已知三角函数值求角教案
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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已知三角函数值求指定范围的角--参考教案
第五单元5.8《已知三角函数值求指定范围的角》教案分析：如图1所示，条件中的1 2sin x =，在图像中就可以表示为12y sin x ==,问题就转化为求当1 2y sin x ==时x 的取值，即直线12y =与正弦曲线 y sin x =交点所对应的x 的值.观察图像可知，直线12y =与正弦曲线y sin x =的交点有无数个.现设定[0,2]x π∈，由图像可以，满足条件的交点共有两个. 因为102sin x =>，所以x 为第一或第二象限角.当x 为第一象限角时，由12sin x =可知，6x π=；当x 为第二象限角时，由诱导公式1()sin 662sin x ππ-==可知，566x πππ=-=. 所以6x π=或56x π=.二、例题讲解例1 已知2cos 2x =- ，且2x π∈［0，］ ，求x的值.结合相关诱导公式等，探究已知特殊三角函数值求角通过问题研究逐步深入的过程，培养生观察、思考、总结能力图1已知任意三角函数值求角 问题提出我们探究了已知特殊的三角函数值求角的方法,而对于不是特殊的三角函数值，又该如何求角呢? 一、探索新知根据已知特殊的三角函数值求角的方法，借助计算工具，可以解决已知任意三角函数值求角的问题. 二、例题讲解例1 已知0.9437,,22sin ππαα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，求α的值.（精确到0.000 1）解 因为,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以α在sin α的一个单调区间内，这时使0.9437sin α=的角α 的值是唯一的.先将计算器精确度设置为0.000 1，再将计算器设置为弧度计算模式，然后依次按键：结果显示：所以 1.2336α≈.例 2 已知0.6943,0180cos αα=︒≤≤︒,求α的值.（精确到0.000 1）解 因为0180α︒≤≤︒，所以α在cos α的一个单调区间内，这时使0.694 3cos α=的角α的值是唯一的.先将科学计算器精的确度设置为0.0001，再将计算器设置为角度计算模式，然后依次按键：结果显示：所以，46.0285α≈︒.注意:应当区分所给条件中角的单位是角度还是弧度.如果是角度，计算时应用角度计算模式; 如果是弧度，计算时应用弧度计算模式.例3 已知 2.747 0tan α=- ,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,求α的值.（精确到0.000 1）解 因为22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以α在y tan α=的一个单调区间内，这时使 2.747 0tan α=-的角α的值是唯一的.先将计算器精确度设置为0.0001，再将计算器设置为弧度计算模式，然后依次按键：结果显示：所以， 1.2217α≈-.例4 已知0.857 2,0,2sin ααπ=-∈［］,求α的值.（精确到0.000 1）解 先将计算器精确度设置为0.0001，再将计算器设置为弧度计算模式，然后依次按键：结果显示：即 1.029 80.857 2sin =. 因为1.029 8 1.029 80.857 2()sin sin π+=-≈-,所以符合条件的第三象限角是1.029 8 4.171 4π+≈.因为()2 1.029 8 1.029 80.857 2sin sin π-=-≈-,所以符合条件的第四象限角是2 1.029 8 5.253 4π-≈.所以满足0.857 2sin α=-，02απ∈［，］的角α的集合为{4.171 4，5.253 4}.三、巩固练习1.借助科学计算器，求出下列指定范围内的角.（1）1222sin ππαα⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，，； （2）3007cos ββπ-=∈，［，］ ； （3）0.234 59090tan γγ=--︒≤≤︒，.。
已知三角函数值求角教案
已知三角函数值求角教案一、教学目标1.掌握如何根据已知的三角函数值求出对应的角度。
2.理解三角函数的概念和计算方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.如何根据已知的三角函数值求出对应的角度。
三、教学步骤和方法1.导入新课（5分钟）教师通过提问的方式复习一下已学过的三角函数的基本概念和性质。
a. 请问sin60°的值是多少？b. 请问tan45°的值是多少？2.引入新知（10分钟）教师出示一道题目：“已知sin(x) = 1/2，求x的值。
”并引导学生进行思考，然后进行讨论。
3.指导学习（20分钟）教师向学生详细讲解如何根据已知的三角函数值求出对应的角度，并举例说明。
a. 已知sin(x) = 1/2，如何求x的值？根据sin的定义可知，sin(x) = 1/2，表示x的对边长度等于斜边长度的一半。
在单位圆上，对应的角度为30°或150°。
因此，x的值可以是30°或150°。
b. 已知cos(x) = -1/2，如何求x的值？根据cos的定义可知，cos(x) = -1/2，表示x的邻边长度等于斜边长度的一半。
在单位圆上，对应的角度为120°或240°。
因此，x的值可以是120°或240°。
c. 已知tan(x) = √3，如何求x的值？根据tan的定义可知，tan(x) = √3，表示x的对边长度等于邻边长度的√3倍。
