【精品课件】线性二次型最优控制器设计
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线性二次型指标的最优控制-PPT课件
Q为n×n半正定常数矩阵，且
为能观测矩阵。
Beihang University
定理内容及说明
综上，状态调节器的设计步骤如下： 1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和R； 2.由A,B,Q,R按 求解黎卡提 矩阵代数方程，求得矩阵K； 3.由式 求最优控制u(t); 4.解式 求相应的最优轨迹x(t); 5.按式 计算性能指标最优值。
闭环系统的状态方程为
得到闭环系统的特征值
闭环系统线性稳定。
Beihang University
原系统的脉冲响应曲线 Beihang University
输出反馈后系统的脉冲响应曲线 Beihang University
故当tf时，性能指标的最优值 将趋于无穷大，即
这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。 Beihang University
定理内容及说明
对于以上结论，作如下几点说明： 3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。 性能指标J取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只 要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半 正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。
线性时变系统输出调节器问题
将输出方程 y(t)=C(t)x(t) 代入性能指标
得到
Beihang University
状态调节器的 性能指标函数
线性时变系统输出调节器问题
在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正 定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性 T T ( tf ) PC ( tf ) 和 C ( t ) Q ( t ) C ( t )也 能指标中 C 是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器 问题来阐述。即：对于系统
(优选)线性二次型最优控制器设计
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
线性二次型的最优控制
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
线性二次型最优一阶倒立摆控制器系统设计
目录摘要------------------------------------------------- 2 1 直线一级倒立摆系统数学建模------------------------ 31.1 微分方程的推导-------------------------------- 31.2 状态空间方程---------------------------------- 61.3 实际系统模型---------------------------------- 62 对象的性能分析------------------------------------- 82.1 分析系统的单位阶跃响应------------------------ 82.2 分析系统的极点-------------------------------- 92.3 分析系统能控性-------------------------------- 93 模型分析------------------------------------------ 104 直线一级倒立摆LQR控制器设计及仿真---------------- 134.1 LQR控制器原理 ------------------------------- 134.2 LQR控制器设计 ------------------------------- 144.2.1 Q、R的选择原则-------------------------- 145 全维观测器的设计---------------------------------- 245.1 状态观测器实现状态反馈及其仿真--------------- 246 二次型最优控制与极点配置的比较-------------------- 276.1 极点配置------------------------------------- 277 实验小结------------------------------------------ 31 参考文献-------------------------------------------- 33摘要从理论和实践上对直线一级倒立摆作了深入的研究。
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
线性二次型最优控制器设计
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：
现代控制理论线性二次型最优控制
0 ∞
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
则上式写成
A A12 x1 B1 x 11 1 u A 21 A22 x2 B2 x 2 x1 y I q 0 x1 x2
因此, 只需再估计出x2 , 则x 已知, x可得. 只需对x2构造(n q)维状态观测器 , 对x2而言, 是全维状态观测器 .
闭环系统为
x [ A BR1BT P]x
仍保持为定常系统。
对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR1BT P] 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐 近稳定的。
证明： 选取Lyapunov函数
V ( x) xT Px x ( A BR1 B T P ) x V ( x) x Px x P x
1 T x0 P (0) x0 , x0 0 2
证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。
1 T 1 T x (t f ) P(t f ) x(t f ) x (0) P(0) x(0) 2 2 1 tf d T [ x P(t ) x]dt 0 2 dt 1 tf T T T [ x P(t ) x x P(t ) x x P(t ) x]dt 2 0 1 tf T T {x [ A P(t ) P(t ) P(t ) A]x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx xT P(t ) BR1 B T P(t ) x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx u T Ru [u R 1 B T P(t ) x]T R[u R 1 B T P(t ) x]}dt 2 0
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在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u J1
(
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
线性二次型最优控制器设计
线性二次型最优控制器设计
本节主要内容： 线性二次型最优控制器概述 连续系统线性二次型最优控制 离散系统线性二次型最优控制 线性二次型Gauss最优控制
应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很
多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多 新型而复杂的控制系统，例如多输入多输出系统与 阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就 需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。
K,S, E lqr(A,B,Q,R, N) K,S lqr2(A,B,Q,R, N) K,S, E lqry(sys,Q,R, N)
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定 TRu)dt 取
1
Q
0
0
0 1 0
0
0
，R=1
1
(2)采用输出反馈，系统的性能指标为：
y u J1
(
T
Qy
TRu)dt，取Q=1,R=1
20
试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵
K [k1 k2 k3 ]，并对闭环系统进行单位阶跃的
仿真。 【解】 （1）我们可以用MATLAB函数lqr()来求解LQ最
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R B T P B ]B T P A x (k ) K x
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
