振动与波习题课讲解
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第4章振动与波动习题课
A 0.5 cm
π 3
(2)
π v 4π sin(8πt ) 2 3π cm/s 3
π a 32π 2 cos(8πt ) 16π 2 cm/s2 3
(3)
k m 2 3.2 2 N/m
第四章习题解答
4-4. 已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（1）图中所标 ABCDE各点的相位，并画出旋转矢量图；（2）振动方程的表 达式。
2π 4π 解： T 1 π (1) cos ，v0 0 2 3
x 2.0 10 cos(4πt
2
1 4π (2) cos ，v0 0 2 3 4π 2 x 2.0 10 cos(4πt ) m 3
第四章习题解答
解： (1)
π 如图： A点相位为 0，B点相位为 ， 3
0 x/cm
10 5
A B
1.0
C点相位为
π 2π 4π ，D点相位为 ，E点相位为 2 3 3
2.2
t/s
C
-10
D
E
A 10 cm
T 1.2 2 2.4 s
2 π 5π T 6 1 π (2) cos ，v0 0 2 3 5π π x A cos( t ) 10cos( t ) cm 6 3
t/s
0 1 -0.2
t/s
2
-0.2
( b)
x=2m处质元的振动曲线
第四章习题解答
4-26. 一列沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0s时的波形如图所 示，设波速为 u 4 m/s 。求：（1）波长、周期、角频率；（2） 写出此波的波动方程；（3）在图上画出t等于四分之一周期时的波 形图并标出波的传播方向。 y/m u T 5s 解：(1) λ 20 m 0.05 u 2π 2 π 20 x/m 0 10 T 5 π -0.05 (2) cos 0，v0 0 2 x π 2π y 0.05cos ( t ) m 4 2 5 (3)
振动与波习题课及课后作业解答
O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
11-12振动和波习题课
振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。
2.理解旋转矢量法。
3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5.理解机械波产生的条件。
掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。
理解波形图线。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。
理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
7.理解驻波及其形成条件。
8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
Ⅱ内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T (2)非固有量，振幅A A=(x02+v02/ω2)1/2位相ϕϕ=ωt+ϕ0初位相ϕ0tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0)E p=E cos2(ωt+ϕ0)E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1| (2)相互垂直振动的合成ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
2、振动与波习题课-zd
8、机械波通过不同媒质时，就波长、频率 和波 速u而言，其中 、u 要改变， 不改变。 9、如图所示，两相干波源S1、S2相距 /4(为波长)， S1的位相比 S2的位相超前p /2 ，在 S1、S2的连线 上，S1 外侧各点(例如P点)两波引起的两谐振动的 p 。 位相差为 提示： = 2 - 1 - 2p (S2P – S1P)/ = -p
解：
S1 S 2
4
2 1
π 2
P S1
S2 Q
x
2 1
2π
( r2 r1 )
（1）S1外侧P点
r2 r1 S 2 P S1 P
Δ π 2 2π
4
A A1 A2 0
4
π
P点因干涉而静止
（2）S2外侧Q点
r2 r1 S 2Q S1Q
Δ π 2
P S1
S2 Q
x
4
2π (
4
)0
A A1 A2 2A0
Q点干涉加强 结论：S1 外侧无振动， S2 外侧振动加强。
1、下列几种运动哪些是简谐振动？（
）
(A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动 (B)细绳系一小球在水平面内作匀速圆周运动
Δ 2 1
4π 3 π 3
2π( r2 r1 )
x
M
r1 30
50 30 10
r2
2π
A
40
3π
A A1 A2 1 cm
B
(2) 1 = 2，求：连线AM上干涉加强点的位置。
Δ 2 1 2π( 40 x x )
大学物理振动和波习题课
12、一质点作简谐振动，周期为 T。质点由平衡
位置向Ｘ轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一 最大位移这段路程所需要的时间为（ ）。
A T 4 B T 1 C 2 T 6 D T 8
解：令简谐振动为 xA si n t
则当 xA2 时， si n t0.5
Acos2(t 1) T2
Acos2T(t 13)
.
7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表 示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为
xx1x2 0.04cos(t)
x (m)
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
.
