数学归纳法(难点突破,教师版)
数学归纳法经典难题详解
数学归纳法经典难题详解
1. 引言
数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，可以用来证明一类具有递推结构的命题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理，并详解数学归纳法在解决经典难题中的应用。
2. 数学归纳法的基本原理
数学归纳法包括两个基本步骤：基础情形的证明和归纳步骤的证明。
首先，我们需要证明基础情形下命题的正确性，即当$n$取某个特定的值时，命题成立。
接下来，我们假设当$n=k$时命题成立，然后通过推理证明当$n=k+1$时命题也成立。
这样，我们就能够通过数学归纳法证明命题对于所有非负整数$n$都成立。
3. 经典难题解析
3.1 题目1
这是一个经典的数学归纳法难题，题目要求证明某个性质对于所有正整数$n$都成立。
首先，我们证明基础情形的正确性，然后利用归纳假设和推理证明归纳步骤的正确性。
最终，我们可以得出结论：某个性质对于所有正整数$n$都成立。
3.2 题目2
这是另一个经典的数学归纳法难题，题目要求证明某个等式对于所有非负整数$n$都成立。
我们同样可以利用数学归纳法的基本原理来解决这个问题，首先证明基础情形的正确性，然后通过归纳假设和推理证明归纳步骤的正确性，最终得到结论：某个等式对于所有非负整数$n$都成立。
4. 结论
通过数学归纳法可以解决一类具有递推结构的问题，其中经典难题是数学归纳法的重要应用之一。
本文介绍了数学归纳法的基本原理，并通过解析经典难题的过程，展示了数学归纳法的应用。
希望这篇文档能对读者理解和掌握数学归纳法提供帮助。
> 注意：本文所引用的数学归纳法难题以及解答仅供参考，建议读者自行验证相关内容的正确性。
数学归纳法教案含答案金锄头文库
数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。
2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。
2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。
2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。
（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。
（2）分析归纳假设在解题中的作用。
4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。
（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。
则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。
（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
如何突破数学归纳法教学难点
归 纳 法 是 由特 殊 命题概 括 出 一 般 命 题 的 方 法
例如
:
。
13 2“
n “
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x x
l 是 6 Z是 6
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所 以 对 于 任 何 自然 数 。
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告 ( 一般 )
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归 纳 法 导 出 的 结 论 不 一 定可 靠 , 有 时 正 确 , 有 时 不 正 确
,
也 往 往 是死 记 硬 套
。
,
具 体 表 现 在不 了 解 第 二 个 步 骤 所起 的 作
。
并 且 不 能 根 据归 纳 假 设 来证 题 一
、
因此
。
,
数 学归 纳 法 是 中学数 学 课 中较 大 难 点 之 一
下面 对这 一 节 的 教 学 谈 谈 个 人 的 几 点 作 法 : 从 具 体 问 题 引 出教学 归 纳 法
。
这 样归纳 的 结 论 就 不
为 了要 证 明对 一 切 自然
。
一 定正 确
”
,
。
在 数 学里
,
,
我们 运 用 的 归 纳 法 正 是 前 面 一 种
,
因此
,
数 命 题都 成立 必 须 具备 部分 事 实 和理 论 规 律
是 我 们得 到 一 个 特 殊的 推理 方 法
:
这 就是 要 有 命 题 的 特殊 性 和 延 续性
,
你们 产生 这 种 想 法 主 要 是 对 儿的 任 意 性 理 解 不 正 确 其 实 存与 怠 +
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、步骤和应用。
重点讲解数学归纳法的基本原理，并通过实例演示如何运用数学归纳法证明数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的基本原理。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法》学习笔记、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个与数学归纳法有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和步骤。
（2）以实例演示数学归纳法的证明过程，强调第二步的证明方法。
3. 随堂练习让学生独立完成一道数学归纳法证明题目，教师巡回指导。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念和步骤（2）数学归纳法证明实例（3）随堂练习题目七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在数学竞赛中的应用，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
