初中数学-二次函数的解析式
初中数学：二次函数知识清单
初中数学：二次函数知识清单1.二次函数的概念解析式形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况2y ax =直线0x =(0,0)0a >时，开口向上，顶点是最低点；0a <时，开口向下，顶点是最高点；当0a >时，抛物线在对称轴（直线2b x a =-）左侧的部分下降，在右侧上升；0a <时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.2y ax c =+直线0x =(0,)c 2()y a x m =+直线x m =-(,0)m -2()y a x m k=++直线x m =-(,)m k -2y ax bx c=++直线2bx a=-24(,)24b ac b a a--1．抛物线2y ax =（其中a 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点．抛物线的开口方向由a 所取之的符号决定，当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．【注意】抛物线的对称轴是一条直线，答题时一定要写直线0x =.2．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点坐标是（0，c ）.抛物线的开口方向由a 所取之的符号决定，当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．3．抛物线2()y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（m -，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x m =-；顶点坐标是（m -，0）．当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．4．抛物线2()y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（m -，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x m =-；顶点坐标是（m -，k ）．当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．【注意】在二次函数中，我们常常会做到平移的题目，一般我们在做平移时都会把二次函数化为顶点式来进行平移的求解。
初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧
初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧摘要：函数是数学解决实际问题的重要工具，初中的二次函数是初中数学的重要知识点，通过二次函数及函数图像，能够将各类数学问题将更加形象和直观测呈现在学生脑海中，这极大的提高了学生对问题的理解、解析和解答。
本文将结合二次函数相关的知识点、运用、难易点做出自己有益的分析。
关键词：初中数学；二次函数解析式；解题方法和技巧初中数学不同于小学数学，初中数学的知识体量大，而且各类知识点已完全精简化，许多概念对于部分学生而言过于抽象。
二次函数是高度概括的，如何让学生领悟透彻，函数与函数图像相结合，将数形结合作为切入点，无疑是最好的选择。
如何将数形结合的思维常态化，让学生能够自行融合二次函数与相对应的函数图像。
在新课改后，学生是否有效利用各类知识点，才是教师授课及考核的关键[1]。
一、二次函数的相关概念函数都是由代数式组成，在几何含义上的函数实在xy轴系上存在一定的图形意义。
例如y=aX2+bx+c,这是函数，所在二位轴系上呈现的是抛物线形状。
当令y=0时，即aX2+bx+c=0，这就是一元二次方程，此方程的解在函数图像上就是抛物线与X轴相交的点，即解为。
由此可看出方程重在表述数与数的关系，而函数则是自变量对因变量影响。
函数图像呈现的是代数问题几何化，是将数字在空间中立体表现，是将数与数之间的逻辑关系在坐标图上轨迹化，方程则是特定的数值在函数图像上的一两个特定的点。
由此方程与函数图像相结合具有天然性的共通。
在学习函数和函数图像时，将相关问题图像化；在研究函数图像时，则将函数图像代数化。
这样的数形结合有利于快速打开学生的解题思路，更利于培养学生数形结合的学习思维[2]。
二、二次函数解析式的解题方法和技巧1，一般式的解法函数知识在初中主要二次函数，这也是解决许多实际问题的基础。
解析式作为二次函数较为重要的表达形式[2]，尤其是一般式的解答，可将函数图像引入，结合对应的方程，这利于将抽象的概念具体化。
求二次函数解析式的常用方法及注意点
求二次函数解析式的常用方法及注意点作者：杨燕华来源：《新高考·升学考试》2018年第04期二次函数是初中数学的一个重要知识板块，其中二次函数解析式的求解是解决相关二次函数类型题的基础，更是二次函数与方程、三角函数、相似三角形等其他相关知识结合的前提，由此可见，掌握二次函数的解析式的重要性.初中阶段，求二次函数的解析式一般用待定系数法，下面我根据不同的条件设出恰当的解析式，给同学们归纳出常用的四种基本方法.1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）一般式是最常见的，当题目给出的是抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c （a≠0），然后把三点坐标分别代入函数解析式，构成一个三元一次方程组，解得系数a、b、c，最后得到函数解析式.例1. 已知二次函数的图像经过点A（-1，6）、B（3，0）、C（0，3），求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由已知函数图像过（-1，6），（3，0），（0，3）三点，得a-b+c=6.9a+3b+c=0c=3，解方程得a=12，b=-52c=3，，∴所求得的函数解析式为y=12x2-52x+3.【注意点】有少部分同学把点坐标代入函数时，将x与y的值没有代入正确的位置，可能x与y的值颠倒了，为避免此类错误，建议同学们可以将点的坐标代入一般式时，写成ax2+bx+c=y的形式，这样就不容易错了.2. 顶點式：y=ax-h2+k（a≠0）若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），其中h，k是顶点坐标，此时题目的已知条件需要一个顶点坐标和经过函数图形的一个点的坐标.例2. 已知一个二次函数图像的顶点坐标是P（8，9），且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式.解：设所求函数解析式为y=ax-h2+k（a≠0），由已知函数图像的顶点坐标是P（8，9），可得函数y=ax-82+9，将点（0，1）代入函数，得1=a0-82+9.解方程得a=-18，∴所求得的函数解析式为y=-18x-82+9.【注意点】若题目改成“已知一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标是P（8，9）”，其他条件不变，那么最好抛开题目给出的y=ax2+bx+c（a≠0），重新设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），解题过程同上，得出y=-18x-82+9，最后将顶点式化成一般式y=-18x2+2x+1.3. 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.