8 如果在固定端 x0处反射的反射波方程式是
y2 Aco2stx
设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（ ） 形成的驻波的表达式是（ ）。
y1OAcos2vt y2OA cos2vt
形成的驻入 波射 为波 ：方 程 y1Acos 2 t x
y y 1 y 2 A c 2 ot s2 x A c 2 ot s2 x
得：
S
wu
1 A22u
2
3.惠更斯原理和波的叠加原理
惠更斯原理:
波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的 新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。
波的叠加原理:
当几列波在介质中某点相遇时，该质点的
振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位 移的矢量和。
.
4.波的干涉: 相干条件： 振动方向相同
频率相同
1.机械波
产生的条件： 波源和弹性介质
描述波动的特征量: 波速、波长、波的周期、频率
2.平面简谐波
波函数 yAcos(tux)
最新习题课1 振动与波动说课讲解
得 3 2 即
2
2
所以波函数为 y 0.5cos
0.5
cos
2
2 4
0.5 2
为什么不取 y(t=2, x=0)
0.3 cos(
6
)
]
0.12
3
6
振动函数 x 0.5cos(3t 0.12 ) (m)
另法：相量图法
A1 A2
A A12 A22 0.5m
tg A2 3
A1 4
0.21
0.21 0.12
3
x 0.5cos(3t 0.12 ) (m)
A1
A
/3
O /6
x
A2
(2) 当 3 = = 0.12 时， Amax A A3 1.0m 当 3 = = -0.88 时， Amin A A3 0
2π
t
A1
-A
பைடு நூலகம்
3. 一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动
规律为 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6) (SI)。 求：(1) 合振动的振动函数；
(2) 另有一同方向同频率的谐振动 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 当 3 等于多少时，x1, x2, x3 的合振幅最大？最小？
4. 已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及
O 点的振动函数。
解：波函数标准方程
y(m) 0.5
u = 0.5m/s
y
A cos
2
t T
x
O1 2 3
x(m)
已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s
振动和波习题课
20000 5 2 S 1.6 10 J / m s 2 4 10000
１0）入射波方程为y1=Acos2 (t/T+x/ )，在自由 端x=0处发生反射后形成驻波，设反射后波的强度 不变，则反射波方程为 ，在x=2／3处 质点合振动的振幅为 。
自由端：在反射点没有半波损失。
波动
1.理解机械波产生的条件；掌握描述平面简谐波 的各物理量及各量间的关系；掌握由已知质点 的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方 法；能运用波形图线分析和解决问题。 2.理解波的能量传播特征及能流密度概念。 3.了解电磁波的性质。 4.理解惠更斯原理和波的叠加原理；掌握波的相 干条件。能运用相位差和波程差分析、确定相 干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 5.理解驻波的概念及其形成条件，能确定波腹和 波节的位置。 6.能用多普勒频移公式计算。
振动练习
１）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置 的位移大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的 [E ] （A）7／16
（B）9／16
（C）11／16
（D）13／16
（E）15／16
1 2 2 2 E k m A si n (t 0 ) 2 1 m 2 ( A2 x 2 ) 2
（D）1:1:2
1 1 1 弹簧的串并联： 串联时等效劲度系数 k k1 k 2
并联时等效劲度系数 k k1 k2
4）用余弦函数描述一简谐振动，速度V与时间t的 关系曲线如图所示，则振动初位相为[ A ] （ A） ／ 6 （B） ／３ （C） ／２ （D） ２／３ （Ｅ） ５／６
Байду номын сангаас振动
1.掌握描述简谐振动的各物理量，特别是相位, 及各物理量之间的关系。掌握位移-时间曲线， 掌握旋转矢量法。能根据给定的初始条件，写 出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意 义；能比较同频率的不同谐振动的相位差。 2.掌握简谐振动的动力学特征，能建立一维简谐 振动（弹簧振子、单摆、复摆等）的微分方程。 3.掌握同方向、同频率的两个简谐振动的合成规 律；了解拍和拍频；了解相互垂直、同频率的 两个简谐振动的合成情况。