2. 例题讲解：数学归纳法的概念和步骤的详细解释。
3. 随堂练习：学生独立完成证明题目的过程和教师的巡回指导。
4. 作业设计：作业题目的难度和答案的详细解释。
5. 课后反思及拓展延伸：学生对数学归纳法掌握程度的评估和竞赛级应用的探索。
详细补充和说明：一、教学难点解析归纳假设的正确性：学生必须明白归纳假设是在前一步的基础上得出的结论，是可信的。
高考数学难点突破数学归纳法解题
高考数学难点突破数学归纳法解题数学 法是高考考 的重点内容之一 . 比与猜测是 用数学 法所体 的比 突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是 用的一种主要思想方法.● 点磁(★★★★ )是否存在 a 、 b 、 c 使得等式 1· 22+2· 32+⋯ +n(n+1) 2=n(n1)(an 2+bn+c).12●案例探究［例 1］ 明：不 正数 a 、 b 、 c 是等差数列 是等比数列，当n ＞ 1,n ∈N * 且 a 、 b 、c 互不相等 ，均有： a n +c n ＞ 2b n .命 意 ：本 主要考 数学 法 明不等式，属★★★★ 目.知 依托：等差数列、等比数列的性 及数学 法 明不等式的一般步.解分析： 分 明不等式 等比数列或等差数列均成立，不 只 明一种情况.技巧与方法： 本 中使用到 ： (a k － c k )( a － c)＞0 恒成立 (a 、b 、c 正数 )，从而 a k+1+c k+1＞ a k · c+c k · a.明： (1) a 、 b 、 c 等比数列， a= b,c=bq(q ＞0且 q ≠ 1)qnn bnnnn1 nn∴ a +c =+b q =b (q n +q )＞ 2bq n(2) a 、 b 、 c 等差数列，a n c n＞ ( ac n*2b=a+c 猜测 2) ( n ≥ 2且 n ∈N )2下面用数学 法 明：①当 n=2 ，由2 22，∴a 2c 2ac 22(a +c )＞ (a+c)2()② n=k 成立，即 akck22 (ac ) k ,2当 n=k+1 ，a k 1 c k1 1 (a k+1 k+1 k+1 k+1+c +a +c )24＞ 1(ak+1+ck+1+a k·c+c k· a)= 1(a k +c k )(a+c)44＞ (ac)k· (a c)=( a c )k+1222［例 2］在数列 { a n } 中， a 1=1，当 n ≥ 2 ， a n ,S n ,S n － 1成等比数列 .2(1)求 a 2,a 3,a 4，并推出 a n 的表达式； (2)用数学 法 明所得的 ； (3)求数列 { a n } 所有 的和 .命 意 ：本 考 了数列、数学 法、数列极限等基 知 .知 依托：等比数列的性 及数学 法的一般步.采用的方法是 、猜测、 明 .1舍去， 一点往往容易被忽 .解分析： (2) 中， S k =－2k 3技巧与方法：求通 可 明 {1 } 是以 { 1 } 首 ， 1公差的等差数列， 而求得通项公式 .解：∵ a n ,S n ,S n － 1成等比数列，∴ S n 2=a n ·(S n － 1)(n ≥ 2)22(1)由 a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+ a 2,代入 ( *)式得 :a 2=－23由 a 1=1， a 2=－ 2 ,S 3= 1+a 3 代入 ( *)式得： a 3=－ 2331512同理可得： a 4=－,由此可推出： a n =235( 2n 3)( 2n 1)(2)①当 n=1,2,3,4 时，由 (* )知猜测成立 .②假设 n=k(k ≥ 2)时， a k =－2成立3)(2k 1)( 2k 故 S k 2=－2· (S k － 1) ( 2k3)(2k 1) 2∴ (2k － 3)(2k － 1)S k 2+2S k － 1=0∴ S k =1 ,S 1 (舍 ) 2k k2k 31由 S k+1 2=a k+1· (S k+1－ 1),得 (S k +a k+1)2=a k+1(a k+1+S k － 1)221 22a k12 ak 11( 2k1)2ak 12k 1 a k 12k 1 ak 12ak 12即 nk 命题也成立 .[ 2( k 1) 3][ 2(k,11) 1]1( n 1)(* )( n 1)(n 1)由①②知， a n = 2( n 对一切 n ∈ N 成立 .(2n3)( 2n 2)1)1(3)由 (2) 得数列前 n 项和 S n = ,∴ S= lim S n =0.2n1n●锦囊妙记(1)数学归纳法的根本形式设 P(n)是关于自然数 n 的命题，假设 1° P(n 0)成立 (奠基 )2°假设 P(k)成立 (k ≥ n 0)，可以推出 P(k+1) 成立 (归纳 )，那么 P(n)对一切大于等于 n 0 的自然数 n 都成立 .(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 .●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★ ) f(n)=(2 n+7)· 3n +9, 存在自然数m,使得对任意 n ∈ N ,都能使 m 整除f(n)，最大的 m 的 ()2.(★★★★ )用数学法明3k≥ n3(n≥ 3,n∈N )第一步 ()A. n=1B.n=2C.n=3D. n=4二、填空3.(★★★★★ )察以下式子：113,1115,11117⋯可2222323 2 232424出 _________.4.(★★★★ ) a1=13a n,a2,a3,a4,a5的分 _________，由此猜测,a n+1 =a n23a n=_________.三、解答5.