宁波中考数学试卷及分析

宁波市2011年初中毕业生学业考试数 学 试 题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，26个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I 的答案在答题卷I 上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试题卷II 的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II 各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．允许使用计算器，但没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--． 试 题 卷 Ⅰ一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各数中是正整数的是(A)1- (B) 2 (C)0.5 2 2．下列计算正确的是 (A)632)(a a =(B) 422a a a =+ (C)a a a 6)2()3(=⋅ (D)33=-a a3．不等式1x >在数轴上表示正确的是(B)(C) (D)4．据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为(A)5106057.7⨯人 (B)6106057.7⨯人 (C) 7106057.7⨯人 (D) 71076057.0⨯人5．平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是(第8题)(A))2,3(- (B))2,3(- (C))3,2(- (D))3,2(6．如图所示的物体的俯视图是7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(A)4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 8．如图所示，AB ∥CD ，∠E ＝37°，∠C ＝20°，则∠EAB 的度数为 (C) 63°9．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α(A)sin hα(B)tan h α(C)cos h α (D)αsin ⋅h 10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，22==BC AC ,若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为(A)4π (B) (C)8π (D)11．如图，⊙O 1 的半径为１，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2 =8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现(A)3次 (B)5次 (C)6次 (D)7次12．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是(A)4m cm (B)4n cm (C) 2(m +n ) cm (D)4(m -n ) cm试 题 卷 Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分） 13．实数27的立方根是 ▲ ．n (第（第11题） (第9题) αhl（第6题）(A)(B)(C)(D)(第21题)图① 图② 图③(第18题)14．因式分解：y xy -= ▲ ．15．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：则射击成绩最稳定的选手是 ▲ ． (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个) 16．将抛物线2x y ＝的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ▲ ． 17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC = ▲ cm ．18．如图，正方形1112A B PP 的顶点1P 、2P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点1A 、1B分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函数 2(0)y x x =>的图象上，顶点2A 在x三、解答题（本大题有8小题，共66分）19．（本题6分）先化简，再求值：)1()2)(2(a a a a -+-+，其中5=a .20．（本题6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回．．，再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率．21．（本题6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重(第17题)A DBE C22．（本题8分）图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装．．部．各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整． （2）商场服装．．部．5月份的销售额是多少万元？ （3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装．．部．的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．23．（本题8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作 AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．24．（本题10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%． （1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ （2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？ （3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低，并求出最低费用．25．（本题10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：小明：那直角三角形中是否存在奇异三老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的0 1 2 3 4月份 商场服装部．．．各月销售额占商场当月销售 0商场各月销售总额统计图 1 2 3 4 5 月份 (第22题)图② 图① ABCDGEF(第23题)（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且b a >，若Rt △ABC 是奇异三角形，求::a b c ；（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合)，D 是半圆ADB 的中点， C 、D 在直径AB 两侧，若在⊙O 内存在点E ，使得AE =AD ，CB =CE ． ① 求证：△ACE 是奇异三角形；② 当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．