电力系统暂态分析微代数方程的推导

始资料：3机9节点系统图：图1支路参数：发电机参数表216.5kv3注：表中所有时间常数的单位为“S”，阻尼系数D及所有电阻、电抗均为“表幺值”。

正常运行情况下的系统潮流表：消去负荷节点的分析电路图：81.消去系统的负荷节点 计算负荷的等值阻抗：因为 2U U U zl IS SU•••===所以22,5,6,8*U U Li Li zl i i P j QS Li===-负荷对应的导纳为：21,5,6,8LiP jQyl i i ZL iU -===令用于系统潮流计算的节点导纳矩阵为Y。

暂态稳定分析中，负荷采用恒阻抗模型，将相应节点的负荷导纳值并入系统中，即修改系统中5,6,8号节点的自导纳值为：,5,6,8iiii lii yyy =+=如此,便可得到消去系统负荷节点后的节点导纳矩阵'NNY.2.系统的初值计算系统暂态稳定分析过程中需要求解微分方程，因此需要计算系统初值。

暂态稳定分析中，需用到系统运行状态变量x 和运行变量y 。

在本次系统暂态稳定分析中，发电机采用经典模型、负荷为恒阻抗模型、网络用节点导纳矩阵描述；因此，',t U x y P E θδω⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦据原始资料可知，y已知，故需要据系统原始资料求解x 。

求各发电机暂态电动势： 电路图为如下：U•由简单系统潮流计算公式得：'Q X d U U ∆= ; 'P X dU Uδ=所以''()U U j U E E δδ••=∠=+∆+用直角坐标可表示为：''x y Ux U Uy U E E δ⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1'1'()()*()*;()()*()*;111d d U diag Q diag diag I U diag P diag diag I I U X U X δ--∆==⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故可得'''''arctan()x yy xj E EE E EEδ•=+==在暂态稳定分析计算过程中，认为系统发电机的调速系统可维持原动机的输入功率不变。

即有tem P P= ，02fωπ=3.暂态稳定分析的网络方程暂态稳定计算过程中的网络代数方程与系统潮流计算时的网络代数方程有所区别，前者是由消去系统网络负荷节点的网络代数方程和发电机方程组合而成的。

用于暂态稳定分析的代数方程可以描述为：'0G GY E I-= （1）其中'E 为发电机的暂态电动势，GY为消去负荷节点和考虑发电机内节点，并消去网络中联络节点后的节点导纳矩阵，GI为发电机实际注入电流。

列写发电机方程：暂态稳定计算中，考虑励磁系统具有维持发电机暂态电抗qX后的暂态电动势'qE保持不x变的能力，并令'q qX X=,即发电机采用经典模型。

发电机用'qE表示时，按固定在发电机转子上的d,q 轴坐标来建立发电机电压平衡方程式有:''''0U E E I X q Gd dGq U I X Gq dGd ==+=-⎧⎨⎩写成矩阵形式为：'''00U E X I q dGq Gq U X I dGq Gd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统潮流计算的代数方程中各节点的电压电流等相量均是以某一同步旋转轴的坐标系为基准的，今假设此坐标轴为直角坐标轴x-y 。

因此，为了便于发电机方程与网络方程的联立求解，需要将发电机d-q 坐标系下的电压平衡方程转化为x-y 坐标轴下的电压平衡方程。

同时，在暂态稳定计算过程中，可以假设系统同步旋转轴和x 轴重合，故在发电机经典模型下可以将发电机q 轴与x 轴间的夹角认为是发电机的绝对功率角δ。

坐标间的转换关系，可参照如下相量图 。

由上图可以得知故有cos sin sin cos cos sin sin cos U U Gx Gq U U Gy Gq I I Gx Gq I I Gy Gq δδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦cos sin sin cos U U Gq Gx U U Gd Gy δδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此'''0cos sin cos sin 0cos sin sin cos sin cos 0sin cos U X I dGq Gq q U X I dGq Gq E δδδδδδδδδδδδ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 因此'''''1100cos sin 1sin cos 1000I Gx d d Gx q I Gy Gy d d X X X X U E U δδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦''000I Gx xxx Gxx Gxq I Gy y y y Gy y Gy C U C U B B E E C UC UB B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中 ''''sin cos 11,,,x y x y ddddC C B B XXXXδδ--====所以'''G GG GN G U I Y E Y =- (2)在直角坐标系下的表达式为''''''000U I Gx Gx Gx GG GNU I Gy Gy Gy GGGNE E B BB B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-- 其中''''''''11,,,GGGG GN GN GG GN ddj j YB Y B B B XX===-=-所以''GGGNY Y=消去负荷节点后的系统网络方程为NNU I Y= （3）其中,U I 分别为系统的节点电压和节点注入电流。