在单位圆上，对应的角度为60°或240°。
因此，x的值可以是60°或240°。
4.训练与巩固（15分钟）教师出示几道练习题，让学生分组进行计算，然后进行互评和讨论。
如：a. 已知sin(x) = 3/4，求x的值。
b. 已知cos(x) = -√2/2，求x的值。
c. 已知tan(x) = -2，求x的值。
《1.3三角函数的计算》 教案
1.3三角函数的计算教学目标：1.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.3.通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.重点与难点：重点：用计算器辅助进行三角函数的计算及其在生活中的实际问题. 难点：建构数学模型，解决实际问题.课前准备：教师准备：多媒体课件，导学案.学生准备：课下复习三角函数函数的定义及30°、45°、60°的三角函数值等相关知识.教学过程：一、创境导入，提出问题同学们大多都玩过滑滑梯吧！看下面这幅图片，一个小朋友不小心摔了下去，所以园区负责人为了增强滑滑梯的安全性，采取了以下措施，请你帮他来实现.【多媒体展示】把滑梯的倾斜角由原来的45°改为20°，已知滑梯高2m ，如果滑梯高度不变，那么改善前、后的滑梯占地分别多长.（结果精确到0.01m ）处理方式：让学看完图片后，独立读题、思考并给出自己的答案，改善前滑梯占地借助特殊角45°角的正切值求解可得答案为tan BCBDC DC∠=，tan 45BC DC =，21DC=，2DC =; 类似的可以得出tan BC BAC AC ∠=，2tan BAC AC∠=，22tan tan 20AC BAC ==∠.这与前面特殊角度的三角函数值不同，就目前我们的知识基础没有办法继续完成本问题的解答，得到最终的答案，引起知识冲撞，进而自然而然引出我们今天讲要研讨的问题：用计算器来进行三角函数的有关计算，请看屏幕明晰今天的学习目标.1.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.设计意图：计算器对于学生来说，并不陌生，在学习七年级数学时，曾用计算器进行过有理数的计算；在学习八年级数学时，曾用计算器进行过数的开方.所以，本节课在开课伊始，采用滑梯改善前后，坡角由特殊角度改为一般角，引起合理知识冲撞，创设出情景，引入新课内容和学习目标.应用这种形式，一方面能调动学生的学习积极性，激发学生的学习激情，创设积极的浓厚的学习氛围，另一方面导入新课，让学生明确本节课将要使用的学具和学习任务.二、自主合作，解决问题探究活动一：请同学们阅读课本P12第7行---表格末和P14页第一行---P14页第9行，自学后，完成下面自学探究问题题组一.探究问题题组一1.用科学计算器求三角函数值'''= ；cos19°= .sin26°= ；tan3528352.用科学计算器求角度sinA=0.9816，∠A= ；cos B=0.8607，∠B= ；tanC=56.78 ，∠C= ；处理方式：待学生自学研讨后，进行展评答案，交流学习感悟！对于这个探究问题题组，只要能认真研读课本，按顺序按键，完全正确解答它们应该是没有问题的.但是，在学生展评后，应该加以强调1.用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位.2.用计算器根据三角函数值求角度时，计算结果一般精确到1'，注意结果的形式要是以度为单位时，一般要精确到万分位，如果要用度分秒表示，要在按完最后一个数字后按“”，就呈现度分秒为单位的结果了.具体的操作流程：1.学生独立思考.2.小组内讨论交流.3.展示汇报.4.修订答案.5.解后反思.【多媒体展示标准答案】 1.用科学计算器求三角函数值sin 26°= 0.4384 ；tan 352835'''= 0.7127 ；cos 19°= 0.9455. 2.用科学计算器求角度sinA =0.9816，∠A =785931'''； cos B =0.8607， ∠B =303617'''； tanC =56.78 ，∠C =885927'''；当处理完问题1、2后，教师再次追问：“如果得出的角度想转化为度、分、秒，该如何按键得出答案呢？”，教会学生如何更好的利用课本学习知识和获取知识.设计意图：本环节目的是实施目标1，让学生学会应用计算器进行求三角函数值或求角度.为实现这个目标，设计问题1的目的是借助计算器求三角函数值，问题2是已知三角函数求角度，应用的第二功能解决问题，让学生感受数学知识的正反两用的可逆过程，培养学生逆用知识的能力.为探究活动二构建知识和平台..探究活动二：引入科学计算器的辅助功能后，我们就可以求任意一个锐角的三角函数值了，从而对于生活中的实际问题我们就可以非常顺利的解决了.比如下面的问题，我们就可以借助科学计算器来解决了.(多媒体展示)问题1.如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行 驶的路线与水平面的夹角为∠a ＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?（结果精确到si nco sta n0.01m ）问题2.如图，当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200 m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β，缆车上升了133.8m ,由此你能计算出∠β的大小吗?处理方式：学生独立思考后，小组内讨论交流，形成问题解决方案，推选代表组间展示汇报. 问题1、2都是三角函数在生活中的实际应用，这就要求学生有从实际问题抽象概括数学模型的能力，在学生展示过程中，主要让学生展示自己建构数学模型的过程，训练和培养学生抽象概括实际问题为数学问题的能力，其中问题1是已知角求边长；问题2是已知边求角，学生交流后老师强调解题步骤，形成规范的解题模式.