(★★★★ )用数学法明4 2n1+3 n+2能被 13 整除，其中 n∈N* .6.(★★★★ )假设 n 大于 1 的自然数，求：11113n1n 22n .247.(★★★★★ )数列 { b n} 是等差数列， b1=1,b1+b2+⋯+b10=145.(1)求数列 { b n} 的通公式 b n;1)( 其中 a＞ 0且 a≠1) S n是数列 { a n} 的前 n 和，(2)数列 { a n} 的通 a n=log a(1+b n比 S n与1log a b n+1的大小，并明你的 . 38.(★★★★★ )数 q 足 |q|＜1,数列 { a n } 足：a1=2,a2≠ 0,a n·a n+1=－ q n,求 a n表达式，又如果lim S2n＜ 3,求 q 的取范 .n参考答案点磁41(a b c)6a3 1解：假存在 a、b、c 使的等式成立，令 n=1,2,3,有222b c)b11(4a2c10709a3b c于是， n=1,2,3 下面等式成立1· 22+2 · 32+⋯ +n(n+1)2= n( n1) ( 3n211n 10) 12S n=1· 22+2· 32+⋯ +n(n+1)2n=k 上式成立，即k (k1)2S k=(3k +11k+10)12那么 S k+1=S k+( k+1)( k+2) 2= k (k1)(k+2)(3 k+5)+( k+1)( k+2) 22= (k 1)(k 2)(3k 2+5 k+12k+24)12= (k 1)(k2)［ 3(k+1)2+11(k+1)+10 ］12也就是说，等式对 n=k+1 也成立 .综上所述，当 a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数n 均成立 .歼灭难点训练一、 1.解析：∵ f(1)=36, f(2)=108=3 × 36,f(3)=360=10 × 36 ∴ f(1), f(2),f(3) 能被 36 整除，猜测 f(n)能被 36 整除 . 证明： n=1,2 时，由上得证，设 n=k(k ≥ 2)时，k整除，那么 n=k+1时， f(k)=(2 k+7) · 3 +9 能被 36 f(k+1)－ f(k)=(2 k+9) · 3k+1(2k+7)· 3k=(6k+27) · 3k － (2k+7)· 3k=(4k+20) · 3k =36(k+5)· 3k －2 (k ≥2)f(k+1) 能被 36 整除∵ f(1) 不能被大于 36 的数整除，∴所求最大的 m 值等于 36.答案： C2.解析：由题意知n ≥ 3，∴应验证 n=3.答案： C二、 3.解析： 11 3即1 (1 12 1 1 122 21) 2111 1 5,即11 (2 1 2 2 12 232 3(1 1) 2 1) 22 1归纳为 11 1 (n 1 2n 1 (n ∈ N *)2 2 32 1) 2n 1答案 :111( n 1 2n 1 (n ∈ N * ) 22 321)2 n 13a 13 1 33解析2 同理 ,4.: a 2a 1 3 172 532a 33a 2 33,a 433,a 533,猜测 a n3a 2 3 8 3 59 4 510 5 5n 5答案 : 3 、 3 、 3 、 3n 37 8 9 10 5三、 5.证明： (1) 当 n=1 时， 42×1+1 +31+2 =91 能被 13 整除(2)假设当 n=k 时， 42k+1+3k+2 能被 13 整除，那么当 n=k+1 时，4+3=4·4+3·3－4·3+4·3107∴当 n=k+1 也成立 . 由①②知，当n ∈ N * ， 42n+1+3n+2 能被 13 整除 .6. 明： (1) 当 n=2 ，117 132 12 2 12 24(2)假 当 n=k 成立，即111 13k1 k 22k 24那么当 n k 1时,1 11111 12k 2k 1 2k 2 k 1 k 1k 2 k 313 1 1 113 1 124 2k 1 2k2 k 1 242k 1 2k213 113 24 2(2k 1)(k1) 24b 1 1b 11 7.(1)解： 数列 { b n } 的公差 d,由 意得10b 1 10(101)d 145d,∴b n =3n － 232(2) 明：由 b n =3n － 2 知S n =log a (1+1)+log a (1+ 1)+ ⋯+log a (1+1 )43n 2=log a ［ (1+1)(1+1)⋯ (1+1 )］ 43n 2而 1log a b n+1=log a 33n 1 ,于是，比 S n31(1+) 与 3 3n1 的大小 .3n 2取 n=1，有 (1+1)= 383433 1 1取 n=2，有 (1+1)(1+ 1)383733 24推 ： (1+1)(1+1)⋯ (1+ 1)＞ 33n 1 43n 21 与log a b n+1 31(* )1 比 (1+1)(1+) ⋯4①当 n=1 ，已 (* )式成立 .②假 n=k(k ≥ 1) (* )式成立，即 (1+1)(1+1 )⋯ (1+ 1 2)＞ 33k 14 3k当 n=k+1 ， (11)(1 1)(11 )(13(k 1 ) 3 3k 1(1 1 )4 3k 2 1)23k 1 3k 2 3 3k 13k1( 3k 2 3 3k 1) 3 ( 3 3k 4) 33k 1(3k 2) 3( 3k 4)(3k 1)2 9k 4( 3k 1)2(3k 1)233k 1(3k 2)33k 433(k 1)1从而 (1 1)(11) (11 )(1 1 ) 33( k 1) 1 ,即当 n=k+1 ， (* ) 式成立43k 2 3k 1由①②知， (* )式 任意正整数 n 都成立 .于是，当 a ＞ 1 ， S n ＞1log a b n+1,当0＜ a ＜1 ， S n ＜ 1log a b n+1338.