首先已知Ax1，0、Bx2，0两点实际上是抛物线与x轴的交点，那么可设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1、x2是抛物线与x轴的交点的横坐标；其次，还需要二次函数图形经过一个已知点，将点代入函数，求出a；最后得到函数解析式.例3. 已知：抛物线与坐标轴交于A，B，C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=a（x-x1）·（x-x2）（a≠0），∵A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），∴函数解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），由题意可知AB=4，S△ABC=12AB·OC=6，∴OC=3，∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3），当C的坐标为（0，3），∴a=-1，函数解析式y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；当C的坐标为（0，-3），∴a=1.函数解析式y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3.【注意点】交点式也称为对称点式：y=a（x-x1）（x-x2）+m（a≠0），其中x1、x2为抛物线上关于对称轴的两个对称点的横坐标，m为对称点的纵坐标.若图像过（x1，m）、（x2，m）时，则对称轴为x=x1+x22.4.平移式若将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出平移后的抛物线的解析式.例4.将抛物线y=x2+2x-3先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得的抛物线的解析式.解：函数解析式可化为顶点式y=（x+1）2-4，因为向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，所求函数解析式为y=（x+1+4）2-4-3，即y=x2+10x+18.【注意点】将抛物线平移必须先化成顶点式后再将抛物线平移，而同学们做错往往是因为将一般式中的x直接平移了，这样就错了.以上，是我对二次函数解析式的几种求法的归纳讲解，希望同学们在解题时能较好地根据题目的已知条件，选择较为合理的函数解析式，让计算更简便，也更容易解决二次函数的后续问题.。
14秋季班09-二次函数的解析式教师版
初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
二次函数解析式确定
小结：
y=- 1 x 2。 25
当知道抛物线的顶点坐标为原点， 且对称轴是 y 轴时， 要求二次函数的解析式，
思路如下：
通常的解题
2
①设二次函数的解析式为： y=ax （ a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于 ③解方程，求得 a 值；
a 的一元一次方程；
④把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路
线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：
（1） y 1 (x 5
1 x2
8 x
55
4)2 16 5
所以，抛物线 y
1 x2 8 x 的开口向下，顶点为 55
4，16 ，对称轴为直线 x 4 。 5
2
4.2 二次函数关系式设为： y=ax +bx（ a≠ 0）
例 2、（ 2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物
线y
1 x2 8 x ，其中 y （ m）是球的飞行高度， x （m）是球飞出的水平距离，结果球 55
离球洞的水平距离还有 2m，如图 2 所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
。
小结： 当知道抛物线的顶点坐标： M（ h， 0）和抛物线上的一个点 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
2
①设二次函数的解析式为： y=a（ x-h ） a≠ 0）
பைடு நூலகம்
A（ x1， y1）时，
②把点 A 的坐标代入所设的解析式中，转化成关于
a 的一元一次方程；
初中数学精品试题：二次函数的解析式
专题01 二次函数的解析式【知识梳理】知识梳理一、二次函数的解析式有三种常见形式(1) 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；对称轴：_______________ 顶点：_______________ (2) 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；对称轴：_______________ 顶点：_______________(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 对称轴：_______________ 顶点：_______________（交点式教材中已删去，这里进行补充）知识梳理二、二次函数解析式的常见题型．（1） 列方程直接求解析式（2） 待定系数法求解析式（3） 由图表求解析式（4） 由函数图像求解析式（5） 由实际问题直接列解析式（如：几何图形的面积，利润的表达式等）（本章重点讲解待定系数法求解析式）知识梳理三、用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．①已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【例题精讲】例1．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．例2．若二次函数y＝ax2+4a x+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为：．例3．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．例4．设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．例5．已知抛物线y＝5x2+mx+n与x轴的交点为（，0）和（﹣2，0），则因式分解5x2+mx+n 的结果是．例6．当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2x+1C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3例7．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．例8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．（1）当c＝4时，若点B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；（2）已知点M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；例9．我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线y ＝x2和y＝（x﹣1）2都是“数轴函数”．（1）抛物线y＝x2﹣4x+4和抛物线y＝x2﹣6x是“数轴函数”吗？