振动波动习题讲解
轴负方向传播的平面简谐波在t 沿x轴负方向传播的平面简谐波在 = 2 s 轴负方向传播的平面简谐波在 时刻的波形曲线如图所示， 设波速u 时刻的波形曲线如图所示 ， 设波速 = 0.5 m/s． 求：原点 的振动方程． 原点O的振动方程 的振动方程． ．
2 解：方法一 T = = = 4(s) u 0.5
y (m) 0.5 O 1 u t=2s 2 x (m)
P
λ
y (m) 0.5 O 1 u t=2s 2 x (m)
t = 2 s =T/2。则t = 0时波形比题图 。 时波形比题图 中的波形倒退λ/2，如图。 中的波形倒退 ，如图。 此时y 此时 0 = 0，且朝 轴负方向运动， ，且朝y 轴负方向运动， ∴
一平面简谐波以400 m·s-1的波速在均匀媒质中沿 的波速在均匀媒质中沿x 一平面简谐波以 轴正向传播.已知波源的振动周期为 已知波源的振动周期为0.01s 、振幅为 轴正向传播 已知波源的振动周期为 0.2m. 设以波源振动经过平衡位置且向y 轴正向运 设以波源振动经过平衡位置且向 动作为计时起点，写出以距波源2m处为坐标原点 动作为计时起点，写出以距波源 处为坐标原点 的波动方程。 的波动方程。
x (m)
（该波的振幅A、波速u与波长 为已知量） 该波的振幅 、波速 与波长λ为已知量） 与波长 为已知量
点作为坐标原点， 解：若以此时为计时零点，以O点作为坐标原点，则 若以此时为计时零点， 点作为坐标原点 π y (m) ∵ ω = 2πν = 2π u ϕ =− A λ 2 u x π ∴波动方程为 y = Acos[2π (t′ + ) − ] 0 P λ u 2 若以2s前为计时零点，显然有 t′ = t − 2 若以 前为计时零点， 前为计时零点 ∴以2s前为计时零点波动方程为 前为计时零点波动方程为
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7、平均能量密度： 能量密度的平均值。 w ? 1 ?A2? 2
2
??
8、平均能流密度： 能流密度的平均值。 I ? ? u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x ?? 2x ? 0
dt2
d2? ? ? 2? ? 0
dt2
2、简谐振动的运动方程
x ? A cos( ? t ? ? ) ? ? ? 0 cos( ? t ? ? )
mg sin ? ? k1 x ? k2 x2
按图所取坐标,原点取在平衡位置,物体沿x轴移
动x时,两弹簧与分别被拉伸 x1'和x2,'即 x ? x1'? x2 ' 对物体分析受力,有
X k2
k1
F ? mg sin? ? k2 (x2 ? x2?)
k1 (x1 ? x1?) ? k2 (x2 ? x2?) 将(1)代入(2),得 F ? ? k1x1? ? ? k2 x2?
?
?
r1
?
r2
?
?? ? ??? ?
k?
(2k
?
1)
?
2
k ? 0,1,2? ? 加强 k ? 0,1,2? ? 减弱
8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 .
x?
? k ? k ? 0,1,?
2
Amax ? 2 A
? (2k ? 1) ?
?
?
?
t=0
t=T/4
1
2
x ? A cos(? t ? ? 0 )
它们所对应的相位分别 为:0, ? /2, ?, 3?/2, 2?.
t=T/2 3
t=3T/4 t=T
24
5
?
? ? /2
3
O 5 1x
3? /2
4
3. 如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 k2, 当物体在
光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振
6、一维简谐波的波动方程：
y ? Acos[? (t ? x ) ? ? ] ? Acos[2? ( t ? x ) ? ? ]
u
T?
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
??
?
?
2
??1
?
2? (r2 ? ?
r1 )
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 k ? 0,1,2,? ? 减弱
0m
考虑(3)与x的表达式,得
则物体作简谐振动,频率
F
?
?
k1 k 2 k1 ? k2
(x1? ?
x?2 )
?
? kx
?? ? ? 1
k1 ?k1k 22? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
讨论
?? ? ? 1
k1 ?
k1k 2
2? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
(1)由结果可见 ,倾角θ与弹簧 是否作简谐运动及频率无关 . 弹簧无论水平、斜置还是竖直 悬挂,物体均作简谐运动 .其频率
3、由初始条件确定 A ?