26．（本题12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,2)-,点B 的坐标为(6,6)，抛物线经过A 、O 、B 三点，连结OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E ． （1） 求点E 的坐标； （2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（4） 连结AN ，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标．(第25题)A BCD E O小华：等边三角形一宁波市2011年初中毕业生学业考试数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACBCDCAADBB题号 13 1415 1617 18答案3)1(-x y 乙12+=x y8)13,13(-+三、解答题(共66分)注： 1. 阅卷时应按步计分，每步只设整分；2. 如有其它解法，只要正确，都可参照评分标准，各步相应给分.19．解： 原式=224a a a -+- 2分 4-=a 4分 当5=a 时，原式=45-=1 6分 20．解： 树状图如下： 列表如下：则P （两次都摸到红球）=1． 21.22．解：(1)75806590100410=----（万元）白 黄 红 白 白白 白黄 白红 黄 黄白 黄黄 黄红 红 红白 红黄 红红 白 黄 红红黄 白 红黄白 红 黄 白第一次 第二次80商场各月销售总额统计图 销售总额（万元）(2) 5月份的销售额是8.12%1680=⨯（万元） 6分(3) 4月份的销售额是75.12%1775=⨯（万元），∵8.1275.12< ∴不同意他的看法 8分23．解：(1)在□ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD∵E 、F 分别为边AB 、CD 的中点∴DF =21DC ，BE =21AB ∴DF ∥BE ，DF =BE 2分∴四边形DEBF 为平行四边形 3分 ∴DE ∥BF 4分 (2) 证明： ∵AG ∥BD∴∠G=∠DBC=90° ∴△DBC 为直角三角形 5分 又∵F 为边CD 的中点 ∴BF =21CD =DF 7分 又∵四边形DEBF 为平行四边形∴四边形DEBF 是菱形 8分24．解：(1) 设购买甲种树苗x 株，乙种树苗y 株，则列方程组⎩⎨⎧=+=+210003024800y x y x 2分解得⎩⎨⎧==300500y x答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株. 4分 (2) 设购买甲种树苗z 株，乙种树苗)800(z -株，则列不等式 800%88)800%(90%85⨯≥-+z z 6分解得320≤z 7分答：甲种树苗至多购买320株.（3）设甲种树苗购买m 株，购买树苗的费用为W 元，则240006)800(3024+-=-+=m m m W 8分∵06<- ∴W 随m 的增大而减小 ∵3200≤<m∴当320=m 时，W 有最小值. 9分22080320624000=⨯-=W 元答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元. 10分 25．解：(1) 真命题 2分(2) 在Rt △ABC 中，222c b a =+ ∵ 0>>>a b c∴2222b a c +>，2222c b a +<∴若Rt △ABC 为奇异三角形,一定有2222c a b += 3分 ∴)(22222b a a b ++=∴222a b = 得a b 2=∵22223a a b c =+= ∴a c 3=∴3:2:1::=c b a 5分(3) ①∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB =∠ADB =90°在Rt △ACB 中，222AB BC AC =+ 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+ ∵点D 是半圆ADB 的中点 ∴AD= BD∴AD=BD 6分 ∴ 22222AD BD AD AB =+=∴2222AD CB AC =+ 7分 又∵AD AE CE CB ==, ∴2222AE CE AC =+∴△ACE 是奇异三角形 8分 ②由①可得△ACE 是奇异三角形 ∴2222AE CE AC =+ 当△ACE 是直角三角形时由（2）可得3:2:1::=CE AE AC 或1:2:3::=CE AE AC （Ⅰ）当3:2:1::=CE AE AC 时，3:1:=CE AC 即3:1:=CB AC∵︒=∠90ACB ∴︒=∠30ABC∴︒=∠=∠602ABC AOC 9分 （Ⅱ）当1:2:3::=CE AE AC 时，1:3:=CE AC 即1:3:=CB AC∵︒=∠90ACB ∴︒=∠60ABC∴︒=∠=∠1202ABC AOC∴AOC ∠的度数为︒︒12060或． 10分26．解：(1) 设n mx y += 将点)6,6(),2,2(B A -代入得⎩⎨⎧=+=+-6622n m n m得3,21==n m ∴321+=x y当0=x 时，3=y ． ∴)3,0(E 3分 （2）设抛物线的函数解析式为bx ax y +=2， 将)6,6(),2,2(B A -代入得⎩⎨⎧=+=-6636224b a b a 解得21,41-==b a∴抛物线的解析式为x x y 21412-=． 6分过点N 作x 轴的垂线NG ，垂足为G ，交OB 于点Q ，过B 作BH ⊥x 轴于H ， 设)2141,(2x x x N -，则),(x x Q 则BQN QON BON S S S ∆∆∆+=GH QN OG QN ⨯⨯+⨯⨯=2121 )(21GH OG QN +⨯⨯=OH QN ⨯⨯=2162141212⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x x 29432+-=427)3(432+--=x )60(<<x 7分 ∴当3=x 时，△BON 面积最大，最大值为427， 8分此时点N 的坐标为)43,3(． 9分（4）解：过点A 作AS ⊥GQ 于S∵)6,6(),2,2(B A -,N )43,3(∴∠AOE =∠OAS=∠BOH = 45°, OG =3，NG =43，NS =45，AS =5 在Rt △SAN 和Rt △NOG 中 ∴tan ∠SAN =tan ∠NOG =41∴∠SAN =∠ NOG∴∠OAS -∠SAN =∠BOG -∠NOG∴∠OAN =∠BON 10分 ∴ON 的延长线上存在一点P ，使△BOP ∽△OAN∵),2,2(-A N )43,3(在Rt △ASN 中， AN =417522=+SN AS 当△BOP ∽△OAN 时AN OP OA OB = 41752226OP=得OP =41715 过点P 作PT ⊥x 轴于点T ∴△OPT ∽△ONG ∴41==OG NG OT PT 设),4(t t P ∴=+22)4(t t 2)41715(415,41521-==t t （舍） ∴点P 的坐标为)415,15( 11分 将△OPT 沿直线OB 翻折，可得出另一个满足条件的点)15,415('P由以上推理可知，当点P 的坐标为)415,15(或)15,415(时，△BOP 与△OAN 相似． 12分(学生无此说明不扣分)。