请说明理由；（2）若抛物线y＝2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．例10．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是．【专项训练】1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x22．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5 3．函数y＝3x2+9x﹣8化为顶点式是．4．把二次函数y＝﹣x2+3x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．5．用配方法将y＝x2﹣3x+2化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是．6．用配方法将抛物线y＝x2+2x+1化成y＝（x+h）2+k的形式是．7．已知二次的数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x﹣134y1010202那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为．8．已知P（m+1，m2﹣4）是平面直角坐标系中的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是．9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y ＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的值为．10．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y ＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）写出点M（2，3）任意两条特征线为；（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则此抛物线的解析式为．11．将抛物线y＝﹣﹣3x+1写成y＝a（x+h）2+k的形式应为．12．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为．13．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为．14．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象满足下列条件：（1）开口向下；（2）当x＜2时，y随x 的增大而增大；（3）当x≥2时，y随x的增大而减小．请写一个这样的二次函数解析式是．15．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），则此二次函数的解析式为．16．抛物线与y轴交于点E，与直线l：交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，则抛物线的解析式为．17．抛物线y＝x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…01234…y…30﹣103…则抛物线的解析式是．18．不论m取任何实数，抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是．19．平面直角坐标系下，一组有规律的点A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）A6（5，0）…（注：当n为奇数时，A n（n﹣1，1），n为偶数时，A n（n﹣1，0）），抛物线C1经过点A1、A2、A3三点，…抛物线∁n经过∁n，C n+1，C n+2三点，请写出抛物线C2n的解析式．20．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（k+3，﹣k2+1），（﹣k﹣1，﹣k2+1），则该抛物线的解析式．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y有最小值﹣1，且抛物线与x轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为．22．求下列函数图象的顶点坐标：（1）y＝x2﹣4x+1（配方法）；（2）y＝3x2+4x+6（公式法）．23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点．（1）求该函数解析式；（2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式．24．已知二次函数y＝﹣x2+x+．（1）用配方法求出函数的顶点坐标和对称轴方程，并求出其图象与x轴交点的坐标．（2）已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求此函数关系式．25．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．26．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．（1）y＝x2﹣6x﹣1（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6（3）y＝x2+3x+10．27．先阅读下列解法，再解答有关问题．由抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1①配方，得y＝（x﹣m）2+2m﹣1②∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣1）．即x＝m③y＝2m﹣1④当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y的值也随x的值的变化而变化．将③代入④，得y＝2x﹣1⑤可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y＝2x﹣1．即抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上．解答问题：（1）写出一个二次函数的解析式，使它的对称轴为直线x＝1，且顶点恰好在直线y＝x+2上，则这个二次函数的解析式可以写为．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3m+1的顶点所在直线的解析式．中顶点所在的直线上．28．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．29．如图，▱ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）求BD的函数表达式．30．将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME＝2，CM＝4．（1）求AD的长；（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式．。
中考数学复习二次函数的解析式2[人教版]
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7）抛物线经过（4，-3），且当x=3时， y最大值=4； 8)已知抛物线的对称轴为直线=2，且 经过（1，4），（5，0）.
