弹塑性力学习题解答讲课教案
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答案++汇总
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。
静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。
运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。
动力学：研究力与运动的关系。 如何提供加速度？
● 按研究对象分：
◆ 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与
运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ； （B）弹塑性假设。
⑷ 几何假设——小变形条件
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定： （A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以
◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ห้องสมุดไป่ตู้在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
弹塑性力学-陈明祥版的-课后习题答案++教学内容
陈明祥
中国地质大学 力学教研室
第一章 绪 论
一、 学科分类 ·弹塑性力学 二、 弹塑性力学的研究对象 三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法 四、 弹塑性力学的基本任务 五、 弹塑性力学基本假设 六、 弹塑性力学发展概况 七、张量概念及其基本运算
● 按研究对象分：
◆ 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。 如果 的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
◆ 对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标
符号前上方加“ ′”的方式来表示。
例如： Ai，j
就表示对一阶张量
xi 求导。
的Ai每一个分量对坐标参数
◆ 如果在微商中下标符号 i 是一个自由下标，则 算子 作i 用的结果，将产生一个新的升高一阶
（I-13）
★ 关于自由标号：
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★
关于Kronecker
delta（
）符号：
ij
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
◆ 表示应力的及符号规则：
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答案++共207页
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
207
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
▪
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答 案++
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
应用弹塑性力学第二版教学设计
应用弹塑性力学第二版教学设计一、课程介绍本课程为大学本科专业课，适用于工程力学相关专业。
课程旨在介绍应用弹塑性力学的基础理论和应用技巧，探究材料的强度和变形性能，并且涵盖了数值模拟、结构分析等内容。
通过学习本课程，学生能够理解弹塑性力学的基本原理，掌握有限元分析的方法，从而为实际工程问题提供合理的解决方案。
二、课程目标1.理解弹塑性力学的基本概念和理论基础。
2.掌握有限元分析的方法，应用于实际工程问题的解决。
3.培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。
4.启发学生的批判性思维和创新能力。
三、课程安排第一章弹塑性力学的基本概念和理论本章将介绍弹塑性力学的基本概念和理论基础，包括应力、应变、弹性模量、塑性流动理论以及材料的应力-应变曲线等内容。
第二章有限元分析的基本思想和方法本章将介绍有限元分析的基本思想和方法，包括网格划分、单元类型、位移插值函数、边界条件和材料属性等内容。
第三章弹性结构分析本章将介绍基于弹性力学原理的结构分析方法，包括应力分析、应变能原理、虚功原理等内容。
第四章弹塑性结构分析本章将介绍基于弹塑性力学原理的结构分析方法，包括受力分析、变形分析、屈曲分析等内容。
第五章有限元分析在结构工程中的应用本章将介绍有限元分析在结构工程中的应用，包括工程应用的实例，在分析过程中的注意事项等内容。
四、教学方法1.讲授法：针对课程理论知识部分，采用讲课的形式。
2.实践教学：针对课程应用和分析部分，采用上机实践教学的形式。
3.课堂讨论：重点讨论难点和疑问，并引导学生批判性思考和创新思维。
五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业、实验报告等。
2.期中考试：占总评成绩的30%。
3.期末考试：占总评成绩的50%。
4.实践考核：占总评成绩的20%。
六、参考教材1.。
《弹塑性力学》第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答PPT课件
37
§6-3 平面问题的基本解法
3.4 应力函数的特性
1. 应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy，并 不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为
，则 1=+a+bx+cy 也是问题的应力函数。
应力函数可确定到只差一个线性函数。
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
(对B点取矩)逆时针为正。
下面推导一下
y F
B A
o x
30.11.2020
40
§6-3 平面问题的基本解法
对于无体力时 fx=fy= 0； 力的边界条件为
l 2y2 mx2y X l x2ym2x2 Y
l cosn(,e1)ddSy
mcosn,(e2)ddSx
y e2 dy
n ds
代入边界条件，得
xy
y
y
xxyB xy
得 ABA
x y
y
B y
xy
B x
30.11.2020
33
§6-3 平面问题的基本解法
从而导出(a)式。则 (a) 式使得齐次的平衡微分 方程自然满足，将(a) 式代入相容方程，得
2( 2 y 2 2 x 2) 2 2 40
Hale Waihona Puke 30.11.202034§6-3 平面问题的基本解法 4 0
1.1 平面应力问题 ▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X3 Z 0 ，在薄
板表面无面力，坐标系（x1 , x2 , x3）放在板 厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
同济大学弹塑性力学试卷及习题解答教学文案
弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）（每小题2分）（1）物体内某点应变为0值，则该点的位移也必为0值。
（） （2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。
（ ） （3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。
（ ） （4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。
（）（5）对于常体力平面问题，若应力函数()y x ,ϕ满足双调和方程022=∇∇ϕ，那么， 由()y x ,ϕ确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（） （6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。
（ ） （7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。
（ ） （8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（ ） （9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。
（ ） （10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。
P107；226 （ ）2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（每小题2分）（1）设()4322241,y a y x a x a y x ++=ϕ，当321,,a a a 满足_______________________关系时()y x ,ϕ能作为应力函数。
（2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________的一门学科。
（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料______________________。
（4）π平面上的一点对应于应力的失量的______________________。
P65 （5）随动强化后继屈服面的主要特征为：___________________________________________。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答Revised on November 25, 2020应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