•
x(t)Ax(t)Bu(t)
x u u 要寻求控制向量
(
t
)
使得二次型目标函数
J1
(
TQx TRu)dt
20
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R
分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u RB 1 TP xK x
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须
优控制器，程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=diag([1,1,1]); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序运行结果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x (k 1 ) A x (k ) B u (k ),(k 0 ,1 ,,N 1 )
要寻求控制向量u ( t ) 使得二次型目标函数 x u J1[ T(k)Q x(k)T(k)Ru(k)]
2k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
（3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虚轴上不是非能观
模式。
当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数
会显示警告信号。
3.连续系统二次型最优控制设计实例
【例8.7】设系统状态空间表达式为：
0
•
x
0
1
y 1
1 0 0
01
x
0u
4 6 1
0 0 x
(1)采用输入反馈，系统的性能指标为：
最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控
制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务 时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统 不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控 制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指 标为最小。
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-1所示。 图1-1 闭环系统阶跃响应曲线
由图1-1可知，闭环系统单位阶跃响应曲线略微 超调后立即单调衰减，仿真曲线是很理想的，反 映了最优控制的结果。
（2）我们可以用MATLAB函数lqry()来求解LQ最优控 制器，给出程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
A R 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 P A T P P B 1 B P Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
2.连续系统二次型最优控制的MATLAB函数
在MATLAB工具箱中，提供了求解连续系统 二次型最优控制的函数：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其调用格式为：
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u J1
(
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
线性二次型最优控制器设计
线性二次型最优控制器设计
本节主要内容： 线性二次型最优控制器概述 连续系统线性二次型最优控制 离散系统线性二次型最优控制 线性二次型Gauss最优控制
应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很
多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多 新型而复杂的控制系统，例如多输入多输出系统与 阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就 需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。
K,S, E lqr(A,B,Q,R, N) K,S lqr2(A,B,Q,R, N) K,S, E lqry(sys,Q,R, N)
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定 TRu)dt 取
1
Q
0
0
0 1 0
0
0
，R=1
1
(2)采用输出反馈，系统的性能指标为：
y u J1
(
T
Qy
TRu)dt，取Q=1,R=1
20
试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵
K [k1 k2 k3 ]，并对闭环系统进行单位阶跃的
仿真。 【解】 （1）我们可以用MATLAB函数lqr()来求解LQ最
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R B T P B ]B T P A x (k ) K x
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
•
x(t)Ax(t)Bu(t)
x u u 要寻求控制向量
(
t
)
使得二次型目标函数
J1
(
TQx TRu)dt
20
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R
分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u RB 1 TP xK x
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须
优控制器，程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=diag([1,1,1]); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序运行结果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x (k 1 ) A x (k ) B u (k ),(k 0 ,1 ,,N 1 )
要寻求控制向量u ( t ) 使得二次型目标函数 x u J1[ T(k)Q x(k)T(k)Ru(k)]
2k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
（3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虚轴上不是非能观
模式。
当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数
会显示警告信号。
3.连续系统二次型最优控制设计实例
【例8.7】设系统状态空间表达式为：
0
•
x
0
1
y 1
1 0 0
01
x
0u
4 6 1
0 0 x
(1)采用输入反馈，系统的性能指标为：
最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控
制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务 时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统 不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控 制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指 标为最小。
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-1所示。 图1-1 闭环系统阶跃响应曲线
由图1-1可知，闭环系统单位阶跃响应曲线略微 超调后立即单调衰减，仿真曲线是很理想的，反 映了最优控制的结果。
（2）我们可以用MATLAB函数lqry()来求解LQ最优控 制器，给出程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
A R 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 P A T P P B 1 B P Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
2.连续系统二次型最优控制的MATLAB函数
在MATLAB工具箱中，提供了求解连续系统 二次型最优控制的函数：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其调用格式为：
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：