解：∵ a 1· a 2=－ q,a 1=2,a 2≠0,9∴ q ≠ 0,a 2=－,2∵ a n · a n+1=－ q n ,a n+1· a n+2=－ q n+1两式相除，得a n 1 an 2,即 a n+2=q · a nqn1n于是， a 1=2,a 3=2 · q,a 5=2·q ⋯猜测： a 2 n+1=－q (n=1,2,3, ⋯ )2 q k 1 n时 (k N )2k 1合①②，猜测通 公式 a n =1 q k n 2k 时( k N )2下 ： (1)当 n=1,2 猜测成立 (2)n=2k － 1 ， a 2k － 1=2· q k －1n=2k+1 ，由于a 2k+1=q · a 2k －1∴ a 2k+1=2·q k 即 n=2 k － 1 成立 .可推知 n=2k+1 也成立 .n=2k ， a 2k =－1q k , n=2 k+2 ，由于 a 2 k+2=q · a 2k ,2所以 a 2k+2=－ 1q k +1, 明 n=2k 成立，可推知n=2k+2 也成立 .2上所述， 一切自然数n,猜测都成立 .2 q k 1 当 n时 ( k N )2k 1所求通 公式a n =1 q k 当 n 2k 时 (k N )2S 2n =( a 1+a 3⋯ +a 2n －1)+( a 2+a 4+⋯+a 2n )=2(1+q+q 2+⋯+qn-1)－1(q+q 2+⋯ +q n )22(1 q n) 1q(1 q n) ( 1q n)( 4 q ) 1 q 2(1 q) 1 q 2由于 |q|＜1,∴ lim qn0,故 lim S 2n= (1q n )( 4q )nn1 q2依 意知4 q ＜ 3,并注意 1－ q ＞ 0,|q|＜ 1 解得－ 1＜ q ＜0 或 0＜ q ＜ 22(1 q)5。
抛物线(难点突破,教师版)
抛物线【真题感悟】： 1、（2009年江苏高考第22题）在平面直接坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；（（，.【考点定位】本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。
2、（2016年江苏高考第22题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x y 2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0).t ())0(423)2()22(22222>+=−−+−=m m m s s s s m f −−（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；线上因此，线段PQ 的中点坐标为 ②因为在直线上 所以，即由①知，于是，所以因此的取值范围为【考点定位】直线与抛物线位置关系 【典例导引】：:l (2,).p p −−(2,).M p p −−y x b =−+(2)p p b −=−−+22.b p =−20p b +>2(22)0p p +−>4.3p <p 4(0,).31、最值、范围在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．例1、【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，（（（2）设，重心．令，则．由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为，代入，得，(1,0)F 22(0)y px p =>S (,),(,),(),A A B B c c A x y B x y C x y (,)G G G x y 2,0A y t t =≠2A x t =2112t x y t −=+24y x =222(1)40t y y t−−−=故，即， 所以． 又由于及重心G 在x 轴上，【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．例2、【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A ，，抛物线上的点．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． 24B ty =−2B y t=−212(,)B t t−11(),(3)3G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++2x y =11()24，−39()24，B 13(,)()22P x y x −<<（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求的最大值．（|令，因为， 所以 f (k )在区间上单调递增，上单调递减，因此当k =时，取得最大值． ||||PA PQ ⋅3()(1)(1)f k k k =−−+2()(42)(1)f k k k '=−−+1(1,)2−1(,1)212||||PA PQ ⋅2716【点评】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．2、定点、定值、存在性证明：定点、定值、存在性问题多以直线与抛物线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇， 形成了过定点、定值等问题的证明．解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据（例 记同理可得，，所以，所以直线的方程为， ||PA ||PQ 3()(1)(1)f k k k =−−+||||PA PQ ⋅221N x n =+2N y n =1M N MN M N y y k x x m n−==−+MN 212(21)y m x m m n−=−−+即，因为，所以进一步化简可得， 令，即，可得， 所以直线MN 过定点，该定点的坐标为．