具体的操作流程： 1. 学生独立思考. 2.小组内讨论交流. 3.展示汇报. 4.修订答案. 5.解后反思.【多媒体展示标准答案】设计意图：这一组题是借助科学计算器进行的三角函数的计算，在生活实际中的应用，°16s =sin =2000.275655.12m A BCABBC BC ∆∠∠=∴∴⨯∴≈1.解：在Rt ABC 中，C=90，，inA=，BC AB A=200sin16（）°s 133.8s 0.66920042DEBD βββ∆∠====∴==∴=2.解：在Rt BDE 中，E 90，BD 200m ，DE 133.8min ，in目的是培养学生建构数学模型的能力、规范解题的能力，教师做好板书的示范作用，教会学生建构数学模型，并会按照解决数学问题的步骤写规范的解题步骤，既会已知角求有关长度，也会已知长度，求角度，实现知识的和技能的正反应用，培养学生综合应用知识的能力.探究活动三：【在同学们的共同努力下，我们对于任意一个锐角的三角函数我们都可以借助科学计算器进行计算了.这样对于改造滑滑梯的问题就可以迎刃而解了.请同学们独立解决一下滑滑梯改造后占地多长吧.】解：在Rt ⊿ACB 中，tan BCBAC AC ∠=2tan BAC AC ∴∠= 22tan tan 20AC BAC ∴==∠5.50.AC m ∴=处理方式：由于前面已经分析到22tan tan 20AC BAC ==∠这一步，再加上刚才探究完科学计算器进行任意角的三角函数了，所以学生独立完成滑滑梯改造后占地多长应该易如反掌了.但是在解决完之后，一定要巡视指导学生注意答案精确度的要求，这是学生常常忽略的地方，使学生能规范的答题，完整的答题. 设计意图：这样设计的目的一是前后呼应，使整堂课浑然一体,成为一个完整的体系. 其二是使学生真正的体会到数学在生活中的应用，体会到数学的价值，从而更加认真的研究数学，提高学生学习数学的积极性了.三、小结感悟，能力提升同学们，反思才能进步，总结方能提高，让我们就象虚心的竹子一样，打一节进步一节成长一步吧！通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．生：畅谈自己的收获！师：再画龙点睛，展示知识结构，提出对学生的期望和更高的要求.【其中我们在利用计算器进行三角函数的计算时，其按键顺序和注意事项是值得我们重点识记的，就让我们再来共同回忆一下吧！】1.在用计算器求三角函数值时，其按键顺序【以求tan182132'''的值为例】是在用计算器求角度时其其按键顺序【以已知sin α=0.9816求α的值为例】是设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．四、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获很多！“学的好不好，一试便知道”．请同学们利用刚才你们的探究成果解决下面的问题，希望各位同学都能顺利通过我们开课伊始制定的目标考核.加油哇，聪明的孩子们！A组（必做题）：1.用科学计算器计算：≈________.(结果精确到0.01)2.若tanA=2.7474，且∠A为锐角，则sinA= .A.0.9397B.0.3420C.0.9D.0.42303.为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m的斜道.这条斜道的倾斜角是多少？B组（选做题）：4.如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DE DF AE AF AB AC长度363636368686（1）求AM的长．︒+56tan331（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．处理方式：学生做题时教师巡视，发现对今天所学知识掌握不够好的学生及时辅导，鼓励学生遇到问题时及时询问，做完的学生教师当堂批改，指出对错.若有时间A组第3题可以让学生黑板板书，师生共同点评，B组选做题第4题可以让A组学生到黑板尝试板演，旨在给其他志在攻坚的学生抛砖引玉，做个示范.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 分层设置作业，注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．五、布置作业，课后促学A.必做题：课本P15第2题、第3题、第4题.B.选做题：课本P27第23题.板书设计。
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新三角形中的恒等式是我们经常在考试中遇到的题型，教师需要好的教案范围去教导学生，今天小编在这里整理了一些新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新，我们一起来看看吧!新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形?2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形?(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量?(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A 的对边BC的长。
新人教版九年级下册数学《特殊角的三角函数值》精品教案