联立方程（1）（2）得：''''GG GG NN GN U IU Y E I Y Y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 在方程（2）中，由于已消去了网络中的负荷节点，因此可知仅仅只有连接发电机的节点才会有注入电流，且满足G I I =.因此可以将上述方程组改写为：'0GG GN NGNN I U Y Y E Y Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4）其中'E 是各发电机暂态电动势组成的列向量，U 是网络中各节点电压组成的列向量。

GGGNNGNN Y Y Y Y⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个（3+9）⨯（3+9）的矩阵。

GG Y 是3⨯3, GN Y 是3⨯9, NG Y 是9⨯3,且有()TNGGN YY =，NNY是9⨯9.各分块矩阵的求解如下：'''123111(,,)GG d d d diag j j j X X X Y = ;'1'2'3100000000100000000100000000d GNd d j j j X YX X⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可知'GG GG Y Y =；GN Y 与'GG Y 的非零元素相同，只是矩阵的阶数不同。

'NN NN GG Y Y Y =+即NNY可由系统潮流计算的节点导纳矩阵Y变换而来，变换过程中只需修改对应负荷和发电机节点的自导纳值，即在系统负荷节点处并入负荷的等值导纳值，在发电机节点并入发电机的内阻抗值。

处理暂态计算过程中的网络代数方程（3）如下：''0E U I YY GG GN U Y E Y NG NN ⎧⋅+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⋅⎩（5）（6）结合（4）、（5）消去变量U 可得：'''11()NG GG G GN NN GG GN NN NG G GE E I Y E Y Y Y Y Y Y Y ---=-=所以'1()NG GG GN NN GI E Y Y Y Y --= （7）所以比较（1）、（7）可得1G GG GN NN NG G jB Y Y Y Y Y -=-=+ (8)4.微分-代数方程电力系统暂态稳定数值计算过程实际上是求解系统的微分-代数方程，再据求解结果判断系统在受到大干扰后，能否保持系统的稳定运行。

据本次暂态稳定分析建立的数学模型可知，系统微分方程仅包括发电机转子的运动方程。

列写3机9节点系统暂态计算过程中的微分-代数方程如下：发电机转子运动方程为：0(1)J t emd dtd T dt P P δωωω⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（9） 其中δ为发电机绝对功率角，2fπω=为同步角速度，式中各时间量的单位s ，其它物理量均为表幺值。

方程（9）中系统角加速度用有名值表示时10)(J em t d dt d P T P dtδωωω-⎧=∆⎪⎪⎨∆⎪=-⎪⎩ (10) 将方程（7）和（10）联立可得系统暂态计算的微分-代数方程组，即10'1)((0)J em t NG GG GN NN G d dt d P T P dt I E Y Y Y Y δωωω--⎧=∆⎪⎪∆⎪=-⎨⎪⎪--=⎪⎩（11） 上述微分-代数方程组可采用交替法求解。

暂态计算过程中，求解系统代数方程是为了求出每台发电机的电磁功率，进而可以利用数值积分法求解发电机转子运动方程，从而得出每台发电机的绝对功率角以及发电机间的功角差，最后据求解结果对系统的稳定性进行判断。

因此，在电力系统经典模型下，可以通过对系统代数方程的推导并结合发电机电磁功率计算公式，直接求出发电机的电磁功率，而不需要重复求解系统代数方程中的每一个变量，这样不仅利于优化暂态计算程序而且提高了暂态计算的求解速度。

发电机的电磁功率的计算：*'emi Gi i iijQ S P iE δ=+=∠所以'*)Re(emi i iE i P iδ=∠ （12）据系统代数方程（7）得3'13**'1,1,2,3(13)ij j i j j ij j i jj Y i i E i Y E δδ===∠=⇒=∠-∑∑将（13）代入方程（12）中得33*11321'''')()Re(Re('''(cos sin )())emi ijijij ij jj j j ij ij j j iE E P i i ij G G E E B E i j ij ii ij i j E G Y B E δδδδδ===≠=∠∠-=⋅∠=++∑∑-⋅∑式中11j G Y B ij ij ij j Z R X ijij ij=+==+, 令()()22()()j 221sin sin 1sin sin 1cos cos X B ii ii arctg arctg ii G R iiii X ij Bii arctg arctg i G R ij ij G Y ii ii ii ii Z iiG Y ij ij ij ijZ ijB Y ij ij ij ijZ ijππαππααααααα-=-=-=-=--===-=-==所以可得发电机电磁功率为32'''sin sin ),1,2,3(()1i P Y E E Y E emi ii i j ij ii ij ij i j j iδαα=+⋅-=∑=≠ （14）将（14）代入方程组（11）中，因此可得系统的微分-代数方程如下：312'''sin sin ))((()01d ii dt d i P Y E E Y E ii i j ij ii ij ti ij i dt T jj j iδωωδωαα⎧=∆⎪⎪⎪∆⎨=--⋅-∑⎪=⎪⎪≠⎩(15) 可知，系统暂态计算就是求解微分方程组（15）。