【点评】圆锥曲线中定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建 以例0，N 为原点，，，求证：）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），=2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．的斜率存在且不为0， 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（1）知，． 直线P A 的方程为． ()21m n y x mn +=+−2m n mn +=12(1)0x mn y −−−=10y −=1y =1x =(1,1)QM QO λ=QN QO μ=12224k x x k −+=−1221x x k =1122(1)1y y x x −−=−−令x =0，得点M 的纵坐标为． 同理得点N 的纵坐标为． 由，，得，． 所以【（例A ，， 所以． （2）假设存在实数，使是以Q 为直角顶点的直角三角形， 由点P 是线段AB 的中点，可得，由C ：可得． 由题意可得，即，1111212211M y kx y x x −+−+=+=+−−22121N kx y x −+=+−QM QO λ=QN QO μ==1M y λ−1N y μ=−22121212224112()111111=21k x x x x x x k k −+−−−+p 12121212(2)(2)(24)(24)48()1680AF BF y y x x x x x x ⋅=++=++=+++=p ABQ △1222P x x x p +==22x py =(22)Q p p ,0OA OB ⋅=1212(2)(2)(2)(2)0x p x p y p y p −−+−−=即，化简得，即，化简得，解得(负值舍去)．例，AB与CD的距离，由ABCD，解得或，所以正方形的边长为（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p−−++−+−=212125(46)()8840x x p x x p p+−++−+=25(4)(46)48840p p p p p⨯−+−⨯+−+=24310p p+−=14p=d==2b=−6b=−PA PAk PBPBk由，，相减得，故．同理可得． 由，的倾斜角互补知，即，所以．设直线的斜率为，由，，1，则，解得，所以抛物线的方程是． （2）设切线方程为，即， 切线与轴的交点为， 2112y px =20y =02px 101010()()()2y y y y p x x −+=−1010102PA k y y px x y y −==−+10()x x ≠20202()PB p y y k x x ≠=+PA PB PAPB k k =−102022p p y y y y =−++1202y y y +=−AB AB k 2222y px =2112y px =12p=2p =C 24x y =00()y y k x x −=−000kx y y kx −+−=x 00(,0)y x k−圆心到切线的距离为，化简可得，设两切线斜率分别为，，则，，，2，∴所求的切线方程为. （2）由得，且，2d ==22200000(4)2(2)40x k x y k y y −+−+−=1k 2k 0012202(2)4x y k k x −+=−−200122044y y k k x −=−04y >142y x =−−248y kx y x=−⎧⎨=⎩228(1)160k x k x −++=2264(1)640,k k ∆=+−>0k ≠，∴， ，，又，（2）由四边形OACB 为平行四边形，得，利用根与系数的关系得点，又由，，通过数量积和不等式的运算，求出的范围即可.3、如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的12k ∴>−1228(1),k x x k+∴+=12128()8y y k x x k+=+−=1=(OC OA OB x +=AC QC ⊥0QC AC ⋅=228(1)8(4,),(,k QC AC OB x y k k+=−==2228(1)8[4](4)k QC AC x kx k k +⋅=−+−=0k >28222x ≥+1212=(,)OC OA OB x x y y +=++C AC QC ⊥0QC AC ⋅=2x PA PB PC 24y x =A B C x正半轴分别交于点，，，且，直线方程为． （1）设直线，的斜率分别为，，求证：；（2）求的取值范围．设A 点到PB 的距离为，C 点到PB 的距离为，则，L M N ||||LM MN =PB 240x y −−=PA PC 1k 2k 1212k k k k +=PABPBCS S △△1d 2d 221d ==222d ==所以， 因为，所以， 所以的取值范围是．4设，，则，． 因为，所以解得或（舍去），所以直线的方程为， 所以直线过定点．12336||1333PAB PBC S d t t S d t t t−−====−+++△△02t <<161153t<−<+PAB PBC S S △△1(,1)533(,)D x y 44(),E x y 344y y m +=344y y t =−OD OE ⊥34OD OE x x ⋅=4t =0t =DE 4x my =+DE (4,0)5、已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点．（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂．， ，即所以）可知， 所以，为定值，该定值为．6、已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.（1）求抛物线的方程及准线方程；M ()1,0F 1x =−M C 1x =−x N N k l C A B O M C l k D C A B DA DB ()1,0F 1,0)(0,1)2),y 01(y y +1(OP OQ ⋅=+121x x =4OP OQ ⋅145=+=5()2:20E y px p =>()1,2A A 12,l l 12,l l 1x =E（2）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程. 