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弹塑性力学习题解答塑性：弹性：2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy yy x y yxxx f f τστσ （a ） 0)1())((2222=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f y x y x y x μσσ （b ）显然（a ）、（b ）是满足的（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)()()()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。
（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形变分量q E x )1(-=με，q Ey )1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得q Ex u )1(-=∂∂μ，q E y v )1(-=∂∂μ，0=∂∂+∂∂y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-=μ，)()1(2x f qy Ev +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dxx df dy y df )()(21=-等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。
因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有ω-=dy y df )(1，ω=dxx df )(2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω代入（f ）得位移分量⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=vx qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。
从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。
2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。
试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为123h I z =，根据材料力学公式，弯应力xy hFI y x M z x 312)(-==σ；该截面上的剪力为F x F s -=)(，剪应力22223()346()()24s xy F x y F h I y h h h τ=-=--；并取挤压应力0=y σ（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy y y x yyxxx f f τστσ 也能满足相容方程0)1())((2222=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f yx y x y x μσσ再考察边界条件：在2/h y ±=的主要边界上，应精确满足应力边界条件：0)(2/==h y y σ，0)(2/==h y yx τ； 0)(2/=-=h y y σ，0)(2/=-=h y yx τ。
能满足在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：/2/2/20/2/20/2()0()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ 满足应力边界条件。
在次要边界l x =上，列出三个积分的应力边界条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=--=-Fy h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(012)(2232/2/02/2/232/2/2/2/32/2/2/2/τσσ 满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。
解（1）相容条件：设3223Dy Cxy y Bx Ax +++=Φ (a)不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。
（2）体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式Dy Cx x f yx x 6222+=-∂Φ∂=σ (b)gy By Ax y f yy y ρσ-+=-∂Φ∂=2622 (c)Cy Bx yx xy222--=∂∂Φ∂-=τ (d)（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上0=y 的边界条件：0)(0==y y σ， 0)(0==y yx τ 将应力分量式(b)和式（c ）代入，这些边界条件要求06)(0===Ax y y σ，02)(0=-==Bx y xy τ 得A=0，B=0。
式(b)、（c ）、（d ）成为Dy Cx x 62+=σ （e ） gy y ρσ-= （f ）Cy xy 2-=τ （g ）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是αtan x y =,在斜面上没有任何面力，即0==y x f f ,按照一般的应力边界条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+====0)()(0)()(tan tan tan tan αααατστσx y xy x y y x y xy x y x l m m l 将(e)、（f ）、（g ）代入得0)tan 2()tan 62(=-++ααCx m Dx Cx l （h ） 0)tan 2()tan (=-+-ααρCx l gx m （i ）由图可见，ααπsin )2cos(),cos(-=+==x n l ， αcos ),cos(==y n m代入式（h ）、(i)求解C 和D,即得αρcot 2g C =，αρ2cot 3g D -= 将这些系数代入式(b)、（c ）、（d ）得应力分量的表达式2cot2cotcotxyxygx gygygyσραρασρτρα⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。
解（1）应力函数)2sin2cos(2DCBA+++=Φϕϕϕρ，进行求解由应力函数Φ得应力分量⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=∂Φ∂∂∂-=+++=∂Φ∂=--+-=∂Φ∂+∂Φ∂=CBADCBADCBAϕϕρρρτϕϕϕρσϕϕϕϕρρρσρϕϕρ2cos22sin2)1()2sin2cos(2)2sin2cos(21122222（2）考察边界条件：根据对称性，得)(2/=αϕσ（a）q=2/)(αρϕτ（b）)(2/=-αϕσ（c）q-=-2/)(αρϕτ（d）由式（a）得2cos2sin20A B C Dααα+++=（e）由式（b）得2sin2cosA B C qαα--=（f）由式（c）得2cos2sin20A B C Dααα--+=（g）由式（d）得2sin2cosA B C qαα---=-（h）式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得ααcot2,0,sin2qDCBqA-====将以上系数代入应力分量，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=αϕτααϕσααϕσρϕϕρsin 2sin )cot sin 2cos ()cot sin 2cos (q q q 4一13设有内半径为r,外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。
解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。
当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求0)(==r ρρϕτ，0)(==R ρρϕτ q r -==ρρσ)(，0)(==R ρρσ由表达式可见，前两个关于ρϕτ的条件是满足的，而后两个条件要求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02222C RA q C r A由上式解得)(2222r R r qR A --=，)(2222r R qr C -= (a)把A,B,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，ϕϕρμρμρsin cos )1()1()(2222K I R r R E qr u ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--= （b ）0cos sin =+-=ϕϕρϕK I H u (c)式（c ）中的ϕρ,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。
所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=ρμρμρ2222)1()1()(R r R E qr u ，而圆简是属于平面应变问题，故上式中u E E -→-→1,12μμμ代替，则有)1(1)11()11(22222----+-+=rR E R qu μρρμμμμρ此时内径改变为)1()1()1(1)11()11(2222222222μμμμμμμμ-+-+-=----+-+=rR r R E qr rR Er r R qu r ， 外径改变为222222222)1()1(1)11()11(r R RrE qr rR ER R R qu R --=----+-+=μμμμμμ圆环厚度的改变为)1()1(2μμμ-++---=-r R r R E qr u u r R5.155.1精品文档5.2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。