弹塑性力学课后习题
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应用弹塑性力学(徐秉业_刘信声版)课后习题答案(全)
pr =σs 2t
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
2 2 2 σ x +σ 2 y − σ xσ y + 3τ xy = σ s 2
pr =σs t
Tresca 条件：
σθ = −
b2 p b − a2
2
p σr
ρ 2q σθ = 2 b − ρ2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠
2
⎛ ρ2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
a ρ
b
(σ r − σ θ ) r = ρ
σθ
=
2b 2 ( p − q) = σ s b − ρ2 σs
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2
(σ
x
−σ y
σ ⎜ ) +⎛ ⎜
2
y
⎝
−σ x ⎞ ⎛σ y −σ x ⎞ 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + 6 τ xy = 2σ s 2 2 ⎝ ⎠ ⎠
δ = 2%
2 B1 z = 2C 1 z
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2 ⇒ p = 5.77 MPa
弹塑性力学习题集_很全有答案_
态。
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
略的应力 σ x 、 τ zx 之间的关系。 2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重 为 γ ，水的比重为 γ 1 ，已求得其应力解为： σ x = ax + by ,
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为： ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u 0 = v 0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角 α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σ α 和剪应力
τ α ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。 2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa） ，并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
略的应力 σ x 、 τ zx 之间的关系。 2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重 为 γ ，水的比重为 γ 1 ，已求得其应力解为： σ x = ax + by ,
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为： ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u 0 = v 0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角 α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σ α 和剪应力
τ α ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。 2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa） ，并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
弹塑性力学习题及答案
.本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
《弹塑性力学》习题-26页精品文档
已知桁架各杆 EA 相同，材料的弹性关系
为 = E 。 A y l
P
C
x
D
B
l
28.09.2019
21
题2-3 左图示梁受荷载
q
作用，试利用虚位移原 M
理 或最小势能原理导出
EI
x
梁的平衡微分方程和力 y
l
的边界条件。
q
题2-4 利用最小余能
原理求左图示梁的弯
EI
x
矩。
l y
28.09.2019
题2-1 图示结构各杆等 截面杆，截面面积为A, 结点C承受荷载P作用, 材料应力—应变关系分
别为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试计算结构
的应变能U 和应变余能 Uc。
A
ly
B
P
Cx
C’
l
28.09.2019
20
题2-2 分别利用虚位移原理、最小势能原
理和最小余能原理求解图示桁架的内力。
弹塑性力学部分习题
第一部分 静力法内容
28.09.2019
1
题 1-1 将下面各式展开
（1）. 1 2 ij (ui,juj,i) (i,j1,2,3) （2）. U01 2ij ij (i,j1,2,3)
（3）. F i n iG u i,j u j,i i j e
x
y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应
力函数表示为
x y 22V,y x 22V,xy x2 y
28.09.2019
11
题1-13 试分析下列应力函数能解决什么 问题？设无体力作用。
34Fcxy3xcy23q2y2
ox
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学部分习题及答案
厚壁筒应力问题
要点一
总结词
厚壁筒应力问题主要考察了弹塑性力学中厚壁筒结构的应 力分析和变形计算。
要点二
详细描述
厚壁筒应力问题涉及到厚壁筒结构在受到内压、外压或其 他复杂载荷作用时的应力分布和变形情况。在解题过程中 ，需要运用弹塑性力学的相关理论，如应力分析、应变分 析等，来求解结构的应力分布和变形情况。同时，还需要 考虑厚壁筒结构的特殊性，如不同材料的组合、多层结构 等，对结构应力和变形的影响。
02
弹塑性力学基础知识
应力和应变
基本概念
详细描述：应力和应变是弹塑性力学中的基本概念。应力表示物体内部相邻部分之间的相互作用力，而应变则表示物体在应 力作用下的变形程度。
屈服条件与应力-应变关系
屈服准则与流动法则
详细描述：屈服条件决定了材料在应力作用下的屈服点，是判断材料是否进入塑性状态的重要依据。 应力-应变关系则描述了材料在受力过程中应力与应变的变化规律。