【解析】（1）∵抛物线过点， ∴，解得，∴抛物线的方程为，准线方程为．∴，∴直线的方程为，即． 方法二：设， 因为直线关于对称， 所以与的倾斜角互补，12,l l E 、B C A BC E BC E ()1,2A 24p =2p =24y x =1x =−1BC k =−BC ()(23y x −−=−−+10x y +−=()()1122,,,B x y C x y 12,l l 1x =AB AC所以， 所以，所以．补：1、已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点. （1）求抛物线的标准方程； （2）求的最小值. 12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y −−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−1212221212124144BC y y y y k y y x x y y −−====−−+−2:2(0)C y px p =>F 143+=C AB F F AB M ABMF【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为， ∴抛物线的焦点为， ∴，∴抛物线的标准方程为.（2）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，综上所述：的最小值为2.2、已知抛物线上一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；()1,0()1,0F 2p =24y x =AB 24AB p ==2MF =ABMF2:(0)C y ax a =>1(,)2P t F 2t C（2）若点在抛物线上，且其纵坐标为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由抛物线的定义可知，则，， ，A C 1(3,1)Q −C M N A AM AN 1k 2k 12k k ||24aPF t t =+=4a t =)3。
2020年高二下学期数学人教旧版选修2-2(全)：数学归纳法-《讲义教师版》
数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法优质教案完整版优质课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
着重讲解如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本原理和应用。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的概念、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个楼梯，引导学生思考如何用最少的步骤走完所有楼梯。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过实例，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。
3. 随堂练习给出两个与自然数有关的数学命题，让学生尝试运用数学归纳法进行证明。
4. 课堂互动学生展示自己的证明过程，教师点评并给予指导。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明数学命题的步骤。
3. 课堂练习题及解答。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：学生对数学归纳法的掌握程度，以及证明过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如数列求和、递推关系等。
同时，鼓励学生尝试解决更复杂的数学问题，提高自己的逻辑思维能力。
本教案共包含八个部分，涵盖了数学归纳法的概念、原理、应用以及证明过程，旨在培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，充分发挥学生的主体作用。
通过课后反思和拓展延伸，进一步提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
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b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}，令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数． (1)写出 f(6)的值； (2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6 中的元素(a，b)满足： 若 a＝1，则 b＝1,2,3,4,5,6；若 a＝2，则 b＝1,2,4,6；若 a＝3，则 b＝1,3,6. 所以 f(6)＝13. (2)当 n≥6 时，
项相消等方法达到证明的目的．
【真题展示】
1.(2010 年)已知△ABC 的三边长为有理数 ⑴求证 cosA 是有理数 ⑵对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数 证法(一)：(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cosA＝AB22+AABC·A2-CBC2 (2)用数学归纳法证明：cosnA 和 sinA·sinnA 都是有理数（辅助命题） ①当 n＝1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有 sinA·sinA＝1-cos2A 也是有理数， ②假设当 n＝k(k≥1)时，coskA 和 sinA·sinkA 是有理数， 当 n＝k+1 时，由 cos(k+1)A＝cosA·coskA-sinA·sinkA sinA·sin(k+1)A＝sinA(sinA·coskA+cosA·sinkA)
