32，42，52(C)，，(D)，，错解选B．分析对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．正解因为，故选C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．七、忽视最大边所对的角是直角例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？所以这个三角形不是直角三角形．分析以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．根据勾股定理逆定理可知由a，b，c为边组成的三角形为直角三角形．例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．错解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90°．∴△ABC是直角三角形．友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．。
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勾股定理易错点与重难点复习（一）1、已知实数a 满足100822018a a a －＋－＝，那么221008a －＝ 。
20182、已知571x x ＋－－＝，则57x x ＋＋－＝ 。
12 3、已知a ＋b ＝4，ab ＝1，则a bb a＋＝ 。
4 4、已知2510x x -+= （1）求1x x +的值； （2）求221xx +的值； （3）求441x x +的值； （4）直接写出551x x +＝_________，661x x +＝_________。
解：1x x +＝5 221x x +＝3 331x x +＝25 441x x +＝7 551x x +＝55 661x x +＝18知识点 勾股定理及其逆定理 【知识梳理】1、勾股定理的基础概念（1）勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（a ）和股（b ）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c ）来表示斜边。
（2）勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：2勾＋2股＝2弦。
（3）勾股定理的表示方法：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则2a ＋2b ＝2c 。
（1）勾股定理的前提是，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系。
（2）利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边。
尤其在记忆2a＋2b＝2c时，此关系式只有当c是斜边时才成立。
若b是斜边，则关系式是2a＋2c＝2b；若a是斜边，则关系式是2b＋2c＝2a。
（3）勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由2a＋2b＝2c，得2a＝，2b＝等。
熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助。
2、勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。
方法2：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形（赵爽弦图）。
方法3：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的梯形。
3、勾股数满足2a＋2b＝2c的三个正整数，称为勾股数。
（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足2a＋2b＝2c；②都是正整数。
两者缺一不可。
（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足2a＋2b＝2c（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm、0.4cm、0.5cm为边长的三角形是直角三角形。
4、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c满足2a＋2b＝2c，那么这个三角形是直角三角形。
（1）不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”。
（2）当满足2a ＋2b ＝2c 时，c 是斜边，∠C 是直角。
5、逆命题与互逆定理（1）如果一个命题的题设、结论与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
想一想：原命题成立时，逆命题一定成立吗？（2）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
【例题精讲一】勾股定理的理解运用例1. 1、在直角三角形中，斜边＝2，则＝______。
2、已知直角三角形两边x 、y 的长满足24x －＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。
3、如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 上的一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD 。
若BD ＝2，CD ＝4，则BE 的长为________。
（图1） （图2）【课堂练习一】1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长是__________。
2、一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为_________。
3、如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝8，AD ＝6，ABC S △＝42，则ABAC＝_________。
4、已知一直角三角形的两直角边长为1、2，则斜边上的高线长为________。
【例题精讲二】用勾股定理求面积例 2. 1、如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为___________cm 2。
ABC AB 222AB AC BC ++（图1） （图2） （图3）2、如图2，分别以等腰Rt △ABC 的边AB 、AC 、BC 为直径在AB 的同侧画半圆，若AB ＝4，则图中两阴影部分面积之和是_________。
3、如图3，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，∠BCD ＝30°，BC ＝6，那么△ACD 的面积是________。
【课堂练习二】1、如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 。
（图4） （图5）2、如图5，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE ＝5，BE ＝12，阴影部分的面积是 。
3、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 。
【例题精讲三】勾股方程的应用例3. 1、如果一个三角形三条边长分别为4、5、6，求这个三角形的面积。
ABCD7cm2、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积。
【课堂练习三】1、如果一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，那么它的面积为。
2、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD＝8，AB＝4，那么△BED 面积是多少？【例题精讲四】勾股定理求立体图形中的最短路径例4. 1、已知，如图1是一个封闭的正方形纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（）A．A⇒B⇒C⇒G B．A⇒C⇒G C．A⇒E⇒G D．A⇒F⇒G（图1）（图2）（图3）2、如图2，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm。
若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm3、如图3，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC。
一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．64⎛⎫⎪⎝⎭＋πcm B．5cm C．35cm D．7cm【课堂练习四】1、如图4所示，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）A．3米B．4米C．5米D．6米（图4）（图5）2、如图5，为了庆祝春节，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m。
如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为。
【例题精讲五】勾股定理的实际应用例1. 1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。
如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【课堂练习五】1、如图1为某楼梯，测得楼梯的宽为2米，斜坡长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的面积至少为______。
（图1）（图2）2、如图2，一个梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上（AC⊥CD），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下滑了多少m？3、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。
运用所学知识判断A市是否受影响，如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？1、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB长是（）A．4 B．1 C．332D．3342、如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1＋S2＝S3 B．S12＋S22＝S32C．S1＋S2＞S3D．S1＋S2＜S3（第2题）（第3题）3、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．3B．32C．5D．524、平面直角坐标系中，点P(－3，2)到坐标原点的距离是__________。
5、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高_______米。
6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD是斜边AB的高，则CD的长为________。
7、一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行。
20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为。
（第7题）（第8题）8、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC且AD＝6cm，CE⊥AB且CE＝8cm，则△ABC的周长为。
9、一根70cm的木棒，（“能”或“不能”）放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中。
10、在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为。
11、如图，在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，其中∠BAD＞∠CAD，求CDBD的值。
（第11题）（第12题）12、如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。