哈工大近世代数讲义定理与定义全部_图文(精)
合集下载
哈工大近世代数讲义8
13
定理12.8.1
• 设(G , 。)和(G ,•)是两个群，φ是从G到G
的同态，则∀a∈G 有 φ(a-1) = [φ(a)]-1 φ(e) = e
14
定理12.8.3
• 设φ是从群(G,。)到(G,•)的满同态，则G的
单位元e的完全原象φ-1(e)= {x|x∈G, φ(x) = e}是G的一个正规子群。
• 设H是群的子群，如果对G的任一自同构φ
有φ(H) ⊆ H，则称H为G的特征子群
7
定理 12.7.5
• 设H是G的正规子群，H的所有左陪集构成
的集族Sl对群子集乘法形成一个群。
8
定义12.7.3
• 群G的正规子群H的所有的左陪集构成的集
族，对群子集乘法构成的群称为G对H的商 群，记为G/H
9
定义12.7.4
则这个乘法是ς 上的二元代数运算当且仅当由划 ≅
分ς 所确定的G的等价 关系是上G的同余关系。 这时，G的单位元所在的类[e]是G的正规子群，
ς中的其他类均是[e]的陪集
12
定义12.8.1
• 设(G ,。)与(G ,•)是两个群，如果存在一个
从到G的G映射φ ，使得∀a,b∈M 有 φ (a。b) = φ(a) • φ(b) 则称φ为G到G的一个同态，简称G与G同态。 如果同态是满射，则称φ是从G到G的一个 满同态，如果同态φ是单射，则称为单同 态
17
定理12.8.5
• 设N是G的正规子群，则G~G/N.如果φ是G
到G/N的同态，则Kerφ = N.
18
定理12.8.6
• 设φ是群G到群G的满同态，E=Kerφ则
G/E ≅ G
19
定理12.8.7
定理12.8.1
• 设(G , 。)和(G ,•)是两个群，φ是从G到G
的同态，则∀a∈G 有 φ(a-1) = [φ(a)]-1 φ(e) = e
14
定理12.8.3
• 设φ是从群(G,。)到(G,•)的满同态，则G的
单位元e的完全原象φ-1(e)= {x|x∈G, φ(x) = e}是G的一个正规子群。
• 设H是群的子群，如果对G的任一自同构φ
有φ(H) ⊆ H，则称H为G的特征子群
7
定理 12.7.5
• 设H是G的正规子群，H的所有左陪集构成
的集族Sl对群子集乘法形成一个群。
8
定义12.7.3
• 群G的正规子群H的所有的左陪集构成的集
族，对群子集乘法构成的群称为G对H的商 群，记为G/H
9
定义12.7.4
则这个乘法是ς 上的二元代数运算当且仅当由划 ≅
分ς 所确定的G的等价 关系是上G的同余关系。 这时，G的单位元所在的类[e]是G的正规子群，
ς中的其他类均是[e]的陪集
12
定义12.8.1
• 设(G ,。)与(G ,•)是两个群，如果存在一个
从到G的G映射φ ，使得∀a,b∈M 有 φ (a。b) = φ(a) • φ(b) 则称φ为G到G的一个同态，简称G与G同态。 如果同态是满射，则称φ是从G到G的一个 满同态，如果同态φ是单射，则称为单同 态
17
定理12.8.5
• 设N是G的正规子群，则G~G/N.如果φ是G
到G/N的同态，则Kerφ = N.
