第一讲不规则图形面积的计算(一)

第一讲不规则图形面积的计算（一）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面积及周长都有相应的公式直接计算。

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。

一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例1 如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米。

求阴影部分的面积。

A
B
C
解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个
“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

1×10×10=50；
因为S△ABG=
2
1（10＋12）×12=132；
S△BDE=
2
1（12－10）×12=12。

S△EFG=
2
又因为S甲＋S乙=12×12＋10×10=244，
所以阴影部分面积=244－（50＋132＋12）=50（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、
△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。

解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一。

也就是：
1×6×6=12。

S四边形AECF=S△ABE=S△ADF=
3
在△ABE中，因为AB=6，所以BE=4，同理DF=4，因此，CE=CF=2，所以△ECF的面积为2×2÷2=2。

所以S△AEF= S四边形AECF－S△ECF=12－2=10（平方厘米）。

例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如下图那样重合。

求重合部分（阴影部分）的面积。

A
F
解：在等腰直角三角形ABC 中， ∵ AB=10
∴ S △ABC =2
1×10×10=50 又∵ S △ABG =2
1S △ABC =2
1×50=25， ∵ EF=BF=AB －AF=10－6=4， ∴ S △BEF =21×4×4=8，
∴ 阴影部分面积= S △ABG －S △BEF =25－8=17（平方厘米）。

例4：如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3
1
CD ，若 △ABC （阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE
的面积。

E
D
A
解：取BD中点F，连结AF。

因为△ADF、△ABF和△ABC 等底等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米。

所以△ACD的面积等于15平方厘，△ABD的面积等于10平方厘米。

又由于△ACE与△ACD等底等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

例5：如下图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8
4。

求正方形ABCD的面积。

平方厘米，它是三角形DEC的面积的
5
A
E
解：过E作BC的垂线交AD于F。

在矩形ABEF中，AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8。

在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

4×2=36（平方厘米）。

因此，正方形面积=8×2＋8÷
5
2BC，求阴影部分的面积。

例6：已知S△ABC=1，AE=ED，BD=
3
B
解：连结DF 。

∵ AE=ED ，∴ S △AEF =S △DEF ；S △ABE =S △BED ， ∴ S 阴影=S △ABF =S △BFD 。

∵ BD=3
2
BC ， ∴ S △BFD =32S △BCF =3
2（1－S △ABF ）， ∴ S △ABF=32（1－S △ABF ），∴ S △ABF =5
2。

∴ 阴影部分面积为5
2。

例7：正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米？
H
G
F
E
D
C
B A
解：连结AG ，自A 作AH 垂直DG 于H ，在△ADG 中，AD=4，
DC=4（AD 上的高）。

∴ S △AGD =4×4÷2=8，又DG=5， ∴ S △AGD =AH ×DG ÷2=
∴ AH=8×2÷5=3.2（厘米），∴ DE=3.2（厘米）。

例8：梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，△AED 的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分的面积。

C
B
解：∵ 梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 即45=（AD ＋BC ）×6÷2 45=（AD ＋10）×6÷2 ∴ AD=45×2÷6－10=5米。

又S △ADE=21
×AD ×高，即5=2
1×5×高，
∴ △ADE 的高是2米，△EBC 的高等于梯形的高减去△ADE 的高，即6－2=4米。

∴ S △BEC=21×BC ×4=2
1×10×4=20（平方米）。

例9：如图，四边形ABCD 和DEFG 都是平行四边形，证明它
们的面积相等。

G
F
E D
C
B
A
证明：连结CE ，平行四边形ABCD 的面积等于△CDE 面积的2倍，而平行四边形DEFG 的面积也是△CDE 面积的2倍。

所以，平行四边形ABCD 的面积与平行四边形DEFG 的面积相等。

习 题 一
一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
1
2(1)
(2)
(3)
(5)
2
3
(6)3
1
2
(7)3
(8)
(9)
11
1
11
二、解答题：
1．如右图，ABCD 为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E 、F 分别为AB 、AD 中点，且FG=2GE 。

求阴影部分的面积。

C
D F
B
E A
2．如图，正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为12厘米和6厘米。

求四边形CMGN （阴影部分）的面积。

F
E A
3．正方形ABCD 的边长为5厘米，△CEF 的面积比△ADF 的面积大5平方厘米。

求CE 的长。

F
E
D C B A
4．如下图，已知CF=2DF ，DE=EA ，三角形BCF 的面积为2，四边形BEDF 的面积为4。

求三角形ABE 的面积。

F
E
D C
B
A
5．直角梯形ABCD 的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。

又三角形ABF 、三角形BCE 和四边形BEDF 的面积相等。

求三角形DEF 的面积。

E
D
F A
6．如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。

求长方形的长、宽各是多少？
7．如下图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米，求原三角形面积。

8．如下图，平行四边形ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10。

求CF的长。

B。