A?
x02
?
v
2 0
?2
tan ? ? ? v0 ? x0
4、简谐振动的能量
E
?
Ek
?
EP
?
1 kA 2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A ? A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
tg? ? A1sin?1 ? A2 sin? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2
? ? ? 0 cos(? t ? ? 0 )
?0 ? ?
t ? 0,? ? ?
?0 ? 0
?
答：? 角是振幅，振动初相位为0
振动的角频率 ? ? g
t=0
l
单摆的角速度
?
d?
dt
?
?? 0?
sin(? t ? ? 0 )
单摆的角速度不是振动的角频率 .
2. 把单摆从平衡位置拉开 ,使摆线与竖直方向成 ?角,然 后放手任其振动 ,试判断图中所示五种运动状态所对应 的相位 .
?
r1)
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 A ? A1 ? A2 k ? 0,1,2,? ? 减弱 A ? A1 ? A2
x?
? k ? k ? 0 ,1, ?
2
Amax ? 2 A
波腹
? (2 k ? 1) ?
4
k ? 0,1 .2 ? Amin ? 0
波节
tg? ? A1 sin ? 1 ? A2 sin ? 2 A1 cos ? 1 ? A2 cos ? 2
动
x
x
y ? A cos[ ? (t ? ) ? ? ] ? A cos(? t ? 2? ? ? )
u
?
u ? ?T
与
? ? 1 ?A 2? 2
??
I ??u
2
波波
??
?
?
2
?
?1
?
2?
(r2 ?
三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
1. 把一单摆从平衡位置拉开 ,使悬线与竖直方向成一小角 度? ,然后放手任其摆动 ,如果从放手时开始计算时间 ,此? 角是否是振动的初相 ?单摆的角速度是否是振动的角频率 ?
动频率.
k1
k1
k2
X k2
0m
?
分析 要证明一系统作简谐振动 ,须分析受力 ,看是
否满足简谐振动的受力特征 (或动力学方程 ).建立如图
(2)所示的坐标 ,设系统的平衡位置为原点 ,沿x轴物体
受弹力和重力的分力 .利用串联时各弹簧受力相等 ,分
析在任一位置时受力和位移关系 .即可证.
证: 设平衡时两弹簧伸长分别为x1 x2, 则由物体受力平衡,有
k1
m
k 2 (a)
相同.固有频率.
k1
(2)如振动系统并联 (a)或如图(b)
k2 m
所示 ,频率均为
4
k ? 0,1.2? Amin ? 0
波腹 波节
*9、多普勒效应：
? '? u ? vo ?
u ? vs
d2x ? ? 2x ? 0
dt 2
x ? A cos( ? t ? ? ) 旋转矢量法
振
振动
? ? 2? T
1 ??
T
A?
x02
?
v02 ?2
? ? tan(? v0 ) ? x0
A?
A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
振动与波习题课
一、基本概念
1、振幅： 振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期： 振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率： 单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位： 表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长： 振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长
6、波速： 单位时间某种一定的振动状态 (或振动相位 ) 所传播的距离称为波速
2
??
8、平均能流密度： 能流密度的平均值。 I ? ? u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x ?? 2x ? 0
dt2
d2? ? ? 2? ? 0
dt2
2、简谐振动的运动方程
x ? A cos( ? t ? ? ) ? ? ? 0 cos( ? t ? ? )
mg sin ? ? k1 x ? k2 x2
按图所取坐标,原点取在平衡位置,物体沿x轴移
动x时,两弹簧与分别被拉伸 x1'和x2,'即 x ? x1'? x2 ' 对物体分析受力,有
X k2
k1
F ? mg sin? ? k2 (x2 ? x2?)
k1 (x1 ? x1?) ? k2 (x2 ? x2?) 将(1)代入(2),得 F ? ? k1x1? ? ? k2 x2?
?
?
r1
?
r2
?
?? ? ??? ?
k?
(2k
?
1)
?
2
k ? 0,1,2? ? 加强 k ? 0,1,2? ? 减弱
8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 .
x?
? k ? k ? 0,1,?
2
Amax ? 2 A
? (2k ? 1) ?
?
?