9）当x=-1时，y最大值=4；抛物线与x轴交 点的横坐标为x1，x2,且x12+x22=10. 10)已知抛物线在x轴上截得的线段长为6， 且经过（1，4），（5，0）.
2、已知抛物线
y mx 2 3m 4 x 4 3
与x轴交于两点A、B，与y轴交 于点C. 若⊿ABC是等知二次函数y=ax2+bx+c的图
象与x轴交于A、B两点（A在原点左侧，
B在原点右侧），与y轴交于C点，若
AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程
1、求下列满足条件的二次函数的解析 式：
1）抛物线经过（-1，-3），（1，3）， （2，12）三点； 2）抛物线经过（1，0），（0，-2）， （2，3）三点； 3）抛物线的顶点坐标为（1，3），且 通过（-1，4）；
4）抛物线的顶点坐标为（6，-12）， 且与x轴的一个交点的横坐标为8；
5）抛物线与x轴的交点的横坐标分别为 1和2，且经过（4，3）；
二次函数的解析式
一、教学目标：
1、了解二次函数的几种表达式： 2、能根据一点、两点、三点的坐标求 出二次函数的表达式；
3、根据二次函数的表达式解决有关问 题. 4、提高学生的阅读理解能力，收集处 理信息能力，运用知识能力，解决实际 问题能力，探索、发现问题能力.
二、知识回顾：
1、举例说明二次函数有几种表达式： 2、请举例说明如何根据一点、两点、 三点的坐标求出二次函数的表达式；
x2+kx+3=0的两根. 1）求A、B两点的
初中数学-二次函数的解析式
解法一 （1）设二次函数的解析式为
yax2 bx3 2
a
b 2a
b
1,
3 2
0.
解得：
a
1 2
,
b 1 .
得解析式 y1为 x2： x3
（2）由于
a
1
2
0
2
2
当x2ba211 1时
2
y最小值
4acb2 4a
4 1 ( 3) (1)2
＝2 2
＝－2
41
所以这个二次函数有最小值，
2
当x
b 2a
|a| 2
A O
B x
1.若抛物线 yax2bxc
经过A（1，－4）、B（－1，0）、C（－2，5）三点 1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线； 2)结合图形分别求出函数当y>0;y<0时的x的取值范围.
2. 已知抛物线
y1x2(n1)x2n 2
（n<0）经过点A（x1, 0）,B(x2, 0), D(0, y1),其中x1<x2, △ABD的面积等于12.
由已知得：
ab12 4a2b17
解得：ba
1 2
二次函数的解析 y为 x2：2x1
注：此题运用了二次函数的一般式
3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过 点C(1, 2) ，求抛物线的函数解析式.
解：由已知设函数的解析式为
ya(x＋ 1)x(3) 注：此题运用了
∵抛物线过点C（1，2） 二次函数的双根式
1 2 1
1时函数有最小值
2
y最小值
1 2
12
1
3 2
2
解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得
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∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
当已知抛物线与x轴两交点时，求解析式要 设双根式.
y
x1 o
x2
x
无论哪一种形式，要确定抛物线的解析式 都需要三个条件。
上一次例题补讲
2 11.若一抛物线 y ax 与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2
解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得
3 2 a(0 1) k , 2 a(1 1) 2 k 0. 3 ak , 得： 2 4a k 0.