弹塑性力学特点
弹塑性力学具有广泛的应用背景，涉及到众多工程领域，如结构工程、机械工 程、航空航天等。它既适用于脆性材料，也适用于塑性材料，并考虑了材料的 非线性特性。
弹塑性力学的基本假设
连续性假设
小变形假设
假设固体内部是连续的，没有空隙或 裂纹。
假设物体在外力作用下发生的变形是 微小的，不会影响物体内部应力分布。
弹塑性力学部分习题及答 案
• 弹塑性力学概述 • 弹塑性力学基础知识 • 弹塑性力学典型习题解析 • 弹塑性力学部分习题的定义与特点
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究固体在受到外力作用时，其内部应力、应变和位移之间 关系的学科。它主要关注材料在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。
弹塑性力学课后习题
(1)
( 2)
显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。 2、考虑位移约束和变形连续条件：
(u1) x l 0, (u2 ) x l 0, (u2 ) y h 0, (v2 ) y h 0 (v1) y a (v2 ) y a
由此解得：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 d 2 0, f 2 e2h, d1 0, f1 e1a e2 (a h)
《平面问题的基本理论》习题课
[练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷， 如图所示。试根据材料力学中 的 x 表达式，再用平衡微分方程导出 y 和 xy的表达式。 解：由材料力学知，过 P 点横截面 上的弯矩为： qx 3 M
z
q
h/2 h/2
o
P
l
x
y
（ 1）
(6l )
Mz y q 12y 2q x3 ( ) 3 x3 y Iz 6l 1 h3 lh x xy 代入平衡微分方程，
y
[练习4] 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是 平面应力问题，还是平面应变问题？ h
q
R
O
q h x o z R O x
Q Q
O
z
y
y
R>>h
y
R>>h b)
y
a)
p
R O p x O
p
z L
p
y R<<l y c)
解： 图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用 于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板 边，荷载及横截面沿z轴无变化，且R<<L，故为平面 应变问题。
弹塑性力学课后习题答案
（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
（I-12）
(ai) i2(a 1 1a22 a3)3 2 （I-13）
aibjk cijk
（I-21）
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j； 或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
（I-22）
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：
Mrn （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
（I-25 ）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 aij的分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij 称为对称张量。 如果 的分aij量满足
aij aji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11a22。a330
第二章 应力理论
七应变莫尔圆41弹性变形与塑性变形的特点塑性力学的附加假设42常用简化力学模型43弹性本构方程弹性应变能函数44屈服函数主应力空间常用屈服条件47塑性本构方程简介静不定问题的解答1静力平衡分析平衡微分方程2几何变形分析几何方程3物理关系分析物理方程表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变以及应力率与应变率之间关系的物性方程称为本构方程关系
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y
o h
l
x
x 0, y 0, u 0, v 0 x l , y 0, u 0, v 0 x l, y h ,v 0 2
y
o
h
l
x
x 0, y 0, u 0, v 0 x l , y 0, u cos v sin 0
B 2 E 3 F 2 f ( x) x Cx D, f1 ( x) x x 2 6 2 x f ( y ), y y ( Bx C ) Ex F Py B 2 xy x Cx D 2
（7)
常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。
q y dy (4 y 3 3h 2 y ) x g ( x) x 2lh 3 q ( y ) h 0, g ( x) x y 2l 2 xy
（3）
（4）
y
q (4 y 3 3h 2 y h 3 ) x 2lh 3
注意：式（1）、（3）、（4）表达的仅是静力可能的应力分 量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。
由此解得：
2 2 1 1 1 2 e1 q, e2 q E1 E2 4、位移及应力分量为：
2 2 1 1 1 2 u1 0, v1 q( y a) q(a h) E1 E2 2 1 2 u2 0, v2 q( y h) E2
y
[练习4] 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是 平面应力问题，还是平面应变问题？ h
q
R
O
q h x o z R O x
Q Q
O
z
y
y
R>>h
y
R>>h b)
y
a)
p
R O p x O
p
z L
p
y R<<l y c)
解： 图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用 于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板 边，荷载及横截面沿z轴无变化，且R<<L，故为平面 应变问题。
xy
h
x
y
P
O
h
y
x
y
yx
y
yx
y a) 解： 1、列出应力边界条件
y b)
y c)
（1）左边界： ( x ) x h 0, ( xy ) x h 0 （2）右边界： ( x ) x h y , ( xy ) x h 0