28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝BCAB，即BCBC＋4＝33，解得BC＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】判断三角形的形状已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋|sin B－32|＝0，试判断△ABC的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A及sin B的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A)2＋|sin B－32|＝0，∴tan A＝1，sin B＝32，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－ 3.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BCCD＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题三、板书设计1．特殊角的三角函数值：2.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
高中数学 第四章第37课时已知三角函数值求角(2)教师专用教案 新人教A版
第三十七教时 已知三角函数值求角（2）目的：理解反正切函数的有关概念，并能运用上述知识已知三角函数值求角。
过程：一、反正切函数R x k x x y ∈+≠=,2,tan ππ1︒在整个定义域上无反函数。
2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =记作()R x x y ∈=arctan （奇函数）。
二、例一、（P75例四）1、 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0）。
解：在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上x y tan =是增函数，符合条件的角是唯一的 ⎪⎭⎫⎝⎛π≈10'26180x 2、 已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合。
解：1010,10tan 10tan ππππππ=+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 或 ∴所求的x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧1011,10ππ（即31arctan 31arctan +==πx x 和） 3、 已知R x x ∈=且31tan ，求x 的取值集合。
解：由上题可知：10ππ+=k x ，()z k k x ∈+=1011ππ 合并为()z k k x ∈+=10ππ三、处理《教学与测试》P127-128 61课 例二、已知23sin =α，根据所给范围求α： 1︒α为锐角 2︒α为某三角形内角 3︒α为第二象限角 4︒R ∈α 解：1︒由题设3πα=2︒设31πα=，或3232πππα=-= 3︒()z k k ∈+=322ππα 4︒由题设()()()z k k k k k∈-+=-+=3123arcsin 1πππα例三、求适合下列关系的x 的集合。
1︒()R x x ∈=2cos 2 2︒01tan 32=-x 3︒53sin -=x 解：1︒z k k k x x ∈±=±==,4222arccos 2,22cos πππ ∴所求集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=z k k x x ,42|ππ 2︒∴±=±=,6,33tan ππk x x 所求集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=z k k x x ,6|ππ 3︒()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=53arcsin 1,53sin kk x x π 例四、直角ABC ∆锐角A ，B 满足：A A A B∠+-=求,1sin tan 2cos22解：由已知：1sin tan cos 1+-=+A A BA A A ,tan sin 2=∴为锐角，0sin ≠∴A 3,20,21cos ππ=∠∴<<=∴A A A 四、小结、反正切函数五、作业：P76-77练习与习题4.11余下部分及《教学与测试》P128 61课练习。
高一数学教案：已知三角函数值求角(二)
课 题§4.11.2 已知三角函数值求角(二)教学目标(一)知识目标1.由已知三角函数值求角；2.反三角函数表示角.(二)能力目标1.会由三角函数值求角；2.会用反三角函数表示角.(三)德育目标1.培养学生的应用意识；2.锻炼学生的思维能力；3.提高解题能力；4.提高数学素质.教学重点已知三角函数值求角教学难点根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角教学方法强化训练题目，深刻理解其过程.(讲练结合法)教具准备计算器教学过程Ⅰ.课题导入师：今天，我们继续探讨已知三角函数值求角问题.Ⅱ.