3 （ 点（-1，0）， 0， ） 在图象上，所以 2
解这个二元一次方程组，得
a 1 解得： b 2
二次函数的解析为： x 2 2x 1 y
注：此题运用了二次函数的一般式
3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过 点C(1, 2) ，求抛物线的函数解析式. 解：由已知设函数的解析式为
y a( x＋ )(x 3) 1
所求函数的解析式为 3 3 y ( x 1)(x 5)或y ( x 1)(x 5) 5 5
求抛物线在x轴上截得的线段的长
设抛物线y ax2 bx c与x轴交于 两点A（x1 ,0), B( x2 ,0) 由ax2 bx c 0得
b b 2 4ac x1, 2 2a AB | x1 x2 | | b b 4ac b b 4ac | 2a 2a
2
2 x1 x2 26
m 4 10 26 m 4 16, m 2 4
图象过A(1,0), B(5,0) 设函数解析式为： a( x 1)(x 5) y
当C为(0,3)时 a ( 5) 3, 得a 3 5
注：此题用了双根式.
3 得：y ( x 1)(x 5) 5 当C为（0， 3）时 3 a 5 3 得：y ( x 1)(x 5) 5
.
5.在平面直角座标系的x轴上有两点A（x1,0),B(x2,0) 在y轴上有一点C，已知x1，x2是方程x2-m2x-5=0的 两根，且x12+x22=26, △ABC的面积是9. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求图象过A，B，C三点的二次函数的解析式.
解:(1) 由已知得:
x1 x2 m 2 x1 x2 5 2 2 x1 x2 26
x
y ax2 bx c 1.若抛物线
经过A（1，－4）、B（－1，0）、C（－2，5）三点 1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线； 2)结合图形分别求出函数当y>0;y<0时的x的取值范围.
2. 已知抛物线
1 2 y x (n 1) x 2n 2
（n<0）经过点A（x1, 0）,B(x2, 0), D(0, y1),其中x1<x2, △ABD的面积等于12. 1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标； 2)如果点C（2, y2）在这条抛物线上，点P在y轴的 3)正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的 4)解析式.
x2 4x 5 0 ( x 5)(x 1) 0 x1 1, x2 5, A(1,0), B(5,0)
S ABC c 3 A(1,0), B(5,0), C (0,3)或C（0， 3） 1 | c | AB 3 | c | 9 2
x1 x2
围成的正方形有公共点，求a的取值范围. 解:如图,四条直线围成的正 方形为ABCD
x=1
y
x=2
则:A(1, 2),C(2, 1)
当抛物线过C点时 4a=1得 a1
1 4
A
D y=2
C y=1
3
当抛物线过A点时 a2=2 o
1
B
1 a2 4
1.已知抛物线的顶点为（1，－2），且过点（2，3） 求抛物线的二次函数解析式. 解：设二次函数解析式为：y=a(x- 1)2-2 ∵图象过点（2， 3）
初中数学
二次函数有三种表达形式： 1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0） 当已知抛物线过三点时，求解析式要设一般式. 2.顶点式：y=a(x－h)2+k （a≠0） M（h, k）为抛物线的顶点，
当已知抛物线的顶点坐标时，求解析式要设顶点 式.
3.双根式：y=a(x－x1)(x－x2) （a≠0）
1 a , 1 得解析式为： ( x 1) 2 2 y 2 2 k 2.
.
解法三 ∵对称轴为x=1，一个交点（-1，0）， ∴另一个交点为（3，0）. 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
3 点（0，－ ）在图象上 2 注：此题的三种解法 3 3a 分别运用了二次函数 2 的一般式、顶点式、 1 双根式. a 2 1 解析式为： y ( x 1)( x 3) 2
3 解法一 （1）设二次函数的解析式为 y ax bx 2
2
பைடு நூலகம்
（2）由于 a
1 a , 解得： 2 b 1. 1 2 3 得解析式为： y x x 2 1 2
2 所以这个二次函数有最小值， 0
b 2a 1, a b 3 0. 2