(1)
解：1、采用位移解法。由于此结构处于双向均匀受压状态 （应力、应变为常量），因此，可假设其位移是线性函数， 现分上、下两区域表达为：
ABCD部分：
u1 a1 x b1 y c1 ,
CDEF部分： u2 a2 x b2 y c2 ,
v1 d1 x c1 y f1
v2 d 2 x c2 y f 2
(2)
（3）上端部：
h
h h
( y ) y 0 dx P sin
(3) ( 4) (5)
h ( y ) y 0 xdx P sin 2 h
h h
( xy ) y 0 dx P cos
[练习7] 图所示结构由两种不同材料构成。试求其在竖向均布 E 荷载q作用下的位移和应力解答（设h，a，L，1, 1, E2 , 2 , q 均已 知）。
(1)
( 2)
显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。 2、考虑位移约束和变形连续条件：
(u1) x l 0, (u2 ) x l 0, (u2 ) y h 0, (v2 ) y h 0 (v1) y a (v2 ) y a
由此解得：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 d 2 0, f 2 e2h, d1 0, f1 e1a e2 (a h)
y yf ( x) f1 ( x) y 4 d 4 f ( x) d 4 f1 ( x) y 4 4 x dx dx4 4 4 0, 2 2 0 4 y x y d 4 f ( x) d 4 f1 ( x) 0, y 0 4 4 dx dx
( 2)
由于A同处于AB，AC边界，因此，需同时满足式（1）和式（2） ，由此解得： x y xy 0 ，问题得证。
[练习6] 图a）所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力。
顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件，固定边不必考 虑。
P x O
h 2
P x O
由式（3）、（4）解出常数 A 和 B ，进而可求得应力分量：
q q A 2 ,B h h
x 0, y
4.分析：
2qy 3x qx 3x (1 ) Py , xy (2 ) h h h h
（5)
f （1） (x)中的 Cx 不能略去，因为 Cx 对剪应力有影响。
[练习2] 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度 为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
l
o
y
g
x
o
x q0 l
l
q0
g
x
y
（a)
图2
（b)
解：1.设应力函数为： Ax3 Bx2 y Cxy2 Dy3 不难验证其满足 4 0 。所以应力分量为：
[练习2] 如图所示为平面物体，角 A y 0 B 均为直角，其附近边界表面 和角 yx 0 A 均不受外力，试说明 A 、B 两点的 0 x 应力状态。 xy 0 y x 解： 由于 A 点附近边界不受外力，该 o 点的应力分量应满足如下边界条 件： ( x ) A ( y ) A ( xy ) A 0 即 A 点处于零应力状态。而 B 点处 于凹角的顶点，该点所取的微分单 元体的各个面均不是边界面，因此， 其上的应力分量是未知的，未必为 零，由理论分析知，凹角处 点的 B 应力趋于无限大。
x1 1q, x2 2q,
y1 q, y 2 q,
xy1 0 xy2 0
§3-7 《平面问题的直角坐标解答》习题课
[练习1]设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受 均布剪力 q ，如图1，试求应力分量。 解: 1.采用半逆解法，设 x 0。导出 O x 使其满足双调和方程： h 2 x 2 Xx 0, f ( x) g q
x1 0, y1 e1, xy1 0
3、考虑应力边界条件和应力连续条件（CD面为光滑接触）：
( y1) y 0 q, ( xy1) y 0 0 ( y1) y a ( y 2 ) y a , ( xy1) y a ( xy2 ) y a 0
B
[练习3] 试写出表中所示各平面物体的位移边界条件（用直角 坐标），其中第二图中o点不动，过 o点的水平线段无转动。 解：各位移边界条件见表所列。
o
h
x
h x 0, y , u 0 2 h x 0, y , u 0, v 0 2
y
o
h
x
x 0, y 0 u 0, v 0, v 0 x
[练习5] 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力 作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处无 应力存在。 解: 本题可视为平面应力问题，AB和AC都 是自由边界（且 1 2 ），无面 力作用，即： X Y 0 。代入边 界条件有： AB边界： l1 cos1, m1 sin 1
x
（1）
x
xy
（2） y 6q 3q x dy 3 x 2 ydy 3 x 2 y 2 f ( x) x lh lh
0
利用上、下面边界条件确定 f (x)
( xy )
y h 2
3q 2 0, f ( x) x 4lh
3qx2 xy (4 y 2 h 2 ) 4lh3 将式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得：
q C O A y B q
N2
2
x
1
N1
cosα 1σ x sinα 1τ xy 0 cosα 1τ xy sinα 1σ y 0
(1)
l AC边界：2 cos 2 cos1 m2 sin1
cos1 x sin 1 xy 0 cos1 xy sin 1 y 0
q A C E
E1 1
E2 2
Oax B源自h D FL yL
u1 0, v1 e1( y a) e2 (a h) u2 0, v2 e2 ( y h)
(3) (4)
(5) x 2 0, y 2 e2 , xy2 0 E1 1E1 2 E2 x1 ( x1 1 y1 ) e1, x 2 e2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 E1 E1 E2 y1 ( y1 1 x1 ) e1, y 2 e2 (6) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 xy1 G1 xy1 0, xy2 0
《平面问题的基本理论》习题课
[练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷， 如图所示。试根据材料力学中 的 x 表达式，再用平衡微分方程导出 y 和 xy的表达式。 解：由材料力学知，过 P 点横截面 上的弯矩为： qx 3 M
z
q
h/2 h/2
o
P
l
x
y
（ 1）