讲授新课首先，来看这样一个例子：［例1］(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 解：(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数； 可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝18°26′(2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝ 师：从这一题目可看出某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函数，它在每个区间(k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z )上均具有单调性，为了使符合条件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x 有且只有一个，我们选择开区间(－2π，π)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x ,叫做实数a 的反正切，记作arctan a .即：若tan x ＝a ，其中x ∈(－2π，2π) 则x ＝arctan a例如：上例答案可写为(1)x ＝arctan31 (2)｛arctan 31，π＋arctan 31｝ ［例2］(1)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［－2π，2π］，求x . (2)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.解：(1)∵sin(－x )＝－sin x ＝0．3322由正弦曲线可知：y ＝sin x 在［－2π，2π］上为增函数. 符合条件的角有且只有一个. 利用计算器可求得x ＝－19°24′(或－90097π) (2)由sin(180°＋19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)sin(360°－19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)可知：180°＋19°24′，360°－19°24′角的正弦值也是－0．3322.∴所求的x 的集合是｛199°24′，340°36′｝或｛9001703,90097ππ｝ 根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间［－2π，2π］作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作arcsin a . 即：当sin x ＝a (－1≤a ≤1)且x ∈［－2π，2π］，则x ＝arcsin a 这样的话，上例答案可写为：(1)｛arcsin(－0．3322)｝(2)｛2π＋arcsin(－0．3322)，π－arcsin(－0．3322)｝依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x 有且只有一个，我们选择闭区间［0，π］作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccos a .即：若cos x ＝a (－1≤a ≤1)，x ∈［0，π］则x ＝arccos a 例如：4π＝arccos 22，43π＝π－arccos 223π＝arccos 21，35π＝2π－arccos 21……注意：已知三角函数值求角过程中，若为特殊角，则可直接求出；若为非特殊角，可通过计算器求出，也可用反三角函数形式表示，不过，用反三角函数形式表示角时，千万要注意角所属范围.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 76 3.师：借助练习再次强调反三角函数的正确表示.解：(1)cos x ＝－23，x ∈［0，2π］ x ＝arccos(－23)＝65π 或x ＝2π－arccos(－23)＝67π ∴x ∈｛65π，67π｝ (2)tan x ＝3，x ∈［0，2π］，x ＝arctan 3或π＋arctan 3即x ＝3π或34π，∴x ∈｛3π，34π｝ (3)sin x ＝0．7662，x ∈［0，2π］x ＝arcsin(0．7662)或π＋arcsin(0．7662)∴x ∈｛arcsin(0．7662)，π＋arcsin(0．7662)｝(4)tan x ＝－29．12，x ∈［0，2π］x ＝arctan(－29．12)＋π或arctan(－29．12)＋2π∴x ∈｛arctan(－29．12)＋π，arctan(－29．12)＋2π｝Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要学会用反三角函数表示角；熟练掌握已知三角函数值求角的基本方法；一般情况，应先找出基本范围内符合条件的角，再结合诱导公式找出所有符合条件的角.Ⅴ.课后作业(一)课本P 77 习题4.11 4．(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.备课资料1.设α＝arcsin(－31)，β＝arctan(－2)，γ＝arccos(－32)，则α、β、γ的大小关系是( )A.α＜β＜γB.α＜γ＜βC.β＜α＜γD.β＜γ＜α解析：∴γαβ<<答案：C2.下列函数中，存在反函数的是( )A.y ＝sin x (x ∈［－π，0］)B.y ＝sin x (x ∈［4π，43π］) C.y ＝sin x (x ∈［3π，23π］) D.y ＝sin x (x ∈［32π，23π］) 解析：一个函数是否存在反函数，是由这个函数的性质决定的，若一个函数在指定的区间内是单调的，则此函数在指定区间内有反函数，只要画出以上各函数的图象，就可以断定本题应选D.答案：D3.函数y ＝arccos x 1的值域是 ( )A.［0，2π］B.(0，2π] C.［0，π) D.(0，π] 解析：0＜x 1＜1⇒0＜y ＜2π 答案：A评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.4.