18
定理12.8.6
• 设φ是群G到群G的满同态，E=Kerφ则
G/E ≅ G
19
定理12.8.7
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
哈工大近世代数讲义6
第十二章 子群，生成子 群
姜维
定义12.3.1
l
设S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封 闭且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的 一个子群
例12.3.1
l
任何一个至少含有两个元素的群G,至少有 两个不同的子群，一个群本身，它是最大子群， 同时还有一个单位元组成的子群，是最小的子 群
例12.3.2
定理12.3.6
l
群G的中心C是G的可交换群
定义12.3.3
l
设M是群G的子集 ，G的包含M的所有子群的 交称为由M生成的子群，记为(M)
定义12.3.4
l
设G是一个群，a和b是的两个任意元素，aba1b-1称为a与b的换位子。G的所有换位子的集 合是G的子群，称为G的换位子群。
定义12.4.1
定理12.4.1
l
任何一个群都同构于某个变换群
定义12.4.3
l
设(G, •)是一个群，如果存在一个从G到G的 一一对应φ使得∀a,b∈G φ (a•b) = φ (a) •φ (b) 则φ称是G的一个自同构源自定理12.4.2l
设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映 射的合成运算构成一个群，则称为G的自同构 群
l
设(G1, •), (G2, •)是群，如果存在一个一一对应φ: G1 有 φ (a•b) = φ (a)* φ (b) 则称G1群G2与同构，记为G1 ≅ G2 而φ称G1为G2到上 的一个同构。
à G2 ，使得∀a,b∈G1
定义12.4.2
l
Sym(S)的任一子群称为S上的一个变换群。Sn 的任一子群称为置换群
l
整数集Z的加法群是有理数集Q的加法群的子 群。
定理12.3.1
姜维
定义12.3.1
l
设S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封 闭且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的 一个子群
例12.3.1
l
任何一个至少含有两个元素的群G,至少有 两个不同的子群，一个群本身，它是最大子群， 同时还有一个单位元组成的子群，是最小的子 群
例12.3.2
定理12.3.6
l
群G的中心C是G的可交换群
定义12.3.3
l
设M是群G的子集 ，G的包含M的所有子群的 交称为由M生成的子群，记为(M)
定义12.3.4
l
设G是一个群，a和b是的两个任意元素，aba1b-1称为a与b的换位子。G的所有换位子的集 合是G的子群，称为G的换位子群。
定义12.4.1
定理12.4.1
l
任何一个群都同构于某个变换群
定义12.4.3
l
设(G, •)是一个群，如果存在一个从G到G的 一一对应φ使得∀a,b∈G φ (a•b) = φ (a) •φ (b) 则φ称是G的一个自同构源自定理12.4.2l
设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映 射的合成运算构成一个群，则称为G的自同构 群
l
设(G1, •), (G2, •)是群，如果存在一个一一对应φ: G1 有 φ (a•b) = φ (a)* φ (b) 则称G1群G2与同构，记为G1 ≅ G2 而φ称G1为G2到上 的一个同构。
à G2 ，使得∀a,b∈G1
定义12.4.2
l
Sym(S)的任一子群称为S上的一个变换群。Sn 的任一子群称为置换群
l
整数集Z的加法群是有理数集Q的加法群的子 群。
定理12.3.1
近世代数课件 第14节 布尔代数的定义及性质
{ a,b,c,d,e }是L1的子格，同构于钻石格
{ a,b,c,e,f }是L2的子格，同构于五角格；
{ a,c,b,e,f } 是L3的子格，同构于钻石格.
12/40
近世 代数
分配格的性质
性质1 设(L,∧,∨)是格，若a, b, c∈L，有
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c).
6/40
近世 代数
解答
(1) L1中 a 与 c 互为补元, 其中 a 为最小元素, c为最 大元素, b 没有补元.
(2) L2中 a 与 d 互为补元, 其中 a 为最小元素, d 为最 大元素, b与 c 也互为补元.
(3) L3中a 与 e 互为补元, 其中 a 为最小元素, e 为最 大元素, b 的补元是 c 和 d ; c 的补元是 b 和 d ; d 的补元是 b 和 c ; b, c, d 每个元素都有两个补元.
b) a≤b b≤a a≤b a∧b =a (a∧b)= a= b∨a b≤a
c) a∧b=0 a∨b=1
a∧b=0 (a∨b)=0=1= a∨b
26/40
近世 代数
布尔代数的性质
性质3 设(B,∧,∨,, 0, 1)是任一布尔代数，则有 (1) a,b,c∈B, 有
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c), a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c). (2) a,b,c∈L, 如果 a∧b = a∧c且 a∨b = a∨c，则b=c. (3) a,b,c∈B, 有 (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) = (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a).
28/40
近世 代数
布尔代数的性质
近世代数(抽象代数)课件
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
近世代数学习课件
注：X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
近世代数课件全21 群的定义.ppt
aa1 eaa1 a'a1 aa1 a' a1a a1 a'ea1 a'a1 e
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,