?
t=0
t=T/4
1
2
x ? A cos(? t ? ? 0 )
它们所对应的相位分别 为:0, ? /2, ?, 3?/2, 2?.
t=T/2 3
t=3T/4 t=T
24
5
?
? ? /2
3
O 5 1x
3? /2
4
3. 如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 k2, 当物体在
光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振
6、一维简谐波的波动方程：
y ? Acos[? (t ? x ) ? ? ] ? Acos[2? ( t ? x ) ? ? ]
u
T?
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
??
?
?
2
??1
?
2? (r2 ? ?
r1 )
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 k ? 0,1,2,? ? 减弱
0m
考虑(3)与x的表达式,得
则物体作简谐振动,频率
F
?
?
k1 k 2 k1 ? k2
(x1? ?
x?2 )
?
? kx
?? ? ? 1
k1 ?k1k 22? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
讨论
?? ? ? 1
k1 ?
k1k 2
2? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
(1)由结果可见 ,倾角θ与弹簧 是否作简谐运动及频率无关 . 弹簧无论水平、斜置还是竖直 悬挂,物体均作简谐运动 .其频率
3、由初始条件确定 A ?
A?
x02
?
v
2 0
?2
tan ? ? ? v0 ? x0
4、简谐振动的能量
E
?
Ek
?
EP
?
1 kA 2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A ? A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
tg? ? A1sin?1 ? A2 sin? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2
? ? ? 0 cos(? t ? ? 0 )
?0 ? ?
t ? 0,? ? ?
?0 ? 0
?
答：? 角是振幅，振动初相位为0
振动的角频率 ? ? g
t=0
l
单摆的角速度
?
d?
dt
?
?? 0?
sin(? t ? ? 0 )
单摆的角速度不是振动的角频率 .
2. 把单摆从平衡位置拉开 ,使摆线与竖直方向成 ?角,然 后放手任其振动 ,试判断图中所示五种运动状态所对应 的相位 .
?
r1)
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 A ? A1 ? A2 k ? 0,1,2,? ? 减弱 A ? A1 ? A2
x?
? k ? k ? 0 ,1, ?
2
Amax ? 2 A
波腹
? (2 k ? 1) ?
4
k ? 0,1 .2 ? Amin ? 0
波节
tg? ? A1 sin ? 1 ? A2 sin ? 2 A1 cos ? 1 ? A2 cos ? 2
动
x
x
y ? A cos[ ? (t ? ) ? ? ] ? A cos(? t ? 2? ? ? )
u
?
u ? ?T
与
? ? 1 ?A 2? 2
??
I ??u
2
波波
??
?
?
2
?
?1
?
2?
(r2 ?
三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
1. 把一单摆从平衡位置拉开 ,使悬线与竖直方向成一小角 度? ,然后放手任其摆动 ,如果从放手时开始计算时间 ,此? 角是否是振动的初相 ?单摆的角速度是否是振动的角频率 ?
动频率.
k1
k1
k2
X k2
0m
?
分析 要证明一系统作简谐振动 ,须分析受力 ,看是
否满足简谐振动的受力特征 (或动力学方程 ).建立如图
(2)所示的坐标 ,设系统的平衡位置为原点 ,沿x轴物体
受弹力和重力的分力 .利用串联时各弹簧受力相等 ,分
析在任一位置时受力和位移关系 .即可证.
证: 设平衡时两弹簧伸长分别为x1 x2, 则由物体受力平衡,有
k1
m
k 2 (a)
相同.固有频率.
k1
(2)如振动系统并联 (a)或如图(b)
k2 m
所示 ,频率均为
4
k ? 0,1.2? Amin ? 0
波腹 波节
*9、多普勒效应：
? '? u ? vo ?
u ? vs
d2x ? ? 2x ? 0
dt 2
x ? A cos( ? t ? ? ) 旋转矢量法
振
振动
? ? 2? T
1 ??
T
A?
x02
?
v02 ?2
? ? tan(? v0 ) ? x0
A?
A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
振动与波习题课
一、基本概念
1、振幅： 振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期： 振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率： 单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位： 表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长： 振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长
6、波速： 单位时间某种一定的振动状态 (或振动相位 ) 所传播的距离称为波速