已知sin θ＝－31且θ∈(－π，－2π)，则θ可以表示成( ) –2π＜β＜2π sin β=–2 ⇒–2π＜β＜－4π 0＜πγ< cos γ=–32 ⇒–2π＜γ＜π –2π＜α＜2π sin α=–31 ⇒–4π＜α＜0A.－arcsin(－31) B.－2π－arcsin(－31) C.－π＋arcsin(－31) D.－π－arcsin(－31) 解析：由－1＜－31＜0，∴arcsin(－31)∈(－2π，0) 由此可知：－arcsin(－31)∈(0，2π)－2π－arcsin(－31)∈(－2π，0) －π＋arcsin(－31)∈(－23π，－π)它们都不能表示θ，所以应选D. 答案：D评述：本题考查反正弦符号的理解，反三角符号是反三角概念的数学表示，要全面认识. 附1：arcsin a 的含义是什么?当｜a ｜≤1时，其含义是：①arcsin a 表示一个角； ②这个角不小于－2π，不大于2π，且当0≤a ≤1时，0≤arcsin a ≤2π； 当－1≤a ≤0时，－2π≤arcsin a ＜0； ③这个角的正弦值等于a ，即sin(arcsin a )＝a ．当｜a ｜＞1时，arcsin a 没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.［例1］sin(arcsin ab b a 222+)＝abb a 222+能成立吗?其中a ＞0，b ＞0，且a ≠b . 解：∵(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab 即abb a 222+＞1 ∴arcsin abb a 222+没有意义. 因此，命题中的等式不能成立.附2：arcsin(sin x )等于x 吗? arcsin(sin 6π)＝arcsin 21＝6π； arcsin(sin4π)＝arcsin 22＝4π； 它们均满足arcsin(sin x )＝x .然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sin x )＝x 恒成立，如arcsin(sin 65π)＝arcsin(sin 6π)＝arcsin 21＝6π.事实上，arcsin x 只能直接表示区间［－2π，2π］内的角，因此，等式arcsin(sin x )＝x 成立的条件是x ∈［－2π，2π］. 同样可知：等式arccos(cos x )＝x 成立的条件是x ∈［0，π］；等式arctan(tan x )＝x 成立的条件是x ∈［－2π，2π］. 你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就可正确迅速地求解.［例2］设α＝34π，则arccos(cos x )的值是( ) A.24π B.－π32 C.32π D.3π解析：∵α＝34π，∴cos α＝cos 34π＝cos(2π－34π)＝cos 32π 又32π∈［0，π］∴arccos(cos α)＝arccos(cos 32π)＝32π答案：C教学后记。
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2、进一步将问题深化：①若 ，怎么办？②若sinx=0.3，怎么办？
3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正弦，指出前两者不是精确值，应使用第三种。
从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
概
念
形
成
若sin =t，则 =arcsint，其中 ，t [-1 , 1]。
1、让学生思考对 、t范围进行限制的理由。
2、用反函数的知识解释 范围的由来。
3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。
4、完成sinx=0.3的处理。
强化角的表示，淡化反三角函数概念。
应
用
举
例
例2、（1）已知cosx=0.5， ，求x；
（2）已知 ，；
2°根据α所在的象限，求出 上的角：
若 在第一象限，则 =
若 在第二象限，则 =π-
若 在第三象限，则 =π+
若 在第四象限，则 =2π-
（3）写出所有与 终边相同的角。
布
置
作
业
1、练习A 2、4；
练习B 1、2、3
2、思考：已知余切、正割、余割的三角函数值，怎么求角？
巩固本节课所学，并引导学生做深一步的思考。
1.3.3已知三角函数值求角
一、教学目标
会由已知三角函数值求角。
二、教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点是：①根据 范围确定有已知三角函数值的角；②对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
三、教学方法
在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。
提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？
复习旧知识，引入新问题
应
用
举
例
例1、已知 ，
（1）若 ，求x；
（2）若 ，求x；
（3）若 ，求x的取值集合。
（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。
巩固练习：
练习A 1、3、5
指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。
让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归
纳
小
结
已知三角函数值t求角 的解题步骤：
（1）确定角 所在的象限(有时不止一个象限)。
（2）求 上的角 ：
1°先求出与 对应的锐角 ；