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确： (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础， 第二步是递推的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n0 ，并非一定取 1，也可能取 0,2 等值，要看清题
目；
(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由 n = k 到 n = k +1 时命题变化的
数学归纳法
1. 明确数学归纳法的两步证明
【迎考策略】
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，
两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起
着“已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关
键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式
n＋2＋n2＋n3，n＝6t，
n＋2＋n－2 1＋n－3 1，n＝6t＋1，
f(n)＝
n＋2＋n2＋n－3 2，n＝6t＋2， n＋2＋n－2 1＋3n，n＝6t＋3，
n＋2＋n2＋n－3 1，n＝6t＋4，
n＋2＋n－2 1＋n－3 2，n＝6t＋5
(t∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．
＝(sinA·sinA)coskA+(sinA·sinkA)cosA 及①和归纳假设，知 cos(k+1)A 和 sinA·sin(k+1)A 都是有理数 即当 n＝k+1 时，结论成立 综合①②可知对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 证法(二) (2014 级李煦恒提供)：n＝1 时 cosA 是有理数，n＝2 时，cos2A＝2cos2A-1 是有理 数； 假设 n＝k 和 k+1 时，命题成立，即 coskA，cos(k+1)A 为有理数； 而 cos(k+2)A＝cosAcos(k+1)A-sinAsin(k+1)A＝cosAcos(k+1)A+12[cos(k+2)A-coskA] 整理得 cos(k+2)A＝2cosAcos(k+1) A-coskA，由假设 cos(k+2)A 为有理数。 由数学归纳法，命题得证。
(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归
纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n = k 成立，推证 n = k +1 时也成立，证明时用上
归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明． 4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模 式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证 明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应 用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
b．若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋2k＋3k＋1
＝(k＋1)＋2＋
k＋1 2
－1＋
k＋1 3
②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，Sk＋1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k＋ 1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－2 1＋k－3 2＋3
＝(k＋1)＋2＋k＋2 1＋k＋3 1，结论成立；
情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数 列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证
明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要 注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂
两边各有多少项，以及初始值 n0 的值．
(2)由 n = k 到 n = k +1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n = k 时的式子，即
充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项， 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配 方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘 掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题